BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN BÙI THỊ PHƯƠNG THẢO PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN CHO MỘT SỐ HÀM KHOẢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH ĐẮK LẮK, NĂM 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN BÙI THỊ PHƯƠNG THẢO PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN CHO MỘT SỐ HÀM KHOẢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Thanh Tùng ĐẮK LẮK, NĂM 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu hướng dẫn trực tiếp TS Trần Thanh Tùng Trong trình nghiên cứu, số liệu kết ghi luận văn trung thực, kế thừa thành khoa học nhà khoa học trước với chân thành biết ơn Bùi Thị Phương Thảo i LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành cảm ơn: ✌ Ban Giám hiệu trường Đại học Tây Nguyên ✌ Bộ môn Toán - Khoa KHTN CN - Trường Đại học Tây Nguyên ✌ Các thầy cô giáo Trường Đại học Tây Nguyên dạy dỗ, trang bị cho tác giả kiến thức quý giá giúp đỡ tác giả trình học tập, tạo điều kiện để hoàn thành tốt khóa học Đặc biệt, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Trần Thanh Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đặt toán tận tình hướng dẫn tác giả trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, học viên lớp Cao học Toán Giải tích K09 cộng tác, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Đắk Lắk, tháng 10 năm 2016 Tác giả Bùi Thị Phương Thảo ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU v MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm khoảng 1.1.1 Các phép toán khoảng 1.1.2 Một số tính chất khoảng 1.1.3 Một số định nghĩa 1.1.4 Các loại hiệu thông dụng giải tích khoảng Hàm khoảng 1.2.1 Định nghĩa hàm khoảng 1.2.2 Một số phép toán hàm khoảng 10 1.3 Không gian metric khoảng 10 1.4 Dãy khoảng giới hạn dãy khoảng 11 1.2 iii 1.5 Tính liên tục, tính đo hàm khoảng 14 1.5.1 Tính liên tục hàm khoảng 14 1.5.2 Tính đo hàm khoảng 15 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM KHOẢNG 2.1 2.2 17 Đạo hàm Hukuhara hàm khoảng 17 2.1.1 Đạo hàm Hukuhara 17 2.1.2 Đạo hàm Hukuhara tổng quát 18 Tích phân hàm khoảng 23 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CHO HÀM KHOẢNG 24 3.1 Tính chất đạo hàm hàm khoảng 24 3.1.1 Tính chất đạo hàm hàm khoảng 24 3.1.2 Tính chất đạo hàm hàm F ♣tq ✏ C.g ♣tq 27 Tính chất tích phân hàm khoảng 29 3.2.1 Tính chất tích phân hàm khoảng 29 3.2.2 Tính chất tích phân hàm F ♣tq ✏ C.g ♣tq 37 Một số kết 39 3.2 3.3 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU KC ♣Rq : Họ khoảng khác rỗng, lồi compac R KC ♣Rn q : Họ khoảng khác rỗng, lồi compac Rn ✑ ✙ F ♣tq ✏ f ♣t; f ♣tqq : Hàm giá trị khoảng hay gọi hàm khoảng len ♣Aq : Độ dài A m♣Aq : Trung điểm A D♣A, B q : Khoảng cách Hausdorff A B ❛ ❛gH : Hiệu Hukuhara : Hiệu Hukuhara tổng quát