Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 8.3 Tích phân số 8.3.1 Liên hệ hệ toạ độ tổng thể hệ toạ độ địa phương Với phương pháp phần tử hữu hạn miền tính toán Ω chia nhỏ thành nhiều miền con, phương pháp biến phân trọng số xây dựng miền Do dẫn đến tích phân hàm dạng miền Nếu tích phân hàm dạng bậc cao với sử dụng hệ toạ độ tổng thể (x,y,z, global coordinate) thông thường xuất biểu thức đại số phức tạp phần tử hai, ba chiều (Irons and Ahmad, 1980) Thay vào thực chúng hệ toạ độ địa phương (ξ,η,ζ, local coordinate) hay gọi toạ độ chuẩn hay toạ độ tự nhiên (normal coordinate hay natural coordinate) đơn giản nhiều (Taig, 1961); lẽ thuận lợi việc xây dựng hàm nội suy, tích phân số dùng cách thiết lập Gauss-Legendre (phổ biến nhất) η Phần tử chiếu 0,1 τe y Phần tử thực Xk 1→ xi 2→xj vr xi 3→ xk 0,0 1,0 ve ξ Xj x Hinh3.3: Biểu thị phần tử chiếu Vr vào phần tử thực Ve Với phần tử đẳng tham số (isoparametric), ta viết công thức biến đổi toạ độ cho phần tử tứ giác tuyến tính có bốn điểm nút sau: x = ∑ N i xi = N1 x1 + N x + N x3 + N x i =1 y = ∑ N j x j = N x1 + N x + N x3 + N x (3.10) j =1 Với phần tử tam giác tuyến tính có ba điểm nút: x = ∑ N i xi = N1 x1 + N x + N x3 i =1 y = ∑ N j y j = N y1 + N y + N y (3.11) j =1 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 62 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Ni, Nj hàm dạng hay gọi hàm nội suy (shape function hay interpolation function) Từ luật đạo hàm đạo hàm riêng phần, ta có:  ∂   ∂x ∂y   ∂  ∂  ∂ξ   ∂ξ ∂ξ   ∂x          = J  ∂x   = ∂  ∂   ∂x ∂y   ∂     ∂η   ∂η ∂η   ∂y   ∂y  ∂  ∂    ∂x  −1  ∂ξ  = J ∂     ∂   ∂y   ∂η  Hay: (3.12) (3.13) J ma trận Jacobian biến đổi toạ độ Định thức ma trận nầy, det J , phải ước lượng lẽ dùng tích phân biến đổi sau: + Cho phần tử tứ giác tuyến tính: 1 ∫∫ dxdy = ∫ ∫ det J dξ dη (3.14) −1 −1 ωe + Cho phần tử tam giác tuyến tính: 1−ξ ∫∫ dxdy = ∫ ∫ det J dη dξ ω e (3.15) 0 2 4 1 Hình 3.4: Phần tử tứ giác có ma trận Jacobian không xác định Trong số trường hợp, ví dụ Hình 3.4, phần tử tứ giác có điểm nút Nếu dạng hình học vậy, ma trận Jacobian trở nên không xác định; để có giá trị tốt, hình dạng phần tử cạnh góc cần phải đặn (ví dụ tam giác đều, tứ giác ≡ hình vuông, dạng phần tử lý tưởng) Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 63 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 8.3.2 Tích phân số Một số tích phân loại toán hai chiều (2D), ba chiều (3D), theo phương pháp phần tử hạn hạn ước lượng giải tích, không thực dụng cho hàm số phức tạp, đặc biệt trường hợp tổng quát (ξ ,η ) toạ độ cong Trong thực hành (3.14), (3.15) ước lượng số, gọi tích phân số (numerical integration hay gọi numerical quadrature) Dùng tích phân số Gauss, với phần tử tứ giác, miền hai chiều ta có: 1 ∫∫ −1 −1 f (ξ ,η )dξdη ≅ ∑∑ wi w j f (ξ i ,η j ) n n (3.16) i =1 j =1 Với phần tử tam giác: 1−ξ ∫∫ f (ξ ,η )dηdξ ≅ 0 ( n ∑ wi f ξ i ,η i i =1 ) (3.17) Với phần tử tứ giác wi, wj hệ số trọng số ξ i ,η j vị trí toạ độ bên phần tử, cho Bảng (xem Kopal 1961); với phần tử tam giác, tương tự phần tử tứ giác, điểm tích phân điểm mẫu (sampling points), Bảng Thông thường người ta muốn tích phân số đạt độ xác cao, có trường hợp đặc biệt lại không cần thiết Ở tích phân Gauss (3.16), với n = 2, xác hàm f cubic (bậc 3), tích phân (3.17), n = 1, xác đa thức f bậc nhất, n = xác đa thức f bậc hai Bảng 1: Điểm tích phân cho phần tử tam giác theo công thức (3.17) n ξi 1/ ηi 1/ wi 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ Bảng 2: Trọng số điểm tích phân Gauss – Legendre Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 64 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật theo công thức (3.16) Điểm tích phân ξi 0.0000000000 ± 0.5773502692 0.0000000000 ± 0.7745966692 ± 0.3399810 435 ± 0.8611363116 0.0000000000 ± 0.5384693101 ± 0.9061798459 ± 0.2386191861 ± 0.6612093865 ± 0.9324695142 Số điểm tích phân r Một điểm Hai điểm Ba điểm Bốn điểm Năm điểm Sáu điểm Trọng số wi 2.0000000000 1.0000000000 0.8888888889 0.5555555555 0.6521451548 0.3478548451 0.5688888889 0.4786286705 0.2369268850 0.4679139346 0.3607615730 0.1713244924 8.4 Các bước tính toán kỹ thuật lập trình cho máy tính số theo phương pháp phần tử hữu hạn Để áp dụng cách giải toán theo phương pháp phần tử hữu hạn người ta thực bước sau: - Bước 1: Rời rạc hoá miền khảo sát Chia miền khảo sát V thành ne miền V(e) hay phần tử có dạng hình học định ne Ta có: V = ∑ V ( e ) , (3.18) e =1 Với cách chia miền tính toán V tổng miền V(e) , mô hình thực tế thay mô hình tính toán với ne phần tử hữu hạn liên kết với điểm nút điểm nút tồn đại lượng thể tác động qua lại phần tử kề nhau, toán hệ liên tục có bậc tự vô hạn thay toán tính hệ có bậc tự hữu hạn đơn giản nhiều Ví dụ với toán thấm thường có dạng sơ đồ sau: Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 65 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật - Một chiều: Mưa Nút Lớp không thấm Phần tử - Hai chiều: Mặt đất Mực nước ầ - Ba chiều: Phần tử Phần tử Phần - Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp Phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng thường phương pháp Galerkin- gọi tắt phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin Để tìm nghiệm miền điều quan trọng phải chọn hàm toạ độ Np(e) ( hay gọi hàm nội suy, hàm dạng) đảm bảo liên tục đại lượng cần tìm phần tử miền D -Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử Miền V chia thành ne phần tử (miền V(e) ) R điểm nút Tại nút có s bậc tự do, số bậc tự hệ là: n = R.s Gọi { q } véc-tơ ẩn toàn hệ, { q }e véc-tơ ẩn phần tử; giả sử phần tử có r nút, số bậc tự phần tử là: r s (3.19) Ta có liên hệ { q }e = [L]e { q } Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 66 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật (ne.1) = (ne.n) x (n 1) Với [L]e gọi ma trận định vị Ứng với phần tử, ta có phương trình ma trận: [K]e{ q }e = {C}e [K]e ma trận phần tử , {C]e vectơ vế phải phần tử (3.20) {q}e tập hợp giá trị cần tìm nút phần tử -Bước : Ghép nối phần tử Tập hợp cho tất phần tử miền V, ta có: ne ∑ [K]e { q }e = e =1 ne ∑ {C}e e =1 Viết lại: [ K ].