Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học s- phạm hà nội NGUYN PHI LONG NGUYấN Lí CC I PONTRIAGIN TRONG Lí THUYT IU KHIN TI U Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS TRN VN BNG Hà Nội, 2013 LI CM N Tỏc gi xin c by t lũng bit n chõn thnh ti TS Trn Vn Bng, ngi thy ó truyn th kin thc v hng dn tn tỡnh tỏc gi hon thnh lun ny Tm gng nghiờn cu khoa hc nghiờm tỳc v s ch bo õn cn ca thy Trn Vn Bng sut quỏ trỡnh tỏc gi vit lun ó giỳp cho tỏc gi cú ý thc trỏch nhim v quyt tõm cao hon thnh lun ca mỡnh Tỏc gi cng xin c gi li cm n chõn thnh v lũng bit n cỏc thy giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, Ban giỏm hiu, Phũng Sau i hc Trng i hc s phm H Ni ó truyn th kin thc, úng gúp ý kin v giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun ny Nhõn õy tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti gia ỡnh, ban giỏm hiu trng THPT T Lp - Mờ Linh - H Ni cựng bn bố, ng nghip ó to kiu kin, ng viờn v giỳp tụi rt nhiu sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu H Ni, thỏng 06 nm 2013 Hc viờn Nguyn Phi Long LI CAM OAN Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca TS Trn Vn Bng Trong nghiờn cu lun vn, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 06 nm 2013 Hc viờn Nguyn Phi Long Mc lc M u Ni dung Kin thc chun b 1.1 Mt s khỏi nim lý thuyt o 1.2 Tp li, khụng gian afin v nún 1.3 Mt s kt qu ca gii tớch hm 13 1.4 H iu khin v bi toỏn iu khin ti u 16 1.4.1 H iu khin 16 1.4.2 iu khin v qu o 17 1.4.3 Hai bi toỏn tng quỏt iu khin ti u 20 1.5 Mt s iu kin cn phộp tớnh bin phõn 23 Nguyờn lý cc i Pontriagin lý thuyt iu khin ti u 32 2.1 Nguyờn lý cc i Pontriagin 32 2.2 S bin thiờn iu khin 37 ii iii 2.2.1 Phng trỡnh bin phõn v phng trỡnh liờn hp 38 2.2.2 Bin phõn nhn 43 2.2.3 Bin phõn a nhn 46 2.2.4 Bin phõn trờn khong t 48 2.3 Tp hp kh ti v s xp x biờn bi cỏc nún 50 2.3.1 Nún tip xỳc trờn khong c nh 51 2.3.2 Nún tip xỳc trờn khong t 52 2.3.3 Xp x kh ti bi cỏc nún 54 2.3.4 Liờn h gia cỏc nún tip xỳc v hm Hamilton 55 2.3.5 Cỏc qu o c iu khin trờn biờn ca kh ti 58 2.4 Chng minh ca nguyờn lý cc i 61 2.4.1 H m rng 61 2.4.2 Cỏc qu o ti u nm trờn biờn ca kh ti ca h m rng 62 2.4.3 Cỏc tớnh cht ca phn hi liờn hp v ca hm Hamilton 63 2.4.4 Cỏc iu kin honh 65 2.5 iu khin ti u ton phng tuyn tớnh 69 Kt lun 75 Ti liu tham kho 76 M U Lý chn ti Lý thuyt iu khin ti u l mt nhng lý thuyt gn lin vi hu ht cỏc lnh vc khoa hc cng nh thc tin Tuy nhiờn cỏc mụ hỡnh iu khin thng rt phc Cú rt nhiu cụng trỡnh nghiờn cu v cỏc iu kin ti u, nhiờn hu ht ch l iu kin cn hoc iu kin iu kin quan trng nht l phng trỡnh Hamilton-Jacobi-Bellman, ú mt cỏc iu kin cn quan trng nht phi k n Nguyờn lý cc i Pontriagin m trng hp c bit ca nú l phng trỡnh Euler-Lagrange Nguyờn lý ny c Pontriagin v cỏc hc trũ ca ụng phỏt hin v cụng b nm 1956 Tuy nhiờn õy l mt