LỜI CẢM ƠN Nhân dịp luận văn hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Đình Kế tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, toàn thể thầy giáo, cô giáo Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có điều kiện tốt suốt trình học tập, thực đề tài nghiên cứu khoa học Tác giả xin trân thành cảm ơn UBND tỉnh Vĩnh Phúc, Sở GD - ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, BGH trường THPT Bình Sơn huyện Sông Lô tỉnh Vĩnh Phúc tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập hoàn thành luận văn Do thời gian kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót định.Tác giả xin chân thành cảm ơn nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn học viên Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013 Tác giả Nguyễn Bá Huy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Trần Đình Kế, luận văn tốt nghiệp “Nghiệm tuần hoàn ổn định tiệm cận lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính với trễ bội” hoàn thành nhận thức thân tác giả không trùng với luận văn khác Trong trình làm luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013 Tác giả Nguyễn Bá Huy Mục lục MỞ ĐẦU 1 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHỆM DAO ĐỘNG 1.1 Nghiệm tuần hoàn toán tuyến tính 1.2 Bài toán nửa tuyến tính có trễ bội 13 ỨNG DỤNG CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 21 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 ii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xét phương trình vi phân với trễ bội u (t) = Au(t) + F (t, u(t), u(t − τ1 ), , u(t − τn )), t ∈ R, (1) A toán tử tuyến tính (không bị chặn) không gian Hilbert H, F hàm phi tuyến Phương trình (1) mô hình tổng quát nhiều lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính có trễ, nghiên cứu nhiều nhà toán học năm gần Một số vấn đề nghiên cứu đặt (1) bao gồm: Trong trường hợp F tuần hoàn theo t (biến thứ nhất), (1) có nghiệm tuần hoàn? Đây vấn đề nghiên cứu định tính liên quan đến lý thuyết nghiệm dao động Với điều kiện nghiệm (1) ổn định tiệm cận? Vấn đề nằm hướng nghiên cứu lớn lý thuyết phương trình vi tích phân: lý thuyết ổn định Với mong muốn tìm hiểu sâu dáng điệu nghiệm số lớp phương trình vi phân hàm, chọn đề tài: Nghiệm tuần hoàn ổn định tiệm cận lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính với trễ bội làm đối tượng nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày chi tiết kết báo [7] Li Cụ thể tìm hiểu tính giải được, tính chất nghiệm (tính dao động, ổn định tiệm cận) lớp phương trình vi phân tổng quát với trễ bội không gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết ổn định nghiệm phương trình vi phân; Tìm hiểu lý thuyết nghiệm dao động phương trình vi phân; Chứng