1 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướng dẫn, bảo tận tình để hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện Ban Giám hiệu Trường ĐHP Hà Nội Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp xác đáng thầy giáo phản biện để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn động viên, khích lệ gia đình bạn bè suốt trình làm luận văn Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Đỗ Văn Thịnh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Đỗ Văn Thịnh Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI MỞ ĐẦU Chương Cơ đại số Banach 1.1 Định nghĩa đại số Banach 1.2 Phổ bán kính phổ 1.2.1 Phần tử khả nghịch 1.2.2 Phổ giải thức 14 1.3 Phiếm hàm tuyến tính nhân tính 18 1.3.1 Một số định nghĩa kết bổ trợ 18 1.3.2 1.4 Phiếm hàm tuyến tính nhân tính 22 Phép biến đổi Gelfand 24 1.5 Định lí Wiener 33 Chương Phổ toán tử tuyến tính 37 2.1 Một số kiến thức 37 2.1.1 Định nghĩa số tính chất sơ cấp 37 2.1.2 Phân lớp phổ 43 2.2 Ứng dụng lí thuyết phổ toán tử phương trình vi phân lí thuyết nửa nhóm 47 Chương Một số ví dụ ứng dụng 57 3.1 Một vài ví dụ đại số Banach 57 3.2 Một số toán ví dụ phân lớp phổ 58 3.3 Một số toán ví dụ phổ toán tử 61 3.4 Về vấn đề liên tục nửa nhóm 𝑼(𝒕) 64 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết đại số Banach – lý thuyết toán học có lịch sử phát triển lâu dài toán học gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng giới Von Neumann, Gelfand, Naimark… Có thể chia lý thuyết đại số Banach thành hai phần chính: lý thuyết đại số giao hoán lý thuyết đại số không giao hoán I M Gelfand người phát triển cách có hệ thống lý thuyết đại số giao hoán Một ứng dụng tiêu biểu lý thuyết việc đưa chứng minh đơn giản đến bất ngờ định lý Wiener chuỗi lượng giác Lý thuyết đại số không giao hoán (cụ thể đại số có phép đối hợp) xây dựng công trình I M Gelfand M A Naimark Thời gian gần đây, với lý thuyết khác toán học, lý thuyết đại số Banach phát triển thành