1 Nguyễn Đình Hoàn – G/v chuyên luyện thi THPT Quốc Gia Rèn luyện kỹ sử dụng nâng lũy thừa, ẩn phụ hàm số Ngày phương pháp nhân liên hợp khiến cho toán trở nên đơn điệu thiếu tính sáng tạo Chính vậy, viết muốn gửi tới bạn đọc 10 toán tư làm để có cách tư tốt với phương pháp nâng lũy thừa, ẩn phụ hàm số Bài viết trích dẫn từ Vấn đề sách Phát triển tư kỹ giải toán Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình dự kiến xuất cuối năm 2016 Bài toán 1: Giải phương trình sau tập số thực : x  3x   3x   x  x  x  Phân tích: Đây toán phương trình có dạng g  x  f  x   h  x  mà tác giả đề cập đến cho Vấn đề , sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để giải toán Nhưng lũy thừa phương trình trở thành bậc 6, khó khăn để giải Nếu vậy, phương pháp không để xử lí toán này? Vấn đề trả lời cho bạn câu hỏi Nhận thấy, hạng tử có mối liên hệ với biểu thức 3x  biến đổi phương trình tương đương : x 3x    3x   3x   x  x  3x    Từ ta giải theo cách sau đây:  Chia hai vế cho  3x   3x   Đặt trực tiếp biểu thức t  3x   , đưa phương trình đẳng cấp bậc ba Bài giải: Điều kiện xác định: 3x    x  Phương trình cho tương đương với: x 3x    3x   3x   x  x  3x     *  Cách 1: Đặt ẩn phụ: 2 2  Trường hợp 1: Nếu x  ,  *   2    : Vô lí nên x  không nghiệm 3 3 phương trình  *  , chia vế phương trình  *  cho 3x    *  tương đương với:  Trường hợp 2: Nếu x   3x       x x x   1        3x   3x    3x   Đặt t  x 3x   Khi phương trình  1 trở thành:  t 2t  t  2t     t  1 2t  3t      0 t  x 1 Với t  , suy ra:   3x   x  x  3x   : vô nghiệm 3x  2  2  x    3x   x  x  3x     ( Thỏa mãn) 3x  x  Kết luận: Vậy phương trình cho có nghiệm : x  1; x  Cách 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp bậc 3: Với t  , suy ra: x Đặt: t  3x   Khi đó:  *   x2t  2xt  t  2x3    Chú ý: Phương trình   : x2t  2xt  t  2x3  giải sau: Gán x  100 , phương trình có dạng: t  200t  10000t  2000000  t  x  1 t  200  t  100  t  100    1  t  x  t  x  t  x      x  0  3x   x x   Khi đó:     t  x  t  x  t  x     x2  x   x  0 Kết luận: Vậy phương trình cho có nghiệm : x  1; x  Cách 3: Nâng lũy thừa vế   3x   x  x  x  ( Điều kiện:  x  x   x Phương trình cho tương đương với: x  x    x  3x    3x     x  x2 2  4x  6x2  4x  )   4x6  27 x5  72x4  99x3  78x2  36x   x  2   23    x  1  x     x        (Thỏa mãn điều kiện)    16  x2    Kết luận: Vậy phương trình cho có nghiệm : x  1; x  Bình luận: Trên ba lời giải cho phương trình có dạng g  x  f  x   h  x  , xử lí toán theo phương pháp nhân liên hợp, vấn đề tác giả trình cho bạn đọc vấn đề sau Bài toán không khó mặt tư duy, thú vị ta tìm lời giải đẹp ngắn gọn Hai cách lời giải cho toán Ngoài cách số 3, nhận thấy phương pháp nâng lũy thừa mạnh toán phương trình vô tỷ, đặc biệt toán chứa thức Bài toán 2: Giải phương trình sau tập số thực : x   x   3x  x Trích đề thi thử Đại học 2003 – THPT Ngô Gia Tự – Bắc Ninh Phân tích: Đây toán quen thuộc có dạng tổng – tích vậy, ta giải cách tiếp cận sau: Nguyễn Đình Hoàn – G/v chuyên luyện thi THPT Quốc Gia  Đặt t  x   x đưa toán dạng tổng tích  Đặt y   x2  đưa hệ đối xứng loại I  Ngoài xử lí theo phương án nâng lũy thừa Bài giải: Điều kiện xác định:  x   2  x  Cách 1: Đặt ẩn phụ dạng tổng – tích: t2  2 2 Đặt t  x   x , suy ra: t   x  x  x  x  t  t2  Khi đó: x   x   3x  x  t    3t  2t     t     x   2x2  Với t  , suy x   x    x   x    x  2 x  x     2  4 2  14 2  x   4x   x   x 3 9 x  12 x  10   Kết luận: Đối chiếu điều kiện, phương trình cho có ba nghiệm :  Với t   , suy 2  14 Cách 2: Đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại I x  0; x  2; x  2  x  y 2  xy   x  y   Đặt y   x  Ta có hệ phương trình sau:  x  y   xy   x  y   3xy   10 xy     3xy 2  xy   9  xy 2  10 xy    xy       x  y    x  y   xy x  y    x  y   xy    2  14 2  14 x x   x  x    3     y  y     y  2  14  L  y  2  14     3  Kết luận: Đối chiếu điều kiện, phương trình cho có ba nghiệm : 2  14 Cách 3: Đặt ẩn phụ đưa hệ giải phương pháp x  0; x  2; x  Đặt y   x2  Ta có hệ phương trình sau:  x2 y 0  x  y  3x   1      x    x  x   x  12 x  10     x  y   3xy x2   x      3x      2  x  0; x  2; x   2  14  Kết luận: Đối chiếu với điều kiện thay vào y  phương trình là: x  0; x  2; x  x2  , nghiệm thỏa mãn 3x  2  14 Cách 4: Nâng lũy thừa Phương trình cho tương đương với: x    x  1  x     x     3x  1  x2 ( Điều kiện:  x   3x  1  ) 2  x  0; x   9x  6x  34x  20x   x  x   x  12 x  10    2  14 x  Kết luận: Đối chiếu với điều kiện thay vào  x   3x  1  , nghiệm thỏa mãn   2  14 Bình luận: Bài toán đơn giản mặt tư duy, giải nhiều phương án khác Nhưng lời giải tối ưu nghiêng lời giải số toán xuất “tổng – tích” Riêng với lời giải 4, tác giả lại lần sử dụng phương án nâng lũy thừa đưa phương trình bậc có hai nghiệm hữu tỷ đẹp Nhưng sau nâng lũy thừa mà nghiệm hữu tỷ phải xử lí nào? Câu hỏi tác giả trả lời ví dụ sau phương trình là: x  0; x  2; x  Bài toán 3: Giải phương trình sau tập số thực :   x    x  10  x  *  Phân tích: Một điều thiết yếu ta cần biết phương trình có thức lệch bậc bậc cao toán tương đối khó Do để hóa giải toán ta sử dụng phương án như: đưa hệ phương trình cách đặt ẩn phụ, đặt ẩn phụ Để biết phương án tối ưu hơn, mời bạn đọc tham khảo lời giải sau Bài giải: Điều kiện xác định: x    x  Cách 1: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình  Với x     x  10 : thỏa mãn phương trình nên x  10 nghiệm  *   Với x  10  x    , phương trình  *  trở thành: 33  x  x  10 x 1    x 1   x 1  x 1   3  x  x    1 u   x u3   x u  v  v  3u    Đặt:  Ta có:  1   2 3u  v   v  x   v   v  x  u   3u    Nguyễn Đình Hoàn – G/v chuyên luyện thi THPT Quốc Gia u  5  33  u  v  3u   TM      L    v  v  18  33  u  9u  18u     x  2  x    x  (Thỏa mãn điều kiện)  x    x   Kết