DH X ♣tq : Đạo hàm Hukuhara DgH X ♣tq : Đạo hàm Hukuhara tổng quát DgH ♣iq F ♣tq : Đạo hàm Hukuhara loại i DgH ♣iiq F ♣tq : Đạo hàm Hukuhara loại ii ✆ : Kết thúc chứng minh v Danh sách hình vẽ 2.1 Hàm khoảng F1 ♣tq 22 2.2 Đạo hàm hàm F1 ♣tq 22 2.3 Hàm khoảng F2 ♣tq 22 2.4 Đạo hàm hàm F2 ♣tq 22 3.1 Hàm khoảng F ♣tq 27 3.2 Hàm len♣F ♣tqq 27 3.3 Hàm khoảng F ♣tq 28 3.4 Hàm g 28 3.5 Hàm ⑤g ⑤ 28 MỞ ĐẦU ĐẶT VẤN ĐỀ Giải tích khoảng nhánh toán học ứng dụng, đời vào năm năm mươi kỉ 20 Những ý tưởng Giải tích khoảng đưa luận án tiến sĩ R E Moore đại học Stanford vào năm 1962, sau xuất thành sách với tiêu đề "Interval analysis" vào năm 1966 Năm 1991, tạp chí quốc tế "Interval Computation" sáng lập mốc son đánh dấu bước phát triển lĩnh vực này, (từ năm 1995, tạp chí phát hành tên "Reliable Computation") Năm 1993, hội nghị quốc tế Giải tích khoảng tổ chức Lafayette, LA Năm 1995, hội thảo quốc tế ứng dụng Giải tích khoảng tổ chức EL Paso, Texas Hàm khoảng lĩnh vực quan trọng Giải tích khoảng Hiện nay, có nhiều nhà toán học nghiên cứu phép toán vi phân tích phân hàm khoảng Từ đưa số kết quan trọng, công cụ đắc lực để nghiên cứu phương trình vi phân khoảng, phương trình vi phân tập, lí thuyết mờ, Trong tài liệu [4] giới thiệu hàm khoảng dạng đặc biệt F ♣tq với C ✏ C.g♣tq ✏ ra; bs, g♣tq hàm thực, từ đưa số ứng dụng quan trọng TỔNG QUAN TÀI LIỆU NGHIÊN CỨU Có thể nói R E.Moore người đặt móng cho phát triển Giải tích khoảng, ông nghiên cứu đưa kiến thức sở Giải tích khoảng, từ phát triển ứng dụng Giải tích khoảng vào lĩnh vực khác xem [7] Khái niệm hàm khoảng coi trái tim Giải tích khoảng Một tính chất quan trọng hàm khoảng hiệu Hukuhara đạo hàm Hukuhara giới thiệu nhà toán học Hukuhara, ông sử dụng hiệu Hukuhara để xây dựng khái niệm đạo hàm Hukuhara đạo hàm Hukuhara tổng quát xem [6, 8], sở nhà toán học nghiên cứu phương trình vi phân khoảng mở rộng phương trình vi phân mờ, vi phân tập xem [5, 8] Gần đây, nhiều báo dựa vào tính chất đạo hàm Hukuhara tổng quát đưa số ứng dụng quan trọng xem [4] Do có nhiều nhà toán học quan tâm tiếp tục nghiên cứu Trong có số tác giả như: R E Moore (1966), L Stefanini, B Bede (2012), Y Chalco-Cano, A Rufian-Lizana, H Roman-Flore (2013), Trong đề tài mở rộng phép tính vi phân tích phân cho hàm khoảng dạng đặc biệt F ♣tq ✏ C.g♣tq với C ✏ ra; bs, g♣tq hàm thực Hướng nghiên cứu đề tài có ý nghĩa khoa học NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ✌ Đối tượng nghiên cứu - Hàm khoảng, tính liên tục nó, phép tính vi phân tích phâncho hàm khoảng - Phép tính vi phân tích phân cho hàm F ♣tq ✏ C.g♣tq với C ✏ ra; bs, g♣tq hàm thực ✌ Nội dung nghiên cứu - Trình bày kiến thức hàm khoảng - Đọc, hiểu chứng minh chi tiết định lí, mệnh đề, hệ liên quan đến đạo hàm tích phân hàm khoảng, từ mở rộng