TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2007 – 2008 Môn: Toán 12 Thời gian 180 phút không kể giao đề Bài 1(1,5 điểm). Cho tam giác ABC thỏa mãn ( ) 5 3 3cosA 3 cosB cosC 2 + + = Chứng minh rằng tam giác ABC cân ở A và Â = 120 0 . Bài 2 (2 điểm). Xét phương trình x n – x 2 – x – 1 = 0 ( n 2, n> ∈N ) (1) 1/ CMR phương trình (1) có nghiệm dương duy nhất. 2/ Với mỗi n ( n 2, n> ∈N ), ký hiệu x n là nghiệm dương của PT (1). Tìm ( ) n n lim n x 1 →∞ − Bài 3 (1,5 điểm). Giải hệ ( ) ( ) 2 2 2 y x 2 3 2 x 1 e y 1 3log x 2y 6 2log x y 2 1 −  + =  +   + + = + + +  Bài 4 (4 điểm). 1/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tính diện tích phần mặt phẳng tạo bởi các điểm (x; y) thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) 2 2 12 x 2007 y 2007 84≤ − + − ≤ 2/ Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau tại A và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó. ( ) α là mặt phẳng đi qua I và ( ) AIα ⊥ . CMR điều kiện cần và đủ để ( ) M∈ α là MB 2 + MC 2 + MD 2 = 3MA 2 . Bài 5 (1 điểm). Ta giả sử mỗi điểm trong mặt phẳng đều được tô màu đỏ hoặc màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu. ………………. Hết ………………. LỜI GIẢI TÓM TẮT Bài 1 (1 điểm) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 3 cosA + 3 cosB + cosC 1 cosA - 3 cosB +cos C 0 2 2 A A B - C 3 A A B - C 3 2sin 2 3 sin cos 0 sin 3 sin cos 0 2 2 2 2 2 2 2 4 B C sin 0 A 3 B - C 3 B C 2 sin cos sin 0 2 2 2 4 2 A 3 B - C sin cos 0 2 2 2 ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − + = −  =    −  ⇔ − + = ⇔       − =   Từ đây suy ra ĐPCM. Bài 2 (2 điểm) 1/ ( 1 điểm) Xét h/s f(x) = x n – x 2 – x – 1, n 2, n> ∈N . Ta có f(-1) = -2 <0, f(2) = 2 n – 7 > 0, từ đó PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trông (1; 2). Nếu x là nghiêmj dương của PT thì x > 1, vì x n = x 2 + x + 1 >1. Với x > 1 thì f’(x) = nx n-1 – 2x – 1 >0 nên PT f(x) = 0 chỉ có nhiều nhất 1 nghiệm. Từ đó ta có đpcm. Hơn nữa 1< x n <2. 2/ (1 điểm) Ta có 2 2 n n n n n n n x x 1 6 1 x x x 1 1 l imx 1 n n + + < = + + ≤ < + ⇒ = Mặt khác ( ) ( ) ( ) 2 n n n 2 2 n n n n n n n n n ln x x 1 x 1 x x x 1 n n x 1 ln x x 1 ln x ln x + + − = + + ⇒ = ⇒ − = + + Do ( ) n n n n n n n x 1 lim x 1 lim 1 lim n x 1 ln3. ln x →∞ →∞ →∞ − = ⇒ = ⇒ − = Bài 3 (1,5 điểm). ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 PT(1) y x ln x 1 ln y 1 ln x 1 x 1 ln y 1 y 1⇔ − = + − + ⇔ + + + = + + + Xét h/s f(t) = lnt + 1, t 1 ≥ là hàm đồng biến trên ( ) 1;+∞ do đó x 2 + 1 = y 2 +1 nên x y= ± . Với x = -y, từ PT(2) ta được x = 3, y = -3. Với x = y, từ PT(2) ta được 3 2 3log (x 2) 2 log (x 1), x 1+ = + > − . Đặt 3log 3 (x+2) = 2log 2 (x+1) = 6u, ta được x+2 = 3 2u và x+1 = 2 3u từ đó suy ra 1 + 2 3u = 3 2u , PT này có nghiệm duy nhất u = 1. Từ đó được x = y = 7. Bài 4 (4 điểm) 1/ (2 điểm). Thay x , y bởi x hay –x, y hay –y có thể thấy các điểm thỏa mãn bài ra được biểu diễn bởi các phần tô đậm sau. Từ đó tính được diện tích cần tìm là ( ) 4 84 12 288π − = π 2/ (2 điểm). Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác BCD. Ta có: I, G, A thẳng hàng và 3 IA GA 2 = uur uuur . Ta có MB 2 + MC 2 + MD 2 = 3MA 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 MI IB MI IC MI ID 3 MI IA 2MI IB IC ID IB IC ID 6MI.IA 3IA 6MI.IG 6MI.IA MI.AG 0 MI AG M . ⇔ + + + + + = + ⇔ + + + + + = + ⇔ = ⇔ = ⇔ ⊥ ⇔ ∈ α uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur uur uur uuuruuur uuuruur uuur uur uuur uuur Bài 5 (1 điểm). Giả sử có 2 điểm phân biệt A, B có cùng màu đỏ. Dựng hình vuông ABCD tâm O. Nếu C màu đỏ hoặc D màu đỏ thì ta có tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu là ABC hoặc ABD. Nếu C, D cùng màu xanh thì - Nếu O màu đỏ thì ta có tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu là OAB. - Nếu O màu xanh thì ta có tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu là OCD. A B C D IG C D A B O . TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2007 – 2008 Môn: Toán 12 Thời gian 180 phút không kể giao đề Bài 1(1,5 điểm) + MC 2 + MD 2 = 3MA 2 . Bài 5 (1 điểm). Ta giả sử mỗi điểm trong mặt phẳng đều được tô màu đỏ hoặc màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông