Các quy tắc tính đạo hàm I. Kiến thức cơ bản 1. Đạo hàm của một số hàm số thờng gặp. (Ký hiệu U=U(x)) ( ) C =0 (C là hằng số) ( ) x =1 ( ) n x =n.x n-1 (n N, n 2) ( ) n U =n.U n-1 . U x 1 =- 2 1 x (x 0) U 1 =- 2 U U )( x = x2 1 (x>0) ( ) U = U U 2 2. Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)). ( ) VU = VU ( ) UV = VUVU + ).( Uk = Uk . (k là hằng số) V U = 2 V VUVU V 1 = - 2 1 V 3. Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)]. 'g x = u f ' . x U II. Kỹ năng cơ bản - Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thơng các hàm số. - Tính đợc đạo hàm hàm số hợp. III. Một số ví dụ A.Ví dụ tự luận VD1. Tính đạo hàm của các hàm số 1/ y=2x 5 -3x 4 +x 3 - 2 1 x 2 +1 2/ y= 2 1 x 4 - 3 4 x 3 + 4 1 x 2 +3x-2 3/ y=2x 2 (x-3) 4/ y= 1 2 + + m mx với m là tham số khác -1 Gi¶i 1/ Ta cã: 'y = 10x 4 -12x 3 +3x 2 –x 2/ Ta cã: 'y = 2x 3 - 4x 2 + 2 1 x+3 3/ Ta cã: y= 2x 3 - 6x 2 ⇒ 'y = 6x 2 -12x 4/ Ta cã: y= 1 + m m x+ 1 2 + m Do m lµ tham sè kh¸c (-1), nªn 'y = 1 + m m VD2. TÝnh ®¹o hµm c¸c hµm sè 1/ y= 1 1 + x 3/ y= 14 13 2 − ++ x xx 2/ y= 1 2 + − x x 4/ y=(3x-2)(x 2 +1) Gi¶i: 1/ Ta cã: 'y = - 2 )1( )'1( + + x x = - 2 )1( 1 + x ∀ x ≠ -1 2/ Ta cã: 'y = 2 )1( )'1).(2()1)'.(2( + +−−+− x xxxx = 2 )1( )2()1( + −−+ x xx = 2 )1( 3 + x ∀ x ≠ -1 3/ Ta cã: 'y = 2 22 )14( )'14)(13()14()'13( − −++−−++ x xxxxxx = 2 2 )14( 4).13()14)(16( − ++−−+ x xxxx = 2 2 )14( 5612 − −− x xx ∀ x ≠ 4 1 4/ Ta cã: 'y = )'23( − x (x 2 +1) - (3x-2) )'1( 2 + x = 3(x 2 +1)-(3x-2).2x = 3x 2 +3- 6x 2 +4x = -3x 2 +4x+3 VD3. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè 1/ y= x 2 1 x + 2/ y= x (x 2 - x +1) 3/ y= x x − + 1 1 Gi¶i: 1/ Ta cã: 'y = )( ′ x . 2 1 x + +x ( ) ′ + 2 1 x = 2 1 x + + 2 2 1 x x + = 2 2 1 21 x x + + 2/ Ta cã: 'y = )( ′ x (x 2 - x +1) + x )1( 2 ′ +− xx = x x 2 1x 2 +− + x (2x- x2 1 ) = x xx 2 1 2 +− + 2x x - 2 1 ∀ x > 0 3/ Ta cã: 'y = ( ) x xxxx − ′ −+−− ′ + 1 1)1(1)1( = x x x x − − + +− 1 12 1 1 = xx xx −− ++− 1)1(2 1)1(2 = xx x −− +− 1)1(2 3 ∀ x <1 VD4. TÝnh ®¹o hµm hµm sè 1/ y= (2x+3) 10 2/ y= (x 2 +3x-2) 20 3/ y= 22 2 ax x + (a lµ h»ng sè) Gi¶i: 1/ Ta cã: 'y = 10(2x+3) 9 . )'32( + x = 20(2x+3) 9 2/ Ta cã: 'y = 20(x 2 +3x-2) 19 . )23( 2 ′ −+ xx = 20(x 2 +3x-2) 19 .(2x+3) 3/ Ta cã: 'y = 22 222222 )()'( ax axxaxx + ′ +−+ = 22 22 3 22 2 ax ax x axx + + −+ = 322 23 )( 2 ax xax + − VD5. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C ): y=x 3 -3x+7 1/ T¹i ®iÓm A(1;5) 2/ Song song víi ®êng y=6x+1 Gi¶i: Ta cã: 'y = 3x 2 -3 1/ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là k = 'y (1) = 0 Phơng trình tiếp tuyến cần viết là: y = 5. 2/ Gọi tiếp điểm là M(x 0 ;y 0 ) y 0 = x 0 3 -3x 0 +7 Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6 'y (x 0 ) = 6 3x 0 2 -3 = 6 x 0 = 3 Với x 0 = 3 y 0 =7. Phơng trình tiếp tuyến là: y=6x+7- 6 3 Với x 0 =- 3 y 0 =7 Phơng trình tiếp tuyến là: y=6x+7+6 3 VD6. Cho hàm số y= 1 1 2 + ++ x xx Giải bất phơng trình khi 'y 0 Giải: Ta có: + 'y = 2)1( )'1)(1()1()'1( 22 + ++++++ x xxxxxx = 2 2 )1( )1()1)(12( + ++++ x xxxx = 2 2 )1( 2 + + x xx x -1 Do đó: 'y 0 2 2 )1( 2 + + x xx 0 ⇔    ≥+ −≠ 02 1 2 xx x ⇔    ≥ −≤ 0 2 x x B. VÝ dô tr¾c nghiÖm Chän nh÷ng ph¬ng ¸n ®óng trong vÝ dô sau: VD7. Cho hµm sè y= 12 1 + x , khi ®ã )2('y b»ng A. 5 1 B. 5 1 − C. 25 1 D. 25 1 − VD8: Cho hµm sè y= x2 , khi ®ã )4('y b»ng A. 2 2 B. 22 1 C. 2 2 D. 4 2 VD9. Cho hµm sè y=(x+1) 5 , khi ®ã )2(' − y b»ng A.-5 B.5 C.-1 D.1 VD10. Cho hµm sè y=2x- x , khi ®ã )1('y b»ng A. 2 1 B. 2 3 C. 1 D. Kh«ng tån t¹i VD11. Cho hµm sè y= 2 1 − + x x , khi ®ã )1(' − y b»ng A.0 B.-1 C.- 2 1 D.- 3 1 VD12. Cho hµm sè y=2x 3 -3x 2 +3, khi ®ã ph¬ng tr×nh 'y =0 cã nghiÖm A. x=0 vµ x=1 B. x=0 vµ x=-1 C. x=1 vµ x=3 D. x=-1 vµ x=3 VD13. Cho hµm sè y= ( ) 2 32 1 + x . §¹o hµm 'y b»ng A. ( ) 4 32 4 + − x B. ( ) 3 32 1 + − x C. ( ) 3 32 2 + − x D. ( ) 3 32 4 + − x VD14. Cho hµm sè y= 12 4 + + x x , ®¹o hµm 'y b»ng A. ( ) 2 12 7 + x B. ( ) 2 12 7 + − x C. ( ) 2 12 5 + x D. ( ) 2 12 5 + − x VD15. Cho hµm sè y= x x 1 2 + , khi ®ã tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 'y >0 lµ A. S =(- 1; −∞ ] ∪ [1;+ ∞ ) C. S =(- );1()1; +∞∪−∞ B. S =(- )0; ∞ ) ∪ [1;+ ∞ ) D. S = ( );0()1; +∞∪−∞− VD16. Cho hµm sè y= 14 3 + − x x , khi ®ã bÊt ph¬ng tr×nh 0' < y cã tËp nghiÖm lµ: A. S =( +∞ − ; 4 1 ) B. S =[ +∞ − ; 4 1 ) C. S =[3;+ ∞ ) D. S φ ≠ §¸p ¸n: VD7 VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 VD15 VD16 C D A B D A D B C D IV. Bµi tËp. A. Bµi tËp tù luËn. Bµi1. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè: 1/ y=x 3 -2x 2 +x- x +1 7/ y= xx −++ 43 2/ y= 32 1 − + x x 8/ y= ( ) 7 2 3 − x 3/ y= 2 22 2 + ++ x xx 9/ y=(x-2) 1 2 + x 4/ y= x x − + 1 1 10/ y= ( ) 42 2 2 2 ++− xx 5/ y= 432 2 ++ xx 11/ y= ( ) 11 2 +++ xxx 6/ y= 2 9 x x − 12/ y= 12 3 2 + ++ x xx H íng dÉn: 1/ x xxy 2 1 143' 2 += , 0 > x 7/ xx y + = 4 1 32 1 ' với- 3<x<4 2/ ( ) 2 32 5 ' = x y 2 3 x 8/ 62 )3(14' = xxy 3/ ( ) 2 2 2 24 ' + ++ = x xx y 2 x 9/ 1 122 ' 2 2 + + = x xx y 4/ Ta có: y=1- x 1 2 , x 0 10/ 4 )2(4' 2 2 + += x x xxy ( ) 2 1 1 ' xx y = 0 > x 12/ 3)12(2 11 ' 22 +++ = xxx y 5/ 4322 34 ' 2 ++ + = xx x y 6/ ( ) 3 2 2 9 29 ' x x y = với -3< x <3 Bài 2. Cho hàm số: y= 123 3 1 23 + mxxx tìm m để 1/ 'y là bình phơng của một nhị thức 2/ 0' y Rx 3/ 'y <0 x (0;1) 4/ 'y >0 x >0 H ớng dẫn: Ta có: =+= mxxy 26 2 g(x). 1/ Ta phải có: =0 029 = m m= 2 9 2/ Ta phải có: 0 9-2m 0 m 2 9 3/ Ta phải có: < < 0)1( 0)0( g g <+ < 025 02 m m m<0 4/ Ta phải có: + Hoặc <0 m > 2 9 + Hoặc < > > 0 2 0)0( 0 S g Hệ vô nghiệm Bài 3. Viết phơng trình tiếp tuyến của (c ) y=x 3 -3x 2 biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y= x 3 1 H ớng dẫn: + Ta có y = 3x 2 -6x + Gọi (x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm, y 0 =x 0 3 -3x 0 2 Ta phải có: 3x 0 2 -6x 0 =-3 x 0 =1 =>y 0 =-2 => phơng trình tiếp tuyến là: y=-3x+1 Bài 4. Cho đờng cong (c)): y= 3 1 + x x . Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của (c) với trục ox. Biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y =-x+1 H ớng dẫn: + Ta có y = 2 )3( 4 x + Hệ số góc của tiếp tuyến k = -1 + Gọi (x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm, y 0 = 3 1 0 0 + x x Ta phải có: = = < = >= 5 1 1 )3( 4 0 0 2 0 x x x + Ta có 2 tiếp tuyến là y = -x và y = -x+8 + Từ đó suy ra kết quả B. Bài tập trắc nghiệm Chọn phơng án đúng trong các bài tập sau: Bài 4. Cho hàm số y = x2 1 , )1(y bằng A. 2 1 B. 2 1 C. 1 D. - 1 Bài 5. Cho biết hàm số y = 1 12 + x x , )1( y bằng A. 4 3 B. 4 3 C. 2 1 D. 2 1 Bài 6. Cho hàm số y = 1 + x , )2(y bằng Bài 7. Cho hàm số y =(1-3x) 6 , )0(y bằng A. 1 B. -1 C. 18 D. - 18 Bài 8. Cho hàm số y = 12 2 + x , Khi đó tập nghiệm của bất phơng trình 0 y là: A. S =IR B. S =[0; ) + C. S =(0; ) + D. S = Bài 9. Cho hàm số f(x)= x 2 +3x-1 và g(x) = 2x-3. Bất phơng trình )()( xgxf có tập nghiệm là: A. S = B. S = ); 2 1 ( + C. S = ); 2 1 [ + D. S = A. 3 B. - 3 C. 32 1 D. - 32 1 . tổng, hiệu, tích, thơng các hàm số. - Tính đợc đạo hàm hàm số hợp. III. Một số ví dụ A.Ví dụ tự luận VD1. Tính đạo hàm của các hàm số 1/ y=2x 5 -3x 4 +x. V 3. Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)]. 'g x = u f ' . x U II. Kỹ năng cơ bản - Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm