1 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN Diện tích hình phẳng Giải Tích 12 – CHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 2 HOẠT ĐỘNG 1 : Hãy tính diện tích hình thang vuông giới hạn bởi các đường thẳng : y = – 2x – 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5 S 1 =S ABCD = (AD+BC)xAB/2 = 28 Ở Hđ1 bài 2 ta đã tính diện tích S của hình thang vuông giới hạn bởi các đường thẳng : y = 2x + 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5. y = – 2 x – 1 y = 2 x + 1 S S 1 Các em hãy so sánh diện tích hai hình S và S1, cho nhận xét. [ ] [ ] 28)12( : viêt có nên ta 28230)12( : ðó khi trong 28230)12( : có Ta 5 1 1 5 1 2 5 1 5 1 2 5 1 =+== −=+−=−−=−− =−=+=+= ∫ ∫ ∫ dxxSS xxdxx xxdxxS 3 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Cho (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b]. f(x)≥0 trên đoạn [a;b]. Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và 2 đường thẳng x=a ; x=b có diện tích S được tính theo công thức : ∫ = b a dxxfS )( Trường hợp f(x) ≤ 0 trên đoạn [a;b] thì : S = S aABb = S aA’B’b = ∫ − b a dxxf )]([ . 4 Tổng quát Cho (C) : y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và 2 đường thẳng x=a ; x=b có diện tích S được tính theo công thức : dxxfS b a ∫ = )( 5 VD 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 , trục hoành và 2 đường thẳng x=-1 ; x=2 Giải : Vì x 3 ≤ 0 trên đoạn [-1;0] và x 3 ≥ 0 trên đoạn [0;2] nên: 4 17 4 x 4 x S dxx)dxx(dxxS 2 0 4 0 1 4 2 0 3 2 1 0 1 33 =+−= +−== − − − ∫∫ ∫ . 6 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đuờng cong. Cho hai hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục trên [a;b] Trong trường hợp f(x) ≥ g(x) ∀x∈[a;b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=f(x), y=g(x), x=a, x=b là: .)]()([ 21 dxxgxfSSS b a ∫ −=−= Trong trường hợp tổng quát ta có công thức dxxgxfS b a ∫ −= )()( . 7 dxxgxfS b a ∫ −= )()( Chú ý : Nếu x[α;β],f(x)–g(x)≠0 thì : dxxgxfdxxgxfS ∫∫ −=−= β α β α )]()([)()( Do đó để tính diện tích S theo công thức trên ta cần khử dấu trị tuyệt đối dưới tích phân bằng cách : • Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 , giả sử pt có các nghiệm c , d (a < c < d < b). • Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) không đổi dấu. • Đưa dấu trị tuyệt đối ra khỏi tích phân trên từng đoạn. 8 Vd 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng : x = 0, x = π và đồ thị của 2 hàm số : y = sinx , y = cosx . Giải : Pthđgđ : sinx = cosx ⇔ x = π/4 ∈ [0; π] Vậy diện tích hình phẳng là : 22)sin(cos)sin(cos )cos(sin)cos(sin cossincossin cossin 4 4 0 4 4 0 4 4 0 0 =+++= −+−= −+−= −= ∫∫ ∫∫ ∫ π π π π π π π π π π xxxxS dxxxdxxxS dxxxdxxxS dxxxS 9 Vd 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong : y = x 3 – x và y = x – x 2 . Giải : Pthđgđ : x 3 – x = x – x 2 ⇔ x 3 + x 2 – 2x = 0 ⇔ x = -2 ; x = 0 ; x = 1 Vậy diện tích hình phẳng là : 12 37 12 5 3 8 3434 )2()2( 2 1 0 2 34 0 2 2 34 1 0 23 0 2 23 1 2 23 =+=         +++         ++= −++−+= −+= − − − ∫∫ ∫ S x xx x xx S dxxxxdxxxxS dxxxxS y = x 3 - x y = x – x 2 . 10 Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối) S 1 S 2 f(x)dx [-f(x)]dx f(x)dx [-f(x)]dxS .)]([ .)( c b b 2 2 a a 0 5 1 2 5 1 1 ∫∫∫∫∫∫ +++=−== −− dxxfSdxxfS [...]...y b x) = y y = f( f( x) Củng cố: Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x); các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối) = y g( x ) S = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx a = g( x ) a b 0 a S = ∫ [ g ( x) . sinx , y = cosx . Giải : Pthđgđ : sinx = cosx ⇔ x = π/4 ∈ [0; π] Vậy diện tích hình phẳng là : 22)sin(cos)sin(cos )cos(sin)cos(sin cossincossin cossin 4. phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Cho (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b]. f(x)≥0 trên đoạn [a;b]. Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C),