4 § HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Góc hai mặt phẳng ĐỊNH NGHĨA Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng Cách xác định góc hai mặt phẳng (Q)phẳng cắt giao tuyến ?1 ?1 Giả sử Khi(P) haivàmặt (P)theo (Q) song song trùng góc∆giữa chúng ∆ bao nhiêu? Ta vẽ mặt phẳng (R) ⊥ ∆ gọi p, q giao tuyến (R) với (P) p q (Q) Khi đó, góc (P) (Q) góc p q a b R Thật vậy, mp(R), xét đường thẳng a, b vuông góc với p q a ⊥ (P), b ⊥ (Q) dễ thấy góc P Q hai đường thẳng a, b góc hai đường thẳng p, q CHÚ Ý Khi hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến ∆, để tính góc chúng, ta việc xét mặt phẳng (R) vuông góc với ∆, cắt (P) (Q) theo giao tuyến p q Lúc đó, góc (P) (Q) góc hai đường thẳng p, q Ví dụ S Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC) Chứng minh SABC = SSBC.cos ϕ, kí hiệu SABC diện tích tam giác ABC Giải Kẻ đường cao AH tam giác ABC Do A SA ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ BC Suy góc SHA = ϕ AH = SH.cos ϕ Từ ta có: 1 S A BC = BC A H = BC SH cos ϕ = S SBC cos ϕ 2 ĐỊNH LÍ C ϕ B H Gọi S diện tích đa giác ℋ mặt phẳng (P) S’ diện tích hình chiếu ℋ’ ℋ mặt phẳng (P’) S’ = S.cos ϕ, ϕ góc hai mặt phẳng (P) (P’) 2 Hai mặt phẳng vuông góc ĐỊNH NGHĨA Hai mặt phẳng gọi vuông góc với góc chúng 90° Khi hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với nhau, ta kí hiệu (P) ⊥ (Q) Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc ĐỊNH LÍ Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vuông góc với Chứng minh Giả sử (P) mặt phẳng chứa đường thẳng a mà a vuông góc với mp(Q) Gọi H giao điểm a (Q) H thuộc giao tuyến c (P) (Q) Trong (Q), kẻ đường thẳng b qua H vuông góc với c Khi góc (P) (Q) góc a b Vì a ⊥ (Q) nên a ⊥ b, từ suy (P) ⊥ (Q) P a c H b Q ĐỊNH LÍ Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với đường thẳng a nằm (P), vuông góc với giao tuyến (P) (Q) vuông góc với mặt phẳng (Q) Chứng minh Gọi c giao tuyến (P) (Q), H giao điểm a c Trong mp(Q), kẻ đường thẳng b qua điểm H vuông góc với c Khi đó, góc (P) (Q) góc a b Vì (P) ⊥ (Q) nên a ⊥ b Như vậy, ta có đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b, c cắt thuộc (Q), suy a ⊥ (Q) Hệ Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với A điểm nằm (P) đường thẳng a qua điểm A vuông góc với (Q) nằm (P) Hệ viết gọn là: (P ) ⊥ (Q )  A ∈ (P )   ⇒ a ⊂ (P ) a ⊥ (Q )   A ∈a P A a Q Hệ Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba Hệ viết gọn là: P (P ) ∩ (Q ) = a   (P ) ⊥ (R )  ⇒ a ⊥ (R )  (Q ) ⊥ (R )  Từ định lí 2, ta nhận thấy đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) qua a có vô số mặt phẳng vuông góc với (P) Vậy a không vuông góc với (P) qua a có mặt phẳng vuông góc với (P)? Hệ a Q R a P Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P) 3 Hình lăng trụ đứng Hình hộp chữ nhật Hình lập phương Trong phần này, ta xét số hình lăng trụ đặc biệt ĐỊNH NGHĨA HÌNH VẼ ?2 Hình lăng trụ đứng Là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặ đáy • Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình gì? • Các mặt bên hình lăng trụ đứng có vuông góc với mặt đáy không? Hình lăng trụ Là hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Các mặt bên hình lăng trụ có không? ĐỊNH NGHĨA HÌNH VẼ ?2 Hình hộp đứng Là hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành Hình hộp đứng có bai mặt hình chữ nhật ? Hình hộp chữ nhật Là hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Sáu mặt đáy hình hộp chữ nhật có phải hình chữ nhật không? Ngược lại, hình hộp sáu mặt hình chữ nhật có phải hình hộp chữ nhật không? ĐỊNH NGHĨA HÌNH VẼ ?2 Hình lập phương Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh Hình hộp chữ nhật mà diện tích tất mặt có phải hình lập phương hay không? Bài toán Tính độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật biết độ dài ba cạnh xuất phát từ đỉnh a, b, c (a, b, c gọi kich thước hình hộp chữ nhật) Giải Từ ta có uuur uuur uuur uuuur AC = AB + AD + AA ' = uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur A B A D = A B A A ' = A D A A ' = uuuur2 A C ' = a2 + b + c2 hay A C = a2 + b + c2 Tương tự đường chéo lại B C A D B’ A’ a2 + b + c2 C’ D’ ?3 dài đường hình lập phương cạnh a bao nhiêu? 4.?3 HìnhĐộchóp đềuchéo hình chóp cụt ĐỊNH NGHĨA Một hình chóp gọi hình chóp đáy đa giác cạnh bên S S S B A C H B ?4 ?4 C M A H A D E F D H B C Các kết sau hình chóp có không? Vì sao? • Một hình chóp hình chóp đáy đa giác đường cao hình chóp qua tâm đáy (tâm đa giác tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp đa giác • Một hình chóp hình chóp đáy đa giác cạnh bên tạo với mặt đáy góc S ĐỊNH NGHĨA Khi cắt hình chóp mặt phẳng song song với đáy để hình chóp cụt hình chóp cụt gọi hình chóp cụt A’6 A’1 Đoạn nối tâm hai đáy gọi đường cao hình chóp cụt ?5 ?5 Tại hình chóp cụt đều, mặt bên hình thang cân nhau? A’5 O’ A’2 A’3 A6 A1 A’4 A5 A4 O A2 A3 [...]...S ĐỊNH NGHĨA 5 Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy để được hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều A’6 A’1 Đoạn nối tâm của hai đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều ?5 ?5 Tại sao trong hình chóp cụt đều, các mặt bên là những hình thang cân bằng nhau? A’5 O’ A’2 A’3 A6 A1 A’4 A5 A4 O A2 A3