iệc nghiên cứu tồn nghiệm phương trình đại số tìm công thức tính nghiệm thu hút công sức nhiều nhà toán học nhiều kỉ Chính từ nghiên cứu đời ngành Đại số thúc đẩy phát triển nhiều lĩnh vực toán học khác V Từ 2000 năm trước Công nguyên, người Ai Cập người Babilon cổ đạ biết giải phương trình bậc số số trường hợp riêng phương trình bậc hai bậc ba Lí thuyết giải phương trình bậc hai trình bày lần sách “Số học” Diophantus, nhà bác học cổ Hy Lạp kỉ III Cần ý vấn đề có nghiệm phương trình đại số gắn với mở rộng tập hợp số Tổng quát, tập hợp số hữu tỉ phương trình bậc có nghiệm nhờ việc mở rộng từ tập số hữu tỉ sang tập số thực , lớp phương trình bậc hai dạng ax bx c b2 với biệt số có nghiệm 4ac Công thức nghiệm phương trình bậc hai b x 2a Đã biết từ kỉ thứ VI điều thúc đẩy nhà toán học tìm công thức nghiệm phương trình bậc ba, bậc bốn,… Tuy nhiên, phải mười kỉ sau ( kỉ XVI), công thức tính nghiệm phương trình bậc ba thuật phương trình bậc bốn nhà toán học Italia tìm Nghiệm phương trình bậc ba x x q q2 p3 27 q px q2 q (*)được cho công thức sau: p3 ( công thức Cacdanel) 27 Cadanel công bố công thức năm 1545, sách “ Nghệ thuật lớn phép giải phương trình đại số” Lẽ dĩ nhiên, ta coi biểu thức có nghĩa đại lượng q2 p3 không âm 27 Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số Đại lượng gọi biệt số phương trình (*) Tuy nhiên, dễ phương trình bậc ba với biệt số , mà có nghiệm thực Chẳng hạn, xét phương trình x 7x Phương trình có ba nghiệm 62 3, 1, biệt số ( 7)3 27 100 27 Điều dẫn đến việc thừa nhận biểu thức x 3 Là có nghĩa giá trị số âm 100 27 100 27 3, 1, , biểu thức chứa bậc hai Như thấy, thừa nhận có bậc hai số thực âm, việc đặt i dẫn đến đời tập hợp số phức Như vậy, việc mở rộng tập hợp số gắn với vấn đề có nghiệm cảu phương trình đại số dừng lại tập hợp số phức Bài thu hoạch trình bày lại cách xây dựng Trường số phức, Tính chất trường số phức vấn đề dạy- học số phức trường phổ thông Qua thu hoạch hy vọng hệ thống lại kiến thức Trường số phức, mang lại nhìn tổng quan cho việc học tập số phức học sinh định hướng giảng dạy số phức trường THPT Ngƣời thực Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số CHƢƠNG I TRƢỜNG SỐ PHỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA TRƢỜNG SỐ PHỨC XÂY DỰNG TRƢỜNG SỐ PHỨC 1.1 Trƣờng số phức (a, b) a, b Xét tập hợp , (a, b), (c, d ) ta định nghĩa:  Phép cộng ( ) : (a, b) (c, d )  Phép nhân (.) : (a, b)(c, d ) (a (ac b, c d) bd, ad Khi không khó để kiểm tra tập nêu lập thành trường bc) với phép cộng phép nhân - Phần tử không (0, 0) - Phần tử đối phần tử (a, b) ( a, b) - Phần tử nghịch đảo phần tử (a, b) a a b ; b a b2 Định nghĩa 1.1.1 Trường với hai phép toán cộng nhân lập thành trường gọi trường số phức Kí hiệu 1.2 Quan hệ Ta xây dựng qui tắc tương ứng f : a (a, 0) Có thể chứng minh f ánh xạ đơn ánh, phép toán tập số phức phù hợp với phép toán tập số thực:  (a, 0) (b, 0)  (a, 0).(b, 0) (a b, 0) (ab, 0) Điều cho phép ta xem thực a với số phức (a, 0) trường trường hay đồng số Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số 1.3 Dạng đại số số phức Bây ta tập số phức tốn nghiệm phương trình x2 (0,1) ta có i Thật vậy, đặt i ta có i ( 1, 0) với (0,1).