ngành rộng lớn giải tích hàm có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học Vì lý chọn đề tài “Một số vấn đề đại số Banach phổ toán tử tuyến tính” Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu số ứng dụng lý thuyết đại số Banach lý thuyết phổ toán tử tuyến tính việc chứng minh vấn đề liên quan - Góp phần phục vụ cho công tác giảng dạy, học tập sinh viên trường đại học, học viên cao học Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống lại số kiến thức lý thuyết đại số Banach lý thuyết phổ toán tử tuyến tính - Trình bày ví dụ ứng dụng đại số Banach lĩnh vực giải tích hàm truyền thống ứng dụng lý thuyết phổ toán tử tuyến tính phương trình vi phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các vấn đề lý thuyết đại số Banach, lý thuyết phổ toán tử tuyến tính vấn đề liên quan Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu dựa sở giải tích hàm, giải tích phức, phương trình vi phân đại số Chương Một số vấn đề đại số Banach 1.1 Định nghĩa đại số Banach Để thuận tiện, ta quy ước rằng: không giải thích thêm tất không gian tuyến tính nhắc đến luận văn không gian trường số phức ℂ Định nghĩa 1.1.1 Không gian tuyến tính 𝕭 gọi đại số 𝕭 xác định phép tính nhân (trong tích hai phần tử 𝑓 𝑔, ký hiệu 𝑓𝑔), thỏa mãn tiên đề sau: 𝑓𝑔 𝑕 = 𝑓 𝑔𝑕 𝑓 + 𝑔 𝑕 = 𝑓𝑔 + 𝑓𝑕 𝑓 𝑔 + 𝑕 = 𝑓𝑔 + 𝑓𝑕 𝛼 𝑓𝑔 = 𝛼𝑓 𝑔 ∀𝑓, 𝑔, 𝑕 ∈ 𝕭 ∀𝑓, 𝑔, 𝑕 ∈ 𝕭 ∀𝑓, 𝑔, 𝑕 ∈ 𝕭 ∀𝛼 ∈ ℂ; 𝑓, 𝑔 ∈ 𝕭 Một đại số 𝕭 không gian vector 𝕮 ⊂ 𝕭 cho với 𝑐, 𝑐 ′ ∈ 𝕮, tích 𝑐𝑐 ′ ∈ 𝕮 Nếu tồn phần tử 𝑒 ∈ 𝕭 cho, 𝑒𝑓 = 𝑓𝑒 = 𝑓 với 𝑓 ∈ 𝕭 𝑒 gọi đơn vị đại số 𝕭 thân đại số gọi đại số có đơn vị Nếu phần tử đơn vị tồn Nếu thân phép nhân giao hoán, tức thỏa mãn: 𝑓𝑔 = 𝑔𝑓 với 𝑓, 𝑔 ∈ 𝕭 đại số 𝕭 gọi đại số giao hoán Không gian định chuẩn 𝕭 gọi đại số định chuẩn đại số có đơn vị thỏa mãn thêm hai tiên đề: i) 𝑒 = ii) 𝑓𝑔 = 𝑓 𝑔 ∀𝑓, 𝑔 ∈ 𝕭 Nếu 𝕭 đại số định chuẩn đầy đủ (tức chuẩn không gian tuyến tính đầy đủ) đại số 𝕭 gọi đại số Banach Nhận xét: Từ định nghĩa dễ dàng thấy rằng: i) Đại số đại