minh số kết tính dao động, tính ổn định tiệm cận nghiệm lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính với trễ bội; Ứng dụng cho số lớp phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính có trễ Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu lớp phương trình vi phân nửa tuyến tính với trễ bội; • Phạm vi nghiên cứu: Tính giải được, tính dao động nghiệm, tính ổn định tiệm cận nghiệm Phương pháp nghiên cứu Sử dụng số phương pháp giải tích hàm: lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm Dự kiến đóng góp đề tài Trình bày cách hệ thống nghiên cứu định tính tính dao động tính ổn định nghiệm phương trình vi phân nửa tuyến tính có trễ bội Chương SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHỆM DAO ĐỘNG Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng với trễ mô hình toán học nhiều toán vật lý, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học nhiều tính chất nghiệm nghiên cứu (xem [[4], [17]]) tài liệu tham khảo Các toán liên quan đến nghiệm tuần hoàn phương trình đạo hàm riêng có trễ, chủ đề quan trọng nghiên cứu năm gần Đặc biệt, tồn nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa với trễ thu hút quan tâm số tác giả (xem, [[3], [18], [10]-[12], [19]]), tài liệu tham khảo [3], Burton Zhang nghiên cứu phương trình tiến hóa với trễ vô hạn Với giả thiết nghiệm phương trình tiến hóa bị chặn đều, họ thu số kết tồn nghiệm tuần hoàn cách sử dụng định lý điểm bất động Granas Trong tài liệu [18], Xiang Ahmed chứng minh kết tồn nghiệm tuần hoàn phương trình tiến hóa không gian Banach với giả thiết toán giá trị ban đầu tương ứng có đánh giá tiên nghiệm Trong tài liệu [10]-[12], tác giả Liu suy tồn nghiệm tuần hoàn từ nghiệm bị chặn hay nghiệm bị chặn chung phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn hay vô hạn không gian Banach Trong cách làm trên, giả thiết trung tâm tính bị chặn toàn cục nghiệm Gần đây, Zhu, Liu Li tài liệu [19] nghiên cứu tồn nghiệm tuần hoàn theo  thời gian phương trình tiến hóa Parabolic chiều có trễ  ut = uxx + au + f (u (x, t − τ1 ) , , u (x, t − τn )) + g (x, t) , (0, 1) × R,  u (0, t) = u (1, t) = 0, R, Trong đó, a ∈ R, f : Rn → R Lipschitz địa phương liên tục, g : [0, 1] × R → R hàm Holder liên tục g (x, t) có chu kỳ ω theo t τ1 , τ2 , , τn số dương Mô hình phương trình chứa số trình sinh vật học (xem, [[19], [13]]) Các giả thiết đặt sau (A1) n 3; n (A2) |f (η1 , , ηn ) + g (x, t)| βi |ηi | + K với (η1 , , ηn ) ∈ Rn , i=1 β1 , , βn K số dương (A3) (|a| + 2)2 + n βi2 < π + 1; i=1 Với giả thiết tác giả thu tồn nghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω phương trình (1) Hơn nữa, thêm vào điều kiện n (A4) |f (η1 , , ηn ) − f (ξ1 , , ξn )| βi |ηi − ξi |, tác