Phòng GD&ĐT Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2007-2008 Môn : Toán Lớp 9 Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề ) Câu 1: (1đ) Cho hàm số y= f(x) = 2 2 3 x 1) Hãy tính f(-3), f(- 3 ), f( 3 2 ) 2) Các điểm sau điểm nào thuộc đồ thị hàm số đã cho: A( 2 ; 3), B(-2; -6) , C ( - 4 3 ; 2 1 ), D ( 4 3 ; 2 1 ) Câu 2: (2đ)Xét biểu thức: P = ++ + 12 2 1 2 xx x x x . 2 2 1 x a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng nếu 0 < x <1 thì P > 0. c) Tìm giá trị lớn nhất của P. Câu 3:(1,5đ) Giải hệ phơng trình : =+ = xyyx xyxy 534 Câu 4: (1,5đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đờng thẳng có phơng trình: (d 1 ): y= 4 2 1 + x ; (d 2 ): y = 2; (d 3 ): y = ( k+1).x + k Tìm k để cho ba đờng thẳng đã cho đồng quy. Câu 5:(3đ) Cho hai đờng tròn (O 1 ), (O 2 ) tiếp xúc ngoài tại A. kẻ tiếp tuyến chung Ax. Đờng thẳng d tiếp xúc với (O 1 ), (O 2 ) tại B,C ( A). Cắt Ax tại M. Kẻ đờng kính BD,CE của (O 1 ), (O 2 ) a/ Chứng minh : MB = MC b/ Chứng minh: tam giác O 1 MO 2 vuông c/ Chứng minh: B,A,E và C,A,D thẳng hàng d/ I là trung điểm của DE. Chứng minh: đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (I O 1 O 2 ) Câu 6: (1đ) Chứng minh Bất đẳng thức: a 4 +b 4 a 3 b + ab 3 với mọi a, b Hết UBND Huyện thi học sinh giỏi cấp huyện Phòng GD&đt Năm học 2007 - 2008 Hớng dẫn chấm Môn :Toán Lớp 9 Câu1: (1đ) a) f(-3) = 13,5 ; f(- 3 ) = 4,5 ; f( 3 2 ) = 3 1 (0,5đ) b) Thay toạ độ các điểm vào hàm số sẽ thấy toạ độ của các điểm A, C, D thoả mãn vậy ba điểm A,C,D thuộc đồ thị hàm số đã cho. (0,5đ) Câu2: (2đ) a)Rút gọn P = ++ + 12 2 1 2 xx x x x . 2 2 1 x = + + + 2 )1( 2 )1)(1( 2 x x xx x . 2 )1( 2 x (0,25đ) = 2 )1)(1( )1)(2()1)(2( + ++ xx xxxx . 2 )1( 2 x (0,25đ) = )1)(1( 22 + + xx xxxx . 2 )1( 2 x = ).1( xx (0,5đ) b) Với 0 < x<1 thì x > 0 và x < 1 hay 1- x > 0. (0,25đ) Do đó P = x (1- x ) > 0 (0,25đ) a) P = -x + x = - 4 1 4 1 2 1 2 + x (0,25đ) đẳng thức xảy ra khi x = 2 1 hay x = 4 1 (0,25đ) Do đó giá trị lớn nhất của P là 0,25 Câu 3: (1,5đ) Nhận xét: x= 0; y= 0 là nghiệm của Hử (0,25đ) Nếu x 0 thì y 0 , chia cả hai vế cho xy ta đợc hệ: =+ = 5 34 1 11 xy yx (0,25đ) Đặt u 1 = x và v 1 = y ta có hệ phơng trình bậc nhất với hai ẩn số u và v: (0,25đ) =+ = 5v43 1v u u =++ += 5 4v 1)3(v 1vu = += 27v 1vu = = 7 2 v 7 9 u (0,25đ) Do đó ta có = = 7 21 7 91 y x (0,25đ) vậy hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm (x;y) = 2 7 ; 9 7 ();0;0( (0,25đ) Câu 4: (1,5đ) Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d 1 ) và(d 2 ) là nghiệm của hệ: = = =+ = =+ = = += 4 2 48 2 24 2 1 2 2 4 2 1 x y x y x y y xy (0,75đ) Ba đờng thẳng (d 1 ); (d 2 ); (d 3 ) đồng quy khi đờng thẳng d 3 đi qua điểm (- 4;2) (0,25đ) 2= (k+1)(-4)+ k -4k - 4+ k=2 3k= -6 k= -2 (0,5đ) Câu 5: (3đ) Ghi GT,KL vẽ hình đúng (0,5đ) a/ = = MAMC MAMB (t/c tiếp tuyến) MB = MC (0,5đ) b/ vuông MAO 1 = vuông MBO 1 O 1 MA = O 1 MB (1) tơng tự O 2 MA = O 2 MC (2) Từ (1) và (2) O 1 MO 2 = 90 0 (0,5đ) c/ Ta có: AB// O 2 M (3) ( vì cùng MO 1 ) BE // MO 2 (4) ( vì O 2 M là đờng trung bình của CBE) Từ (3) và (4) B, A, E thẳng hàng Tơng tự ta có C, A, D thẳng hàng (0,5đ) d/ Gọi O là trung diểm của O 1 O 2 OI = 2 1 (R 1 + R 2 ) đờng tròn (IO 1 O 2 ) có tâm là O. (0,5đ) Kẻ OH vuông góc với BC OH = 2 1 (R 1 + R 2 ) ( vì OH là đờng trung bình của của hình thang BCO 2 O 1 ) d tiếp xúc (IO 1 O 2 ) tại H. (0,5đ) Câu 6: a 4 +b 4 a 3 b + ab 3 a 4 +b 4 - a 3 b - ab 3 0 (0,25đ) a 3 (a-b)-b 3 (a-b) 0 (0,25đ) (a-b) (a 3 -b 3 ) 0 (a-b)(a-b) (a 2 +ab+b 2 ) 0 (0,25đ) (a-b) 2 ++ 4 3 ) 2 ( 2 2 bb a 0 đúng với mọi a,b vậy Bất đẳng thức đợc c/m. (0,25đ) .Hết Ghi chú: Học sinh làm các khác đúng vẫn cho điểm tối đa . = ++ + 12 2 1 2 xx x x x . 2 2 1 x = + + + 2 )1( 2 )1)(1( 2 x x xx x . 2 )1( 2 x (0,25đ) = 2 )1)(1( )1)(2()1)(2( + ++ xx xxxx. Phòng GD&ĐT Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2007-2008 Môn : Toán Lớp 9 Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề ) Câu 1: (1đ)