A Ví dụ: Cho tứ diện ABCD hình vẽ uuur uuur uuur AB, BC, CD có Các vectơ nằm mặt phẳng hay không? KHÔNG B D C Trong chương nà tarsẽ uuury uuu uuunó r i đến vectơ Cá c vectơ có AB, BC, CD không gian Các phép toán vectơ ngt phẳ nằmngtrong tvẫ mặ trongcù mặ biế n tđúng ng hay không? khônphẳ g gian BÀI 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ Véctơ Trong Không Gian Bài 1:Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với tâm O a/ Hãy vectơ khác vectơ – không kiểm tra tính đắn uuuur uuur uuur uuuur đẳng thức AC ' = AB + AD + AA ' Công thức gọi quy tắc hình hộp b/uuuChứ ng rminh rằnguuu : r uuuuu uuuur r uuuuur uuuur uuuur AB + B'C ' + D 'D = AD + D 'C ' + B'B = A 'C GIẢI a/ uuur uuur uuuuur uuuuur DC A 'B' D'C' ABr= uuu uuu r =uuuuu r =uuuuu r B AD = BC = A 'D' = B'C' uuuur uuuur uuuur uuuur AAr' = BB' =rCC' =uuu DD' uuuu uuu r uuuur ' BO = OD AO uuuur ' uuu uuur = OC uuuu r r OA ' CO = DO = OB' uuuur uuur uuuur uuuuur AC ' = AB + BB ' + B 'C ' uuuuur uuur uuuur uuuur B 'C ' = AD, BB ' = AA ' Mà uuuur uuur uuur uuuur nên: AC ' = AB + AD + AA ' A D C O A’ B’ D’ C’ Nhữ n g vectơ c *uuuu Kiể m tra đẳ n g thứ r uuur uuur uuuurc: vectơ-khô bằ+nAA g AC' = ABn+gAD ' là? Có không? * Chú ý: Ta A tìm thấy kết nhờ C B việc nhận xét ACC’A’ ABCD A’ hình uuuu bình hà n h r uuur uuuur nên: AC ' = AC + AA ' B’ uuur uuur uuur Và AC = AB + AD D D’ C’ b/uuur uuuuur uuuur uuur uuur uuuur AB + B'C' + D'D = AB + BC + C 'C = uuur uuuur uuuuur uuuur uuuur = AC + C 'C = A 'C ' + C 'C = A 'C uuur uuuuur uuuuur uuur uuuur uuuur Vì AD = B 'C ' D 'C ' = AB B'B = D 'D uuur uuuuur uuuur uuuuur uuur uuuur nên: AD + D 'C ' + B ' B = B'C ' + AB + D ' D b/ Chứng minh uuur uuuuur uuuur AB ' + Duuuu 'Dr = uuur+ B'C uuuuur = AD uuuur+ D 'C ' + B' B = A D C B A’ = A 'C B’ O D’ C’ Bài 2: Cho tứ diện ABCD với trọng tâm G trung điểm cạnh (hình vẽ) Hãy hình vẽ vectơ khác vectơ – không kiểm tra xem uuurc uuur uuur đẳuuu ngr thứ AB + AC + AD = 4AG Có không? A M K I G B D J N H C *Kiểm tra uuur uuur uuur uuur * Nhữngđẳvectơ c + AD = 4AG ng thức AB + AC Cónđú g khô vectơ-khô gnbằ ngng? GIẢI: uuuur uur uur uuur MK = BJ = JD = HN uuur là? uuur uuur uur MI = BH = HC = JN uuuur uur uur uuur MH = AI = IC = KN uur uuur uuur uur IK = CN = ND = HJ uuur uuur CNr = ND uuuu uuur AM uur = MB uur IG =GJ uuur uuur AKr = KD uuuu uuur MG GN uuur = uuu r HG = GK A M K Ta có uuur uuur uuur AC +uuu AD r = 2AN uuuur AB 2AM r uuur uuu r = uuuu I G B 2AG = AM + AN uuur uuur uuur uuur Vậy AB + AC + AD = 4AG D J N H C Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ Đặt uuuur r AA ' = a, uuur r AB = b, A r b uuur r AC = c 1/ Hãy biểu thò uuuur uuuur vectơ B'C , BC ' r r r qua vectơ a , b , c 2/ Gọi G’ trọng tâm tam