nhng iu kin cn rt tru tng vic hiu, dng, c bit l chng minh Vi mong mun cú thờm hiu bit v nguyờn lý cc i ny cựng nhng ng dng ca nú i vi lý thuyt iu khin ti u, tụi ó chn ti: Nguyờn lý cc i Pontriagin lý thuyt iu khin ti u Mc ớch nghiờn cu Tỡm hiu v Nguyờn lý cc i Pontriagin v ng dng lý thuyt iu khin ti u Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu nguyờn lý cc i Pontriagin, chng minh nguyờn lý v ng dng ca nguyờn lý i vi bi toỏn iu khin ti u ton phng i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: iu kin cn v cho bi toỏn iu khin ti u ton phng Phm vi nghiờn cu: Bi toỏn iu khin ti u tt nh c bit l bi toỏn iu khin ti u ton phng Phng phỏp nghiờn cu - S dng mt s phng phỏp ca Gii tớch hm, ca lý thuyt iu khin ti u - Phõn tớch, tng hp kin thc Gi thuyt khoa hc Nghiờn cu bi toỏn iu khin ti u tt nh c bit l bi toỏn iu khin ti u ton phng Ni dung ca lun bao gm hai chng: Chng 1, trỡnh by mt s kin thc chun b v: lý thuyt o, gii tớch li, phng trỡnh vi phõn o c theo thi gian, gii tớch hm, lý thuyt bin phõn, lý thuyt iu khin ti u cn thit cho chng sau Ni dung ca chng ny c tham kho t cỏc ti liu [3, 1, 2, 4] Chng 2, trỡnh by v nguyờn lý cc i Pontriagin, bao gm: phỏt biu nguyờn lý, chng minh nguyờn lý v ng dng ca nguyờn lý i vi bi toỏn iu khin ti u ton phng Ni dung ca chng ny c bn da trờn bi ging ca Giỏo s Andrew D Lewis ([3]) Chng Kin thc chun b Trong lun ny chỳng tụi s dng cỏc kớ hiu chớnh sau õy: R l s thc v R = {} R {} l s thc m rng Tp cỏc ỏnh x tuyn tớnh t Rm vo Rn kớ hiu l L (Rm ; Rn ) Tớch vụ hng Rn c kớ hiu ã, ã v chun c kớ hiu bi ã Chỳng ta cng s dng ã cho chun ca cỏc ỏnh x tuyn tớnh v a tuyn tớnh Cho x Rn v r > 0,ta kớ hiu: B (x, r) = {y Rn | y x < r} , B (x, r) = {y Rn | y x r} l hỡnh cu m v hỡnh cu úng bỏn kớnh r cú tõm ti x Chỳng ta kớ hiu Sn = {x Rn+1 | x = 1} l mt cu n v n chiu v Dn = {x Rn | x 1} l hỡnh cu n v n chiu Phn trong, biờn v bao úng ca hp A Rn c kớ hiu theo th t l int (A), bd (A) v cl (A) Nu A Rn thỡ tụpụ trờn A l h tt c cỏc cú dng U A vi U Rn m Nu S A Rn thỡ intA (S) l phn ca S i vi tụpụ cm sinh trờn A Nu U Rn l mt m v : U Rm l ỏnh x kh vi thỡ o hm ca ti x U c kớ hiu bi D (x) v nú l mt ỏnh x tuyn tớnh t Rn vo Rm o hm cp r ca ti x kớ hiu l Dr (x) v nú l mt ỏnh x a tuyn tớnh i xng t (Rn )r vo Rm Nu Ua Rna , a {1, , k} l cỏc hp m v nu : U1 ì ã ã ã ì Uk Rm l hm kh vi thỡ ta kớ hiu Da (x1 , , xk ), o hm riờng th a vi a {1, , k}, v nú c nh ngha l mt o hm ti xa ca ỏnh x t Ua vo Rm xỏc nh bi: x (x1 , , xa1 , x, xa+1 , , xk ) Chỳng ta kớ hiu Dar l o hm riờng cp r theo thnh phn th a Cho U Rn l mt m nh x : U Rm c gi thuc lp C r nu nú kh vi r ln liờn tc 10 f c kớ hiu l o hm ca hm f : R Rk theo bin thi gian cỏc bi toỏn ny 11 Chỳng ta kớ hiu o k l mt hm liờn tc ca tha lim0 nú cũn c gi l vụ cựng bc cao hn k o k = 0, k 12 Ma trn n v cp n c kớ hiu l In v