luận: Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x  1; x  10 Cách 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình u  Với  , suy v  Đặt: t   x  x   t thay  *  ta được:   t  9t   3t  t  t  9t       t  t  10   t     9t  t (Điều kiện: 3t t  9t   ) t  1; t  2   t  1 t   t  8t  24t  56t  32    t  8t  24t  56t  32   Với t   x  (Thỏa mãn điều kiện)  Với t  2  x  10 ( Thỏa mãn điều kiện)  Với t  8t  24t  56t  32  :   Phân tích CASIO:  Hướng 1: (CASIO kết hợp định lý Vi-et đảo) Nhập biểu thức X4  8X3  24X2  56X  32  vào máy tính CASIO, sau thực lệnh sau: Bước 1: Bấm SHIFT CALC ( Solve for X) , ấn “1”(Giá trị tùy chọn), ấn “=” , máy tính hiển thị x  0.744562646 Bước 2: Trên hình hiển thị x  0.744562646 , bấm SHIFT RCL (STO)    , tức ta lưu nghiệm vào biến A, hình hiển thị: ANS  A Bước 3: Làm tương tự Bước ta thu nghiệm thứ hai: x  10,74456265 Bước 4: Trên hình hiển thị x  10,74456265 , bấm SHIFT RCL (STO)  ’”, tức ta lưu nghiệm vào biến B, hình hiển thị: ANS  B Bước 5: Ta cần tìm tổng tích hai nghiệm tìm sau: Nhập vào máy tính A  B A.B , thu được: A  B  10 A.B  8 Khi A B hai nghiệm phương trình: x2  10x   ( Định lý Vi-et đảo) Đến đây, cần lấy đa thức x4  8x3  24x2  56x  32 chia cho x2  10x  , đa thức lại x2  2x  Mẹo chia đa thức máy tính CASIO: X  8X  24X  56X  32 Nhập biểu thức sau vào máy tính CASIO: , sau bấm X  10X  lệnh CALC , máy tính hiển thị X?, ta nhập 100 vào máy tính, thu kết : 9804  98x   100   x    x   x   x2  2x   Hướng 2: SỬ DỤNG CASIO Đầu tiên phải thực thao tác sau máy tính CASIO (Đối với máy tính Fx 570 ES Plus không cần làm bước đây): Bấm lệnh sau: SHIFT MODE , sau kéo trỏ di xuống chọn mục số “ ” (TABLE) , hình máy tính hiển thị: Select Type?, chọn mục “ ”( f  x  ) (Thao tác để mở rộng khoảng nghiệm bảng TABLE) Nhập biểu thức X4  8X3  24X2  56X  32  vào máy tính CASIO, sau thực lệnh sau: Bước 1: Bấm SHIFT CALC ( Solve for X) , ấn “1”(Giá trị tùy chọn), ấn “=” , máy tính hiển thị x  0.744562646 Bước 2: Trên hình hiển thị x  0.744562646 , bấm SHIFT RCL (STO)    , tức ta lưu nghiệm vào biến M, hình hiển thị: ANS  M Bước 3: Bấm MODE 7( TABLE), mà hình hiển thị “ f  x   ”, nhập vào máy tính biểu thức sau: M2  XM ,ấn “=” Bước 4: Trên hình lúc hiển thị START? Chúng ta nhập giá trị mặc định 14 , sau máy hiển thị END? Chúng ta nhập giá trị mặc định 14 Máy tính lại hiển thị STEP? Chúng ta nhập giá trị mặc định Bước 5: Sau hình máy tính hiển thị giá trị chia làm hai cột, kéo trỏ sang cột f  x  tìm giá trị hữu tỷ Ở toán này, giá trị hàng số 25 , x  10 f  x   Như vậy, phương trình bậc chứa nhân tử: x2  10x  Đến việc sử dụng phép chia đa thức HƯỚNG ĐI toán kết thúc     Như vậy, ta có: t  8t  24t  56t  32   t  10t  t  2t     t  10t     t  1     t  10t    t  5  33 0 Thử lại ta thấy nghiệm nghiệm không thỏa mãn phương trình Kết luận: Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x  