số định chuẩn đại số định chuẩn ii) Bao đóng đại số đại số iii) Đại số đóng đại số Banach đại số Banach Một số ví dụ đại số Banach: a) Trường số phức ℂ : Xét trường số phức với phép cộng phép nhân thông thường với chuẩn: 𝑧 = 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 Khi ℂ đại số Banach với phần tử đơn vị 𝑒 = b) Giả sử 𝑆 tập Ký hiệu ℓ∞ (𝑆) tập hợp tất hàm phức bị chặn 𝑆 Trong ℓ∞ 𝑆 , phép toán cộng nhân xác định sau: 1) 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 2) 𝑓𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 3) 𝜆𝑓 𝑥 = 𝜆𝑓(𝑥) Với hàm 𝑓 ∈ ℓ∞ 𝑆 , chuẩn xác định theo công thức: 𝑓 ∞ = sup𝑥∈𝑆 𝑓(𝑥) Khi không gian ℓ∞ 𝑆 với phép toán chuẩn định nghĩa thỏa mãn đề định nghĩa đại số Banach Vậy ℓ∞ 𝑆 đại số Banach với phần tử đơn vị là: 𝑓 = c) Đại số 𝐶𝑇 : Cho không gian tôpô Hausdorff compact 𝑇 Kí hiệu không gian tuyến tính hàm phức liên tục 𝑇 𝐶𝑇 , phép toán cộng nhân phần tử phép cộng nhân hai hàm số định nghĩa phần ví dụ b) Chuẩn hàm 𝑥(𝑡) ∈ 𝐶𝑇 xác định công thức: 𝑥 = max 𝑥(𝑡) 𝑡∈𝑇 Khi 𝐶𝑇 đại số Banach với phần tử đơn vị 𝑒 𝑡 = Trong ví dụ nêu trên, đại số Banach nhắc đến giao hoán Các ví dụ đại số Banach không giao hoán xem thêm mục 3.1 Định nghĩa 1.1.2 Nếu 𝐵𝝀 𝜆𝜖𝔅 𝝀∈𝕭 họ đại số đại số 𝕭 𝐵𝝀 đại số Do đó, 𝑆 tập 𝕭 luôn tồn đại số nhỏ 𝐵 𝕭 chứa 𝑆 (đó giao tất đại số chứa 𝑆 đại số 𝕭) Đại số gọi đại số 𝕭 sinh 𝑆 Nếu 𝑆 tập có phần tử 𝑓 𝐵 bao gồm phần tử có dạng 𝑓 𝑛 (𝑛 = 1,2,3, … ) Nếu 𝕭 đại số định chuẩn đại số đóng 𝐶 sinh tập 𝑆 định nghĩa đại số đóng nhỏ 𝕭 mà chứa 𝑆 Như : 𝐶 = 𝐵, 𝐵 đại số sinh 𝑆 Định nghĩa 1.1.3 Một idean trái (tương ứng: idean phải) đại số 𝕭 không gian vector 𝐼 𝕭 thỏa mãn tính chất: 𝑎 ∈ 𝕭 𝑏 ∈ 𝕭 𝑎𝑏 ∈ 𝐼 (tương ứng: 𝑏𝑎 ∈ 𝐼 ) 𝐼 gọi idean 𝕭 vừa idean trái, vừa idean phải 𝕭 Hiển nhiên 𝕭 idean 𝕭 Chúng gọi idean tầm thường Idean gọi cực đại không bị chứa idean không tầm thường khác 1.2 Phổ bán kính phổ Phổ phần tử đại số Banach ứng dụng dễ thấy lý thuyết đại số Banach giải tích truyền thống Nó