cho hàm khoảng đặc biệt F ♣tq ✏ C.g ♣tq với C ✏ ra; bs, g♣tq hàm thực - Trình bày số ví dụ, tập ✌ Phương pháp nghiên cứu - Sưu tầm tài liệu nước có liên quan đến đề tài - Phân tích, tổng hợp kết thu nhận được, hệ thống, tổng quát hóa lại vấn đề liên quan đến đề tài 3.2 Tính chất tích phân hàm khoảng 3.2.1 Tính chất tích phân hàm khoảng Định lí 3.2.1 [4] Cho F : T Ñ KC ♣Rq hàm khoảng đo bị chặn khả tích Khi đó, tích phân F tồn ➺t2 F ♣tqdt € KC ♣Rq t1 Tính chất 3.2.1 [8] Cho F, G hàm khoảng đo bị chặn khả tích Ta có số tính chất sau Nếu t1 ➺t2 ↕ t2 F ♣tqdt ✏ t1 Nếu t1 ➺t2 → t2 ♣q t1 F ♣tqdt ✏ ♣q t1 ✜ ✔t ➺t2 ➺2 ✕ f t dt, f t dt✢ ; ♣q ♣q t1 t1 F ♣tqdt, t0 € rt1, t2s; t1 ➺t1 ✔t ✜ ➺2 ➺t2 ✕ f t dt, f t dt✢ ; F ♣tqdt ✏ 0; t1 ➺t2 F ♣tqdt ✏ t1 ➺t0 F ♣tqdt   t1 ➺t2 t0 F ♣tqdt ✏ t1 ➺t2 F ♣tqdt ✏ ✁ ➺t1 n➳ ✁1 i✏0 τ i ➺t2 t1 t1 ♣F ♣tq   G♣tqqdt ✏ ➺t2 t1 F ♣tq dt, t1 ✏ τ0 ➔ τ1 ➔ ➔ τn✁1 ➔ τn ✏ t2; F ♣tqdt; ➺t2 τ➺i 1 t2 t1 ➺t2 λF ♣tqdt ✏ λ ➺t2 F ♣tqdt   ➺t2 G♣tqdt; t1 F ♣tqdt, λ € R; t1 29 Nếu F ♣xq ➙ G♣xq rt1 , t2 s ➺t2 F ♣tqdt ➙ t1 ➺t2 G♣tqdt t1 Chứng minh số tính chất sau: Ta có f ➺t2 ➔f ñ f ♣tqdt ➔ t1 Với t1 f ♣tqdt ➔ t2 Suy ➺t1 F ♣tqdt ✏ F ♣tqdt ✏ ♣q F ♣tqdt ✏ ♣q t1 ➺t1 f ♣tqdt → ✁ t2 t1 ♣q t1 f ♣tqdt ñ t2 ➺t2 f ♣tqdt → t1 ➺t2 f ♣tqdt t1 ♣q t1 ✜ ✔t ➺t1 ➺1 ✕ f t dt, f t dt✢ ♣q t1 ♣q ✏ r0; 0s ✏ t1 ➺t2 F ♣tqdt ✏ ✔t ✜ ➺2 ➺t2 ✕ f t dt, f t dt✢ ♣q t1 € rt1, t2s, f , f ➺t2 ➺t1 ✔t ✜ ➺2 ➺t2 ✕ f t dt, f t dt✢ Ta có Lấy t0 ✔t ✜ ➺2 ➺t2 ✕ f t dt, f t dt✢ t1 f ♣tqdt ñ ✁ t1 t1 f ♣tqdt ñ t1 t2 ➺t2 ➺t2 → t2, ta có ➺t1 ➺t1 ➺t2 ♣q t1 (3.1) t1 hàm khả tích T Ta có F ♣tqdt ✏ t1 ✔t ➺0 ✕ f t dt ♣q   t1 ✏ ✏ ➺t2 f ♣tqdt, t0 ✔t ✜ ➺0 ➺t0 ✕ f t dt, f t dt✢ ♣q t1 t ➺ ♣q t1   t1 F ♣tq dt   t1 ➺t0 f ♣tqdt   F ♣tq dt t0 Tương tự tính chất 30 ✜ f ♣tqdt✢ t0 ✔t ✜ ➺2 ➺t2 ✕ f t dt, f t dt✢ ♣q t0 ➺t2 ➺t2 ♣q t0 ➺t2 F ♣tqdt ✏ t1 ✔t ✜ ➺2 ➺t2 ✕ f t dt, f t dt✢ ♣q ♣q t1 ✔ ✏ ✕✁ t1 ➺t1 f ♣tqdt, ✁ t2 ✏✁ ✏✁ ✏✁ ➺t1 ✜ f ♣tqdt✢ t2 ✔t ✜ ➺1 ➺t1 ✕ f t dt, f t dt✢ ♣q t2 ✔ t ➺ ♣q ✕f t dt, t2 ➺t1 ♣q t2 ➺t1 ✜ f ♣tqdt✢ t2 F ♣tqdt t2 ➺t2 ♣F ♣tq   G♣tqqdt ✏ ✔t ➺2 ✕ f t ♣ ♣ q   g♣tqqdt, ♣f ♣tq   g♣tqqdt✢ t1 t1 t1 ✏ ✔t ➺2 ✕ f t dt ✏ ✜ ✔t ➺t2 ➺2 ✕ f t dt, f t dt✢ ➺t2 ♣q   t1 ✏ ✜ ➺t2 g ♣tqdt, t1 ♣q ♣q t1 t ➺ t1 ➺t2 t1 t1 F ♣tqdt   ➺t2 t1   f ♣tqdt   ➺t2 ✜ g ♣tqdt✢ t1 ✔t ✜ ➺2 ➺t2 ✕ g t dt, g t dt✢ ♣q t1 ♣q t1 G♣tqdt Với λ € R ta xét trường hợp λ • Trường hợp λ ✏ 0, λF ♣tq ✏ r0, 0s ✏ suy tính chất 31 • Trường hợp λ → 0, λF ♣tq ✏ rλf , λf s Khi ➺t2 λF ♣tqdt ✏ t1 ✔t ✜ ➺2 ➺t2 ✕ λf t dt, λf t dt✢ ♣q t1 ✔ ✏ ✕λ ♣q t1 ➺t2 f ♣tqdt, λ t1 ✏ ➺t2 ✜ f ♣tqdt✢ t1 ✔t ✜ ➺2 ➺t2 λ ✕ f t dt, f t dt✢ ♣q t1 ➺t2 ✏λ ♣q t1 F ♣tqdt t1 • Trường hợp λ ➔ 0, λF ♣tq ✏ rλf , λf s Khi ➺t2 λF ♣tqdt ✏ t1 ✔t ✜ ➺t2 ➺2 ✕ λf t dt, λf t dt✢ ♣q t1 t1 ✔ ✏ ✕λ ♣q ➺t2 f ♣tqdt, λ ✜ f ♣tqdt✢ t1 t1 ✏ ➺t2 ✜ ✔t ➺2 ➺t2 λ ✕ f t dt, f