{ q } = { C } Trong đó: [K] = ne ∑ (3.21) ne ∑ [K]e = e =1 e =1 {C } = ∑ {C} ne e =1 [L]eT[K]e[L]e e = {K}- Ma trận tổng thể ne ∑ [L]eT{C}e e =1 {q} - Vectơ tập hợp tổng ẩn cần tìm nút (tổng bậc tự nút) { C } Vectơ số hạng tổng thể vế phải Như việc sử dụng ma trận định vị [L]e để tính [ K ] { C }, thực chất xếp phần tử [K]e , {C}e vào vị trí [ K ] { C } Tuy nhiên thực hành người ta không dùng cách nầy Sau đây, giới thiệu cách ghép nối trực tiếp để thiết lập ma trận tổng thể vectơ vế phải tổng thể mà không cần xử dụng ma trận định vị [L]e Giả sử xét toán thấm có áp miền Ω (A B C D E F), miền chia thành phần tử tam giác (ne =8), có điểm nút (R =9), điểm nút có s bậc tự (số ẩn số nút ), s =1 cột nước thấm, phần tử tam giác có điểm nút (r = 3); số bậc tự phần tử là: r ×s = 3×1 = (xem Hình 3.5) Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 67 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Y(m) Vn = F E A k Ω i i D B j C X(m) Vn = Hình 3.5: Ví dụ toán thấm có áp miền tính toán (ABCDEF) Nếu với phần tử tam giác có ba điểm nút nầy r = 3, nút có ba ẩn h, u, v toán dòng chảy hở hai chiều ngang s = 3, số bậc tự phần tử r s = 3x3 = 9, ta ma trận phần tử (9,9) Để đơn giản ta xét phần tử tam giác nút có bậc tự Mỗi phần tử (ở tam giác) đánh số nút (i,j, k), theo chiều qui ước (chẳng hạn ngược chiều kim đồng hồ), nút i qui ước nút bên trái thấp Với phần tử ne ta có ma trận phần tử [K]e vectơ vế phải {C}e sau: [K ] e  K iie  =  K eji  K kie  K ije K ejj K kje K ike   K ejk  K kke  {C}e , cie    = c ej  c e   k Với cách đánh số nút phần tử ta có phần tử với nút tương ứng (i,j,k) sau: e1(1,4,5), e2(1,5,2), e3(2,5,6), e4(2,6,3), e5(4,7,8), e6(4,8,5), e7(5,8,9), e8(5,9,6) Ví dụ phần tử: [K]e=4 K  = K K  e4(i,j,k) ≡ e4 (2,6,3) 22 62 32 K 264 K 664 K 364 K 234   K 634  , K 334  {C}e=4 = c 24   4 c6  c   3 Mỗi hệ số Kije chử e số trên, hệ số nầy thuộc ma trận phần tử nào; i hàng ma trận tổng thể, j cột ma trận tổng thể Ví dụ K624 hệ số ma trận phần tử e = 4, nằm hàng cột ma trận tổng thể.và ma trận tổng thể: Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 68 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện ne e =1 e =1 Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật [ K ] = ∑ [K ] e = ∑ [K ] e  1 k212  k11 +k11 2 k2 k2 +k3 +k4 21 22 22 22  3 k32  4 k1 41 = [X] 5 k51 +k51 k252 +k352  k362 +k462 6  7  8 9  = [X]   k114 k115 +k215   3 k23 k25 +k25 k26 +k26  4  k33 k36  6 5  k44 +k44 +k44 k45 +k45 k47 k48 +k48  k154 +k654 k155 +k255 +k355 +k655 +k755 +k855 k356 +k856 k658 +k758 k759 +k859   k463 k365 +k865 k366 +k466 +k866 k869   k574 k577 k578   k584 +k684 k685 +k785 k587 k588 +k688 +k788 k789   k795 +k895 k896 k798 k799 +k899  … (3.22) Cọng cách tương tự cho vectơ vế phải { C }, với ý phép cọng nầy giống cọng số hạng đường chéo ma trận tổng thể [ K ]: {C } = ne ∑ {C}e (3.23) e =1 Ta thấy ma trận tổng thể phần tử khác dạng đường chéo (hay gọi dạng Band) Để tiết kiệm nhớ thời gian tính máy tính, người ta lưu trữ phần tử khác không nầy thuật toán tính toán với phần tử khác không Người ta phải lưu trữ ma trận dạng band nầy ma trận band có chiều rộng Band hẹp (liên quan đến cách đánh số nút phần tử), không đối xứng (Hình 3.6) Chỉ cần lưu trữ band ma trận đối