CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §3 : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I - TÍNH DiỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ở Hđ1 ta tính diện tích S hình thang vuông giới hạn đường thẳng : y = 2x + ; y = ; x = ; x = Các em so sánh diện tích hai hình S S1, cho nhận xét Ta có : [ S = ∫ (2 x + 1)dx = x + x ] S1 = 30 − = 28 – ðó : ] = −30 + = −28 −x – 2x ∫ (−2 x − 1)dx = [− x S y= y= S1=SABCD= (AD+BC)xAB/2 = 28 2x + HOẠT ĐỘNG : Hãy tính diện tích hình thang vuông giới hạn đường thẳng : y = – 2x – ; y = ; x = ; x = Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục , nhận giá trị không âm đoạn [a ; b] Được biết cách tính diện tích hình thang cong y B’ = f(x) ; trục hoành x = a , x = b y b S =∫ f A’ ( x ) dx ( 1) a Trường hợp f (x) âm đoạn [a ; b] Thì - f(x) > O a b S x diện tích hình thang cong aABb diện tích hình thang cong aA’B’b hình đối xứng hình thang cho qua trục hoành Do : b S = S aABb = S aA ' B ' b = ∫( − f ( x ) ) dx ( 2) a Trường hợp tổng quát : A Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x) liên tục , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b ( hình vẽ bên) Được tính theo công thức : B y y = f(x) b S= O a b x ∫ f ( x ) dx a ( 3) Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành hai đường thẳng x = - , x = Giải : Ta có x < đoạn [- ; 0] x ≥ đoạn [ ; ] Áp dụng công thức có : S = ∫ x dx = ∫ ( −x −1 −1 x4 =− = 17 ) dx + ∫ x dx x4 + −1 2 Hình phẳng giới hạn hai đường cong : Cho hai hàm số y = f1(x) y = f2(x) liên tục đoạn [a ; b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số đường x = a ; x = b Xét trường hợp f1(x) ≥ f2(x) với x ∈ [a ; b] y Gọi S1 , S2 diện tích hai hình thang cong giới hạn trục hoành , x = a , x = b đường cong y = f1(x) , y = f2(x) tương ứng y = f1(x) D Khi diện tích D : b b a a S = S1 − S = ∫ f1 ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx y = f2(x) trường hợp tổng quát có b O Chú ý : a S= x b ∫ f ( x ) −f ( x ) dx ( 4) a Khi áp dụng công thức (4) , cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Ta phải giải phương trình : f1(x) – f2(x) đoạn [a ; b] Giả sử có nghiệm c < d Khi f1(x) – f2(x) không đổi dấu đoạn [a ; c] ; [c ; d] ; [d ; b] Ví dụ [a ; c] : c c ∫ f ( x) − f ( x) a dx = ∫( f ( x ) − f ( x ) ) dx a Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cos x ; y = sin x , hai đường thẳng x = , x = π Giải : Đặt f1 (x) = cos x ; f2 (x) = sin x Ta có : f1 (x) - f2 (x) = cosx - sin x = ⇔x = π ⇒x ∈[ ; π ] Vậy diện tích hình phẳng cho : π S = ∫ cos x −sin x dx = π/ ∫ cos x −sin x dx + = π ∫ π cos x −sin x dx /4 π/ π ∫ ( cos x −sin x ) dx + π∫ ( cos x −sin x ) dx = ( cos x −sin x ) =2 /4 π/4 π + ( cos x −sin x ) π / Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = x3 – x y = x – x2 Ví dụ : Giải : Ta có : f1 (x) - f2 (x) = (x3 – x) – (x – x2 ) = ⇔ x + x − x = ⇔ x1 = −2; x2 = 0; x3 = Vậy diện tích hình phẳng cho : S = ∫ x + x − x dx −2 = ∫ x + x −2 x dx + ∫ x + x − x dx −2 = ∫( x −2 + x − x ) dx + ∫( x + x − x ) dx 0  x4  x4  x3 x3  = + −x ÷ +  + − x2 ÷ 3   −2  0 = 37 + = 12 12 II - TÍNH THỂ TÍCH Hoạt động Nhắc lại công thức tính thể tích hình lăng trụ có diện tích đáy B , đường cao h ? V=Bh Thể tích vật thể : Q P Cho vật thể (Hình vẽ) Cắt vật thể hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với trục Ox x = a x = b ( a < b) Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox điểm x ( a ≤ x ≤ b) , cắt hình cho theo thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a ; b] S(x) O x a b x Người ta chứng minh : Thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng (P) (Q) tính công thức : b V= ∫S ( x ) a dx ( 5) Tính thể tích khối lăng trụ , biết diện tích đáy B chiều cao h Ví dụ : Giải : Chọn trục Ox song song đường cao khối lăng trụ , hai đáy nằm hai mặt phẳng vuông góc với Ox x = x = h Cho mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi B ( S(x) = B với ≤ x ≤ h ) x h Áp dụng công thức (5) có : h h V = ∫ S ( x ) dx = ∫ Bdx 0 S(x) = B x h = Bx = Bh O Thể tích khối chóp khối chóp cụt : a) Cho khối chóp có chiều cao h diện tích đáy B Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy điểm I cho điểm O trùng với đỉnh khối chóp O uur hướng xác định véc tơ OI Lúc OI = h Một mặt phẳng (α) vuông góc với Ox x ( ≤ x ≤ h) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích S(x) Ta có : x2 S ( x ) = B x α S(x) h Và thể tích V khối chóp : h x2 V = ∫ B dx h = h h B x   ÷ h2   Bh = B I x Thể tích khối chóp khối chóp cụt : b) Cho khối chóp cụt tạo khối chóp đỉnh S , có diện tích đáy B , B’ đường cao h Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy lớn (P) điểm I Mp đáy nhỏ (Q) I’ Đặt đỉnh S trùng với O OI = b ; OI’ = a ( a < b) S≡ O Gọi V thể tích khối chóp cụt , ta có : b x2 V = ∫ B dx b a Q B’ I’ B = ( b3 −a ) 3b b −a a + ab +b = B b2 a2 Vì : B ' = B h = b – a b h nên V = B + B '+ BB ' ( ) h P B I x III - THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Bài toán : Giả sử hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b) , quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay y y = f(x) Hãy tính thể tích V Giải : Thiết diện khối tròn xoay tạo mặt phẳng vuông góc với trục Ox x (a ≤ x ≤ b) hình tròn có bán kình : |f(x)| Nên diện tích thiết diện : S(x) = π f (x) Vậy theo công thức (5) có : b V = π∫f ( x ) dx a ( 6) O a x b x Ví dụ : Cho hình phẳng giới hạn đường cong y = sin x , trục hoành hai đường thẳng x = , x = π Tính thể tích khối tròn xoay thu quay hình xung quanh trục Ox Giải : y y = sinx Áp dụng công thức (6) có : π V =π ∫sin x dx = ππ ∫( −cos x ) dx π π  =  x − sin x ÷ 2 0 = π2 O x π x Ví dụ : Tính thể tích hình cầu bán kính R y Giải : Hình cầu bán kính R khối tròn thu quay nửa hình tròn giới hạn đường y = R − x ( - R ≤ x ≤ R ) , đường thẳng y = xung quanh trục Ox Vậy R V =π ∫ −R ( R −x 2 ) R =π ∫ ( R − x ) dx −R R  x3  =π  R x − ÷   −R = πR 3 dx -R O R x Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; em viết công thức tính diện tích hình phẳng sau (không dấu trị tuyệt đối) S2 S1 S1 = ∫ f ( x)dx −1 S = ∫ [− f ( x)]dx −1 a b c a b S = ∫ [-f(x)]dx + ∫ f(x)dx + ∫ [-f(x)]dx + ∫ f(x)dx y b f( x) y y = = f( x ) Cho hai đường cong (C1): y = f(x) (C2): y = g(x); em viết công thức tính diện tích hình phẳng sau (không dấu trị tuyệt đối) = y g( x) S = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx a = g( x) a b a S = ∫ [ g ( x) − f ( x)] + ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY y y = f(x) b V = π∫f ( x ) dx a O a x b [...]... tích khối chóp và khối chóp cụt : a) Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I sao cho điểm O trùng với đỉnh của khối chóp và O uur hướng xác định bởi véc tơ OI Lúc đó OI = h Một mặt phẳng (α) vuông góc với Ox tại x ( 0 ≤ x ≤ h) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là S(x) Ta có : x2 S ( x ) = B 2 x α S(x) h Và thể tích V của. ..Tính thể tích khối lăng trụ , biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h Ví dụ 4 : Giải : Chọn trục Ox song song đường cao của khối lăng trụ , còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h Cho mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi bằng B ( S(x) = B với 0 ≤ x ≤ h ) x h Áp dụng công thức (5) có : h h V... III - THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Bài toán : Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b) , quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay y y = f(x) Hãy tính thể tích V của nó Giải : Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x (a ≤ x ≤ b) là hình tròn có bán kình : |f(x)| Nên diện tích thiết... ∫ B 2 dx h 0 = h h B x   ÷ h2  3  0 3 Bh = 3 B I x 2 Thể tích khối chóp và khối chóp cụt : b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S , có diện tích đáy là B , B’ và đường cao h Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy lớn (P) tại điểm I Mp đáy nhỏ (Q) tại I’ Đặt đỉnh S trùng với O OI = b ; OI’ = a ( a < b) S≡ O Gọi V là thể tích khối chóp cụt , ta có : b x2 V = ∫ B 2 dx b a Q B’ I’ B =... hạn bởi đường cong y = sin x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = π Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox Giải : y y = sinx Áp dụng công thức (6) có : π V =π ∫sin 2 x dx 0 = ππ 2 ∫( 1 −cos 2 x ) dx 0 π π 1  =  x − sin 2 x ÷ 2 2 0 = π2 2 O x π x Ví dụ 6 : Tính thể tích hình cầu bán kính R y Giải : Hình cầu bán kính R là khối tròn thu được khi quay... Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối) S2 S1 5 S1 = ∫ f ( x)dx −1 5 S 2 = ∫ [− f ( x)]dx −1 a 2 b c 0 a 2 b S = ∫ [-f(x)]dx + ∫ f(x)dx + ∫ [-f(x)]dx + ∫ f(x)dx y b f( x) y y = = f( x ) Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x); các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối) =... g(x); các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối) = y g( x) S = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx a = g( x) a b 0 a S = ∫ [ g ( x) − f ( x)] + ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY y y = f(x) b V = π∫f 2 ( x ) dx a O a x b