(0,1) i2 1 ( 1, 0) , đồng (0,1) nghiệm phương trình x Do i Với số phức (a, b) ta có: (a, b) (a, 0) (0, b) (a, 0) (b, 0)(0,1) a bi Từ ta suy ra: a bi c di (a, b) (c, d ) a c b d Như ta chứng minh kết sau: (a, b) viết cách Định nghĩa 1.3.1 Mỗi số phức dạng a Ta gọi biểu thức bi với a, b a bi dạng đại số số phức TÍNH CHẤT CỦA TRƢỜNG SỐ PHỨC 2.1 Tính không thứ tự trƣờng số phức Giả sử z ,z trường thứ tự theo quan hệ ta có z , i2 , vớiphần tử Theo tính chất trường số thứ tự: 1 1 Điều vô lí trường thứ tự, phần tử đơn vị phần tử dương Do trường trường thứ tự 2.2 Tính trƣờng số phức Định lí 2.2.1 Tất trường cucự tiểu( theo qua hệ bao hàm) chứa trường số thực trường chứa nghiệm phương trình x đẳng cấu với Gợi ý chứng minh định lí Giả sử cho trường F chứa trường số thực trường chứa nghiệm phương trình x Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số Gọi nghiệm i , ta có: i Các phép toán phép toán xác định F Ta tìm trường cực tiểu F chứa i , kí hiệu trường (i) Mọi trường F chứa i chứa phần tử có dạng z a bi với a, b Nếu chứng minh tập hợp P chứa phần tử có dạng lập thành trường trường F (i) ta có P Rõ ràng Vậy để chứng minh P 0i nên P trường F ta cần chứng minh: P x x, y Giả sử x x y xy a (a (a y P, xy P x bi, y c di ta có: bi ) bi )(c (c di ) (a c) di ) (ac bd ) (b (ad x d )i bc)i P P P Nếu x có số a, b khác a ta có: x a Vậy a2 b2 (i ) P ( b) i a b2 a bi a,b Thậy vậy, giả sử a b i a d P Như phần tử d b2 c b (i) có dạng a bi i bi biểu diển di (a c) (d b)i , vô lí Vậy d b a c c Bây ta chứng minh trường (i) đẳng cấu với trường số phức Xét qui tắc tương ứng : a bi (a bi) (a, b) Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số Ta chứng minh song ánh đẳng cấu Vì tất trường đẳng cấu với trường cho dẳng cấu với nên ta có đpcm Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số CHƢƠNG VẤN ĐỀ DẠY VÀ HỌC NỘI DUNG SỐ PHỨC Ở TRƢỜNG THPT SƠ LƢỢC VẤN ĐỀ DẠY VÀ HỌC SỐ PHỨC 1.1 Phân phối thời lƣợng - Nội dung số phức giảng dạy vào học kì II, cho học sinh lớp 12 trường THPT - Thời lượng tiết (tiết 62-70), chia lảm học:  Bài 1: Số phức chiếm tiết  Bài 2: Cộng, trừ nhân số phức chiếm tiết  Bài 3: Phép chia số phức chiếm tiết  Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực chiếm tiết  Ôn tập chương kiểm tra tiết chiếm tiết NỘI DUNG SỐ PHỨC Ở TRƢỜNG THPT 2.1 Số phức 2.1.1 Số i Với mong muốn mở rộng tập số thực để phương trình bậc n có nghiệm, người ta đưa số mới, kí hiệu i coi nghiệm phương trình x Như vậy: i 2.1.2 Định nghĩa số phức Mỗi biểu thức có dạng a bi , a, b , i2 gọi số phức Đối với số phức z a bi , ta nói a phần thực, b phần ảo số phức z Tập hợp số phức kí hiệu 2.1.3 Số phức Hai số phức phần thực phần thực phần ảo chúng tương ứng a bi c di a c b d  Chú ý: - Mỗi số thực a coi số phức với phần ảo 0: a Như vậy, số thực số phức Ta có - Số phức bi gọi số ảo viết đơn giản bi bi bi Đặc biệt i 1i Số i gọi đơn vị ảo 2.1.4 Biểu diễn hình học số phức a 0i Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số Mỗi số phức z a bi hoàn toàn xác định căp số thực (a;b) Điểm M (a;b) hệ trục tọa độ vuông y góc mặt phẳng gọi điểm biểu diển số phức z a bi M b O x a 2.1.5 Môđun số phức Giả sử số phức z a bi biểu diễn điểm M (a;b) mặt phẳng tọa độ y Độ dài vectơ OM gọi môđun số phức z kí hiệu z Vậy z OM hay a bi a2 b2 Dễ thấy a 2.1.6 bi  z  z a b O Số phức liên hợp Cho số phức z a bi Ta gọi a kí hiệu z Nhận xét : M OM a x bi số phức liên hợp z bi y b z z z=a+bi a O x -b z=a-bi 2.2 Cộng, trừ nhân số phức 2.2.1 Phép cộng phép trừ Phép cộng phép trừ hai số phức thực theo quy tắc cộng, trừ da thức (coi i biến) Tổng quát  (a bi ) (c di ) (a c) (b d )i  (a bi ) (c di ) (a c) (b d )i 2.2.2 Phép nhân Phép nhân số phức thực theo quy tắc nhân đa thức thay i kết nhận Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số Tổng quát : (a bi)(c di) (ac bd) (ad bc)i Tính chất : Phép cộng phép nhân số phức có tất tính chất phép cộng phép nhân số thực Cho z 1, z , z số phức Khi ta có :  z1 z2  (z  z2 z2 ) z 1.z z3 z1 (z z3) z z  (z 1.z ).z  z1 z 1.(z z 1.(z z ) z3) z 1.z z 1z z z z 3z (z z ).z 2.3 Phép chia số phức 2.3.1 Tổng tích hai số phức liên hợp Cho số phức z a bi Ta có : z z (a z z (a bi ) (a bi ) 2a bi )(a bi ) a2 (bi )2 a2 b2 z Vậy tổng tích hai số phức liên hợp số thực 2.3.2 Phép chia hai số phức Chia số phức c di cho số phức a bi khác tìm số phức z cho c di (a bi )z Số phức z gọi thương phép chia c di bi kí hiệu là: cho a z c a Tổng quát, giả sử z (a bi )z c c a di bi di Theo định nghĩa phép chia số phức, ta có bi di Nhân hai vế với số phức liên hợp a (a b )z (ac bd ) (ad Nhân hai vế với số thực z Vậy a c a b2 di bi (ac ac a2 Nói cách khác : z1 z2 bc)i a2 bi , ta : b2 , ta : bd ) (ad bc)i bd b2 ad a2 bc i b2 z 1.z z2 Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số 2.4 Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực 2.4.1 Cân bậc hai số thực âm Tương tự bậc hai số thực dương, từ đẳng thức i , ta nói i bậc hai ; i bậc hai ( i )2 Từ đó, ta xác định bậc hai số thực a âm : i a 2.4.2 Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax b2 Xét biệt số  Khi bx c với a, b, c ,a 4ac phương trình Ta thấy : , phương trình có nghiệm thực x  Khi , có hai bậc hai thực hai nghiệm thực phân biệt : b x 1,2 2a b 2a phương trình có  Khi phương trình nghiệm thực không tồn bậc hai thực Tuy nhiên, ta có hai bậc hai ảo i Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức xác định công thức : b x 1,2 - i 2a Nhận xét : Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm (không thiết phân biệt) Tổng quát, người ta chứng minh phương trình bậc n (n 1) : an x n an 1x n Trong a 0, a1, , an a1x , an a0 0 có n nghiệm phức(các nghiệm không thiết phân biệt) Đó định lí Đại số MỘT SỐ NỘI DUNG SỐ PHỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH NÂNG CAO 3.1 Căn bậc hai số phức Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z w w gọi bậc hai 10 Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số Có thể tìm bậc hai số phức sau: a Trường hợp w số thực Nếu w bậc hai w w Nếu w bậc hai w i w ), b b Trường hợp w a bi,(a, b z x (x yi )2 ) bậc hai w chì z yi(x , y a bi x2 y2 2xyi a w , tức bi Do để tìm số phức z ta tìm cặp số thực (x i , yi ) nghiệm hệ phương trình: x2 y2 a 2xy b Vậy bậc hai số phức w a bi z i xi yii Nhận xét: số phức khác có hai bậc hai hai số đối 3.2 Phƣơng trình bậc hai hệ số phức Nhờ tính bậc hai số phức, dễ thấy phương trình bậc hai Az Bz C Trong A, B,C số phức, ( A )đều có hai nghiệm phức(có thể trùng nhau) Việc giải phương trình tiến hành tương tự trường hợp A, B,C số thực Cụ thể là: A2 4AC phương trình có hai ngiệm phân biệt: Xét biệt thức  Nếu B B ; z2 bậc hai 2A 2A phương trình có nghiệm kép: z1  Nếu B 2A 3.3 Dạng lƣợng giác số phức Sau đầu kỉ XVIII, A De Moivre, 1667 – 1754, người Anh) tìm đuọng mối liên hệ số phức với lượng giác y 3.3.1 Acgumen cùa số phức z E Cho số phức z Điểm M biểu diễn cho số phức z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox , tia cuối OM gọi acgumen z  Nếu z a bi O z1 sin z2 b , cos r a ; tan r x b a 11 Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số Trong r z 3.3.2 Dạng lƣợng giác số phức Xét số phức z a bi 0,(a, b z r (cos ) i sin ) gọi dạng lượng giác số phức z  Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z z z z z r(cos i sin ), z r r cos( r cos( r ) r (cos i sin ) i sin( i