ma trn khụng cp m ì n c kớ hiu l 0mìn 1.1 Mt s khỏi nim lý thuyt o nh ngha 1.1.1 (Hm b chn ct yu liờn tc tuyt i) Cho I R l mt khong v f : I R o c (i) Nu vi mi khong compact J I, hm f |J l kh tớch thỡ f c gi l kh tớch a phng (ii) Nu tn ti M > cho ({t I| |f (t)| > M }) = thỡ hm f c gi l b chn ct yu v ta t esssuptI |f (t)| = inf {M R| ({t I| |f (t)| > M }) = 0} (iii) Nu tn ti mt hm kh tớch a phng g : I R v t0 I cho (g | [t0 , t]) d, f (t) = [t0 ,t] thỡ f c gi l liờn tc tuyt i a phng Nu I l compact thỡ liờn tc tuyt i a phng s c gi l liờn tc tuyt i Chỳ ý Mt hm liờn tc tuyt i cú o hm hu khp ni Hn na, nu t f (t) = g ( ) d t0 vi g l hm kh tớch a phng thỡ f (t) = g (t) ti hu ht t Ngc li, nu mt hm liờn tc tuyt i cú o hm bng hu khp ni thỡ nú l hng s nh ngha 1.1.2 (im Lebesgue) Cho I R l mt khong v f : I R l hm kh tớch a phng im t0 I l mt im Lebesgue ca f nu t0 + lim |f (t) f (t0 )| dt = t0 Ta cú phn bự ca hp cỏc im Lebesgue cú o bng Tt c cỏc khỏi nim trờn i vi hm giỏ tr R u cú th c ỏp dng vi cỏc hm giỏ tr Rn bng vic ỏp dng cỏc nh ngha trờn i vi tng thnh phn 1.2 Tp li, khụng gian afin v nún Mt phn quan trng chng minh nguyờn lý cc i l s dng cỏc nún v nún li xp x kh ti Di õy l cỏc nh ngha c bn v cỏc tớnh cht m ta s s dng 62 t L ( ( ) , ( )) d, hay (t) l tng chi phớ dc theo iu ny dn n (t) = t0 qu o c iu khin tớnh n thi im t Do ú h m rng l h nhn c t h ban u vi chi phớ c thờm vo nh mt bin ph Chỳng ta s s dng cỏc kớ hiu cú du m cho h suy rng Chng hn, trng thỏi ca s c kớ hiu bi x = (x , x), qu o ca s c kớ hiu l , kh ti ca s c kớ hiu l R (x0 , t0 ), v K (à, x0 , t0 , t) l nún tip xỳc trờn khong c nh ca h m rng 2.4.2 Cỏc qu o ti u nm trờn biờn ca kh ti ca h m rng Phn u tiờn ca phộp chng minh ca nguyờn lý cc i l to s kt ni gia iu khin ti u v cỏc kt qu liờn quan n kh ti mc 2.3 B 2.4.1 (Cỏc qu o ti u nm trờn biờn ca kh ti ca h m rng) Cho = (X, f, U ) l mt h iu khin, L l mt hm Lagrange ca , cho S0 , S1 X l cỏc Gi s ( , ) P (, L, S0 , S1 , [t0 , t1 ]) hoc ( , ) P (, L, S0 , S1 ) xỏc nh trờn [t0 , t1 ] Khi ú (t1 ) bd R (t0 ) , t0 , t1 hoc (t1 ) bd R (t0 ) , t0 Chng minh u tiờn ta xột trng hp ( , ) P (, L, S0 , S1 , [t0 , t1 ]) Ta chng minh rng (t1 ) = (0 (t1 ) , (t1 )) cú tớnh cht: (t1 ) = inf x0 R| (x0 , (t1 )) R (t0 ) , t0 , t1 , tc l, chi phớ cui (t1 ) l nh nht cú th cỏc phn t ca (, à) Carc (, L, S0 , S1 , [t0 , t1 ]), ni (t0 ) ti (t1 ) Núi theo cỏch ny, iu ú l hin nhiờn vỡ ( , ) l ti u suy (t1 ) bd R (t0 ) , t0 , t1 , ta ly U l mt lõn cn ca (t1 ) X Do mi lõn cn u cha nhng im cú dng (x0 , (t1 )) vi x0 < (t1 ) v nhng im ny khụng thuc R (t0 ) , t0 , t1 , nờn (t1 ) bd R (t0 ) , t0 , t1 Trong trng hp ( , ) P (, L, S0 , S1 ) lp lun tng t, ch cn thi im cui t c bi toỏn iu khin ti u v kh ti (xem Hỡnh 6.1) 63 2.4.3 Cỏc tớnh cht ca phn hi liờn hp v ca hm Hamilton S dng B 2.4.1 suy cỏc thnh