Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 8.5 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TỬ HỮU HẠN - Áp dụng CƠ VẬT RẮN Phương pháp PTHH phương pháp số có hiệu để giải toán ứng dụng có điều kiện biên Xấp xỉ ẩn miền Ve (phần tử), ∑ Ve = V (miền tính toán) Các phần tử nối kết lại điểm nút Tại nút chứa ẩn toán (còn gọi bậc tự do) Phương pháp nầy chủ đạo toán học vật rắn, đặc biệt thích hợp cho toán có miền xác định phức tạp, điều kiện biên khác Lập trình, tự động, tính toán dễ dàng trở nên thông dụng nhờ phát triển máy tính điện tử Với toán học VẬT RẮN biến dạng & CƠ KẾT CẤU dùng mô hình: + Mô hình tương thích : Xem chuyển vị đại lượng cần tìm trước + Mô hình cân : Xấp xỉ ứng xuất phân tử, tìm ứng suất + Mô hình hỗn hợp : Xem chuyển vị & ứng suất hai yếu tố độc lập Hàm xấp xỉ biểu diễn gần dạng phân bố chuyển vị ứng suất Đối với toán học chất lỏng, thường thiết lập toán theo dạng theo dạng yếu Galerkin - phần tử (Xem sách chuyên khảo Tác giả) BÀI TOÁN BIÊN (Bài toán có điều kiện biên) Trạng thái ban đầu G, biên thể tích V S Sau có ngoại lực tác dụng biến đổi thành trạng thái G’ Hãy tính điểm I(x1,x2) thông số trạng thái như: Chuyển vị u, biến dạng ε, ứng suất σ, ∂u Biết liên hệ: [ε] = [ ∂x ] điểm [σ]=[E].[ε],vớiE:Tínhchấtcủavậtliệu x2 σ = σs x2 (V) Iu u=o o Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính (S) G' x1 G x1 Trang 73 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN (Integral equation) Muốn giải toán có điều kiện biên trên, liên hệ nói trên, ta cần phương trình cân Có cách thiết lập phương trình cân bằng: • Cách thứ nhất: “Phương trình vi phân + Điều kiện biên” x2 (S) δ 2+d δ τ 12 (V) dx2 δ1 I δ 1+d δ δ2 O x1 dx1 Xây dựng phương trình cân cho vi phân diện tích [dx1,dx2] bao quanh điểm I D{[u],[E]} = 0: Gọi phương trình vi phân Cộng thêm điều kiện ràng buộc cho trước biên (u=0, σ = σs) Trong “Phương pháp sai phân”, sử dụng phương trình cân theo cách (để giải người ta chuyển dạng VI PHÂN dạng SAI PHÂN) • Cách thứ 2: “ Nguyên lý biến phân - cực tiểu phiếm hàm “ Dùng lý thuyết biến phân để xây dựng phương trình cân cho vùng (V), kể biên (S), gọi: Phương trình tích phân tìm cực tiểu phiếm hàm dạng tích phân dΠ = 0; la ”Phương pháp cân bằng” Giải phương trình cho ta lời đáp số toán Trong kết cấu hàm Π gọi sử dụng biến phân chuyển vị CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN: Chuyển vị - biến dạng ứng suất phần tử Ma trận độ cứng phần tử vectơ tải phần tử Ta có: {u}e = [N]{q}e với {q}e chuyển vị nút phần tử Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính (1) Trang 74 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Từ liên hệ chuyển vị {u}e biến dạng { ε }e ta có: (2) { ε }e = [ ∂ ]{u}e = [∂ ][ N ]{q}e = [ B]{q}e đó: [B]=[ ∂ ][N] Khi vật liệu tuân theo định luật Hooke ta có: (3) {σ}e = [D]({ ε }e-{ ε 0}e)+{σ0}e o Trong : {σ }e, { ε }e ứng suất biến dạng ban đầu phần tử (4) Mang (2) vào (3) được: {σ}e = [D][B]{q}e - [D]{ ε o }e+{σ0}e o (5) Hay: {σ}e = [T]{q }e - [D]{ ε }e+{σ }e Trong đó: [T] = [D][B] gọi ma trận tính ứng suất phần tử Từ (1), (2), (5) cho ta biểu diễn chuyển vị, biến dạng ứng suất phần tử theo vectơ chuyển vị nút phần tử {q}e Thế toàn phần phần tử: T ∏ e ({u}e ) = ∫ {ε}Te {σ}e dV - ∫ {g}T {u}e dV - ∫ {P} {u}e dS (6) Se V Ve Thế (1), (2), (5) vào (6) được: T ∏ e ({q}e ) = ∫ {q}e ([ B ]T [ D][ B]).{q}e dV Ve e ( ∫ Ve T {g}T {u}e dV + ∫ {P} {u}e dS + ∫ {ε o }Te [ D ][ B ])dV Se Ve ∫ 2{σ o T e } B.dV ){q}e Ve T Trong đó: [K]e = ∫ [B] [D][B]dV gọi ma trận phần tử ∏ e ({q}e ) = {q}e T [ K ]e {q}e − {q}e T {P}e Hay: (7) (8) Ve {P}e = ∫ [ N ]T {g}e dV + Ve ∫ Se 1 {N}T {P}e dS + ∫ [ B T ].[ D ].{ε o }e )dV - ∫ [ B]T {σ o }e dV (9) 2 V V e e {P} gọi vectơ tải phần tử Trong đó: {g} lực khối, {P}tải trọng bề mặt GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG VÀ VECTƠ TẢI TỔNG THỂ Miền V chia thành ne phần tử (miền Ve ) R điểm nút Tại nút có S bậc tự do, số bậc tự hệ: n = R.S Gọi { q } vectơ chuyển vị nút tổng thể Giả sử phần tử có r nút, số bậc tự phần tử là: ne = r.S (10) Ta có liên hệ: {q}e = [L]e { q } (ne.1) (ne.n ) (n.1) với [L]e gọi ma trận định vị Sử dụng (7) (10) ta toàn phần hệ: Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 75 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện ∏ = Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật ne ne ∏ = [ {q}T [L]Te [K ]e [L]e {q} − {P}Te [L]e {q}T ] ∑ ∑ e e =1 e =1 (11) Ap dụng nguyên lý toàn phần dừng (nguyên lý Lagrange) ta có điều kiện cân toàn hệ điểm nút: ∂∏ =0 ∂q ∂∏ =0 ∂q ∂∏ δ∏ = ⇔ = {0} hay dạng ma trận: ∂ { } q ∂∏ =0 ∂q n ne ne ∂∏ T T q = [ ∑ [L]e [ K ]e [ L]e ].{ } - ∑ [L]e {P}e = {0} Và ta có: ∂{q} e =1 e =1 Viết lại: − − [ K ] {q} − {P} = {0} (12) ne Trong đó: [ K ] = ∑ [L]Te [ K ]e [ L]e ] e =1 gọi ma trận cứng tổng thể ne {P} = ∑ [L]Te {P}e e=1 gọi vectơ tải tổng thể − − Ghi chú: Việc sử dụng ma trận định vị [L]e để tính [ K ] {P} , thực chất xếp − − phần tử [ K ] e , {P}e vào vị trí [ K ] {P} Tuy nhiên thực hành ta không dùng cách Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 76