t dt✢ ♣q ✏λ t1 t ➺ ♣q t1 F ♣tqdt t1 ➺t2 Vậy t1 λF ♣tqdt ✏ λ ➺t2 F ♣tqdt, λ € R t1 F ♣tq ✏ rf ♣tq, f ♣tqs, G♣tq ✏ rg ♣tq, g ♣tqs ✩ ➺t2 ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ f t dt ✬ ✬ ✫ ➺t2 ♣ q ➙ g♣tqdt ♣ q ➙ g♣tq t Nếu F ♣tq ➙ G♣tq, ❅t € rt1 , t2 s t➺t ➺t ✬ ✬ ✬ ✪f ♣tq ➙ g ♣tq ✬ ✬ ✬ f ♣tqdt ➙ g ♣tqdt ✩ ✬ ✫f t ✬ ✬ ✪ t1 32 t1 ➺t2 F ♣tq dt ✏ ✜ ✔t ➺t2 ➺2 ✕ f t dt, f t dt✢ ➙ ✔t ✜ ➺2 ➺t2 ✕ g t dt, g t dt✢ ♣q t1 ♣q t1 t1 ♣q ♣q t1 t ➺2 t1 G ♣tq dt ➙ t1 Mệnh đề 3.2.2 Cho hàm khoảng F, G khả tích T Nếu len♣F ♣tqq len♣G♣tqq len♣F ♣tqq ↕ len♣G♣tqq, t € T F ➺t2 ➺t2 t1 t1 ♣F ❛gH Gq♣tqdt ✏ Chứng minh Đặt H ♣tq ❛gH G khả tích T F ♣tqdt ❛gH ➺t2 ➙ G♣tqdt t1 ✏ F ♣tq ❛gH G♣tq, t € T Nếu len♣F ♣tqq ➙ len♣G♣tqq F ♣tq ✏ H ♣tq   G♣tq, ❅t € T ➺t2 ➺t2 F ♣tqdt ✏ t1 H ♣tqdt   t1 ➺t2 G♣tqdt (3.2) t1 Nếu len♣F ♣tqq ↕ len♣G♣tqq G♣tq ✏ F ♣tq   ♣✁1qH ♣tq, ❅t € T ➺t2 G♣tqdt ✏ t1 ➺t2 H ♣tqdt   ♣✁1q t1 ➺t2 H ♣tqdt (3.3) t1 Kết hợp (3.2) (3.3) ta có mệnh đề Mệnh đề 3.2.3 Cho hàm khoảng khả tích F, G : T ☎t ☞ ➺2 ➺t2 D ✆ F t dt, G t dt✌ ♣q t1 ♣q t1 ↕ ➺t2 Ñ KC ♣Rq Khi D♣F ♣tq, G♣tqqdt t1 Chứng minh Giả sử F ♣tq ✏ rf ♣tq, f ♣tqs, G♣tq ✏ rg ♣tq, g ♣tqs, t € T ➺t2 Ta có t1 ➺t2 ➺t2 t1 t1 F ♣tqdt ✏ r f ♣tqdt, f ♣tqdts; ➺t2 ➺t2 ➺t2 t1 t1 G♣tqdt ✏ r g ♣tqdt, t1 33 g ♣tqdts Khi ☎t ☞ ➺2 ➺t2 D ✆ F t dt, G t dt✌ ♣q t1 ♣q ✏ t1 ✩✞ ✫✞✞➺t2 max ✞✞ f t dt ✪✞ t1 ✩ ✫➺t2 ♣q ✁ ➺t2 t1 ✞ ✞ ✞ ✞➺t2 ✞ ✞ g t dt✞✞ , ✞✞ f t dt ✞ ✞ ♣q ♣q ✁ t1 ➺t2 t1 ✞✱ ✞✳ ✞ g t dt✞✞ ✞✲ ♣q ✱ ✳ ➺t2 ↕ max ✪ ⑤f ♣tq ✁ g♣tq⑤dt, ⑤f ♣tq ✁ g♣tq⑤dt✲ t1 ↕ ✏ ➺t2 t1 ➺t2 t1 ✦ ✮ max ⑤f ♣tq ✁ g ♣tq⑤, ⑤f ♣tq ✁ g ♣tq⑤ dt D♣F ♣tq, G♣tqqdt t1 Định lí 3.2.4 [6] Cho hàm khoảng F : T (i) Hàm G♣tq ✏ ➺t Ñ KC ♣Rq liên tục rt1, t2s F ♣uqdu khả vi G✶ ♣tq ✏ F ♣tq t1 (ii) Hàm H ♣tq ✏ ➺t2 F ♣uqdu khả vi H ✶ ♣tq ✏ ✁F ♣tq t Chứng minh G♣tq ✏ ➺t F ♣uqdu ✏ rg ♣tq, g ♣tqs; H ♣tq ✏ ➺t2 F ♣uqdu ✏ rh♣tq, h♣tqs t t1 Khi g ✶ ♣t0 q ✏ mintf ♣t0 q, f ♣t0 q✉ ✏ f ♣t0 q g ✶ ♣t0 q ✏ maxtf ♣t0 q, f ♣t0 q✉ ✏ f ♣t0 q h✶ ♣t0 q ✏ mint✁f ♣t0 q, ✁f ♣t0 q✉ ✏ ✁f ♣t0 q ✶ h ♣t0 q ✏ maxt✁f ♣t0 q, ✁f ♣t0 q✉ ✏ ✁f ♣t0 q Vậy G✶ ♣tq ✏ F ♣tq H ✶ ♣tq ✏ ✁F ♣tq Ñ KC ♣Rq Lấy rα, β s ⑨ T Fr : rα, β s Ñ KC ♣Rq xác định sau: Fr ✏ F ♣tq ❛gH F ♣αq Nếu F hàm µ ✁ tăng ✁ ✠ ✁ ✠ µ ✁ giảm rα, β s Fr hàm µ ✁ tăng µ ✁ giảm Hệ 3.2.5 [4] Cho hàm khoảng F : T 34 Ñ KC ♣Rq Giả sử F gH ✁ khả vi ✁ ✠ hàm µ ✁ tăng µ ✁ giảm rα, β s Định lí 3.2.6 [4] Hàm khoảng F : T khoảng mở chứa rα, β s ⑨ T F Khi đó, ➺β F ✶ ♣tqdt ✏ F ♣β q ❛gH F ♣αq (3.4) α Chứng minh Kí hiệu G♣tq ✏ ➺t F ♣uqdu α Hàm khoảng G hàm µ ✁ tăng G✶ ♣tq ✏ F ♣uq rα, β s Do G✶ ♣tq ✑ F ✶ ♣tq G, F hàm µ tăng rα, β s Khi đó, tồn khoảng c € KC ♣Rq cho F ♣tq❛gH G♣tq ✑ c Thế t ✏ α ta có c ✏ F ♣αq Thế t ✏ β ta lấy F ♣β q❛gH G♣β q ✏ F ♣αq Vì len♣F ♣β qq ➙ len♣F ♣αqq ta có F ♣β q ❛gH F ♣αq ✏ G♣β q ✑ ✙ Chú ý 3.2.7 Cho