giả chứng i=1 tỏ nghiệm tuần hoàn theo thời gian phương trình (1) ổn định tiệm cận Trong luận văn này, phương pháp khác sử dụng để cải tiến mở rộng kết đề cập Cụ thể ta bỏ điều kiện (A1) cải tiến điều kiện (A3) Ta dùng điều kiện ngắn gọn ∗ n (A3) a + βi < π , thay cho điều kiện (A3) Thực tế, điều kiện i=1 (A3) n (|a| + 2) < π + 1, i=1 βi2 < π + − (|a| + 2)2 Từ bất đẳng thức thứ ta thấy |a| < √ π + − < 2, a < π2 Nếu điều kiện (A1) từ bất đẳng thức thứ hai ta có: n 1/2 n βi i=1 < < n √ √ 1/2 βi2 √ 1/2 n βi2 i=1 i=1 π + − (|a| + 2)2 = π2 − a < π2 − a ∵ √ π − − |a| − a2 √ π2 − a > π2 − > Do điều kiện (A3)∗ yếu điều kiện (A3) nhiều Với điều kiện (A3)∗ yếu hơn, ta thu kết sau: Định lý A Cho f : Rn → R hàm Lipschitz địa phương liên tục, g : [0, 1] × R → R hàm Holder liên tục g (x, t) có chu kỳ ω theo t Nếu điều kiện (A2) (A3)∗ phương trình (1) nhận u ∈ C 2,1 ([0, 1] × R) nghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω theo thời gian Định lý B Cho f : Rn → R hàm Lipschitz địa phương liên tục, g : [0, 1] × R → R hàm Holder liên tục g (x, t) có chu kỳ ω theo t Nếu điều kiện (A3)∗ (A4) phương trình (1) có nghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω theo thời gian, u ∈ C 2,1 ([0, 1] × R) Định lý A định lý B không sử dụng điều kiện (A1) cải tiến nhiều kết [19] Ta xét toán không gian Hilbert tổng quát Cho H không gian Hilbert, A toán tử xác định dương tự liên hợp với miền xác định H1 = D(A) ⊂ H Xét H1 với tích vô hướng ·, · := (A·, A·) Nếu A có giải thức compact theo định lý phân giải phổ toán tử tự liên hợp, phổ σ(A) bao gồm giá trị riêng thực xếp theo dãy λ1 < λ2 < · · · < λn < · · ·, λn → ∞ (n → ∞) (1.1) Theo tính chất toán tử xác định dương A, giá trị riêng thứ λ1 > Cho F : R × H n+1 → H ánh xạ liên tục với v = (v0 , v1 , , ) ∈ H n+1 , F (t, v) có chu kỳ ω theo t Tổng quát hơn, ta xét tồn ổn định tiệm cận nghiệm tuần hoàn theo thời gian phương trình u (t) + Au(t) = F (t, u (t) , u (t − τ1 ) , , u (t − τn )) , t∈R (1.2) Với phương trình tiến hóa có trễ tổng quát, ta thu kết sau Định lí 1.0.1 Cho A toán tử tự liên hợp xác định dương không gian Hilbert có giải thức compact Cho F : R × H n+1 → H liên tục F (t, v) có chu kỳ ω theo t Nếu tồn số dương β0 , β1 , , βn K cho điều kiện sau nghiệm n (F 1) F (t, v0 , v1 , , ) i=0 n (F 2) βi vi +K, t ∈ R, (v0 , v1 , , ) ∈ H n+1 ; βi < λ1 , i=0 phương trình (1.2) có nghiệm mạnh tuần hoàn có chu kỳ 1,2 ω thuộc vào L2loc (R, H1 ) ∩ Wloc (R, H) Định lí 1.0.2 Cho A toán tử tự liên hợp xác định dương không gian Hilbert có giải thức compact Cho F : R × H n+1 → H hoàn toàn liên tục F (t, v) có chu kỳ ω theo t Nếu tồn số dương β0 , β1 , , βn cho điều kiện (F 2) điều kiện sau n (F 3) F (t, v0 , v1 , , ) − F (t, w0 , w1 , , wn ) βi vi − wi , i=0 phương trình (1.2) có nghiệm mạnh tuần hoàn có chu 1,2 kỳ ω thuộc vào L2loc (R, H1 ) ∩ Wloc (R, H) Ngoài ra, làm mạnh điều kiện (F2) định lý 1.0.2 ta thu kết tính ổn định tiệm cận nghiệm tuần hoàn n βi ϕ i=1 C + K Từ S(t) (t 0) nửa nhóm compact, theo định lý tồn biết (xem, [[15], chương 6, định lý 2.2]) Phương trình (1.16) có nghiệm tích phân v1 ∈ C ([0, δ] , H) Ta dễ dàng   v1 (t), t ∈ [0, δ] , u1 (t) =  ϕ(t), t ∈ [−r, 0] nghiệm tích phân phương trình trễ (1.13) [−r, δ] Tương tự cách làm trên, ta xác định ánh xạ G1 : [δ, 2δ] × H → H G1 (x, t) = F (t, x, u1 (t − τ1 ), , u1 (t − τn )) , t ∈ [δ, 2δ] , x ∈ H, Khi toán giá trị ban đầu   v (t) + Av(t) = G1 (t, v(t)),  v(δ) = u1 (δ) t ∈ [δ, 2δ] , (1.17) có nghiệm tích phân v2 ∈ C ([δ, 2δ] , H)   v2 (t), t ∈ [δ, 2δ] , u2 (t) =  u1 (t), t ∈ [−r, δ] nghiệm tích phân phương trình trễ (1.13) [−r, 2δ] Tiếp tục cách làm [2δ, 3δ], [3δ, 4δ], Cuối cùng, ta thu nghiệm tích phân u ∈ C ([−r, ∞) , H) phương trình có trễ (1.13) Đặt h(t) = F (t, u(t), u(t − τ1 ), , u(t − τn )) , t ∈ J, u(t) nghiệm tích phân phương trình tiến hóa tuyến tính (1.6) Khi t > 0, theo biểu diễn (1.7), u(t) = S(t)x0 + v(t), t S(t − s)h(s)ds Từ v(t) có dạng quy (1.11) S(t)u(0) ∈ v(t) = o D(A) ⊂ H1/2 , ta thu u(t) = S(t)x0 + v(t) ∈ H1/2 15 Gọi ε T số dương với ε < T Từ u(t) nghiệm tích phân phương trình tiến hóa tuyến tính   v (t) + Av(t) = h(t), t ∈ [ε, T ] ,  v(ε) = u(ε) (1.18) giá trị ban đầu v(ε) ∈ H1/2 , ta thấy u có dạng quy (1.11) [ε, T ] nghiệm mạnh phương trình (1.18) Với ε T bất 1,2 ((0, ∞), H) nghiệm mạnh kì, u ∈ L2loc ((0, ∞), H1 ) ∩ Wloc phương trình có trễ (1.13) Định lí 1.2.2 Cho F : J × H n+1 → H liên tục ϕ ∈ C ([−r, 0] , H) Nếu F thỏa mãn điều kiện (F 3) toán giá trị ban đầu có trễ (1.13) có nghiệm mạnh toàn cục Chứng minh Từ (F 3) ⇒ (F 1), theo định lý 1.2.1 toán giá trị ban đầu có trễ (1.13) có nghiệm mạnh toàn cục Cho u1 , u2 ∈ C ([−r, ∞) , H) hai nghiệm mạnh toàn cục phương trình (1.13) Tương tự cách chứng minh định lý 1.2.1, ta sử dụng phương pháp lý luận theo điểm để chứng minh u1 (t) ≡ u2 (t) J Ta lưu ý u1 u2 xác định (1.15) thỏa mãn điều kiện Lipschitz Do theo định lý tính nghiệm (xem, [[15], chương 6, định lý 1.2]), u1 (t) ≡ u2 (t) [0, δ] Do u1 u2 nghiệm phương trình (1.17), từ suy u1 (t) ≡ u2 (t) [0, δ] Tiếp tục trình [2δ, 3δ], [3δ, 4δ], ta chứng minh u1 (t) ≡ u2 (t) [0, δ] Vậy phương trình (1.13) có nghiệm mạnh toàn cục Chứng minh định lý 1.0.1 16 Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ Cω (R, H) → Cω (R, H) F (u) (t) = F (t, u(t), u(t − τ1 ), , u(t − τn )) , u ∈ Cω (R, H), t ∈ R (1.19) Theo tính liên tục F giả thiết (F 1), F : Cω (R, H) → Cω (R, H) liên tục ánh xạ tập bị chặn Cω (R, H) vào