1; x  10 Bình luận: Trong toán đề cập đến cách tiếp cận phương trình bậc Đặc biệt toán có chứa nghiệm lẻ Trong Vấn đề 4, trao đổi với toàn vấn đề phương trình bậc Bài toán 4: Giải phương trình sau tập số thực : x  x  10   x   x    *  Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Lê Hữu Trác Phân tích: Với toán có dạng: g  x  f  x   h  x  , tiếp tục tư theo hướng nâng lũy thừa đặt ẩn phụ:  Nếu nâng lũy thừa toán lại trở phương trình bậc 4, sử dụng thủ thuật CASIO để hóa giải toán  Nếu theo hướng ẩn phụ, ta phân tích biểu thức thức theo biểu thức tích số, tức tìm hai số a , b thỏa mãn: x  x  10  a  x    b   x  = ax   b  a  x  4a  b a  2, b  4a  6 a   Đồng hệ số ta hệ sau:  4a  b  10 b  Nguyễn Đình Hoàn – G/v chuyên luyện thi THPT Quốc Gia Lúc ta viết lại  *    x    2  x1    x   x   Tới đây, bạn đọc hoàn toàn giải toán cách dễ dàng Bài giải: Điều kiện xác định: x    x  1 Khi phương trình cho tương đương với:  x  2  2  x1    x   x   (1) Cách 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp bậc hai Đặt: a  x  2, b  x   (1)  2a2  5ab  2b2   a  2b 2a  b  x   Với a  2b , suy ra: x   x     x 8  x  8x   x   Với 2a  b , suy ra: x    x      x   4 x  17 x  15  Kết luận: Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x  3; x  Cách 2: Đưa phương trình bậc hai Do x  1 không nghiệm nên chia hai vế (1) cho  x1   , ta được:      *    x     x      x    x   21 x1 x1  x1   x1  Giải tương tự ta thu nghiệm là: x  3; x  Kết luận: Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x  3; x  Cách 3: Nâng lũy thừa Phương trình cho tương đương với: x2  x  10   x   x    2x2  6x  10     25  x    x  1 ( Điều kiện: x  x  10  x    ) Kết luận: So sánh điều kiện, nghiệm phương trình là: x  3; x  Bình luận: Bài toán hay với lời giải phân tích chi tiết Mỗi cách giải lại mang nét đẹp riêng, ý nghĩa riêng Nhưng toán mà có nghiệm hữu tỷ đẹp trên, lời giải hay thuộc lời giải số Chúng ta có giải kết hợp với sơ đồ Hoocner Tuy nhiên, toán xử lý theo phương án: Ẩn phụ không hoàn toàn có kết hợp máy tính CASIO Cách giải xin đề cập chủ đề sau sách mà không đề cập đây, nhằm hướng cho bạn bạn đọc có nhìn tổng thể phương pháp giải phương trình cách tư đột phá đối mặt với toán phân loại học sinh  4x4  49x3  151x2  120x   x   x   x   x  Bài toán 5: Giải phương trình sau tập số thực : 5x2  14 x   x2  x  20  x   *  Đề Thi HSG trường chuyên khu vực Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2010 Phân tích: Phương trình có dạng A  B  C , ta đặt điều kiện chuyển vế cho vế dương, sau lũy thừa lần, rút gọn thu phương trình: x  5x    x  1  x   x  20 có x2  x  20   x   x   nên có phương án sau:         x  1 x  x  20    x  1 x  x  20   x  1 x   x      x   x  5x     x   x2  4x    x  5x   a  x  1  b x  x  20 1  Lúc có đồng tương ứng:  x  5x   a  x    b x  5x      x  5x   a  x    b x  