hàm khoảng F : T Ñ KC ♣Rq với F ♣tq ✏ f ♣tq , f ♣tq có đạo hàm Hukuhara loại (i) rα, β s ⑨ T (3.6) tương đương với F ♣β q ✏ F ♣α q   ➺β Nếu F F ✶ ♣tqdt α F có đạo hàm Hukuhara loại (ii) rα, β s ⑨ T (3.6) tương đương với F ♣β q ✏ F ♣αq ❛ ♣✁1q ➺β F ✶ ♣tqdt α ✁ Nhận xét 3.2.8 Ở định lí 3.2.6 F không µ ✁ tăng µ ✁ giảm ✠ rα, β s phát biểu không Ví dụ sau minh họa cho điều Ví dụ 3.2.9 Xét F : r0; 1s ➺u F ✶ ♣tqdt, u € ✂ ✚ Ñ KC ♣Rq cho F ♣tq ;1 35 ✏ r✁t2 ✁ 2; t2 ✁ 2ts Tính Ta có ➺u ➺2 F ✶ ♣tqdt ✏ ➺u r2t ✁ 2; ✁2tsdt   r✁2t; 2t ✁ 2sdt ✔ ✏ ✖ ✕ 2 ➺ ✜ ➺ ✔ ✖ ✜ ➺u ➺u ✣ ♣2t ✁ 2qdt, ♣✁2tqdt✣✢   ✖✕ ♣✁2tqdt, ♣2t ✁ 2qdt✣✢ 0 ✚ ✒ ✒ ✏ ✁43 , ✁41   ✁u2   14 , u2 ✁ 2u   34 ✒ ✏ ✁u ✁ 2 ✚ ✚ , u ✁ 2u   2 F ♣uq ❛gH F ♣0q ✏ ✏ ✘ ✁u2 ✁ 2, u2 ✁ 2u ❛gH r✁2, 0s ✏ ✘ ✏ ✁u2 ✁ 2, ✁u ✘ ➺u F ✶ ♣tqdt Do định lí không ❅u € r0; 1s Định lí 3.2.10 [8]Cho hàm khoảng F : T vi khoảng mở chứa rα, β s ⑨ Ñ KC ♣Rq Giả sử F gH-khả T Nếu F có hữu hạn điểm xoay rα, β s c1 , c2 , , cn điểm ➺β α α ✏ c0 F ✶ ♣tq dt ✏ n➳  1 ✏ ✘ F ♣ci q ❛gH F ♣ci✁1 q i✏1 ➔ c1 ➔ c2 ➔ ➔ cn ➔ cn 1 ✏ β Chứng minh Để đơn giản ta xét với điểm xoay c, trường hợp hữu hạn điểm xoay ta chứng minh tương tự Giả sử F gH-khả vi rα, cs rc, β s Khi đó, theo tính chất 3.2.1 ♣4q định lí 3.2.6 ta có ➺β α F ✶ ♣tq dt ✏ ➺c α F ✶ ♣tq dt   ➺β c F ✶ ♣tq dt ✏ F ♣cq ❛gH F ♣αq   F ♣β q ❛gH F ♣cq 36 Nhận xét 3.2.11 Nếu F gH-khả vi mà điểm xoay tập rα, β s Khi ta có ➺β α F ✶ ♣tq dt ✏ F ♣β q ❛gH F ♣αq Hệ 3.2.12 Trong trường hợp tổng quát, nhận xét không Thật vậy, F ♣cq ❛gH F ♣αq   F ♣β q ❛gH F ♣cq ✏ F ♣cq ❛gH F ♣αq   ♣✁1q ♣F ♣cq ❛ F ♣β qq ✏ rf ✁♣cq ✁ f ✁♣αq ✁ f  ♣cq   f  ♣β q, f  ♣cq ✁ f  ♣αq ✁ f ✁♣cq   f ✁♣β qs ✘ F ♣β q ❛gH F ♣αq ✁ Tuy nhiên ta biết F ✶ ♣cq € R f ✁ luận cho F ✶ ♣cq € KC ♣Rq 3.2.2 ✠✶ ♣cq ✏ ✁ f   ✠✶ ♣cq kết Tính chất tích phân hàm F ♣tq ✏ C.g ♣tq Ñ KC ♣Rq đo được, bị chặn khả tích thỏa mãn F ♣tq ✏ C.g ♣tq, t € T với C ✏ ra, bs € KC ♣Rq g ♣tq hàm thực Khi đó, g ⑤g ⑤ hàm khả tích Hơn nữa, Định lí 3.2.13 [4] Cho hàm khoảng F : T (i) Với a   b ✏ ➺t2 F ♣tqdt ✏ C t1 ➺t2 (ii) Mặt khác t1 F ♣tqdt ✏ ➺t2 ⑤g♣tq⑤dt (3.5) t1 ✩ ➺t2 1✫ C gt 2✪ ➺t2 ✱ ✳ ♣ ♣ q   ⑤g♣tq⑤qdt   C ♣g♣tq ✁ ⑤g♣tq⑤qdt✲ t1 t1 Chứng minh (i) Nếu a   b ✏ b ✏ ✁a, b → Khi F ♣tq ✏ r✁b, bs.g ♣tq ✏ r✁b⑤g ♣tq⑤, b⑤g ♣tq⑤s 37 r✁b, bs Theo Định nghĩa 2.2.1, ⑤g ⑤ khả tích tính chất 3.2.1 ♣6q Tức ➺t2 F ♣tqdt ✏ t1 ✔t ✜ ➺2 ➺t2 ✕ b g t dt, b g t dt✢ ✁ ⑤ ♣ q⑤ t1 ⑤ ♣ q⑤ t1 ✔ ➺t2 ➺t2 t1 t1 ✜ ✏ ✕✁b ⑤g♣tq⑤dt, b ⑤g♣tq⑤dt✢ ➺t2 ✏ r✁b, bs ⑤g♣tq⑤dt t1 t ➺ ✏ ra, bs ⑤g♣tq⑤dt t1 ➺t2 ✏ C ⑤g♣tq⑤dt t1 (ii) Với a   b ✘ 0, hàm F viết sau F ♣tq ✏ rmintag ♣tq, bg ♣tq✉, maxtag ♣tq, bg ♣tq✉s ✏ rm1♣tq, m2♣tqs Theo Định nghĩa 2.2.1, ta có m1 , m2 hàm khả tích Suy ♣a   bq.g ♣tq ✏ m1 ♣tq   m2 ♣tq hàm khả tích ⑤g ⑤, g khả tích Mặt khác, viết sau F ♣tq ✏ ✏ m1   m2 m1 ✁ m2   r✁1, 1s a b b✁a