0.1 Tách phân thức hữu tỉ nhanh Đây tất nhiên ứng dụng Laplace giải PTVP, bước làm cho bạn ngại làm tách ghép phân thức hữu tỉ s để biến đổi ngược lại thành t, lí lâu la dễ nhầm! Tuy nhiên có biết nghiên cứu kỹ thuật CASIO giải Toán THPT thấy bình thường, kỹ thuật tách phân thức CASIO có từ lâu bắt nguồn từ việc tính tích phân hàm hữu tỉ lớp 12 Sau toàn phương pháp học nghiên cứu thêm, từ đơn giản đến phức tạp: xk + b a d c d xk + c  − xk + 1 = k b d b + b)(cx + d) − ac xk + a c a c a = − bc − ad cxk + d axk + b (axk =   bc − ad  d xk + c −   b k x + a Cái dễ nên tách tay cho nhanh! (ax2 + bx + c) − x(ax + b) 1 = = x(ax2 + bx + c) cx(ax2 + bx + c) c ax + b − x ax2 + bx + c Cái nên tách tay f (x) a1 (x − x0 )n−1 + a2 (x − x0 )n−2 + · · · + an a1 an = = + ··· + (degf < n) n n (x − x0 ) (x − x0 ) x − x0 (x − x0 )n Sở dĩ xét degf < n giả sử degf = n + k ta làm cũ thôi, kết cộng thêm với gk (x) (đa thức có bậc k , hiểu chứ?) Cái tách tay không ổn, ta dùng CASIO để tách f (x) = a1 (x − x0 )n−1 + a2 (x − x0 )n−2 + · · · + an Dễ thấy dạng khai triển Taylor hàm đa thức f (x) x = x0 , áp dụng kỹ thuật khai triển đa thức phương pháp xấp xỉ máy tính CASIO ta tách khoảng 10 giây thực hành quen! 97er CASIO bắt đầu phát triển nên phần lớn chưa biết, đến lứa 98er thực "lên đỉnh"! Nói sơ qua: để khai triển đa thức dạng tắc (tức dạng a1 xn +a2 xn−1 +· · ·+an+1 ), ta nhập đa thức vào máy sau gán vào biến máy giá trị 1000 (hoặc 100, thường dùng biến X ), ta thu kết f (1000) Từ kết sử dụng xấp xỉ truy ngược lại −−−−−→ hệ số i = 1, n + Như ta muốn tách f (x) = a1 (x − x0 )n−1 + a2 (x − x0 )n−2 + · · · + an , đặt Y = x − x0 , ta f (Y + x0 ) = a1 Y n−1 + a2 Y n−2 + · · · + an Để xấp xỉ được, ta phải gán cho x giá trị cho Y = 1000, ta gán X = 1000 + x0 , sau xấp xỉ Nói người đến kỹ thuật CASIO chẳng hiểu cả! Không sao, bạn nóng lòng muốn biết nhảy đến VD2 để xem chi tiết, lý thuyết có thôi! f (x) B1 B2 Bm = + + ··· + với degf < 2m, m 2 2 + bx + c) ax + bx + c (ax + bx + c) (ax + bx + c)m −−→ Bi = pi x + qi i = 1, m tam thức ax2 + bx + c vô nghiệm thực (ax2 Vì Bi số nên làm f (x) được, trái lại ta sử dụng (x − x0 )n kỹ thuật chia đa thức có dư CASIO hay! Ta thấy: (ax2 f (x) B2 Bm = B1 + + ··· + m−1 + bx + c) ax + bx + c (ax + bx + c)m−1 Như B1 thương phép chia f (x) cho (ax2 + bx + c)m−1 , việc chia CASIO đơn giản (cũng phương pháp xấp xỉ, xem VD thấy!) ⇒ f (x) − B1 (ax2 + bx + c)m−1 B3 Bm = B2 + + ··· + m−2 (ax + bx + c) ax + bx + c (ax + bx + c)m−2 Như