hoàn toàn phù hợp với kiến thức có trước phổ toán tử tuyến tính Nhiều tính chất toán tử tuyến tính chứng minh dễ dàng nhờ việc sử dụng khái niệm tính chất lý thuyết đại số Banach Mục 1.2 trình bày phổ bán kính phổ phần tử đại số Banach, ứng dụng khái niệm tính chất trường hợp phổ toán tử tuyến tính trình bày chương khóa luận 1.2.1 Phần tử khả nghịch Định nghĩa 1.2.1 𝐶𝑕𝑜 𝕭 𝑙à đạ𝑖 𝑠ố 𝐵𝑎𝑛𝑎𝑐𝑕 10  Phần tử 𝑓 ∈ 𝕭 gọi phần tử khả nghịch tồn phần tử 𝑓 −1 ∈ 𝕭 cho: 𝑓𝑓 −1 = 𝑓 −1 𝑓 = 𝑒 e phần tử đơn vị 𝕭 Ký hiệu tập hợp tất phần tử khả nghịch 𝕭 G  Phần tử 𝑓 ∈ 𝕭 gọi khả nghịch trái tồn phần tử 𝑓 −1 ∈ 𝕭 cho: 𝑓 −1 𝑓 = 𝑒 e phần tử đơn vị 𝕭 Tập tất phần tử khả nghịch trái 𝕭 kí hiệu 𝐺𝑙  Phần tử 𝑓 ∈ 𝕭 gọi khả nghich phải tồn phần tử 𝑓 −1 ∈ 𝕭 cho: 𝑓𝑓 −1 = 𝑒 e phần tử đơn vị 𝕭 Tập tất phần tử khả nghịch phải 𝕭 kí hiệu 𝐺𝑟 Mệnh đề 1.2.1 Nếu f phần tử thuộc đại số Banach 𝕭 v 𝑒 − 𝑓 < 1, f khả nghịch 𝑓 −1 ≤ 1− 𝑒−𝑓 Chứng minh Đặt 𝜂 = 𝑒 − 𝑓 Theo giả thiết 𝑒 − 𝑓 < 1, nên 𝜂 < Khi với 𝑁, 𝑀 ∈ ℕ, 𝑀 ≤ 𝑁, 𝑡𝑎 𝑐ó: 55 Suy 𝒟 𝐴 𝑈 𝑡 𝑥 → 𝑥 𝑡 → 0+ Ngoài ra, 𝑈 𝑡 hàm giới nội Thật vậy, theo (2.2.12) ta có: 𝑈 𝑡 =− 2𝜋𝑖 𝑒 𝜆𝑡 𝑅𝜆 𝐴 𝑑𝜆 = − Γ t 2𝜋𝑖 𝑒 𝜇 𝑅𝜇 𝑡 −1 𝐴 𝑑𝜇 Γ Kết hợp với (2.2.13) suy 𝑡 ∈ 0,1 thì: 𝑈 𝑡 𝑐 ≤ 2𝜋 Γ 𝑒 𝑅𝑒𝜇 𝑑 𝜇 = 𝑐2 𝜇 2.2.14 Theo định lí Banach – Steinhauss (xem [2]) ta có : 𝑈 𝑡 𝑥 → 𝑥 𝑡 → 0+ , với 𝑥 ∈ 𝑋 Vậy ta chứng minh điều kiện 1) định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh Để chứng minh điều kiện 2) định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh ta sử dụng đánh giá (2.2.10), suy với 𝑡 ≥ thì: 𝑈 𝑡 ≤ 𝑐 𝑒 𝜔𝑡 2𝜋 +∞ 𝑒 −∞ − 𝜌 𝑡𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑐𝑒 𝜔𝑡 𝑑𝜌 ≤ = 𝑐3 𝑒 𝜔𝑡 𝜋𝑐𝑜𝑠𝜑 Cùng với (2.2.14) ta thu điều kiện 2) định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh với 𝑀 = max 𝑐2 , 𝑐3 Cuối cùng, ta chứng minh điều kiện 3) định nghĩa: Giả sử Γ ′ đường cong Γ 𝑡 (hình 2.1) Biểu diễn 𝑈 𝑡 theo công thức (2.2.9), 𝑈 𝑠 dạng: 56 𝑈 𝑠 =− 2𝜋𝑖 𝑒 𝜇𝑡 𝑅𝜆 𝐴 𝑑𝜇 Γ′ Viết tích phân lặp dạng tích phân kép sử dụng