x     thấy phương án (3) tồn số a , b với a  3; b  thỏa mãn đồng Bài giải: Cách 1: Nâng lũy thừa không hoàn toàn đưa phương trình đồng bậc  5 x  14 x    x    x  1   Điều kiện xác định:  x  x  20    x  4  x   x  x    x  1            Phương trình  *   x  14 x   x  x  20  x  Do vế không âm, bình phương hai vế , ta có:  5x  14 x     x  x  20  x    5x2  14x   25  x  1  x2  x  20  10  x  1  x  x  20   x  1 x   x     x  4x  5   x    x  4x  5   x     x  5x   2  x2  4x   x2  4x  x2  4x  x2  4x   2         x  x  x  x     x2  4x   x   61  x  x  8 x   2  x  x    x     Kết luận: Đối chiếu với điều kiện, nghiệm phương trình là: x   61 x8 Cách 2: Nâng lũy thừa hoàn toàn Điều kiện xác định: x  Phương trình  *   x  14 x   x  x  20  x  Do vế không âm, bình phương hai vế , ta có:  5x  14 x     x  x  20  x    5x2  14x   25  x  1  x2  x  20  10  x  1  x  x  20  Nguyễn Đình Hoàn – G/v chuyên luyện thi THPT Quốc Gia  x  5x    2x  5x    x  1 x   x   Do vế không âm, bình phương vế, ta có:  25  x  1 x   x    4x4  45x3  33x2  505x  504    x  8; x     x   x   x  x      61   x    Kết luận: Đối chiếu với điều kiện, nghiệm phương trình là: x   61 x8 Bài toán 6: Giải phương trình sau tập số thực : x   x  x2  17 x  Phân tích: Đây toán đơn giản dạng A  B  C , xử lí toán cách nâng lũy thừa lần Ngoài ra, nghĩ tới hướng đặt ẩn phụ để đưa phương trình đẳng cấp bậc dùng ẩn phụ để đưa phương trình dạng f  x   g  x  Vậy toán cách giải tối ưu ? Mời bạn đọc ghé qua lời giải sau cho toán Bài giải: x  17  93 17  93  Điều kiện xác định:   x  0x 14 14  7 x  17 x   Cách 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp bậc   Phương trình cho tương đương với: x   x  x2  2x   3.x u  x   Đặt:  Phương trình có dạng: u  v  7u2  3v  v  x  u  v  u  v  u  v       2 2 6u  2uv  v   u  v   7u  3v  u  v  3u  v    x   x  u  v  3  x   0; x   x     x  Với  2 u  v  x  x    x   x  x  1  x u  0; v  0  x  u  v  11  10    Với    x x  x  18 x  x   x   3u  2v    Kết luận: Đối chiếu với điều kiện, nghiệm phương trình là: x  Cách 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình : 3 11  10 ;x  f  x  g  x Đặt: t  x   t  x thay vào phương trình ban đầu, ta được:   t  t   7t  17t   t  t   7t  17t  ( Điều kiện: t  t   ) 10  1  10 t  2 3  6t  2t  16t  2t    3t  2t  2t  2t      1 t   2     1  10  x   1  10   11  10   t     Đối chiếu điều kiện ta thu được:    1   1  3 t  x             Kết luận: Vậy phương trình cho có nghiệm: x  3 11  10 ;x  Cách 3: Nâng lũy thừa Điều kiện: x   x  Phương trình cho tương đương với: x 1 x   x  17 x    x  1 x  3x  x      49x     x  x  1 x    x  1 x  3x2  x  ( Điều kiện:  x  1 x  x   )  9x4  49x3  84x2 2   22 x     3 3 x   x   x  3x   2 Đối chiếu điều kiện       11  10 11  10 9 x  22 x   x  x  9   Kết luận: Vậy phương trình cho có nghiệm: x  3 11  10 ;x  Bình luận: Có nhiều lời giải cho toán trên, xử lí phương