g ♣tq   ⑤g♣tq⑤.r✁1, 1s 2 Từ kết ♣iq tính chất 3.2.1 ♣6q ➺t2 F ♣tqdt ✏ a b ➺t2 g ♣tqdt   b✁a t1 t1 ✏ ➺t2 ⑤g♣tq⑤dt.r✁1, 1s t1 ✩ ➺t2 1✫ C gt 2✪ ➺t2 ✱ ✳ ♣ ♣ q   ⑤g♣tq⑤qdt   C ♣g♣tq ✁ ⑤g♣tq⑤qdt✲ t1 t1 Do ♣iiq 38 3.3 Một số kết Tích phân ánh xạ đa trị Aumann nghiên cứu vào 1965 [2] chứng minh số tính chất quan trọng Giải tích khoảng nói chung hàm khoảng nói riêng quan tâm nghiên cứu gần có nhiều ứng dụng tính toán, điều khiển, tối ưu, phương trình vi phân, lý thuyết tập mờ, Đối với hàm khoảng ta có nhiều công cụ phép toán, chứng minh số tính chất mà ánh xạ đa trị nói chung Dưới ta phát biểu chứng minh tính chất đưa thừa số (khoảng) khỏi dấu tích phân hàm khoảng Tính chất 3.3.1 Cho hàm khoảng F ♣tq tính chất sau ➺t2 kF ♣tqdt ✏ k kf , kf , kf , kf € KC ♣Rq ✑ ✙ ✑ ✙ ✏ k, k f , f ❅t là: • f ♣tq → 0, • f ♣tq ➔ • f ♣tq ➔ ➔ f ♣tq • f ♣tq ✏ ➔ f ♣tq • f ♣tq ➔ ✏ f ♣tq Về thừa số khoảng k •k →0 •k ➔0 (3.6) ✏ rmin S, maxS s , S ✏ Để chứng minh ta xét trường hợp hàm F ♣tq ✏ rf ♣tq, f ♣tqs, Chứng minh Ta có tích k.f ✮ F ♣tqdt, k t1 t1 ✦ ➺t2 ✏ rf ♣tq, f ♣tqs rt1, t2s € KC ♣Rq Ta có ✏ ✑ ✙ k, k chia thành trường hợp sau: 39 •k ➔0➔k •k ✏0➔k •k ➔0✏k Để chứng minh (3.6), ta xét trường hợp vừa nêu f ♣tq k tính toán hai vế (3.6), sau kết luận Trường hợp f ♣tq → 0, với t Trường hợp 1.1 Nếu k ✑ → k.f ✏ ➺b kf ♣tqdt ✏ a ✙ kf , kf Khi ➺b ✑ ✙ kf ♣tq , kf ♣tq dt a ✏ ✔b ✜ ➺ ➺b ✕ kf t dt, kf t dt✢ ♣q ✔ ♣q a a ➺b ✏ ✕k f ♣tq dt, k ✏k ✜ f ♣tq dt✢ a a ➺b ➺b f ♣tqdt a Trường hợp 1.2 Nếu k ➔ k.f ✏ ➺b kf ♣tqdt ✏ a ✑ ✙ kf , kf Khi ➺b ✑ ✙ kf ♣tq , kf ♣tq dt a ✏ ✔b ✜ ➺ ➺b ✕ kf t dt, kf t dt✢ ♣q ✔ a ✏ ✕k a ➺b f ♣tq dt, k a ✏k ➺b ♣q ➺b a f ♣tqdt a 40 ✜ f ♣tq dt✢ Trường hợp 1.3 Nếu k ➔ ➔ k k.f ✏ ➺b kf ♣tqdt ✏ a ✑ ✙ kf , kf Khi ➺b ✑ ✙ kf ♣tq , kf ♣tq dt a ✏ ✜ ✔b ➺b ➺ ✕ kf t dt, kf t dt✢ ♣q ♣q a a Tính vế phải (3.6) ➺b k f ♣xqdx ✏ a ✔b ✜ ➺ ➺b k, k ✕ f t dt, f t dt✢ ✙ ✑ a ✔ ✏ ✕k ➺b a f ♣tq dt, k a ✏ ➺b ✜ f ♣tq dx✢ a ✔b ✜ ➺ ➺b ✕ kf t dt, kf t dt✢ ♣q a ✏ ♣q ♣q ➺b ♣q a kf ♣tqdt a Các trường hợp lại xét tương tự, tham khao chứng minh chi tiết 41 KẾT LUẬN Trong luận văn hệ thống lại khái niệm tính chất đạo hàm tích phân hàm khoảng Để làm điều này, trình bày hệ thống khái niệm, tính chất khoảng, hàm khoảng, phép toán khoảng hàm khoảng, không gian metric khoảng, dãy khoảng giới hạn dãy khoảng, liên tục tính đo hàm khoảng Sau trình bày kiến thức sở này, trình bày định nghĩa đạo hàm tích phân cho hàm khoảng lớp hàm khoảng đặc biệt F ♣tq ✏ C.g♣tq với C ✏ ra; bs, g♣tq hàm thực, định nghĩa điểm uốn, điểm tới hạn Từ đưa số tính chất quan trọng đạo hàm, tích phân hàm khoảng chứng minh, lấy số ví dụ Trong trình trên, việc tìm hiểu trình bày chi tiết chứng minh vốn trình bày vắn tắt tài liệu; cụ thể Định lí 3.2.13, Định lí 3.2.6 Chúng tự tìm tòi chứng minh số tính chất, ví