đồng thức: 𝜆−𝜇 −1 𝑒 𝜆𝑡 +𝜇𝑠 𝑅𝜆 𝐴 𝜆 − 𝜇 −1 𝑅𝜆 𝐴 𝑅𝜇 𝐴 = 𝑅𝜆 𝐴 − 𝑅𝜇 𝐴 Suy ra: 𝑈 𝑡 𝑈 𝑠 = 2𝜋𝑖 𝑑𝜆𝑑𝜇 Γ Γ′ − 2𝜋𝑖 𝑒 𝜆𝑡 +𝜇𝑠 𝑅𝜇 𝐴 𝜆 − 𝜇 −1 𝑑𝜆𝑑𝜇 Γ Γ′ Sử dụng kiến thức học ta tính được: 1 2𝜋𝑖 Γ′ 2𝜋𝑖 Γ′ 𝑒 𝜇𝑠 𝑑𝜇 = 𝑒 𝜆𝑠 𝜆−𝜇 𝑒 𝜆𝑡 𝑑𝜆 = 𝜆−𝜇 Sử dụng hai kết đổi thứ tự lấy tích phân tích phân bội ta có: 𝑈 𝑡 𝑈 𝑠 = 2𝜋𝑖 𝑒𝜆 𝑡+𝑠 𝑅𝜆 𝐴 𝑑𝜆 = 𝑈 𝑡 + 𝑠 Γ Vậy mệnh đề chứng minh xong  57 Chương Một số ví dụ ứng dụng 3.1 Một vài ví dụ đại số Banach Dưới ta đưa thêm số ví dụ đại số Banach a) Kí hiệu 𝔻 vòng tròn đơn vị mặt phẳng phức Gọi 𝐴 tập hợp tất hàm liên tục 𝔻 giải tích điểm 𝔻 Khi đó, 𝐴 đại số đóng đại số Banach 𝐶(𝔻) 𝐴 có tên gọi riêng đại số đĩa Trong ví dụ vừa nêu ví dụ chương I, đưa đại số Banach giao hoán, số ví dụ khác đại số Banach không giao hoán b) Đại số Banach toán tử tuyến tính bị chặn Cho 𝑋 không gian Banach Xét không gian 𝐿(𝑋, 𝑋) toán tử tuyến tính liên tục từ 𝑋 vào 𝑋 với phép toán cộng nhân toán tử thông thường Chuẩn toán tử 𝐴 ∈ 𝐿(𝑋, 𝑋) định nghĩa sau: 𝐴 sup 𝐴𝑥 𝑥 ≤1 Khi đó, 𝐿(𝑋, 𝑋) đại số Banach với phần tử đơn vị toán tử đồng 𝐼 𝑥 = 𝑥, với 𝑥 ∈ 𝑋 c) Đại số Banach ma trận tam giác Ta có 𝐵 ℂ𝑛 đại số toán tử tuyến tính ℂ𝑛 58 Không gian 𝑀𝑛 ℂ ma trận cấp 𝑛 × 𝑛 với phần tử ℂ đồng với 𝐵 ℂ𝑛 Do 𝑀𝑛 ℂ đại số Banach có đơn vị Ma trận tam giác ma trận có dạng sau: 𝜆11 𝜆12 𝜆13 𝜆22 𝜆23 0 𝜆33 ⋱ 0 … 𝜆1𝑛 ⋯ 𝜆2𝑛 ⋯ 𝜆3𝑛 ⋯ 𝜆3𝑛 Tập hợp tất ma trận lập nên đại số 𝑀𝑛 ℂ 3.2 Một số toán ví dụ phân lớp phổ Ví dụ 1: Tìm 𝜍𝑝 𝐴 , 𝜍𝑐 𝐴 , 𝜍𝑟 𝐴 𝐴 toán tử nhân với biến độc lập 𝐴𝑥 𝑡 = 𝑡𝑥 𝑡 ; 𝑡 ∈ 0,1 a) Trong 𝐶 0,1 b) Trong𝐿2[0,1] Lời giải: a) 𝑋 = 𝐶 0,1 Nếu 𝜆𝐼 − 𝐴 𝑥 𝑡 = 𝜆 − 𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 = với 𝑡 ≠ 𝜆 Do 𝑥 𝑡 liên tục nên 𝑥 ≡ Vậy không tồn 𝑥 ≠ cho 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 Từ ta suy 𝜍𝑝 𝐴 = ∅ Nếu 𝜆 ∈ 0,1 𝑦 ∈ 𝑅 𝜆𝐼 − 𝐴 tồn hàm 𝑥 ∈ 𝐶 0,1 cho 59 𝑦 𝑡 = 𝜆−𝑡 𝑥 𝑡 Khi 𝑦 𝜆 = Nếu 𝑦0 ∈ 𝐶 0,1 , 𝑦0 𝜆 ≠ không tồn dãy 𝑦𝑛 = 𝑡 − 𝜆 𝑥𝑛 𝑡 ∈ 𝑅 𝜆𝐼 − 𝐴 cho 𝑦𝑛 → 𝑦 ( ngược lại, tồn dãy 𝑦𝑛 𝑦𝑛 𝜆 = 0, 𝑦0 𝜆 ≠ ) Như 𝑅 𝜆𝐼 − 𝐴 ≠ 𝐶 0,1 Kết luận: 𝜍𝑟 𝐴 = 0,1 ; 𝜍𝑝 𝐴 = ∅ 𝜍 𝐴 = 𝜍𝑟 𝐴 = 0,1 ; 𝜍𝑐 𝐴 = 𝜍𝑝 𝐴 = ∅ b) 𝑋 = 𝐿2[0,1] 𝑡 ∈ 0,1 𝐴𝑥 𝑡 = 𝑡𝑥 𝑡 ; 𝑡 ∈ 0,1 𝐴 toán tử tự liên hợp, < 𝐴𝑥, 𝑦 >= 𝑡𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑡 𝑡𝑦 𝑡 𝑑𝑡 =< 𝑥, 𝐴𝑦 >, 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿2[0,1] = Do đó, theo định lí 2.1.4, 𝜍𝑟 𝐴 = ∅ Tương tự mục a) ta có 𝜍 𝐴 ⊆ 0,1 Giả sử 𝜆 ∈ 0,1 𝜆𝐼 − 𝐴 𝑥 𝑡 = 𝜆 − 𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑦 𝑡 60 𝐾𝑕𝑖 𝑥 𝑡 = 𝑦 𝑡 𝜆−𝑡 𝑁ế𝑢 𝑐𝑕ọ𝑛 𝑦 = 𝑡𝑕ì 𝑥 𝑡 = ∉ 𝐿20,1 𝜆−𝑡 Vậy 𝑅 𝜆𝐼 − 𝐴 ≠ 𝐿20,1 Rõ ràng 𝜆 ∈ 0,1 𝜆𝐼 − 𝐴 không khả nghịch Suy 𝜍 𝐴 = 0,1 Nếu 𝜆 ∈ 0,1 𝜆𝐼 − 𝐴 𝑥 𝑡 = tương đương với 𝜆 − 𝑡 𝑥 𝑡 = Suy 𝑥 𝑡 = với 𝑡 ≠ 𝜆 Do 𝑥 = Vậy 𝐾𝑒𝑟 𝜆𝐼 − 𝐴 = Suy 𝜆 ∉ 𝜍𝑝 𝐴 hay 𝜍𝑝 𝐴 = ∅ Kết luận: 𝜍𝑟 𝐴 = ∅; 𝜍𝑐 𝐴 = 0,1 ; 𝜍𝑝 𝐴 = ∅ Ví dụ 2: Giả sử 𝐴∗ toán tử liên hợp 𝐴 Chứng minh rằng: Nếu 𝐴 ∈ ℒ 𝐻 , 𝐴 = 𝐴∗ 𝜍 𝐴 = 𝜆 𝐴 = 𝜆𝐼 Lời giải: Điều kiện đủ: Nếu 𝐴 = 𝜆𝐼 với 𝜇 ≠ 𝜆, 𝜇𝐼 − 𝐴 = 𝜇 − 𝜆 𝐼 có nghịch đảo Vậy ta có 𝜍 𝐴 = 𝜆 Điều kiện cần: Giả sử 𝜍 𝐴 = 𝜆 Vì 𝐴 = 𝐴∗ nên với 𝜆 ∈ ℝ, 𝜆𝐼 − 𝐴 toán tử tự liên hợp Nếu 𝐴 toán tử tự liên hợp ℒ 𝐻 thì: 61 𝐴2 = sup < 𝐴2 𝑥, 𝑥 > = sup < 𝐴𝑥, 𝐴𝑥 > = 𝐴 𝑥 =1 𝑥 =1 Mặt khác: 𝑟 𝐴 = lim 𝐴𝑛 𝑛 𝑥→∞ Suy ra: 𝑟 𝐴 = lim 𝐴𝑛 2𝑛 𝑥→∞ = 𝐴 Vậy 𝑟 𝜆𝐼 − 𝐴 = 𝜆𝐼 − 𝐴 𝜆𝐼 − 𝐴 tự liên hợp Vì 𝜍 𝐴 = 𝜆 nên 𝜍 𝜆𝐼 − 𝐴 = Suy ra: 𝜆𝐼 − 𝐴 = 𝑟 𝜆𝐼 − 𝐴 = Vậy 𝐴 = 𝜆𝐼 3.3 Một số toán ví dụ phổ toán tử Kí hiệu:  𝐶 0,1 không gian hàm liên tục đoạn 0,1  𝐶 10,1 không gian hàm khả vi liên tục đoạn [0,1] Ví dụ 1: Xét toán tử 𝐴 ∶ 𝐶 10,1 → 𝐶 0,1 xác định bởi: 𝐴𝑓 = 𝑓 ′ Tìm phổ toán tử 𝐴 Lời giải: Ta có: 𝒟 𝐴 = 𝐶 10,1 62 Ta chứng minh 𝜍 𝐴 = ℂ, tức 𝜌 𝐴 = ∅ Ta chứng minh 𝜆𝐼 − 𝐴 song ánh với 𝜆 ∈ ℂ Dễ dàng thấy 𝜆𝐼 − 𝐴 = Ngoài phương trình: 𝜆𝐼 − 𝐴 𝑓 = có nghiệm 𝑓 = 𝑒 𝜆𝑠 , 𝑠 ∈ 0,1 Do 𝜆𝐼 − 𝐴 đơn ánh Suy 𝜆𝐼 − 𝐴 không song ánh Vậy 𝜍 𝐴 = ℂ Ví dụ 2: Xét toán tử 𝐵 ∶ 𝐶 10,1 → 𝐶 0,1 xác định bởi: 𝐵𝑢 = 𝑢′ miền xác định 𝒟 𝐵 = 𝑢 ∈ 𝐶 10,1 ; 𝑢 = Tìm phổ toán tử 𝐵 Lời giải: Ta chứng minh 𝜍 𝐵 = ∅ tức 𝜌 𝐵 = ℂ Theo định nghĩa ta chứng minh 𝜆𝐼 − 𝐵 song ánh với 𝜆 ∈ ℂ Thật vậy, với 