phn ca hm Hamilton nguyờn lý cc i Ta s bt u bng vic ch s tn ti ca mt phn hi liờn hp cú cỏc tớnh cht nguyờn lý cc i B 2.4.2 (Phn hi liờn hp) Cho = (X, f, U ) l mt h iu khin, L l mt hm Lagrange ca , cho S0 , S1 X l cỏc Gi s ( , ) P (, L, S0 , S1 ) c xỏc nh trờn [t0 , t1 ] hoc ( , ) P (, L, S0 , S1 , [t0 , t1 ]) Khi ú tn ti mt ỏnh x liờn tc tuyt i : [t0 , t1 ] Rn v {0, 1} vi cỏc tớnh cht sau: (i) Hoc = hoc (t0 ) = 0; (ii) l mt phn hi liờn hp ca (, L) dc theo ( , ); max (iii) H,0 L ( (t) , (t) , (t)) = H, L ( (t) , (t)) ti hu ht t [t0 , t1 ] Chng minh Trc tiờn ta xột bi toỏn trờn khong c nh Ta s iu chnh bc th nht chng minh nh lý 2.3.1 vỡ õy ta lm vic vi h m rng Hỡnh 2.7: í tng chng minh B 2.4.1 Chỡa khúa ca vic iu chnh l vic ch vect (1, 0) R Rn khụng th thuc phn K (à , x0 , t0 , t1 ) Tht vy, nu trỏi li thỡ theo B 2.3.5 phi cú 64 nhng im thuc R (t0 ) , t0 , t1 m cú chi phớ cui thp hn (t1 ) v iu ny mõu thun vi tớnh ti u ca ( , ) Do ú tn ti mt siờu phng P (t1 ) cho (1, 0) thuc mt na khụng gian úng xỏc nh bi P (t1 ) v K (à , x0 , t0 , t1 ) thc na khụng gian cũn li Ta ly (t1 ) l mt vect trc giao vi P (t1 ) v nm na khụng gian khụng cha K (à , x0 , t0 , t1 ) v chỳ ý rng (t1 ) , (1, 0) 0, (t1 ) , v 0, v K (à , x0 , t0 , t1 ) T õy ta cú (t1 ) Do ú gi l phn hi liờn hp bng vi (t1 ) ti thi im t1 T cỏc phng trỡnh ca phn hi liờn hp ta cú (t) = (vỡ f l c lp vi x0 ) nờn l khụng i v khụng dng Nu = thỡ ta cú th xỏc nh li bi (0 ) , v iu ny m bo rng (t) = (0 , (t)) vi {0, 1} Do H ((x0 , x) , (p0 , p) , u) = p, f (x, u) + p0 L (x, u) = H,p0 L (x, p, u), nờn theo nh lý 2.3.1 cú max H,0 L ( (t) , (t) , (t)) = H, L ( (t) , (t)), ti hu ht t [t0 , t1 ] iu kin = hoc (t0 ) = l (t) = vi mi t [t0 , t1 ] (do tớnh tuyn tớnh ca phng trỡnh liờn hp) Vy ta cú B trng hp trờn khong c nh Chng minh trng hp trờn khong t c bn tng t, ch khỏc l dựng K (à , x0 , t0 , t1 ) thay cho K (à , x0 , t0 , t1 ) v R (t0 ) , t0 thay cho R (t0 ) , t0 , t1 B ny cựng vi cỏc nh lý 2.3.1 v 2.3.2 ta cú h qu di õy B 2.4.3 (Tớnh khụng i ca hm Hamilton) Cho = (X, f, U ) l mt h iu khin, L l mt hm Lagrange ca v cho S0 , S1 X l cỏc Gi s ( , ) P (, L, S0 , S1 , [t0 , t1 ]) hoc ( , ) P (, L, S0 , S1 ) xỏc nh trờn [t0 , t1 ] 65 Gi s rng U bdd ([t0 , t1 ]) Nu {0, 1} v : [t0 , t1 ] Rn xột nh B 2.4.2 thỡ max t H, L ( (t) , (t)), tng ng khụng i hoc bng ti mi t [t0 , t1 ] 2.4.4 Cỏc iu kin honh nh ngha 2.4.2 (Tp cnh) Mt cnh trờn Rn l mt hp E cho E = (U), ú (i) U Rk cú dng U=U y , , y k |y k , U l mt lõn cn ca (ii) : U Rn l mt phộp ng phụi lờn nh ca nú vi D (y) n ỏnh vi mi y U Biờn ca E l hp bd (E) = y , , y k1 , | y , , y k1 , U , s chiu ca mt cnh nh vy l dim(E) = k Chỳ ý rng biờn ca cnh E núi chung khụng trựng vi biờn ca E nh mt hp ca Rn ( õy luụn hiu biờn ca cnh theo ngha ó nờu) Hỡnh 2.8 v mt cnh E Ti nhng im x E m khụng thuc biờn