dụ; cụ thể Ví dụ 1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.4.2, 1.4.9, 2.1.5, Tính chất 3.2.1, Tính chất 3.1.1, Tính chất 3.3.1 Với kết đạt luận văn này, hy vọng đề tài tiếp tục nghiên cứu thêm để tìm tính chất đạo hàm tích phân hàm khoảng, đặc biệt lớp hàm khoảng đặc biệt F ♣tq ✏ C.g ♣tq 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J.P Aubin, H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Birkhauser, Boston [2] R J Aumann (1965), Integrals of Set-Valued Functions, Journal of Mathematical Analysis and Applications 12, 1-12 [3] Y Chalco-Cano, H Román-Flores, M.D Jiménez-Gamero (2011), "Generalized derivative and π -derivative for set-valued functions", Information Sciences, 181, 2177-2188 [4] Y Chalco-Cano, A Rufian-Lizana, H Roman-Flore, M.D Jimenez-Gamero (2013), "Calculus for interval-valued functions using generalized Hukuhara derivative and application", Fuzzy Set and Systems, 219, 49-67 [5] V Lakshmikantham, R Mohapatra (2006), Theory of Fuzzy Differential Equations and Inclusions, Taylor-Francis, London [6] S Markov (1979), "Calculus for interval functions of a real variable", Computing, 22, 325-337 [7] R.E Moore (2009), Interval Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ [8] L Stefanini, B Bede (2012), "Some notes on Generalized Hukuhara differentiability of interval-valued functions and interval differential equations", WPEMS, http://ideas.repec.org/f/pst233.html 43 [...]... ♣tq là hàm thực được định nghĩa tương tự như tích phân hàm khoảng 23 Chương 3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CHO HÀM KHOẢNG Ở Chương 3 chúng tôi trình bày một số tính chất đạo hàm và tích phân của hàm khoảng, từ đó đưa ra một số tính chất quan trọng cho hàm khoảng đặc biệt F :T Ñ KC ♣Rq, F ♣tq ✏ C.g♣tq với C ✏ ra, bs € KC ♣Rq, g♣tq là hàm thực 3.1 Tính chất đạo hàm của hàm khoảng 3.1.1 Tính. .. dụ về phép đạo hàm và tích phân của hàm khoảng, giới thiệu khái niệm đạo hàm và tích phân của hàm F ♣tq ✏ C.g ♣tq, C là một khoảng, g là hàm thực Đưa ra điều kiện tồn tại đạo hàm cho hàm khoảng Chương 3 Đây là chương thể hiện kết quả chính của luận văn Trong chương này chúng tôi trình bày chi tiết các tính chất, định lí, ví dụ về phép đạo hàm và tích phân cho hàm khoảng đồng thời đưa ra một số kết... đạo hàm của F2 ♣tq không thay đổi từ loại ♣iq sang ♣iiq và ngược lại) Hình 2.3: Hàm khoảng F2 ♣tq Hình 2.4: Đạo hàm hàm F2 ♣tq 22 2.2 Tích phân của hàm khoảng Ñ KC ♣Rq là hàm khoảng đo được và giới nội khả tích thỏa mãn F ♣tq ✏ rf ♣tq, f ♣tqs Khi đó f , f là các hàm khả tích và Định nghĩa 2.2.1 Cho F : T ➺t2 F ♣tqdt ✏ ✜ ✔t ➺t2 ➺2 ✕ f t dt, f t dt✢ ♣q t1 ♣q t1 t1 Đây là trường hợp đặc biệt của tích phân. .. thường và hàm khoảng đặc biệt F ♣tq ✏ C.g ♣tq với C là một khoảng, g là hàm thực