𝜆 ∈ ℂ phương trình vi phân : 𝜆𝐼 − 𝐵 𝑢 = 𝑓 có nghiệm 𝑢 𝑠 xác định công thức: 𝑒𝜆 𝑢 𝑠 = 𝑠−𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑠 Do với 𝑓 ∈ 𝐶 0,1 luôn tồn 𝑢 ∈ 𝒟 𝐵 cho 63 𝜆𝐼 − 𝐵 𝑢 = 𝑓 Vậy 𝜆𝐼 − 𝐵 song ánh Suy 𝜌 𝐵 = ℂ Ví dụ 3: Cho 𝕭 đại số Banach, 𝑓 ∈ 𝕭 𝒰 lân cận 𝜍 𝑓 𝜍 𝑓 ⊂𝒰 Chứng minh tồn số 𝛿 > cho 𝑔 ∈ 𝕭, 𝑔 − 𝑓 < 𝛿 𝜍 𝑔 ⊂ 𝒰 Lời giải: Kí hiệu 𝑃 = ℂ\𝒰 Vì 𝜍 𝑓 ⊂ 𝒰 nên 𝑃 ⊂ 𝜌 𝑓 Ta chứng minh tồn 𝛿 > cho 𝑔 ∈ 𝕭, 𝑔 − 𝑓 < 𝛿 𝑔 − 𝜆𝑒 khả nghịch với 𝜆 ∈ 𝑃 Ta có: 𝑔 − 𝜆𝑒 = 𝑔 − 𝑓 + 𝑓 − 𝜆𝑒 = 𝑓 − 𝜆𝑒 𝑒 + 𝑔 − 𝑓 𝑓 − 𝜆𝑒 −1 ∗ khả nghịch Đánh giá: 𝑔 − 𝑓 𝑓 − 𝜆𝑒 −1 ≤ 𝑔−𝑓 𝑓 − 𝜆𝑒 Ta có phần tử khả nghịch bị chặn nên giả sử 𝑓 − 𝜆𝑒 số 𝐶𝑕ọ𝑛 𝛿 = 𝐾𝑕𝑖 đó, 𝑀 𝑔 − 𝑓 𝑓 − 𝜆𝑒 −1 −1 < < 𝛿 𝑓 − 𝜆𝑒 −1 −1 < 𝑀, với 𝑀 64 Và 𝑒 + 𝑔 − 𝑓 𝑓 − 𝜆𝑒 −1 khả nghịch Từ công thức ∗ ta có: 𝑔 − 𝜆𝑒 khả nghịch với 𝜆 ∈ 𝑃 Vậy 𝜍 𝑔 = ℂ\𝜌 𝑔 ⊂ ℂ\𝑃 = 𝒰 3.4 Về vấn đề liên tục nửa nhóm 𝑼(𝒕) Ứng dụng kết chương 2, ta xem xét mệnh đề nghiên cứu vấn đề khả vi nửa nhóm 𝑈 𝑡 : Mệnh đề 3.3.1 Giả sử 𝐴 toán tử eliptic trừu tượng Khi với 𝑡 > nửa nhóm 𝑈 𝑡 khả vi liên tục, với 𝑥0 ∈ 𝑋 mà 𝑈 𝑡 𝑥0 ∈ 𝒟 𝐴 ta có: 𝑈 ′ 𝑡 𝑥0 = 𝐴𝑈 𝑡 𝑥0 = − 2𝜋𝑖 𝜆𝑒 𝜆𝑡 𝑅𝜆 𝐴 𝑥0 𝑑𝜆 3.3.1 Γ Chứng minh Giả sử 𝑡 > ta có: 𝑈′ 𝑡 = − 2𝜋𝑖 𝜆𝑒 𝜆𝑡 𝑅𝜆 𝐴 𝑑𝜆 Γ Trong công thức ta lấy đạo hàm theo t tích phân tương ứng hội tụ theo t đoạn 𝑡0 , 𝑡1 bất kì, 𝑡0 > Tiếp theo, từ đẳng thức 𝜆𝑅𝜆 𝐴 = 𝐼 + 𝐴𝑅𝜆 𝐴 Suy toán tử 𝐴𝑅𝜆 𝐴 giới nội Hơn nữa, ta chứng minh rằng: 𝜆𝑒 𝜆𝑡 𝑑𝜆 = Γ 65 nên (3.3.1) Vậy mệnh đề chứng minh xong Mệnh đề 3.3.2 Giả sử 𝐴, 𝒟 𝐴  toán tử eliptic trừu tượng (thỏa mãn điều kiện mệnh đề 2.2.1) 𝐵 ∈ ℒ 𝑋 Khi đó, 𝐶 ∶= 𝐴 + 𝐵 có miền xác định 𝒟 𝐶 ≔ 𝒟 𝐴 nửa nhóm 𝑆 𝑡 𝑡≥0 sinh 𝐶 nửa nhóm liên tục mạnh ta có đánh giá: 𝑆 𝑡 ≤ 𝑀𝑒 𝜔 +𝑀 𝐵 𝑡 , 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑡 ≥ (∗) 𝜔 ∈ ℝ 𝑣à 𝑀 > 1.