ca E, ta s dng khụng gian tip xỳc thụng thng, tc l nh ca D (y) vi (y) = x Ti nhng im biờn ta dựng khỏi nim di õy nh ngha 2.4.3 (Na khụng gian tip xỳc) Cho E l mt cnh vi E = (U) v U, nh nh ngha 2.4.2 Vi x bd(E), ly y U cho (y) = x Na khụng gian tip xỳc vi E ti x l 66 Tx+ E = D (y) v , , v k |v k , (xem Hỡnh 2.9) Ta gi s S0 l mt rng buc trn c xỏc nh bi S0 = (0) Ta kớ hiu Tx S0 = ker (D0 (x)) l khụng gian tip xỳc vi S0 ti mt im x S0 Hỡnh 2.8: Minh cnh Hỡnh 2.9: Minh na khụng gian tip xỳc Gi s ta cú im ban u x S0 , mt iu khin U (x0 , t0 , [t0 , t1 ]) v mt im (t0 , t1 ) Leb (à, x0 , t0 , t1 ) Kớ hiu = (à, (0, x0 ) , t0 , ã) v K (à, x0 , t0 , t) = cl conv cone (à, x0 , t0 , t0 , t) T(t0 ) S0 K (à, x0 , t0 , t) 67 Vi nhng kớ hiu ú, ta cú mt kt qu tng t vi B 2.3.5 B 2.4.4 (Cỏc nún tip xỳc trờn khong c nh v na khụng gian tip xỳc l khụng tỏch c) Gi s = (X, f, U ) l mt h iu khin, S0 = (0) l mt hp rng buc, x0 S0 , t0 , t1 R tha t0 < t1 Cho U (x0 , t0 , [t0 , t1 ]) v Leb (à, x0 , t0 , t1 ) Cho E l mt cnh vi (à, x0 , t0 , ) bd(E) v gi (t0 , t1 ) s na khụng gian tip xỳc ca E ti (à, x0 , t0 , ) v nún K (à, x0 , t0 , ) khụng tỏch c Khi ú tn ti x0 S0 cho hp (E\bd (E)) R x0 , t0 , t1 khụng rng Tt nhiờn cú mt phiờn bn trờn khong t ca B ny a kt qu ú ta kớ hiu K (à, x0 , t0 , ) = cl conv cone (à, x0 , t0 , t0 , ) T(t0 ) S0 K (à, x0 , t0 , ) B 2.4.5 (Cỏc nún tip xỳc trờn khong t v na khụng gian tip xỳc l khụng tỏch c) Cho = (X, f, U ) l mt h iu khin, S0 = (0) l mt hp rng buc, cho x0 S0 , t0 , t1 R tha t0 < t1 , cho U (x0 , t0 , [t0 , t1 ]) v (t0 , t1 ) Leb (à, x0 , t0 , t1 ) Cho E l mt cnh vi (à, x0 , t0 , ) bd(E) v gi s na khụng gian tip xỳc ca E ti (à, x0 , t0 , ) v nún K (à, x0 , t0 , ) l khụng tỏch c Khi ú tn ti x0 S0 cho hp: (E\bd (E)) R x0 , t0 l khụng rng Ta s ỏp dng cỏc B trờn i vi cỏc iu kin honh ca nguyờn lý cc i lm c iu ny ta cn vi kớ hiu Vic nhc li vi kớ hiu t khng nh ca nguyờn lý cc i vỡ ta gi thit cú mt qu o ti u Ta kớ hiu: Tx Sa = {(0, v) R Rn |v Tx Sa } , a {1, 2} , S1 = (x0 , x) X|x0 (t1 ) , x S1 , S = (t) | (t) = f (t) , (t) , (t1 ) S1 , (t0 , t1 ) Chỳ ý rng S1 v S l cỏc cnh Chớnh xỏc hn, mt lõn cn ca (t1 ) (tng ng ( )), S1 (tng ng S ) l mt cnh Chỳ ý T+(t ) S1 = conv cone {(1, 0)} T+(t ) S1 , T+( ) S (à , x0 , t0 , t1 , ) T+(t ) S1 = conv cone {(1, 0)} ng thc sau ỳng vỡ (1, 0) c dch chuyn ti (1, 0) bi phng trỡnh bin 68 phõn ca h m rng Ta cng kớ hiu K (à , x0 , t0 , t) (tng ng K (à , x0 , t0 , t)) l bao li úng ca (à , x0 , t0 , t0 , t) Tx0 S0 v K (à , x0 , t0 , t) (tng ng K (à , x0 , t0 , t)) Vi kớ hiu ny ta cú kt qu sau B 2.4.6 (Tớnh tỏch ca cỏc nún cho cỏc iu kin honh) Cho = (X, f, U ) l mt h m rng, L l mt hm Lagrange ca , v cho S0 , S1 X l cỏc rng buc Gi s ( , ) P (, L, S0 , S1 , [t0 , t1 ]) hoc ( , ) P (, L, S0 , S1 ) xỏc nh trờn [t0 , t1 ] Khi ú cỏc nún