xứng Khi chiều rộng Band lớn hàng Band nhiều phần tử không, người ta dồn ma trận lại thành ma trận Band hẹp hơn, cần thêm ma trận định vị Tuy nhiên với cách lưu trữ ma trận Band dù theo kiểu nào, Band số hệ số phần tử không; để loại bỏ phần tử không Band, người ta có cách lưu trữ phần tử khác không nầy dạng vectơ gọi kỷ thuật frontal method Thiết lập ma trận tổng thể toán dạng ma trận Band Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 69 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật KII n [VK] KII n [K]= n b Ở ma trận tổng thể lưu trữ dạng Band, ví dụ ma trận tổng thể không đối xứng, nên lưu trữ hai Band (KIJ ≠ K J I ) b 2b+1 Hình 3.6: Cách lưu trữ ma trận dạng Band Ta có Với KIJ = V Ki j (3.24) i = I j = J - I + + b ( Nếu ma trận đối xứng cần lưu trữ Band, lúc j = J - I + ) Sau thuật toán theo phương pháp khử Gauss, viết cho ma trận Band đối xứng, lưu trữ Band có chiều rộng b: Ước lượng thuận Thế ngược - Bước 5: áp đặt điều kiện biên toán ta nhận hệ phương trình để giải sau: Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 70 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Cách áp đặt điều kiện biên Sau có ma trận hệ thống dạng Band, để việc lập chương trình đơn giản, kích thước ma trận thổng thể toán cố định có số điều kiện biên Cách làm sau: Dạng phương trình [ K ].{ q } = { c } (3.25) Nếu ẩn số thứ i = r biết αi , tức là: q r = αi hệ số ma trận hệ thống biến đổi sau: 1 [K]= n n [VK] = n b b 2b+1 Hình 3.7: Cách áp đặt điều kiện biên j ≠ r i ≠ r Krj = Kir = Krr = (3.26) Vec-tơ vế phải hệ thống là: {C} =  c1 − k1r • α i c − k α 2r • i   M   αi  M  c n − k n r • α i          (3.27) Cũng đưa điều kiện biên vào cách nhân hệ số đường chéo ma trận [VK] với số lớn (từ 108 - 1015), ma trận [K] có tính chất trội không xấu (các hệ số kii không bé so với hệ số khác) Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 71 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện - Bước 6: Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Giải hệ phương trình đại số {K }{q } = {C } * * * (3.28) Cách giải hệ phương trình dạng ma trận (3.28) nầy tuỳ theo loại toán (dừng không dừng), tính chất ma trận lưu trữ, cách lưu trữ ma trận tổng thể mà chọn cách giải thích hợp; chẳng hạn khử Gauss trực tiếp, phép tách LU hay Cholexski giải lặp Gauss-seidel có hệ số giảm dư hay lặp theo phương pháp gradient liên hợp,… (xem N.T Hùng, 2000) Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 72 [...]... Sở Kỹ Thuật Giải hệ phương trình đại số {K }{q } = {C } * * * (3.28) Cách giải hệ phương trình ở dạng ma trận (3.28) nầy tuỳ theo từng loại bài toán (dừng hoặc không dừng), tính chất của ma trận lưu trữ, cách lưu trữ ma trận tổng thể mà chọn cách giải thích hợp; chẳng hạn khử Gauss trực tiếp, phép tách LU hay Cholexski hoặc giải lặp Gauss-seidel có hệ số giảm dư hay lặp theo phương pháp gradient liên... thích hợp; chẳng hạn khử Gauss trực tiếp, phép tách LU hay Cholexski hoặc giải lặp Gauss-seidel có hệ số giảm dư hay lặp theo phương pháp gradient liên hợp,… (xem N.T Hùng, 2000) Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 72