Phần cuối chương trình bày tính liên liên tục, tính đo được của hàm khoảng Kiến thức trong chương này tham khảo từ [1], [4], [7], [8] 1.1 Khái niệm về khoảng Trong Giải tích khoảng ta sẽ xét trên các khoảng đóng và được xác định bởi A ✏ ra, as ✏ tt € R④a ↕ t ↕ a✉ 1.1.1 Các phép toán trên khoảng Cho λ € R và 2 khoảng A... nghĩa khoảng trong R, các phép toán và một số tính chất trên khoảng, cũng như các yếu tố khác của khoảng như trung điểm, độ dài, độ lớn, metric, dãy khoảng và giới hạn của dãy khoảng cùng các tính chất của nó Ngoài ra trong phạm vi của chương, tôi sẽ trình bày các loại hiệu thông dụng trong Giải tích khoảng như hiệu Hukuhara, hiệu Hukuhara tổng quát, và các tính chất của chúng Định nghĩa về hàm khoảng. .. 1965 ✏ Ví dụ 2.2.1 Cho hàm khoảng F : r0, 4s ✘ Ñ KC ♣Rq với F ♣tq ✏ 2t   1, 5t2   2 Kiểm tra tính khả tích và tính tích phân của hàm F ♣tq trên đoạn r0, 4s Xét f ♣tq ✏ 2t   1, f ♣tq ✏ 5t2   2 là các hàm khả tích nên F ♣tq khả tích Và ➺4 F ♣tqdt ✏ 0 ✔4 ➺ ✕ 2t ♣   1qdt, ♣5t2   2qdt✢ ✒ 0 0 ✏ ♣t   tq⑤ 2 ✏ ✜ ➺4 ✒ 4 0, ✚ ♣ 53 t3   2tq⑤40 ✚ 344 20, 3 Nhận xét 2.2.2 Tích phân của hàm khoảng cho bởi F ♣tq ✏...4 BỐ CỤC LUẬN VĂN Luận văn được chia làm 3 chương Chương 1 Chương này được xem như phần trình bày kiến thức cơ sở để tạo điều kiện cho vi c trình bày các kiến thức ở chương 2, chương 3 Vì vậy, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về khoảng, giới thiệu khái niệm hàm khoảng, không gian metric khoảng, dãy khoảng và giới hạn dãy khoảng, tính liên tục và đo được của hàm khoảng Chương... D✁ F ♣t q ✏ D F ♣t q DgH 0 gH 0 0 gH Hàm F có đạo hàm Hukuhara tổng quát trên T nếu F ♣tq có đạo hàm tại mọi điểm t € T và có đạo hàm trái tại t2 và đạo hàm phải tại t1 Điều kiện tồn tại đạo hàm [3] Cho hàm khoảng F : T Ñ KC ♣Rq thỏa F ♣tq ✏ rf ♣tq, f ♣tqs Khi đó, F là gH-khả vi tại t0 khi và chỉ khi một trong các trường hợp sau xảy ra ✶ a) f và f là khả vi tại t0 và F ✶ ♣t0 q ✏ rmintf ✶ ♣t0 q, f ♣t0... khả vi tại t0 Nhưng điều ngược lại thì không đúng Ví dụ 1.2.1 Cho C ✏ r✁1; 2s và g ♣tq ✏ t3   t Hiển nhiên g là khả vi Hàm f ♣tq , f ♣tq xác định như sau ✩   ✬ ✫ 2 t3 ✟  t f ♣tq ✏   ✟ ✬ ✪✁ t3   t ✩ ✬ ✫ Rõ ràng f ♣tq , f ♣tq không khả vi tại t ✏ 0 9 ✁   3 t ✟  t , f ♣tq ✏   ✟ ✬ ✪ 2 t3   t nếu t → 0 nếu t ↕ 0 nếu t ↕ 0 nếu t → 0 1.2.2 Một số phép toán của hàm khoảng ✑ ✙ ✑ ✙ Cho các hàm khoảng và khoảng. .. khả vi tại t0, len♣F q✶✁♣t0q ✏ 0 ✏ ✁len♣F ✶q ♣t0q Thì len♣F q là khả vi tại t0 Phép tính chỉ ra rằng trong trường hợp f và f khả vi tại t0 và ♣f q✶ ♣t0 q ✏ ♣f q✶ ♣t0 q 25 Định lí 3.1.3 [4] Cho hàm khoảng F : T Ñ KC ♣Rq là gH-khả vi a) Nếu điều kiện ♣aq của Tính chất 3.1.1 thỏa mãn và t0 là điểm cực đại địa phương của len♣F q thì t0 là điểm xoay loại ♣I q của hàm khả vi F b) Nếu điều kiện ♣aq của Tính