K (à , x0 , t0 , t1 ) (tng ng K (à , x0 , t0 , t1 )) v T+(t ) S1 l tỏch c Cui cựng ta ch rng b trờn s suy iu kin honh Ta lm vic trờn khong c nh, trng hp trờn khong t chng minh tng t Theo B 2.4.6 cỏc nún K (à , x0 , t0 , t1 ) v T+(t ) S1 l tỏch c Chn (t1 ) = (0 , (t1 )) cho (t1 ) , v 0, v K (à , x0 , t0 , t1 ) , (t1 ) , v 0, v T+(t ) S1 Vỡ K (à , x0 , t0 , t1 ) K (à , x0 , t0 , t1 ) nờn phn hi liờn hp t (t) xỏc nh cho bng (t1 ) ti thi im t1 tha cỏc kt lun ca nguyờn lý cc i Vỡ T (t1 ) S1 T+(t ) S1 nờn ta cú (t1 ) , v 0, v T (t1 ) S1 Do T (t1 ) S1 l mt khụng gian nờn (t1 ) trc giao vi T ( ) S1 õy chớnh l iu kin honh ti thi im cui Do (à , x0 , t0 , t1 ) Tx0 S0 K (à , x0 , t0 , t1 ), nờn lp lun tng t ch rng (t1 ) l trc giao vi (à , x0 , t0 , t1 ) Tx0 S0 Theo Mnh 2.2.13, (t0 ) trc giao vi Tx0 S0 õy l iu kin honh ti thi im ban u 69 2.5 iu khin ti u ton phng tuyn tớnh Mc ny cp ti mt ng dng ca nguyờn lý cc i i vi bi toỏn iu khin ti u cú h ng lc tuyn tớnh v hm Lagrange ton phng Xột h iu khin m tuyn tớnh = (A, B, R ) vi h ng lc cho bi (t) = A ( (t)) + B (à (t)) Gi thit: (Tớnh cht ca B) Ma trn B cú hng y v m Z>0 Ta xột cỏc ma trn i xng Q L (Rn ; Rn ) v R L (Rm ; Rm ) vi R xỏc nh dng (kớ hiu R > 0) Xột hm Lagrange 1 L (x, u) = xT Qx + uT Ru 2 Chi phớ cho mt qu o c iu khin (, à) xỏc nh trờn [t0 , t1 ] l t1 1 (t)T Q (t) + (t)T Rà (t) dt, 2 J,L (, à) = t0 l tng ca cỏc L2 - chun vi trng ca trng thỏi v ca iu khin Vi h tuyn tớnh = (A, B, Rm ) ó cho v cỏc ma trn i xng Q v R > 0, ta xột bi toỏn iu khin ti u trờn khong c nh bt u t im u x0 Rn ti thi im t0 n mt trng thỏi cui khụng xỏc nh ti thi im t1 (do ú rng buc cui l S1 = Rn ) Gi hp tt c cỏc qu o c iu khin ti u ca bi toỏn ny l P (A, B, Q, R, x0 , t0 , t1 ) Mnh 2.5.20 (Nguyờn lý cc i cho bi toỏn iu khin ti u ton phng tuyn tớnh) Cho = (A, B, Rm ) l mt h iu khin tuyn tớnh, Q L (Rn ; Rn ) v R L (Rm ; Rm ) l i xng vi R > Cho x0 Rn v t0 , t1 R tha t0 < t1 Nu ( , ) P (A, B, Q, R, x0 , t0 , t1 ) thỡ tn ti mt ỏnh x : [t0 , t1 ] Rn cho v tha bi toỏn giỏ tr u, v giỏ tr cui sau: (t) (t) = A Q S A T (t) (t) , (t0 ) = x0 , (t1 ) = 0, 70 ú S = BR1 B T Chng minh Trc tiờn ta cú (t1 ) = cỏc iu kin honh ca nguyờn lý cc i Trong trng hp ny, phn hi liờn hp ton phn phi khỏc nờn = Do ú Hamilton m rng l H,L (x, p, u) = p, Ax + Bu T x Qx + uT Ru , 2 l mt hm ton phng ca u vi o hm cp hai xỏc nh õm Do ú hm ny cú cc i nht ti im m o hm theo u ca nú bng Tc l, vi hu ht t [t0 , t1 ] ta cú: (t) = R1 B T (t) Vỡ cỏc phng trỡnh liờn hp ca h m rng l 1 (t) = T (t) Q (t) + àT (t) Rà (t) , 2 (t) = A ( (t)) + B (à (t)) , (t) = 0, (t) = Q ( (t)) AT ( (t)) , nờn ta cú th thay th dng ca iu khin ti u vo phng trỡnh th hai trờn õy cú cỏc phng trỡnh vi phõn mnh ng thi, ta cú (t0 ) = x0 Cũn (t1 ) = l vỡ iu kin cui khụng xỏc nh (S1 = Rn ) Tip theo ta s a mt ni dung quan trng