pháp nhân liên hợp, vấn đề tác giả đề cập đến cho độc giả phương án ẩn phụ nâng lũy thừa để giải phương trình Lời giải số tối ưu cho toán này, ta đồng hệ số đưa phương trình đẳng cấp nghĩ tới Lời giải lời giải vận dụng kĩ sử dụng máy tính CASIO, phân tích CASIO toán để phân tích được:   49 x    x  x  1 x  6t  2t  16t  2t   3t  2t  2t  2t  Hay x  49 x  84 x 2  22 x    Qua tác giả muốn nhấn mạnh lại rằng, máy tính CASIO công cụ mạnh giải toán phương trình, cần phải biết sử dụng lúc Bài toán 7: Giải phương trình sau tập số thực : 3x   x    x   x Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Chuyên Long An – Tỉnh Long An Phân tích: 11 Nguyễn Đình Hoàn – G/v chuyên luyện thi THPT Quốc Gia Chúng ta biểu diễn: mx  n    x    x       x      đồng hệ     m   ,  Sau đặt u   x  0; v   x  , để đưa số hệ:      m phương trình hai ẩn u, v giải cách đưa tích số ẩn phụ không hoàn toàn ( xem u biến số v số ngược lại) Bài giải: Cách 1: Đồng hệ số đưa phương trình biến Điều kiện xác định: 1  x  Ta có: 3x    1  x    1  x        x     đồng hệ số hệ       1  phương trình:  Khi viết lại: 3x    1  x   1  x        Phương trình cho tương đương với:  1  x   1  x   x    x  1  x 1  x  Đặt: u   x  0; v   x  phương trình có dạng: u2  2v2  4v  2u  uv  u2   v   u  2v2  4v  Xem phương trình bậc hai với ẩn u v số, ta có hướng sau:  Hướng 1: Xét  u  v   u   v    2v2  4v  9v2  12v    3v   2  v   3v   2v u  Do đó:  , suy ra: u  v   v    v   3  1 x  1 x x    (Thỏa mãn)    x    x  x  Kết luận: Vậy phương trình cho có nghiệm: x   ; x  Cách 2: Phân tích nhân tử - Tư CASIO: PHÂN TÍCH CASIO Không khó khăn sử dụng máy tính CASIO để tìm nghiệm phương trình : x   ; x  Khi , giả sử thay nghiệm x  vào thức:  x  x thu kết , xác định mối quan hệ tường minh thức Vì loại toán kiểu dạng tác giả bình luận, chọn nghiệm “xấu” để thay vào thức  10 x  1 x  5  Ta có: Tại x   thì:    x   x Vậy nhân tử   x  10 x    5  toán là:    x   x Chúng ta cần tìm nhân tử thứ hai sau: Sử dụng máy tính CASIO, nhập biểu thức: 12 3X   X    X   X 1 X  1 X vào máy tính, sau thực bước sau: Bước 1: Khử  x mẫu số trước cách thay giá trị nguyên hữu tỷ vào thức cho thức biến  x bị khử ) sau bấm “=”, thu Bấm lệnh CALC ( X ? ), nhập “1”( Giá trị làm kết quả:  Nghĩa x  mẫu số  x   x  , : Bước 2: Di trỏ vào hình chuyển sau: 3X   X    X   X 1 X  1 X Bước 3: Ở bước khử dưỡi mẫu số sau:  1 x  x sang vế có phân thức để chia tiếp  1 X  x mẫu số bước , ta cần khử Bấm lệnh CALC ( X ? ) ,nhập “-1” ( Giá trị làm 1 x  x bị khử) sau bấm “=”, thu kết quả:  Nghĩa x  mẫu số  x   x  , : Bước 4: Di trỏ vào hình chuyển  1 x  x sang vế có phân thức để chia tiếp 3X   X    X   X  1 X  1 x 1 X  1 X Bước 5: Tìm số hạng lại đa thức cần tìm Bấm lệnh CALC( X ? ), nhập “ ” “ 100 ” Ở toán giá trị thỏa mãn 100 “ ”, sau bấm “=”, thu kết quả: 100 Bước 6: Di trỏ vào hình chuyển sang