tập bị chặn Từ toán tử nghiệm tuần hoàn P : Cω (R, H) → Cω (R, H) phương trình tiến hóa tuyến tính (1.8) toán tử tuyến tính Compact, suy toán tử đa hợp Q := P ◦ F : Cω (R, H) → Cω (R, H) liên tục hoàn toàn Theo định nghĩa P , nghiệm tích phân tuần hoàn có chu kỳ ω phương trình (1.2) tương đương với điểm bất động toán tử đa hợp Q Với u ∈ Cω (R, H), theo (1.19) điều kiện (F 1) ta có F (u) (t) = F (t, u(t), u(t − τ1 ), u(t − τn )) n n βi u(t − τi ) + K i=1 βi u C + K, t ∈ R i=1 n Vậy F (u) βi u C i=1 C k + K Chọn số dương R > n λ1 − βi i=1 đặt D = {u ∈ Cω (R, H) | u R} cầu đóng Cω (R, H) C với tâm θ bán kính R Với u ∈ D theo bổ đề 1.1.1 điều kiện (F 2) ta có Q(u) C = P (F (u)) λ1 C P F (u) C λ1 n β1 u C +K i=0 n R βi + K < R i=1 Vậy Q(D) ⊂ D Theo định lý điểm bất động Schauder, Q có điểm bất động u ∈ D Từ u nghiệm tích phân tuần hoàn có chu kỳ ω phương trình (1.8), theo bổ đề 1.1.1, u˜ ∈ L2loc (R, H1 ) ∩ W1,2 loc (R, H) nghiệm mạnh tuần hoàn có chu kỳ ω phương trình (1.2) 17 Chứng minh định lý 1.0.2 Chứng minh Từ (F 3) ta dễ dàng chứng tỏ (F 1) Do theo định lý 1.0.1 phương trình có trễ (1.2) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ ω mạnh Gọi u1 , u2 ∈ Cω (R, H) nghiệm mạnh tuần hoàn chu kỳ ω phương trình (1.2) Khi chúng điểm bất động toán tử Q = P ◦ F Theo định nghĩa 1.19 ánh xạ F điều kiện (F 3) ta thấy F(u1 ) − F(u2 ) n βi u1 − u2 i=1 C u1 − u2 C Vì theo bổ đề 1.1.1 ta thu C = Q(u1 ) − Q(u2 ) C = P (F(u1 ) − F(u2 )) C n βi F(u1 ) − F(u2 ) P i=1 C λ1 u1 − u2 C từ điều kiện điều kiện (F 2) suy u1 = u2 Vậy phương trình (1.2) có nghiệm mạnh tuần hoàn chu kỳ ω Chứng minh định lý 1.0.3 cần bất đẳng thức tích phân dạng Bellman có trễ sau Bổ đề 1.2.1 Cho φ ∈ C ([−r, ∞) , J) giả sử tồn số dương b0 , b1 , , bn cho φ thỏa mãn bất đẳng thức tích phân t n φ(t) φ(0) + φ(s − τi )ds, bi i=1 Trong τ0 = Khi φ(t) bi φ i=1 C[−r,0] 0, (1.20) φ n α= t = max |φ(t)| t∈[−r,0] 18 αt C[−r,0] e với t 0, Chứng minh Ta định nghĩa hàm ψ : [−r, ∞) → R ψ(t) = max φ(s), t ∈ s∈[−r,t] [−r, ∞) Khi ψ ∈ C ([−r, ∞) , J) φ(t) Với t ψ(t), với t ∈ [−r, ∞) 0, theo định nghĩa hàm ψ, tồn st ∈ [−r, t] cho ψ(t) = φ(st ) Với st 0, ta có: t ψ(t) = φ(st ) φ φ C[−r,0] C[−r,0] ψ(s)ds; +α Với st > 0, theo bổ đề 1.1.1 ta có: st n ψ(t) = φ(st ) φ(0) + φ(s − τi )ds bi i=1 st n φ(0) + bi i=1 ψ(s)ds t ψ(s)ds φ(0) + α t φ C[−r,0] +α ψ(s)ds Do vậy, hai trường hợp, bất đẳng thức t ψ(t) φ C[−r,0] +α ψ(s)ds, t 0 nghiệm Theo bất đẳng thức Bellman, ψ(t) t Do φ(t) ψ(t) φ C[−r,0] e αt với t φ αt C[−r,0] e với Chứng minh định lý 1.0.3 Chứng minh Theo định lý 1.0.2, phương trình trễ (1.2) có nghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω, u˜ ∈ Cω (R, H) Với ∀ϕ ∈ C ([−r, 0] , H) 19 theo định lý 1.2.2 