lý thuyt iu khin ti u ton phng tuyn tớnh, ú l phng trỡnh Riccati Cho cỏc ma trn i xng Q v S Phng trỡnh Riccati l phng trỡnh vi phõn di õy i vi hm ma trn cp n ì n F : I L (Rn ; Rn ) : F (t) + F (t) A + AT F (t) F (t) SF (t) + Q = õy l mt phng trỡnh vi phõn phi tuyn vỡ th khụng d c trng nghim ca phng trỡnh ú Núi chung ta phi tỡm nghim bng phng phỏp s Cõu hi 71 c t l Khi no phng trỡnh Riccati cú nghim? Nh ta bit, ny liờn h mt thit vi bi toỏn iu khin ti u ton phng tuyn tớnh Ta cú nh lý di õy: nh lý 2.5.1 (c trng nghim ca bi toỏn iu khin ti u ton phng tuyn tớnh) Cho = (A, B, Rm ) l mt h iu khin tuyn tớnh, Q L (Rn ; Rn ) v R L (Rm ; Rm ) l i xng vi R > v cho t0 , t1 R tha t0 < t1 Khi ú cỏc mnh di õy tng ng: (i) vi mi t0 [t0 , t1 ] v x0 Rn , P A, B, Q, R, x0 , t0 , t1 = ; (ii) vi mi t0 [t0 , t1 ] v x0 Rn , P A, B, Q, R, x0 , t0 , t1 l im; (iii) nghim ca phng trỡnh Riccati tn ti v b chn trờn [t0 , t1 ] iu kin cui F (t1 ) = 0nìn ; (iv) nghim ca bi toỏn giỏ tr cui (t) (t) = A S (t) Q AT (t) , (t) = In , (t1 ) = 0nìn (2.2) vi cỏc ma trn , L (Rn ; Rn ) cú tớnh cht det (t) = vi mi t [t0 , t1 ] Chỳ ý (Nghim ca phng trỡnh vi phõn Riccati) Ta ó ch nghim ca phng trỡnh Riccati vi iu kin cui F (t1 ) = 0nìn c cho bi F (t) = (t) (t)1 vi v l nghim ca bi toỏn giỏ tr u / cui phn (iv) ca nh lý Do ú mc dự phng trỡnh Riccati phi tuyn, ta cú nghim ca nú bng cỏch gii phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh Chỳ ý (Vai trũ ca tớnh iu khin c) Ta cn cú mt iu kin cú th kim tra c, m bo rng cỏc iu kin tng ng ca nh lý 2.5.1 tha iu kin y hay nhc ti nht l Q na xỏc nh dng v h (A, B, Rm ) l iu khin c, cú ngha l ma trn iu khin Kalman [B|AB|A2 B| |An1 B], cú hng y H qu 2.5 (Nghim ca bi toỏn iu khin ti u ton phng tuyn tớnh l phn hi trng thỏi) Cho = (A, B, Rm ) l mt h iu khin tuyn tớnh, Q L (Rn ; Rn ) 72 v R L (Rm ; Rm ) l i xng vi R > 0, v t0 , t1 R tha t0 < t1 Gi s phng trỡnh Riccati cú mt nghim b chn F : [t0 , t1 ] L (Rn ; Rn ) i vi iu kin cui F (t1 ) = 0nìn Khi ú vi x0 Rn , cú nht ( , ) P (A, B, Q, R, x0 , t0 , t1 ) tha bi toỏn giỏ tr u ã (t) = A B.R1 B T F (t) (t) , (t0 ) = x0 Chỳ ý cỏc qu o ti u l cỏc nghim ca phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh theo trng thỏi vỡ iu khin ti u l mt hm tuyn tớnh ca trng thỏi (t) = R1 B T F (t) (t) Do ú bi toỏn iu khin ti u ton phng tuyn tớnh cú mt nghim l phn hi trng thỏi tuyn tớnh Cui cựng, ta s m rng thi gian cui cho bi toỏn iu khin ti u ton phng tuyn tớnh n vụ hn lm c iu ny ta phi thờm gi thit cho h m bo quỏ trỡnh gii hn c xỏc nh Bi toỏn (Bi toỏn iu khin ti u ton phng tuyn tớnh vi thi gian vụ hn) Cho = (A, B, Rm ) l mt h iu khin tuyn tớnh, Q L (Rn ; Rn ) v R L (Rm ; Rm ) l i xng vi R > Gi U l hp cỏc iu khin L2 ([0, ) ; Rm ) cho tt c cỏc qu o c iu khin (, à) tha L2 ([0, ) ; Rn ) Cho x0 Rn , mt nghim ca bi toỏn iu khin ti u