vế có phân thức để chia tiếp như sau: 3X   X    X   X  1 X  1 x  1 X  1 X Bước 7: Kiểm tra xem đa thức chia hết hay chưa ! Bấm lệnh CALC( X ? ), nhập “ ” “ 100 ” Ở toán giá trị thỏa mãn 100 “ ”, sau bấm “=”, thu kết quả: 100 Vậy đa thức chia hết, ta viết lại sau: sau:  3X   X    X   X    X   x  1 X  1 X  Chú ý: Bạn đọc tìm đọc tài liệu Kính Lúp Table 02 tác giả Đoàn Trí Dũng qua internet để hiểu phương pháp Lời giải: Điều kiện xác định: 1  x  Phương trình cho tương đương với:  3x   x    x   x     x   x   1 x  1 x   3  1 x  1 x x   ( Thỏa mãn điều kiện )    x    x  x  13 Nguyễn Đình Hoàn – G/v chuyên luyện thi THPT Quốc Gia Kết luận: Vậy phương trình cho có nghiệm: x   ; x  Bình luận: Bài toán toán kinh điển mà sử dụng cách giải túy cách giải máy tính CASIO Lời giải cho ta hướng ngắn gọn nhìn đẹp mắt người đọc, để có kết đẹp thế, cần phải nắm rõ thủ thuật máy tính CASIO cách vận dụng cho hợp lý lúc chỗ Ở toán hai cách giải tối ưu cho toán kinh điển Chúng ta bước sang ví dụ cuối chủ đề Bài toán 8: Giải phương trình sau tập số thực : 2    2x   x2   x  x  x    Đề nghị Olympic 30/04/2013 – Chuyên Bắc Quảng Nam – Quảng Nam Phân tích: Khi gặp toán có hình thức cồng kềnh phải bình tĩnh có nhìn tinh tế cho toán Cụ thể đây, không khó khăn để nhận toán có xuất x  tới ba lần Như vậy, suy nghĩ lên đầu người đọc phương pháp ẩn phụ Vậy cần đặt ẩn phụ cho hợp lý? Câu trả lời nằm phần lời giải toán Bài giải: Điều kiện xác định: x    x  Phương trình cho tương đương với:  2x  4x    2x   4x2  x   2x2  4x   x    x   x  1  a  x  x   2 a   x  x  a  x   Đặt:  thì:   b  x   2b   x  b  x        PT  a b  2b a   a  b    ab  a  b    a  b     a  b  2ab  1   a  b 2ab   x   2x   x     x   (Thỏa mãn)  x  4x      Với ab     x  1 x      x   1 x       Với a  b , suy ra:    2x     x     t  t   ( Với: t  x   )   2  Mà t  t    t  t  t  t  2t    t   t       t  1       Do phương trình vô nghiệm t      Kết luận: Vậy phương trình cho có nghiệm nhất: x   14 Bài toán 9: Giải phương trình sau tập số thực :  x  1   3x   x   x  Phân tích: Trong toán việc nhìn hướng ẩn phụ khó khăn so với toán trước, hai thức liên hệ với Khi đứng trước tình bạn đọc cần phải nghĩ đến hướng khác chẳng hạn phương pháp hàm số Bài toán ví dụ minh chứng cho điều đó, kính mời bạn đọc ghé qua lời giải để hiểu rõ toán Bài giải: Điều kiện xác định: x    x  3  1 1  Do x  , x  3 không nghiệm phương trình nên xét x   3;    ;   4 4   Phương trình cho tương đương với: 4x  4x  3x   x    3x   x    (*) 4x  4x   1 1  4x  Xét hàm số: f  x   3x   x   x   3;    ;   có: 4 4 4x    f ' x   3x    x3  36  x  1  1 1   ,  x   3;    ;   4 4    1 1  Suy hàm số f  x  đồng biến khoảng  3;  ,  ;   4 4   Bảng biến thiên:  3 x   f '  x  f  x 3  13   Ta có (*) phương trình hoành độ giao điểm hàm số f  x  trục Ox có phương trình y  Từ bảng biến thiên, suy phương trình (*) có