BÀI I KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bất phương trình ẩn Cho ví dụ bất phương trình ẩn, rõ vế trái, vế phải bpt 3x > 3, Vế trái 3x , vế phải - 2x ≤ , Vế trái – 2x , vế phải Bất phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f(x) < g(x) (f(x) ≤ g(x)) (1) Trong f(x) g(x) biểu thức x Ta gọi f(x) g(x) vế trái vế phải bpt (1) Số thực x0 cho f(x0) < g(x0) (f(x0) ≤ g(x0)) mệnh đề gọi nghiệm bpt (1) Giải bất phương trình tìm tập nghiệm nó, tập nghiệm rỗng ta nói bpt vô nghiệm Chú ý: bpt (1) viết theo dạng f(x) > g(x) (f(x) ≥ g(x)) Hđ2 : Cho bpt 2x ≤ a) Trong số - ; ; π ; 10 số nghiệm, số ko phải nghiệm bpt trên? Giải b) Giải bpt biểu diễn tập nghiệm trục số a)số - nghiệm b) 2x ≤ ⇔ x ≤ 3/2 3/2 ] /////////////// Điều kiện bất phương trình Ta gọi điều kiện ẩn số x để f(x) g(x) có nghĩa điều kiện xác định (hay điều kiện) bất phương trình (1) Ví dụ: Điều kiện bpt − x + x +1 ≤ x – x ≥ x + 1≥ Tìm điều kiện bpt 2x 3x − + ≤1 x−1 ĐK: 3x – ≥ x – > Bất phương trình chứa tham số Trong bất phương trình , chữ đóng vai trò tham số có chữ khác xem nhu số gọi tham số VD: (2m – 1)x + < x2 – mx + ≥ Có thể coi bpt ẩn x tham số m II HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 3 − x ≥ Ví dụ Giải hệ bất phương trình  x + ≥ Giải: 3–x≥0⇔3≥x x + ≥ ⇔ x ≥ -1 ] /////////// ////////////[ -1 Giao hai tập hợp đoạn [- 1; 3] Vậy tập nghiệm hệ [- 1; 3] hay – ≤ x ≤ Giải hệ bất phương trình sau Giải 3 x − ≥  x −1 > 3x – ≥ ⇔ x ≥ 2/3 x–1>0⇔x>1 ////////////[ 2/3 ////////////////////////////( Nghiệm hệ x > III MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bất phương trình tương đương Hđ3: Hai bất phương trình ví dụ (1) có tương đương hay không ? Vì sao? Hai bất phương trình không tương đương chúng có tập nghiệm khác Hai bất phương trình tương đương hai bất phương trình có tập nghiệm Phép biến đổi tương đương Ví dụ: 3 − x ≥ ⇔ 3 ≥ x ⇔ −1 ≤ x ≤   x + ≥  x ≥ −1 3 x − ≥  x ≥ / ⇔ ⇔ x >1  x −1 > x > Cộng (trừ) Cộng (trừ) hai vế bpt mà không làm thay đổi điều kiện bpt ta bpt tương đương P(x) < Q(x) ⇔ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x) Ví dụ Giải bất phương trình (x + 2)(2x – 1) – ≤ x2 + (x – 1)(x + 3) Giải:(x + 2)(2x – 1) – ≤ x2 + (x – 1)(x + 3) ⇔2x2 + 4x – x – – ≤ x2 + x2 – x + 3x – ⇔ 2x2 + 3x – ≤ 2x2 + 2x – ⇔ 2x2 + 3x – – (2x2 + 2x – 3) ≤ ⇔ x – ≤ ⇔ x ≤ Vậy tập nghiệm bpt (-∞ ;1] Nhân (chia) P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) < Q(x) f(x) f(x) > 0, ∀x P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) > Q(x) f(x) f(x) < 0, ∀x Giải bpt Giải: x + x +1 x + x > 2 x +2 x +1 2 Bpt ⇔ (x2 + x + 1)(x2 + 1) > (x2 + x)(x2 + 2) ⇔x4 + x3 + 2x2 + x + > x4 + x3 + 2x2 + 2x ⇔ x4 + x3 + 2x2 + x + – x4 – x3 – 2x2 – 2x > ⇔-x+1>0⇔x x2 − 2x + ⇔ 4x > 1 ⇔x> Vậy nghiệm bpt x > 1/4 ) Ví dụ Giải: Giải bất phương trình 5x + − x x 4−3 3− x −1 > − 4 Điều kiện: – x ≥ ⇔ x ≤ Bpt ⇔ 5x 3− x x 3− x + −1> − + 4 5x − x x 3− x ⇔ + − 1− + − >0 4 1 ⇔ x− > ⇔ x > 3 Kết hợp với đk ta nghiệm bpt 1/3 < x ≤ [...]... x3 – 2x2 – 2x > 0 ⇔-x+1>0⇔x x2 − 2x + 3 ⇔ 4x > 1 1 ⇔x> 4 Vậy nghiệm của bpt là x > 1/4 2 ) 2 Ví dụ Giải: Giải bất phương trình 5x + 2 3 − x x 4−3 3− x −1 > − 4 4 6 Điều kiện: 3 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 Bpt ⇔ 5x 3− x x 2 3− x + −1> − + 4 2 4 3 2 5x 3 − x x 2 3− x ⇔ + − 1− + − >0 4 2 4 3 2 1 1 ⇔ x− > 0 ⇔ x > 3 3 Kết hợp với đk