ton phng tuyn tớnh vi thi gian vụ hn t im x0 l mt cp ( , ) Ctraj ([0, )) vi U v (0) = x0 cho vi cp bt k (, à) Ctraj ([0, )) vi U v (0) = x0 , ta u cú 1 (t)T Q (t) + (t)T Rà (t) dt 2 1 (t)T Q (t) + (t)T Rà (t) dt 2 Ta kớ hiu P (A, B, Q, R, x0 ) l hp cỏc nghim ca bi toỏn iu khin ti u ton phng tuyn tớnh vi thi gian vụ hn t im x0 Ta mun cú mt nh lý tng t nh lý 2.5.1 cho bi toỏn vi thi gian vụ hn lm c iu ny ta s dn n phng trỡnh i s Riccati: AT F + F A F SF + Q = 0, vi S = BR1 B T 73 nh lý 2.5.2 (c trng nghim ca bi toỏn iu khin ti u ton phng tuyn tớnh vi thi gian vụ hn) Cho = (A, B, Rm ) l mt h iu khin tuyn tớnh v cho Q L (Rn ; Rn ) v R L (Rm ; Rm ) l i xng vi R > Khi ú cỏc khng nh sau tng ng: (i) vi mi x0 Rn , P (A, B, Q, R,x0 ) = , (ii) vi mi x0 Rn , P (A, B, Q, R,x0 ) l mt im (iii) tn ti mt nghim F ca phng trỡnh i s Riccati cho ma trn A B.R1 B T F l Hurwitz; (iv) ma trn A S Q AT khụng cú giỏ tr riờng trờn trc o Chỳ ý (Vai trũ ca tớnh iu khin v tớnh n nh) Rừ rng h tuyn tớnh (A, B, Rm ) phi n nh bt k iu kin tng ng no ca nh lý u tha Tuy nhiờn iu kin ny l khụng Mt iu kin thng gp thc hnh l Q na xỏc nh dng v (A, B, Rm ) l iu khin c, ngha l ma trn iu khin Kalman [B|AB|A2 B| |An1 B] cú hng cc i H qu 2.6 (Nghim ca bi toỏn iu khin ti u ton phng tuyn tớnh vi thi gian vụ hn l phn hi trng thỏi) Cho = (A, B, Rm ) l mt h iu khin tuyn tớnh v Q L (Rn ; Rn ), R L (Rm ; Rm ) i xng vi R > Gi s phng trỡnh i s Riccati cú mt nghim 74 F cho A B.R1 B T F l Hurwitz Khi ú vi x0 Rn cú nht ( , ) P (A, B, Q, R, x0 ) tha bi toỏn giỏ tr u (t) = A BR1 B T F (t) , (0) = x0 Ging nh trng hp thi gian hu hn cỏc qu o ti u l cỏc nghim ca phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh õy, phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh khụng ph thuc thi gian (l phng trỡnh i s) Chỳ ý rng phn hi tuyn tớnh (t) = R1 B T F (t) to cho h mt s n nh tuyn tớnh, c A khụng l Hurwitz Do ú bi toỏn iu khin ti u dn n mt phn hi trng thỏi tuyn tớnh n nh 75 KT LUN Trong Lun ny chỳng tụi ó tỡm hiu v nguyờn lý cc i Pontriagin mt cỏch h thng, bao gm s dn dt t cỏc iu kin cn phộp tớnh bin phõn; cỏc khỏi nim tru tng xut hin phỏt biu cng nh chng minh ca nguyờn lý cc i; ng dng ca nguyờn lý cc i bi toỏn iu khin ti u ton phng tuyn tớnh Ti liu tham kho [1] A A Agrachev and Y Sachkov (2004), Control Theory from the Geometric Viewpoint, Vol 87 of Encyclopedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag, New York [2] L D Berkovitz (1974), Optimal Control Theory, Springer-Verlag, New York [3] Andrew D Lewis (2006), The Maximum Principle of Pontryagin in control and in optimal control, Queens University, Kingston, ON K7L 3N6, Canada [4] Klaus Schmitt, Russell C Thompson (2004), Nonlinear Analysis and Differential Equations An Introduction, Department of Mathematics and Statistics Utah State University 76