sin( ) 3.3.3 Công thức Moivre Cho số phức z r (cos zn r (cos i sin ) ) i sin ) Ta có: n r n (cos n i sin n ) Mở rộng ta tìm bậc n số phức z Gọi w bậc n số phức z w n r cos( k2 ) n ) i sin( r (cos r (cos i sin ) i sin ) k2 ) với k n 0,1, 2, (n 1) Dạy Học nôi dung số phức trƣờng THPT Việc day học số phưc nên theo trình tự định :  Cấu trúc hệ thống số phức  Các phép toán cộng nhân Số phức liên hợp số phức nghịch đảo  Số phức  Căn bậc hai số phức  Giải phương trình bậc hai với hệ số thực  Giải phương trình bậc hai với hệ số phức  Bài tập Cụ thể sau dạy nội dung sau : Khái niệm số phức Tiến trình đưa vào đối tượng số phức : Dạng đại số số phức ứng dụng Biểu diễn hình học số phức ứng dụng 12 Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số Các phép toán số phức  Phép cộng, trừ nhân Ngay sau đưa vào định nghĩa số phức, phép toán cộng nhân ban đầu giới thiệu cách “hình thức” theo phép cộng nhân đa thức: Phép toán ( ) phần tử xác định cách hình thức theo quy tắc cộng, nhân biểu thức tuyến tính a bi ( i biến) với i thay  Phép chia Phép chia không đề cập đến cách trực tiếp mà đề cập gián tiếp thông qua ví dụ  Phép lũy thừa Phép luỹ thừa đưa vào chủ yếu giới thiệu biểu diễn hình học số phức Nên đề cập nhiều đến luỹ thừa số phức viết dạng môđun/argument, luỹ thừa số phức dạng đại số không quan tâm tới, trừ số tính toán tới luỹ thừa 2, đơn giản  Phép khai Căn bậc hai số phức đưa vào qua ví dụ tìm số phức z cho z w Phương trình bậc hai SGK đưa vào phương trình bậc hai với hệ số thực phương trình bậc hai với hệ số phức Vấn đề xây dựng công thức nghiệm công thức nghiệm không thay đổi với phương trình bậc hai có nghiệm thực thông thường Vấn đề giải trường hợp biệt thức Biểu diễn số phức : Biểu diễn số phức điểm Biểu diễn hình học số phức đưa vào sau nhận xét có tương ứng mộtmột số phức z a bi với cặp số thực có thứ tự (a, b) “Hai số phức phần thực phần ảo tương ứng chúng Như có tương ứng phức z a bi với cặp số thực có thứ tự (a, b) Điều dẫn tới việc người ta dùng điểm A với tọa độ Đề-các (a, b) để biểu diễn số phức z a bi ” 13 Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số  KẾT LUẬN : Số phức đưa vào SGK 12CB theo trình tự sau : Như vậy, trình tự xuất số phức lịch sử noospheer chuyển đối Tronglịch sử, số phức xuất trước hết với chế công cụ kí hiệu hình thức chưa có nghĩa đại số hay hình học cụ thể, thể chế dạy học SGK 12CB, số phức theo trình tựngược lại Dạng đại số số phức, lịch sử xuất cuối thể chế giớithiệu đầu tiên, số phức lúc đóng vai trò đối tượng nghiên cứu Khi khái niệm liên quancùng phép toán giới thiệu kết thúc vai trò đối tượng số phức để chuyển sang chế công cụ: ứng dụng số phức để giải phương trình bậc hai với hệ số thực Cách thức chuyển đổi thường gặp trình chuyển đổi từ tri thức khoa học sang tri thức giảng dạy, nhằm mục đích sư phạm Hết 14 [...]... sau : 1 Khái niệm số phức Tiến trình đưa vào đối tượng số phức : Dạng đại số của số phức và ứng dụng Biểu diễn hình học của số phức và ứng dụng 12 Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số 2 Các phép toán trên số phức  Phép cộng, trừ và nhân Ngay sau khi đưa vào định nghĩa số phức, phép toán cộng và nhân ban đầu được giới thiệu một cách “hình thức” theo phép cộng và nhân các đa thức: Phép toán ( ) và giữa các phần... sin ) k2 ) với k n 0,1, 2, (n 1) 4 Dạy và Học nôi dung số phức ở trƣờng THPT Việc day học số phưc nên theo một trình tự nhất định :  Cấu trúc của hệ thống số phức  Các phép toán cộng và nhân trên Số phức liên hợp và số