§ : CÁC HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC – ĐỊNH LÝ CÔSIN Trong ∆ABC Ta có : a2 = b2 + c2 - b.c cos A b2 = a2 + c2 - a.c cos B c2 = a2 + b2 - a.b cos C A b c B C a BC = AC − AB Chứng minh : a2 = b2 + c2 - b.c cos A ( ) ( ⇒ BC = AC − AB 2 ) = AC + AB − AC AB = AC + AB − AC AB cos A ⇒ Đặc biệt : a2 = b2 + c2 - b.c cos A (đpcm) (đònh lý Pitago) A = 900 ⇒ a2 = b2 + c2 Dùng công thức để tính góc tam giác Ví du : Cho ∆ABC có : BC = ; AB = ; AC = Lấy D ∈ BC cho BD = Tính độ dài AD ? Giải : A Tính AD = ? ⇒ Xét ∆ ABD Theo đl Côsin : AD = AB2 + BD2 - AB.BD.cosB Mà ∆ ABC có : ⇒ cos B = B BA2 + BC 2.BA.BC ? | D 32 + = 2.3.8 AD = AB2 + BD2 - AB.BD.cosB AD = 32 + 52 – 3.5 = 19 ⇒ AD = 19 C = (đvđd) – ĐỊNH LÝ SIN A b c R B a A’ Trong ∆ABC nội tiếp đường tròn bán kính R Ta có : a b c = = = 2R sinA sinB sinC Chứng minh : O C a = 2R sinA Nối BO kéo dài cắt đtròn A’ sđ A = sđ A' = sđ BC BC ⇒ sin A = sin A’ Mà ∆BCA’ vuông C nên : BA' = sin A' a a R = = ⇒ Vậy có đpcm sin A' sin A ⇒ ∧ ∧ Các công thức khác chứng minh tương tự Ví du : Cho ∆ABC có : Chứng minh : b + c = 2a 2.sin A = sin B + sin C Giải : Có b + c = a ⇒ 2R.sin B +2R sin C = 2.2R sin A ⇔ sin B +sin C = sin A • – CÁC CÔNG THỨC VỀ DIỆN TÍCH a) Đònh lý : Cho ∆ABC cạnh a ; b ; c ; R bán kính đtròn ngoại tiếp ; r bán kính đtròn nội tiếp ; p nửa chu vi tam giác có : 1 S = a.h a = b.h b = c.h c 2 1 S = a.b.sinC = b.c.sinA = c.b.sinB 2 a+b+c abc p = S= S = p.r 4R uur uur y uAB x uAB S = p ( p − a) ( p − b ) ( p − c) S = uuu r uuuu r y AC x uAC uuur uuur uuur uuur S = AB AC - AB AC ( ) b) Ví du : Cho ∆ABC có : a = 13 ; b = 14 ; c = 15 Tính : S ; R ; r ? Giải : Tính S = ⇔ a.b sin C mà c2 = a2 + b2 - 2.ab cos C a2 + b2 − c2 132 + 14 − 152 cos C = = 2a.b 2.13.14 35 = 91  35  2 Có sin C + cos C = ⇔ sin C = − cos C = −    91  Vậy S = a.b sin C 84 = 13.14 91 84 = 91 = 84 ( đvdt ) abc abc 13.14.15 65 ( đvđd ) = = Tính R Có S = ⇔ R= 4R 4S 4.84 a+b+c 2.84 2S r ⇔ r = = Tính r Có S = p.r = = 4ù a + b + c 13 + 14 + 15 • – CÔNG THỨC ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Trong ∆ABC a) Đònh lý : có : A 2 b + c a ma2 = − 2 42 mb2 = a + c − b 2 2 b + a c mc = − ⇒ c b ma a M B b + c = 2 Chứng minh : C ( ) ( ) + AM ( MB + MC ) AC + AB = AM + MC + AM + MB 2 = AM + MC + MB ( ) 2 (qt3đ) (véctơ đối) BC = AM + MC + MB − 2.MB.MC = AM + 2 2 ⇒ b2 + c2 = 2.ma2 a2 + b + c = 2.m + 2 a a 2 ⇒ m a = b +c a − b) Ví du 1: Cho điểm A B cố đònh Tìm quỹ tích điểm M thoã điều kiện MA2 + MB2 = k2 ( k số cho trước) Giải : Gọi O trung điểm AB M thoã đk MA2 + MB2 = k2 nên MO trung tuyến ∆MAB ⇒ MA + MB = 2.MO + 2 ( 2k ( ( − AB AB 2 ) >0 ⇒ MO = ( 2k k AB = 2k − AB ) − ( 4 ⇒ MO2 = 2 A − AB O M B ) ⇒ Quỹ tích M đường tròn tâm O bán kính MO ⇒ Quỹ tích M điểm 2 ⇒ MO = ⇒ M ≡ O 2k − AB = O ⇒ Quỹ tích M không xác đònh 2k − AB < ) ) c) Ví du 2: Cho điểm A B cố đònh Tìm quỹ tích điểm M thoã điều kiện MA2 - MB2 = k ( k số cho trước) Giải : Gọi O trung điểm AB M điểm tuỳ ý ; H hình chiếu M AB Tính MA2 - MB2 uuur uuur uuur = = uuur MA − MB MA + MB uuu r uuuu r BA 2.MO ( ( )( )( ) ) A O p dụng đònh lý hình chiếu ⇒ AB.OM = AB OH k 2 ⇒ OH = Vậy MA - MB = AB OH = k AB Vậy điểm H xác đònh B H ⇒ Quỹ tích điểm M đường thẳng vuông góc với AB H với OH = M k AB