Thế hàm số đồng biến, nghịch biến? Hàm số đơn điệu? Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến * Hàm số y = f(x) gọi : - Đồng biến (a; b) nếu: ∀x1 , x ∈ (a;b ) mµ x1 < x ⇒ f(x1 ) < f(x ) - Nghịch biến (a; b) nếu: ∀x1 , x ∈ (a;b ) mµ x1 < x ⇒ f(x1 ) > f(x ) * Hàm số y = f(x) gọi đơn điệu (a; b) đồng biến nghịch biến Cách khác để xét tính đơn điệu hàm số? f(x1 ) − f(x ) ∆y XÐt dÊu cña tû sè : = ∆x x1 − x ∆y NÕu : > ⇒ hµm sè ®ång biÕn ∆x ∆y NÕu : < ⇒ hµm sè nghÞch biÕn ∆x Điều kiện đủ tính đơn điệu Định lý1: (Lagrange) Nếu hàm số f(x) liên tục [a; b] có đạo hàm (a;b) tồn c ∈ (a;b) cho: f (b) − f (a) = f '(c)(b − a) f (b) − f (a) ⇔ f '(c) = b−a (*) Ý NGHĨA CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE XÉT CUNG AB CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = F(X) VỚI A(A; F(A)), B(B;F(B)) Hệ số góc cát tuyến AB f (b) − f (a) b−a f(b) − f(a) f '(c) = b−a Hệ số góc tiếp tuyến cung AB điểm C(c; f(c)) hệ số góc cát tuyến AB y C f(c) f(b) B f(a) O A a c b x * Dấu hiệu (điều kiện đủ) tính đơn điệu Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm (a; b) a) Nếu f’(x) < ∀x ∈ (a; b) f(x) nghịch biến (a; b) b) Nếu f’(x) > ∀ x ∈ (a; b) f(x) đồng biến (a; b) Để xét tính đơn điệu hàm số ta xét dấu f’(x) Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến (đơn điệu) hàm số sau y = x − 3x + 8x + y ' = x − 6x + x = 2 x − 6x + = ⇔  x = TXĐ: D = R y = x − 3x + 8x + Bảng biến thiên x Y’ y −∞ + +∞ - 14 Kết luận: + Hàm số đồng biến khoảng + Hàm số đồng biến + −2 (−∞;2) ∪ (4; +∞) (2;4) Ví dụ 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến (đơn điệu) hàm số sau 3x + TX § : D = R \ { 1} y= 1− x y' = ( − x) y' > ∀x ∈ D 3x + y= 1− x Bảng biến thiên x Y’ −∞ +∞ + + y Kết luận: + Hàm số đồng biến khoảng (−∞;1) ∪ (1; +∞) Để xét tính đơn điệu hàm số y = f(x) ta xét dấu f’(x) Các bước xét tính đơn điệu: Bước 1: Tìm TXĐ tính y’ Bước 2: Xét dấu y’ Bước 3: Lập bảng biến thiên kết luận HẾT