tối đa hai nghiệm có f  2   f 1  nên x  2; x  nghiệm cần tìm toán Kết luận: Đối chiếu với điều kiện, phương trình cho có hai nghiệm: x  2; x  Bình luận: Phương pháp hàm số phương pháp mạnh giải toán phương trình Chúng ta cần phải biết vận dụng cần thiết để hóa giải toán nghĩ tới phương án khác Như toán có lời giải trở nên sáng tạo Phương pháp hàm số phương án tối ưu cho toán Bài toán 10: Giải phương trình sau tập số thực :  x  1  x    x   x   3x  31  15 Nguyễn Đình Hoàn – G/v chuyên luyện thi THPT Quốc Gia Phân tích: Sử dụng máy tính CASIO, phát toán có nghiệm đơn nhất: x  Với hình thức cồng kềnh toán có chứa hai thức lệch bậc nhau, đưa tới phương pháp hàm số, cần xử lý đạo hàm cho mang dấu dương dấu âm, vào lời giải cho toán Bài giải: Điều kiện xác định: x    x  Đặt: t  x   x  t    t   Phương trình cho trở thành: t  2t  t    3t  t  2t  28  t    t   3t  28  t3   Nhận thấy t  không nghiệm nên ta xét: t    f '  t   9t  2t   3t t 3  ,t  ;   t   ;   có: t  4 7   , t   ;   t    t Xét hàm số: f  t   3t  t  2t  28  t   3 3 Do hàm số f  t  đồng biến khoảng   ;  Ta lại có: f     t   x  nghiệm phương trình Kết luận: Vậy phương trình cho có nghiệm nhất: x  Bình luận: Bài toán kết hợp hoàn hảo ẩn phụ phương pháp hàm số Tuy nhiên, chứng minh f  t  hàm số đồng biến ta cần phải khai thác kĩ điều kiện toán để có điều kiện chặt chẽ cho biến chứng minh f  t  hàm số đồng biến miền điều kiện cho Bài tự luyện: Bài toán 1: Giải phương trình sau tập số thực : x2  x  12  16 x  x2   x ( Đáp số: x  1; x  ) Bài toán 2: Giải phương trình sau tập số thực : x  2x  32 )  ( Đáp số: x  2x x Bài toán 3: Giải phương trình sau tập số thực : 2x   x2  x  x2  ( Đáp số: x  1; x  ) Bài toán 4: Giải phương trình sau tập số thực :  2x  2x   ( Đáp số: x  4 ) 5x 5x Bài toán 5: Giải phương trình sau tập số thực : 3  x   x    x  ( Đáp số: x  ) Bài toán 6: Giải phương trình sau tập số thực : 81x4   27 x2  42 x  ( Đáp số: x  ) Bài toán 7: Giải phương trình sau tập số thực : 16 4x2  24x  35  x2  3x   x2  x  12 ( Đáp số: x  25  73 ) Bài toán 8: Giải phương trình sau tập số thực : 3x2    x2   x2   x4 ( Đáp số: x  ) Bài toán 9: Giải phương trình sau tập số thực : x   x  1 x  x    x   x  x    ( Đáp số: x   ) Bài toán 10: Giải phương trình sau tập số thực :  x  1   x   3 x   x  (Đáp số: x  ) 17 ... , sau kéo trỏ di xuống chọn mục số “ ” (TABLE) , hình máy tính hiển thị: Select Type?, chọn mục “ ”( f  x  ) (Thao tác để mở rộng khoảng nghiệm bảng TABLE) Nhập biểu thức X4  8X3  24X2 ... SHIFT RCL (STO)    , tức ta lưu nghiệm vào biến M, hình hiển thị: ANS  M Bước 3: Bấm MODE 7( TABLE) , mà hình hiển thị “ f  x   ”, nhập vào máy tính biểu thức sau: M2  XM ,ấn “=” Bước 4:... chia hai vế (1) cho  x1   , ta được:      *    x     x      x    x   21 x1 x1  x1   x1  Giải tương tự ta thu nghiệm là: x  3; x  Kết luận: Vậy phương trình