B2 thương phép chia f (x) − B1 (ax2 + bx + c)m−1 cho (ax2 + bx + c)m−2 Cứ ta tìm Bi Có điều cần ý đây: −−→ (a) Các Bi i = 1, m phép chia bậc nhất, tam thức bậc (phát từ thực nghiệm!), ta thêm khâu nhỏ để khử nốt đưa dạng xác, đơn giản (b) Khi chia phân thức mà hệ số bậc cao mẫu cần gán X = 1000 có thương ngay, hệ số số khác, ta phải nhân thêm kết chia với số (như VD4) (c) Để đảm bảo xác dùng kỹ thuật chia, nên thử với X = 1000 X = 100, giá trị lớn dễ gây sai số, việc xấp xỉ với X = 100 tương tự X = 1000 Nếu kết giống yên tâm, lệch nên tin kết X = 100 Cách sử dụng phép chia nghĩ lúc viết tài liệu này, trước năm có cách khác thống trị, sử dụng nghiệm phức tam thức ax2 + bx + c tính giới hạn! Cách lằng nhằng, dễ sai, bạn không cần phải quan tâm làm f (x) (x − x0 + bx + c)m an B1 Bm a1 = + ··· + + + ··· + n 2 x − x0 (x − x0 ) ax + bx + c (ax + bx + c)m −−→ với Bi = pi x + qi i = 1, m degf < n, tam thức ax2 + bx + c vô nghiệm thực )n (ax2 Cái khó nè! Tất nhiên phải cần CASIO nói, bạn phải luyện tập nhiều trường hợp trên! f (x) F (x) ta , có dạng giống phân thức mục 3, m + bx + c) (x − x0 )n f (x) đó, F (x) đa thức, phân thức Về mặt khai triển Tay(ax2 + bx + c)m lor, ta viết F (x) dạng a1 (x − x0 )n−1 + · · · + an−1 (x − x0 ) + an , không Nếu đặt F (x) = (ax2 phải đa thức, nên dấu "=", mà F (x) ≈ a1 (x − x0 )n−1 + · · · + an−1 (x − x0 ) + an , kết sai! Đúng F (x) sau: F (x) = a1 (x − x0 )n−1 + · · · + an + (x − x0 )n ⇒ an = F (x0 ) ⇒ an−1 = lim x→x0 ax2 Bm B1 + ··· + + bx + c (ax + bx + c)m F (x) − an = F (x0 ) x − x0 Liệu có kết quả: an−2 = F (x0 ); ; an−k = F (k) (x0 )? Khi đăng phương pháp Facebook, có kết ấy, nhận thấy có tài liệu khác đưa an−k = F (k) (x0 ), thực nghiệm sau cho thấy việc tìm an−k cách hoàn toàn sai, với an an−1 mà Cái sai khó phát hiện, không khó giải thích thuộc chất đạo hàm, cụ thể sau: an−2 F (x) − an−1 (x − x0 ) − an = lim = lim x→x0 x→x0 (x − x0 )2 Nhiều tác giả lầm tưởng lim x→x0 F (x) − an − an−1 F (x0 ) − an−1 x − x0 = lim x→x0 x − x0 x − x0 F (x0 ) − an−1 F (x) − an−1 = F (x0 ) thay F (x0 ) = x − x0 x − x0 Vậy ta tìm an an−1 dễ dàng cách tính F (x0 ) F (x0 ), việc tính F (x0 ) giao cho máy chức tính đạo hàm điểm (nhấn SHIFT phím tích phân thấy) Các hệ số lại ta đành phải tính lim theo cách thủ công thôi: an−2 = lim x→x0 (x − x0 an an−1 f (x) − − m n + bx + c) (x − x0 ) (x − x0 )n−1 )n (ax2 (x − x0 )n−2 a1 = lim x→x0 f (x) an a2 − − ··· − (x − x0 )n (ax2 + bx + c)m (x − x0 )n (x − x0 )2 (x − x0 ) Để tính lim