giác A’B’C’ uuuur Biểu r thò rvectơ r AG ' qua a , b , c r a r c C B A’ C’ B’ uuuur uuuur 1/ Biểu thò vectơ r rB'C, r BC ' 2/ Gọi G’ trọng tâm tam giác A’B’C’ uuuur a, b, c r r r qua vectơ Biểu thò vectơ AG ' qua a, b,c A GIẢI: uuuur 1/ B'C = r a uuuur uuur uuur r r r B' B + BA + AC = −a − b + c uuuur uuur uuur uuuur r r r BC ' = BA + AC + CC ' = a − b + c 2/ Vì G’ trọng tâm tam giác A’B’C’ nên: uuuur uuuur uuuur uuuur AG ' = ( AA ' + AB ' + AC ') = C B A’ uuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur = (AA ' + AA ' + A ' B' + AA ' + A ' C ') r r r = (3a + b + c) r b r c G’ B’ Với điểm A ta có? C’ Ví dụ1: Cho tứ diện ABCD 1/Gọi M, N trung điểm AB CD Chứng tỏ rằ nrg: uuur uuur uuur uuur uuuu MN = (AD + BC) = 2 (AC + BD) B 2/ Chứng minh điểm G trọng tâm tứ diện ABCD hai điều kiện sau xảyuuu ra: r uuur uuur uuur r + GB + GC + GD = a/ GA uuur uuur uuur uuur uuur b/ PG = (PA + PB + PC + PD) với điểm P A M G D N C Giải: 1/ Sử dụng quy tắc bar điể m uuuu uuuu r ta uuurcó uuur uuuur uuur uuur uuur gD minh MN = MChứ A +nA + DG N ; MN = MB + BC + CN trọng uuuu tâmrcủuuur a tứ diệrn ABCD Do M Ar +M B B uuu uuu r= r uuur uuu rN +uuu rNuuu r0 r Duuuu C = Và uuur= 0uuur GA + GB +rGC1+ GD A M G N D Nên MN = (AD + BC) uuuur C r uuur uuu Tương tự trên,ta có MN = (AC + BD) uuur uuur uuuur uuur uuur uuur 2/ a/ Ta có GA + GB = 2GM , GC + GD = 2GN Điểm G trọng tâm Chứng minh tứ diệ nrABCD uuuu uuur r uuuur uuu rr 1r uuur uuur uuuu MN = = 0( AD + BC ) GN) GM + GN = hay 2(GM +uuu r uuur2 uuur uuur r Điều tương đương với GA + GB + GC + GD = b/ G trọng tâm tứ diện ABCD uuur uuur uuur uuur r GA + GB + GC + GD = Kết với điểm P bấtcâkì, ta u a/ uuur uuur uuur uuur Điều có nghóa có; uuur uuur uuur uuur r PA − PG + PB − PG + PC − PG + PD − PG = uuur uuur uuur uuur uuur hay PG = (PA + PB + PC + PD) A Chứng minh G trọng tâm tứ diện ABCD M B G D N C uuur uuur uuur uuur uuur PG = (PA + PB + PC + PD) Với điểm P Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BDuuu =rb’, BCuuu =ra, AD = a’ Tính góc vectơ DA BC A c a’ b B a b’ D c’ C A c ( a’ b B a b’ Giải: Ta có D c’ C uuur uuur uuuur2 uuuur2 uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuur CB − CD = CB + CD − 2CB.CD BC.DA) = BC.DA.cos(BC, DA) uuuur uuuur uuu uuur r uuu uuur r2 2 CB + CD CB − CD ) r uuu r − (BC.DA uuur uuur uuu ⇒ = ⇒CB.CD cos(BC, DA) =2 uuur uuur BC.DA uuur Mà CB − CD = DB uuur uuur CB.CD = (CB2 + CD − BD ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur BC.DA =BC.