(xem công thức (2.2.2)) Chứng minh Giả sử 𝑈 𝑡 𝑡≥0 2.2.1 ta có 𝑈 𝑡 nửa nhóm sinh A Khi đó, theo kết mệnh đề 𝑡≥0 nửa nhóm liên tục mạnh thỏa mãn 𝑈(𝑡) ≤ 𝑀𝑒 𝜔𝑡 , 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑡 ≥ 𝜔 ∈ ℝ 𝑀 > Để chứng minh 𝑆 𝑡 𝑡≥0 nửa nhóm liên tục mạnh thỏa mãn (*) Đầu tiên, ta xét trường hợp 𝜔 = 𝑣à 𝑀 = Khi đó, 𝜆 > 𝜆 ∈ 𝜌 𝐴 (xem [6] trang 42) Ta có: 𝜆𝐼 − 𝐶 = 𝜆𝐼 − 𝐴 − 𝐵 = 𝐼 − 𝐵𝑅𝜆 𝐴 𝜆𝐼 − 𝐴 3.3.2 Do 𝜆 ∈ 𝜌 𝐴 nên 𝜆𝐼 − 𝐴 song ánh Từ 𝜆𝐼 − 𝐶 song ánh, tức 𝜆 ∈ 𝜌 𝐶 𝐼 − 𝐵𝑅𝜆 𝐴 khả nghịch ℒ 𝑋 66 Suy 𝜆 ∈ 𝜌 𝐶 𝑅𝜆 𝐶 = 𝑅𝜆 𝐴 𝐼 − 𝐵𝑅𝜆 𝐴 −1 3.3.3 Chọn 𝑅𝑒𝜆 > 𝐵 Khi 𝐵𝑅𝜆 𝐴 ≤ 𝐵 𝐵 , sử dụng hệ định lý Hill-Yosida (xem [6] trang 68) ta suy 𝐶 toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (𝑆(𝑡))𝑡≥0 Và (𝑆(𝑡))𝑡≥0 thỏa mãn bất đẳng thức sau: 𝑆(𝑡) 𝑡≥0 ≤𝑒 𝐵 𝑡 với 𝑡 ≥ Đối với trường hợp tổng quát 𝜔 ∈ ℝ 𝑀 ≥1, sử dụng kỹ thuật chứng minh tương tự [6], trang 47, 71 Chúng ta sử dụng chuẩn sau: |||𝑥||| ≔ sup𝑡≥0 𝑈(𝑡)𝑥 với 𝑥 ∈ 𝑋 Chuẩn thỏa mãn bất đẳng thức: 𝑥 ≤ |||𝑥||| ≤ 𝑀 𝑥 67 Từ ta có: (𝑈(𝑡))𝑡≥0 nửa nhóm co Vậy ta suy ra: |||𝐵𝑥||| ≤ 𝑀 𝐵 ∙ 𝑥 ≤ 𝑀 𝐵 ∙ |||𝑥||| với 𝑥 ∈ 𝑋 Theo phần chứng minh, tổng 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (𝑆(𝑡))𝑡≥0 thỏa mãn bất đẳng thức sau: 𝑆(𝑡)𝑥 ≤ 𝐵𝑥 ≤ 𝑒𝑀 𝐵 𝑡 Từ ta nhận chứng minh mệnh đề 𝑥 , với 𝑡 ≥  68 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lại số kiến thức về: lý thuyết đại số Banach, ví dụ ứng dụng giải tích hàm phổ toán tử tuyến tính không gian Banach Phần luận văn trình bày vài ứng dụng lý thuyết phổ phương trình vi phân Luận văn giúp thu nhận số kiến thức đại số Banach lý thuyết phổ toán tử tuyến tính dùng làm sở cho việc tìm hiểu nghiên cứu nhiều toán lĩnh vực 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Thủy Thanh (1985), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp [3] Hoàng Tụy (2002), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] R G Douglas (1972), Banach algebra techniques in operator theory, Academic Press, Inc [5] A N Kolmogorov, X V Fomin (1971), Introduction to Real Analysis, Dover Publications, Inc, New York [6] G J Murphy (1990), C*-algebra and operator theory, Academic Press, Inc [7] K Engel, R Nagel (2005), A short Course on Operator Semigroups, Springer