CASIO bạn nhập biểu thức gán vào biến X = x0 + 10−8 (hoặc 10−5 ) để biểu thị X "rất gần" với x0 , kết thu máy làm tròn (chẳng hạn 2, 0000000012 hiển thị 2), không làm tròn ta làm thay nó, giới hạn cần tính Ở dòng máy VINACAL có chức tính lim nên tiện lợi nhiều, không cần phải suy nghĩ gì! Còn CASIO, tính giới hạn bị sai, lí "sai số" thiết kế giá trị X nhập vào gần đúng! Về việc xử lí không nói thêm nữa, khiến bạn thấy rối rắm nghĩ dùng CASIO thêm thời gian, quan tâm đến kỹ thuật CASIO luyện thi ĐH biết thôi! Bây −−→ tìm Bi i = 1, m Để tìm Bi , ta sử dụng kỹ thuật chia có dư mục 4, đặt G(x) = f (x) , ta được: (x − x0 )n a1 an G(x) + ··· + − (ax2 + bx + c) m−1 + bx + c) x − x0 (x − x0 )n B2 Bm = B1 + + ··· + ax + bx + c (ax2 + bx + c)m−1 (ax2 ⇒ B1 thương phép chia có dư: (ax2 G(x) − (ax2 + bx + c) + bx + c)m−1 a1 an + ··· + x − x0 (x − x0 )n Tương tự: G(x) a1 an − (ax2 + bx + c)2 + ··· + m−2 + bx + c) x − x0 (x − x0 )n Bm B3 + ··· + = B2 + ax + bx + c (ax2 + bx + c)m−2 (ax2 − B1 (ax2 + bx + c) Từ ta lại tìm B2 , trình diễn Lưu ý: phép tính nhìn dài phức tạp, khó nhớ, dễ hiểu, cần luyện tập vài thạo! Nếu không nhập hết (lỗi tràn hình), ngắt ra, đừng ngắt nhiều lần quá, sai số gộp lại lớn Cũng mục 4, trước có cách sử dụng nghiệm phức tam thức ax2 + bx + c tính giới hạn, dễ sai Đó tất lý thuyết! Nhìn tổng quát ngại đọc VD thấy dễ hiểu, kiến thức sơ cấp! Điều thứ ta cần linh hoạt sử dụng CASIO, lý thuyết cách hoàn toàn giải toán, thực tế có đường tắt nhanh (xem VD!) Điều cuối phải lưu tâm: tính toán cho cẩn thận! VD1 Khai triển đa thức f (x) = (x2 + 3x + 2)(2x + 1)2 − (x − 1)(x2 − x + 3) VD mang tính làm quen với việc khai triển đa thức phương pháp xấp xỉ CASIO cho người chưa biết thôi! Đầu tiên nhập biểu thức vào máy: (X + 3X + 2)(2X + 1)2 − (X − 1)(X − X + 3) (gọi tắt f (X)) Bấm [CALC], gán X = 1000, bấm [=], ta kết quả: K1 = 4, 015023007.1012 Vì 1012 = 10004 = X nên ta xấp xỉ: K1 ≈ 4.1012 = 4X , quay lại biểu thức nhập bổ sung thành f (X) − 4X , bấm [=] thu K2 = 1, 502300701.1010 Vì 1010 = 10.10003 = 10X nên ta dịch dấu phẩy cho thành 109 xấp xỉ: K2 = 15, 02300701.109 ≈ 15.109 = 15X , quay lại biểu thức bổ sung tiếp thành f (X) − 4X − 15X , bấm [=] thu K3 = 23007005 Các bạn chưa quen làm tiếp trên: K3 ≈ 23.10002 = 23X , ngại gõ thêm nên làm đến cuối luôn: K3 = 23.10002 + 7.1000 + = 23X + 7X + Việc thử lại quan trọng, bạn nhập toàn f (X) − 4X − 15X − 23X − 7X − gán X = π X = e (2 số siêu việt cho sẵn máy, lí phải siêu việt không cần