(DC + CA) = CB.CD − CB.CA 1 2 = (CB + CD − BD ) − (CB2 + CA − BA ) 2 = (BA + CD − BD − CA ) 2 2 = (c + c ' − b ' − b ) 2uuur uuur Từ góc (BC, DA) xác đònh uuur uuur c + c '2 − b '2 − b cos(BC, DA) = 2aa ' r a Sự đồng phẳng vectơ r c Định nghĩa: Ba vectơ gọi làđđồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng (giá ba vectơ rrr song r rsong r với mpa,(P) b, cnên ba vecta, b, c đồng phẳng) r b A B P C O Nhận xét: Nếu ta vẽ r a uuur r uuur r uuur r OA = a, OB = r b,rOC r =c ba vectơ a, b, c r b r c A B đồng phẳng bốn điểm O,A,B,C nằm mặt phẳng P C O Nhận xét điểm M, N, P, Q? Bài toán Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Chứng minh ba vectơ uuur uuuur uuur BC, MN, AD A M P B Q C N đồ ngi:phẳ Giả Gọnig P Q trung điểm AC BD Khi MP // QN MP = QN =1/2BC Vậy tứ giác MPNQ hình bình hành D Mặt phẳng (MPNQ) chứa đường thẳng MN song song với đường thẳngAD BC Suy ba đường thẳng MN, AD, BC song songuuu vớ mộ r iuuuu r tuuur mặt phẳng Do ba vectơ BC, MN, AD đồng phẳng A M P B Q C N D Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ hình vẽ Mệuuu nhr đề orsau đúng? uuuurnà uuuuu a/ AB, B'Cr' đồng phẳng S uuur BB', uuur uuuuu b/ AC, BC, A ' B' đồng phẳng Đ uuur uuuuur uuuuur c/ BC, A 'B', B 'C ' đồng phẳng Đ A C B A’ C’ B’ XIN CHÚC MỪNG -Qua tập vừa làm, ta thấy kết vectơ hình học phẳng không? -Do phép toán vectơ có vai trò đònh việc giải số toán hình học không gian Ví dụ:Để chứng minh bốn điểm A,B,C,D thuộc mặt phẳ n g ta n g minh ba vectơ uuur uuur uuur AB, AC, AD đồng phẳng…hoặc số dạng tập khác mà ta học phần tiếp theo! Bài học đến xin tạm dừng.Xin cám ơn quý Thầy Cô tất bạn! NĂM MỚI KÍNH CHÚC QUÝ THẦY CÔ “AN KHANG – THỊNH VƯNG – VẠN SỰ NHƯ Ý” CHÚC CÁC BẠN VUI VẺ VÀ HỌC GIỎI! HAPPY NEW YEAR [...]... các bài tập vừa làm, ta thấy các kết quả của vectơ trong hình học phẳng còn đúng không? -Do đó các phép toán về vectơ có vai trò nhất đònh trong việc giải một số bài toán hình học không gian Ví dụ:Để chứng minh bốn điểm A,B,C,D thuộc một mặt phẳ n g ta chứ n g minh ba vectơ uuur uuur uuur AB, AC, AD đồng phẳng…hoặc một số dạng bài tập khác mà ta sẽ học trong phần tiếp theo! Bài học đến đây xin tạm dừng.Xin... cnên ba vecta, ơ b, c đồng phẳng) r b A B P C O Nhận xét: Nếu ta vẽ r a uuur r uuur r uuur r OA = a, OB = r b,rOC r =c thì ba vectơ a, b, c r b r c A B đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm O,A,B,C cùng nằm trong một mặt phẳng P C O Nhận xét gì về 4 điểm M, N, P, Q? Bài toán 1 Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng ba vectơ uuur uuuur uuur BC, MN, AD A M P B Q C N... 1/Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng tỏ rằ nrg: 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuuu MN = (AD + BC) = 2 2 (AC + BD) B 2/ Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau đây xảyuuu ra: r uuur uuur uuur r + GB + GC + GD = 0 a/ GA uuur 1 uuur uuur uuur uuur b/ PG = 4 (PA + PB + PC + PD) với mọi điểm P A M G D N C Giải: 1/ Sử dụng quy tắc bar điể m