phức nghịch đảo  Số phức bằng nhau  Căn bậc hai của số phức  Giải phương trình bậc hai với hệ số thực  Giải phương trình bậc hai với hệ số phức  Bài tập Cụ thể như sau chúng ta... trường hợp biệt thức 0 4 Biểu diễn số phức : Biểu diễn số phức bằng một điểm Biểu diễn hình học của số phức được đưa vào ngay sau khi nhận xét rằng có một tương ứng mộtmột giữa số phức z a bi với một cặp số thực có thứ tự (a, b) “Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau Như vậy có tương ứng một một giữa số phức z a bi với một cặp số thực có thứ tự (a, b) Điều này... của số phức Xét số phức z a bi 0,(a, b z r (cos ) i sin ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z  Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Nếu z z z z z r(cos i sin ), z r r cos( r cos( r ) r (cos i sin ) i sin( i sin( ) 3.3.3 Công thức Moivre Cho số phức z r (cos zn r (cos i sin ) ) i sin ) Ta có: n r n (cos n i sin n ) Mở rộng ta tìm được căn bậc n của số phức z Gọi w là căn bậc n của số phức. .. phức ở dạng đại số hầu như không được quan tâm tới, trừ một số bài tính toán tới luỹ thừa 2, 3 đơn giản  Phép khai căn Căn bậc hai của số phức được đưa vào qua cái ví dụ tìm số phức z sao cho z 2 w 3 Phương trình bậc hai SGK đưa vào cả phương trình bậc hai với hệ số thực và phương trình bậc hai với hệ số phức Vấn đề ở đây không phải là xây dựng công thức nghiệm bởi công thức nghiệm không thay đổi với... để biểu diễn số phức z a bi ” 13 Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số  KẾT LUẬN : Số phức được đưa vào SGK 12CB theo trình tự như sau : Như vậy, trình tự xuất hiện của số phức trong lịch sử đã được noospheer chuyển đối Tronglịch sử, số phức xuất hiện trước hết với cơ chế công cụ và chỉ là các kí hiệu hình thức chứ chưa có nghĩa đại số hay hình học cụ thể, còn trong thể chế dạy học SGK 12CB, số phức đi theo... của số phức w a bi là z i xi yii Nhận xét: mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối của nhau 3.2 Phƣơng trình bậc hai hệ số phức Nhờ tính được căn bậc hai của số phức, dễ thấy mọi phương trình bậc hai Az 2 Bz C 0 Trong đó A, B,C là các số phức, ( A 0 )đều có hai nghiệm phức( có thể trùng nhau) Việc giải phương trình đó được tiến hành tương tự như trong trường hợp A, B,C là những số thực... giác của số phức Sau đầu thế kỉ XVIII, A De Moivre, 1667 – 1754, người Anh) tìm ra đuọng mối liên hệ giữa căn của số phức với lượng giác y 3.3.1 Acgumen cùa số phức z 0 E Cho số phức z 0 Điểm M biểu diễn cho số phức z Số đo (radian) của góc lượng giác tia đầu Ox , tia cuối OM được gọi là một acgumen của z  Nếu z a bi thì O z1 sin z2 b , cos r a ; tan r x b a 11 Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số Trong... theo trình tựngược lại Dạng đại số của số phức, trong lịch sử xuất hiện cuối cùng thì trong thể chế được giớithiệu đầu tiên, số phức lúc bấy giờ đóng vai trò đối tượng nghiên cứu Khi các khái niệm liên quancùng các phép toán đã được giới thiệu thì mới kết thúc vai trò đối tượng của số phức để chuyển sang cơ chế công cụ: ứng dụng số phức để giải phương trình bậc hai với hệ số thực Cách thức chuyển đổi... Số Có thể tìm căn bậc hai của số phức như sau: a Trường hợp w là số thực Nếu w 0 thì căn bậc hai của w là w Nếu w 0 thì căn bậc hai của w là i w ), b 0 b Trường hợp w a bi,(a, b z x (x yi )2 ) là căn bậc hai của w khi và chì khi z 2 yi(x , y a bi x2 y2 2xyi a w , tức là bi Do đó để tìm số phức z ta tìm các cặp số thực (x i , yi ) là nghiệm của hệ phương trình: x2 y2 a 2xy b Vậy căn bậc hai của số