hiểu đâu!), kết khai triển Vậy f (X) − 4X − 15X = 23X + 7X + 5, kết quả: f (x) = 4x4 + 15x3 + 23x2 + 7x + Nếu thành thục, tất bước bấm 10 giây mà thôi! Vậy không dùng X = 1000 mà dùng X = 100 sao? Như nói, tương tự thôi! Nhập biểu thức đề cho, gán X = 100, kết quả: K1 = 415230705 Vì X = 100 nên ta phân tích theo 100: K1 ≈ 4.108 = 4.1004 = 4X Sửa biểu thức, kết K2 = 15230705, K1 1004 nên K2 ta phân tích đến 1003 thôi: K2 ≈ 15.106 = 15.1003 = 15X Giống kết với X = 1000 chứ? Các bạn tự làm tiếp nhé! Ta rút nhận xét là: với X = 1000 hệ số phân tách rõ ràng (tổng quát X số tròn chục, số số nhiều dễ phân tách hệ số đa thức) Tuy nhiên giá trị lớn, sai số tính toán máy lớn hệ số bậc thấp dễ sai, ưu nhược điểm cách gán 100 1000 Sang VD3 bạn thấy việc sử dụng X = 100 có lợi hơn, nói chung ta nên dùng 2, so sánh kết với để đảm bảo kết VD2 Tách phân thức f (x) = x5 + 2x4 + 2x + (x − 1)4 Bậc tử lớn bậc mẫu bậc nên kết có nhị thức bậc đứng riêng: f (x) = ax + b + a1 a2 a3 a4 + + + x − (x − 1) (x − 1) (x − 1)4 Nhưng dù ta kệ cmn cần khai triển Taylor tử theo (x − 1) xong hết! Nhập tử vào máy: T = X + 2X + 2X + 1, bấm [CALC], gán X cho X − = 1000, gán X = 1001, bấm [=] ta kết K1 = 1, 007018022.1015 Việc khai triển bạn làm quen VD1 nên nhanh thôi: K1 ≈ 10005 = (X − 1)5 Sửa biểu thức: T − (X − 1)5 ⇒ K2 = 7, 018022015.1012 ≈ 7.10004 = 7(X − 1)4 Sửa tiếp: T − (X − 1)5 − 7(X − 1)4 ⇒ K3 = 1, 8022015.1010 = 18, 022015.109 ≈ 18.10003 = 18(X − 1)3 Tiếp tục: T − (X − 1)5 − 7(X − 1)4 − 18(X − 1)3 ⇒ K4 = 22015000 = 22.10002 + 15.1000 = 22(X − 1)2 + 15(X − 1) Thử lại, nhập toàn T − (X − 1)5 − 7(X − 1)4 − 18(X − 1)3 − 22(X − 1)2 − 15(X − 1) cho X = π xem kết có không Kết 6, đáp án cuối là: (x − 1)5 + 7(x − 1)4 + 18(x − 1)3 + 22(x − 1)2 + 15(x − 1) + (x − 1)4 18 22 15 =x+6+ + + + x − (x − 1) (x − 1) (x − 1)4 f (x) = VD3 Tách phân thức f (x) = x7 − x6 + x4 + x − (x2 + x + 1)3 Ta giả sử phân tích tử thức thành: T (x) = B1 (x2 + x + 1)3 + B2 (x2 + x + 1)2 + B3 (x2 + x + 1) + B4 B2 B3 B4 T (x) = B1 + + + nghĩa B1 thương + x + 1) x + x + (x + x + 1) (x + x + 1)3 phép chia có dư T (x) cho (x2 + x + 1)3 Khi đó: (x2 Các bạn nhớ sử dụng kỹ thuật chia có dư CASIO, nên làm lần cho bước chia với X = 1000 X = 100 X7 − X6 + X4 + X − Bấm [CALC] cho X = 1000 (X + X + 1)3 kết 996, 006 Ta lấy phần nguyên thương (phần thập phân gây dư), ta Để tìm thương trên, trước hết ta nhập phép chia: được: 996 = 1000 − = X − = B1 Với X = 100 ta thu phần nguyên 96 = X − T (x) − (x − 4)(x2 + x + 1)3 B3 B4 = B2 + + ⇒ B2 thương phép chia 2 (x + x + 1) x +x+1 (x + x + 1)2 T (x) − (x − 4)(x2 + x + 1)3 cho (x2 + x + 1)2 ⇒ Quay lại biểu thức sửa thành: X − X + X + X − − (X − 4)(X + X + 1)3 Bấm [=] thu (X + X + 1)2 kết 6005, 99201 Lấy phần nguyên: 6005 = 6000 + = 6X + = B2 (cũng với X = 100) X − X + X + X − − (X − 4)(X + X + 1)3 − (6X + 5)(X + X + 1)2 X2 + X + Thương phép chia B3 , bấm [=] nhận 993002, 988 Lấy phần nguyên: 993002 = Tiếp tục sửa biểu thức: X − 7X + (xấp xỉ VD trước) Tuy nhiên lần với X = 100 ta lại 9300, 029502 nghĩa 9300 = X − 7X không giống trên, ta ưu tiên lấy B3 = x2 − 7x X nhỏ sai số thấp Không sao, nỗi phân vân thử lại sáng tỏ vào khâu cuối! Cuối ta rút gọn: X − X + X + X − − (X − 4)(X + X + 1)3 − (6X + 5)(X + X + 1)2 − (X − 7X)(X + X + 1) (với X = 100), ta 298 = 300 − = 3X − Thử lại biểu thức với X = π , thấy kết trùng với 3π − 2, ta làm đúng! Kết luận: x7 − x6 + x4 + x − (x2 + x + 1)3 (x − 4)(x2 + x + 1)3 + (6x + 5)(x2 + x + 1)2 + (x2 − 7x)(x2 + x + 1) + 3x − = (x2 + x + 1)3 x − 7x 3x − 6x + + + =x−4+ 2 x + x + (x + x + 1) (x + x + 1)3 Thế gọi tách rồi, nên tách nốt x2 − 7x thành phân thức nhỏ (trên (x2 + x + 1)2 tử có tối đa bậc nhất), triệt để hơn: x2 − 7x (x2 + x + 1) − 8x − 1 8x + = = − 2 2 (x + x + 1) (x + x + 1) x + x + (x + x + 1)2 Cuối thì: x7 − x6 + x4 + x − 6x + 8x + 3x − =x−4+ − + 2 (x + x + 1) x + x + (x + x + 1) (x + x + 1)3 VD4 x(4) + 2x + x = e2t , x(0) = x (0) = x (0) = x(3) (0) = Sau lấy Laplace vế với giả sử L{x(t)}(s) = F (s) thay giá trị ban đầu, ta được: F (s) = Ta tách thành: F (s) = (s − 2)(s2 + 1)2 a B1 B2 + + s − s2 + (s2 + 1)2 1 , bấm [CALC] cho X = ta a = + 1) 25 s2 + B2 ⇒ − = B1 + , B1 thương phép chia có dư: (s − 2)(s2 + 1) 25(s − 2) s +1 Nhập (X s2 + − (s − 2)(s2 + 1) 25(s − 2) Nhập X2 + − (X − 2)(X + 1) 25(X − 2) × 25, bấm [CALC] cho X = 1000 ta −1002, 00501 Lấy phần nguyên: −1002 = −1000 − = −X − ⇒ B1 = − Sở dĩ phải nhân 25 quy đồng s+2 25 s2 + − lên ta hệ số (s − 2)(s2 + 1) 25(s − 2) mẫu 25 Để tìm B2 , ta có: s2 + B2 − − B1 = , ta sửa biểu thức thành: (s − 2)(s + 1) 25(s − 2) s +1 X2 + X +2 − + (X − 2)(X + 1) 25(X − 2) 25 Bấm [=] thu −200, = − Vậy: F (s) = (X + 1) 1002 X +2 =− = B2 5 s+2 s+2 − − 25(s − 2) 25(s + 1) 5(s2 + 1)2 ⇒ x(t) = L−1 {F (s)}(t) 1 s − L−1 − L−1 = L−1 25 s−2 25 s +1 25 e2t t t = − + sin t + − cos t 25 10 25 25 s2 +1 − L−1 (s2 s + 1)2 − L−1 (s2 + 1)2 VD5 y (4) − 2y (3) − 8y − 30y − 25y = et , y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 3, y (0) = Câu đề thi cuối kì KSTN K60! Sau lấy Laplace vế với giả sử L{y(t)}(s) = F (s) thay giá trị ban đầu, ta được: (s4 − 2s3 − 8s2 − 30s − 25)F (s) = + s3 − 9s − 48 s−1 Nếu chia xuống ta tách phân thức riêng biệt, thành phần giống cuối phải gộp lại, ta quy đồng bên phải lên trước: + (s − 1)(s3 − 9s − 48) s4 − s3 − 9s2 − 39s + 49 + s3 − 9s − 48 = = s−1 s−1 s−1 (Bỏ 10 giây quy đồng CASIO không tốn thời gian nhỉ!) Tiếp theo phân tích s4 − 2s3 − 8s2 − 30s − 25 thành nhân tử: nhập đa thức vào máy [SHIFT] [CALC] (Solve) để tìm nghiệm nó, nghiệm −1 5, s4 − 2s3 − 8s2 − 30s − 25 = (s + 1)(s − 5)f (s) Sửa lại: X − 2X − 8X − 30X − 25 , cho X = 1000 ta 1002005 = X + 2X + = f (s) (X + 1)(X − 5) Ok! Bây ta chia xuống: F (s) = Sau tách ta được: F (s) = s4 − s3 − 9s2 − 39s + 49 (s − 1)(s + 1)(s − 5)(s2 + 2s + 5) a1 a2 a3 B + + + s − s + s − s + 2s + Để tìm a1 , ta nhập F (s) vào máy, bỏ (s − 1) mẫu đi, nghĩa nhập: X − X − 9X − 39X + 49 (X + 2X + 5)(X + 1)(X − 5) (Nên nhập tam thức bậc đằng trước để lúc sửa cho dễ) Bấm [CALC] cho X = 1, ta a1 = − 64 Để tìm a2 , tương tự, ta lại bỏ (s + 1) mẫu đi, tức sửa biểu thức thành: X − X − 9X − 39X + 49 (X + 2X + 5)(X − 1)(X − 5) Cho X = −1 thu a2 = Tìm a3 , ta lại vứt (s − 5) đi: 27 16 X − X − 9X − 39X + 49 43 , cho X = thu a3 = (X + 2X + 5)(X − 1)(X + 1) 320 Để tìm B , ta có: B s4 − s3 − 9s2 − 39s + 49 27 43 = + − − 2 s + 2s + (s − 1)(s + 1)(s − 5)(s + 2s + 5) 64(s − 1) 16(s + 1) 320(s − 5) Do ta sửa biểu thức lần cuối thành: X − X − 9X − 39X + 49 27 43 + − − (X + 2X + 5)(X − 1)(X − 5) 64(X − 1) 16(X + 1) 320(X − 5) (X + 2X + 5) (Nếu biểu thức tràn hình bạn bẻ đôi tính lần) 12673 , dù biết B = px + q 160 nhị thức bậc dùng xấp xỉ với số xấu không an toàn, ta thay giá trị Cho X = 1000 số xấu: −804, 83125, tính lại với X = 100, ta − nhỏ giải hệ bậc ẩn p, q : + Thay X = ta 227 = p.0 + q = q 160 + Thay X = ta − 31 227 129 = 2p + ⇒p=− 160 160 160 Kết luận: 27 43 129s − 227 − + − 16(s + 1) 64(s − 1) 320(s − 5) 160(s2 + 2s + 5) 43 129s − 227 107s − 109 = + − 64(s − 1) 320(s − 5) 160(s2 + 2s + 5) F (s) = ⇒ y(t) = L−1 {F (s)} 107 −1 s 109 −1 43 −1 129 −1 s+1 = L − L + L − L 2 64 s −1 64 s −1 320 s−5 160 (s + 1)2 + 89 107 109 43 5t 129 −t 89 + L−1 = cosh t − sinh t + e − e cos 2t + e−t sin 2t 80 (s + 1)2 + 64 64 320 160 80 VD6 Tính L−1 s2 − s + (s − 2)3 (s2 − 4s + 13)2 + s+1 (s − 1)(s2 − 4s + 29) (t) Việc tách thành biết: F1 = a1 a2 a3 B1 B2 s2 − s + = + + + + 2 (s − 2) (s − 4s + 13) s − (s − 2) (s − 2) s − 4s + 13 (s − 4s + 13)2 F2 = s+1 a C = + (s − 1)(s2 − 4s + 29) s − s2 − 4s + 29 Tìm a3 : nhập Vì a2 = X2 − X + , cho X = a3 = 2 (X − 4X + 13) 81 s2 − s + (s2 − 4s + 13)2 , ta nhập: s=2 X2 − X + (X − 4X + 13)2 d dx , bấm [=] a2 = x=2 27 Để tìm a1 , ta tính giới hạn: lim s→2 s2 − s + − − 2 (s − 2) (s − 4s + 13) 27(s − 2) 81(s − 2)3 (s − 2) hay lim s→2 s2 − s + − − 2 (s − 2) (s − 4s + 13) 27(s − 2) 81(s − 2)2 Nhập biểu thức (với X thay cho s), cho X = + 10−8 ta 0, cho tiếp X = + 10−5 ta −0, 001372, rõ ràng giới hạn khác xác định số xác, phải đây? Không sao! Ta nhận thấy quy đồng biểu thức cần tính lim lên, hệ số bậc cao mẫu 81.27 = 2187, kết phân số khó xác định, để triệt mẫu, ta bổ sung thêm sau sau nhập biểu thức cần tính lim trên: X2 − X + − − 2 (X − 2) (X − 4X + 13) 27(X − 2) 81(X − 2)2 × 81 × 27 Cho X = + 10−5 , thu −3, 000564, làm tròn kết thành −3, từ đó, giới hạn cần tính là: −3 a1 = =− 81.27 729 Để tìm B2 = p2 x + q2 , ta có: B2 (s0 ) = s2 − s + (s − 2)3 s0 nghiệm s2 − 4s + 13 = 0, s=s0 s0 = ± 3i X2 − X + , cho X = − 3i (X − 2)3 4 X = + 3i thu kết tương ứng: − + i → A, − − i → B 27 27 Bấm [MODE] [2] chuyển sang MODE số phức, nhập Do p2 = B−A 19 = − ⇒ q2 = A − Ans(2 − 3i) = − (2 + 3i) − (2 − 3i) 81 81 Tìm B1 : ta tính biểu thức sau với s = 1000: s2 − s + 1 4s + 19 + − − + 2 (s − 2) (s − 4s + 13) 729(s − 2) 27(s − 2) 81(s − 2) 81(s − 4s + 13)2 10 (s2 − 4s + 13) Thu 971 s − 29 = = B1 , vậy: 729 729 F1 = − s − 29 4s + 19 + + + − 729(s − 2) 27(s − 2)2 81(s − 2)3 729(s2 − 4s + 13) 81(s2 − 4s + 13)2 Tiếp tục: tìm a, ta gán X = vào X2 X +1 , a = − 4X + 29 13 s+1 − (s − 1)(s2 − 4s + 29) 13(s − 1) s − 16 984 =− = C , vậy: − 13 13 Do C = F2 = (s2 − 4s + 29), nhập biểu thức này, cho X = 1000 ta s − 16 − 13(s − 1) 13(s − 4s + 29) Việc tính L−1 {F1 + F2 }(t) bạn làm tiếp nhé! Bản quyền thuộc VNCTeam, tác giả Lâm Minh Sao chép xin vui lòng ghi rõ nguồn! Xin cảm ơn! 11 ... −−→ (a) Các Bi i = 1, m phép chia bậc nhất, tam thức bậc (phát từ thực nghiệm!), ta thêm khâu nhỏ để khử nốt đưa dạng xác, đơn giản (b) Khi chia phân thức mà hệ số bậc cao mẫu cần gán X = 1000... (x) đó, F (x) đa thức, phân thức Về mặt khai triển Tay(ax2 + bx + c)m lor, ta viết F (x) dạng a1 (x − x0 )n−1 + · · · + an−1 (x − x0 ) + an , không Nếu đặt F (x) = (ax2 phải đa thức, nên dấu "=",... tắt nhanh (xem VD!) Điều cuối phải lưu tâm: tính toán cho cẩn thận! VD1 Khai triển đa thức f (x) = (x2 + 3x + 2)(2x + 1)2 − (x − 1)(x2 − x + 3) VD mang tính làm quen với việc khai triển đa thức