toán giá trị ban đầu trễ (1.13) có nghiệm toàn cục u = u(t, ϕ) ∈ C ([−r, ∞) , H) Theo biểu diễn nửa nhóm nghiệm, u u thỏa mãn phương trình tích phân (1.14) Theo (1.14), (1.5) giả thiết (F 3), với t ta có: u(t) − u˜(t) t −λ1 t e n u(0) − u˜(0) + e −λ1 (t−s) βi u(s − τi ) − u˜(s − τi ) ds i=1 t n = e−λ1 t u(0) − u˜(0) + e−λ1 t βi eλ1 τi i=1 eλ1 (s−τi ) u(s − τi ) − u˜(s − τi ) ds, τ0 = Đặt φ(t) = eλ1 t u(t) − u˜(t) với t ∈ [−r, ∞) Từ bất đẳng thức suy t n φ(t) eλ1 τi βi φ(0) + i=1 φ(s − τi )ds, t 0 Do theo bổ đề 1.2.1 ta thu eλ1 t u(t) − u˜(t) = φ(t) Trong C(ϕ) = max λ1 s e C(ϕ)eαt , t 0, n ϕ(s) − u˜(s) α = s∈[−r,0] (1.21) eλ1 τi βi , theo i=1 ∗ giả thiết (F 2) , σ := λ1 − α > từ (1.21) suy ra: u(t) − u˜(t) C(ϕ)e−σt → (t → +∞) Như nghiệm tuần hoàn chu kỳ ω ổn định tiệm cận toàn cục hút nghiệm toán giá trị ban đầu theo tốc độ mũ 20 Chương ỨNG DỤNG CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Cho Ω ⊂ RN miền bị chặn với biên trơn ∂Ω Cho N A(x, D)u = − i,j=1 ∂ ∂xi ∂u aij (x) ∂x + a0 (x)u j toán tử vi phân Elliptic Ω với hệ số aij ∈ C 1+µ (Ω) (i, j = N ) a0 (x) ∈ C µ (Ω) với µ ∈ (0, 1) Nghĩa là, [aij (x)]N ×N ma trận đối xứng xác định dương với x ∈ Ω tồn số v > cho N aij (x)ξi ξj ≥ v|ξ|2 , ∀ξ = (ξ1 , , ξN ) ∈ RN , x ∈ Ω (2.1) i,j=1 Cho a0 (x) ≥ Ω Ta dùng (x, t, η) để ký hiệu điểm Ω × R × Rn+1 với η = (η0 , η1 , , ηn ) Cho f : Ω × R × Rn+1 → R hàm số liên tục có chu kỳ ω theo t giả sử tồn hàm L : J → J cho: µ µ/2 |f (x, t, η) − f (x , t , η )| ≤ L(ρ) |x − x | + |t − t | + |η − η | (2.2) Với ρ > (x, t, η), (x , t , η ) ∈ Ω × R × B(Rn+1 ; 0, ρ) B(Rn+1 ; 0, ρ) cầu đóng Rn+1 với tâm bán kính ρ 21 Với giả thiết trên, ta thảo luận tồn tại, tính ổn định tiệm cận nghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω theo thời gian toán giá trị biên Parabolic có trễ    ∂u + A(x, D)u = f (x, t, u(x, t), u(x, t − τ1 ), , u(x, t − τn )) Ω × R ∂t   u |∂Ω = 0, (2.3) τ1 , , τn số dương ký hiệu cho trễ thời gian Cho λ1 giá trị riêng nhỏ toán tử Elliptic A(x, D) với điều kiện biên Dilichlet u |∂Ω = Ta biết rẳng λ1 > Cho τ0 = Định lí 2.0.3 Giả sử tồn số dương β0 , β1 , , βn K cho f thỏa mãn điều kiện sau n (c1 ) |f (x, t, η0 , η1 , , ηn )| βi |ηi | + K, i=1 với (x, t, η0 , η1 , , ηn ) ∈ Ω × R × Rn+1 ; n (c2 ) βi < λ1 i=1 Khi phương trình (2.3) nhận u ∈ C 2+µ,1+µ/2 (Ω × R) làm nghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω theo thời gian Chứng minh Cho H = L2 (Ω) Ta xác định toán tử: A : D(A) ⊂ H → H D(A) = H (Ω) ∩ H01 (Ω), Au = A(x, D)u Với A toán tử tự liên hợp xác định dương H D(A1/2 ) = H01 (Ω) Giả thiết (c1 ) dẫn đến ánh xạ Caratheodory F : R × H n+1 → H xác định F (t, v0 , , ) = f (·, t, v0 (·), , (·)), v0 , , ∈ L2 (Ω), t ∈ R, liên tục Như phương trình (2.3) viết lại thành dạng ngắn gọn (1.2) Rõ ràng điều kiện (c1) (c2) suy (F 1) (F 2) đối 22 với F Do theo định lý 1.0.1, phương trình (2.3) có nghiệm mạnh tuần hoàn chu kỳ ω theo thời gian 1,2 (, L2 (Ω)) u ∈ Cω (, H01 (Ω)) ∩ L2loc (, H (Ω)) ∩ Wloc theo hướng L2 (Ω) Sử dụng phương pháp quy hóa [1] (xem, [[1], bổ đề 4.2]) ta chứng minh u ∈ C 2+µ,1+µ/2 (Ω × R) nghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω theo thời gian phương trình (2.3) Gọi C0 số bất đẳng thức Poincare u 2 ≤ C0 ∇u 2 u ∈ H01 (Ω) , Khi theo (2.1) giá trị riêng thứ A có đánh giá N (Au, u) = inf u=0 u=0 u 22 v v ∇u ≥ inf u 22 = u=0 C0 Ω( aij (x) i,j=1 λ1 = inf u ∂u ∂u )dx ∂xi ∂xj 2 Do điều kiện (c2) suy từ điều kiện n βi < (c2) i=0 v C0 Theo định lý 2.0.3 ta thu Hệ 2.0.1 Giả sử f thỏa mãn điều kiện (c1) hệ số β0 , β1 , , βn thỏa mãn điều kiện (c2) Khi phương trình (2.3) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ ω theo thời gian, u ∈ C 2+µ,1+µ/2 (Ω × R) Tương tự định lý 1.0.2 ta thu kết sau: Hệ 2.0.2 Giả sử tồn số dương β0 , β1 , , βn cho f thỏa mãn điều kiện n (c3) |f (x, t, η0 , ηn ) − f (x, t, ξ0 , , ξn )| ≤ βi |ηi − ξi | i=1 23 Nếu điều kiện (c2) phương trình (2.3) có nghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω theo thời gian, u ∈ C 2+µ,1+µ/2 (Ω × R) Cho ϕ ∈ C(Ω × [ − r, 0]), r = max {τ1 , , τn } Khi ϕ coi hàm số C([ − r, 0], H) định nghĩa t → ϕ(·, t) Đối với toán giá trị biên ban đầu có trễ  ∂u    ∂t + A(x, D)u = f (x, t, u(x, t), u(x, t − τ1 ), , u(x, t − τn )) Ω × J, u |∂Ω = 0,    u(x, t) = ϕ(x, t), Ω × [ − r, 0], (2.4) từ định lý 1.2.1 định lý 1.2.2 ta thu kết tồn tính nghiệm sau Định lí 2.0.4 Cho ϕ ∈ C(Ω × [ − r, 0]) Nếu f thỏa mãn điều kiện (c1) phương trình (2.4) có nghiệm u ∈ C([−r, ∞), L2 (Ω))∩C 2+µ,1+µ/2 (Ω× (0, ∞)) Định lí 2.0.5 Cho ϕ ∈ C(Ω × [ − r, 0]) Nếu f thỏa mãn điều kiện (c3) phương trình (2.4) có nghiệm u ∈ C([ − r, ∞), L2 (Ω)) ∩ C 2+µ,1+µ/2 (Ω × (0, ∞)) Nếu định lý 2.0.3 điều kiện (c2) làm cho mạnh thành điều kiện n (c2)∗ eλ1 τi βi < λ1 , i=1 từ định lý 1.0.3 ta suy tính ổn định tiệm cận nghiệm tuần hoàn theo thời gian phương trình (2.3) Định lí 2.0.6 Giả sử tồn số dương β0 , β1 , , βn cho điều kiện (c2)∗ (c3) Khi nghiệm tuần hoàn có chu kỳ ω theo thời gian, u ∈ C 2+µ,1+µ/2 (Ω × R) phương trình (2.3) hút theo hàm mũ nghiệm toán giá trị biên ban đầu (2.4) L2 (Ω) 24 Như hệ 2.0.1, ta dùng điều kiện (c2) thay cho điều kiện (c2) định lý 2.0.6 ta dùng điều kiện n (c2) i=1 eλ1 τi βi < v C0 , thay cho điều kiện (c2)∗ 25 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề liên quan đến lớp toán Parabolic nửa tuyến tính có trễ bội Sự tồn nghiệm mạnh tuần hoàn; Tính ổn định mũ nghiệm tuần hoàn; Áp dụng cho lớp phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính với toán tử Elliptic mạnh Các kết mở rộng cho toán với trễ tổng quát (không phải trễ hằng) thay hàm phi tuyến ánh xạ đa trị với trễ bội Tài liệu tham khảo [1] H Amann, (1978), "Periodic solutions of semilinear parabolic equations", in: L Cesari, R Kannan, R Weinberger (Eds.), Nonlinear Analysis: A Collection of Papers in Honor of Erich H Rothe, Academic Press, New York, pp 1-29 [2] R.I Becher, (1982), Periodic solutions of semilinear equations of evolution of compact type, J Math Anal Appl 82, pp 33-48 [3] T.A Burton, B Zhang, (1991), Periodic solutions of abstract differential equations with infinite delay, J Differential Equations 90, pp 357–396 [4] J.K Hale, S.M Verduyn Lunel, (1993), Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin [5] A Haraux, (1981), Nonlinear Evolution Equations – Global Behavior of Solutions, Lecture Notes in Math., vol 841, Springer-Verlag, Berlin [6] D Henry, (1981), Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes in Math., vol 840, Springer-Verlag, New York [7] Y Li, (2011), "Existence and asymptotic stability of periodic solution for evolution equations with delays", Journal of Functional Analysis 261, pp 1309-1324 27 [8] Y Li, (1998), periodic solutions of semilinear evolution equations in Banach spaces, Acta Math sin 41, pp 629-636 (in Chinese) [9] Y Li, (2009), Existence and uniqueness of periodic for a class of semilinear evolution equations, J Math Anal Appl 349, pp 226234 [10] J Liu, (1998), Bounded and periodic solutions of finite delays evolution, Nonlinear Anal 34, pp 101-111 [11] J.Liu, (2000), Periodic solutions of infinite delay evolution equations, J Math Anal Appl 247, pp 644-727 [12] J.Liu, (2003), Bounded and periodic solutions of infinite delay evolution equations, J Math Anal Appl 286, pp 705-712 [13] Y.C Liu, Z.X Li, (2006), Schaefer type theorem and periodic solutions of evolution equations, J Math Anal Appl 316, pp 237-255 [14] H Okochi, (1988), On the existence of periodic solutions to nonlinear abstract parabolic equations, J Math Soc Japan 40, pp 541-553 [15] A Pazy, (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin [16] R Teman, (1997), Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, second ed., Springer-Verlag, New York [17] J Wu, (1996), Theory and Application of Partial Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York [18] X Xiang, N.U Ahmed, (1992), Existence of periodic solutions of semilinear evolution equations with time lags, Nonlinear Anal 18, pp 1063-1070 28 [19] J.M Zhu, Y.C Liu, Z.X Li,(2008), "The existence and attractivity of time periodic solutions for evolution equations with delays", Nonlinear Anal Real World Appl 9, pp 842–851 29