Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển tập đề thi cao học khoa học tự nhiên đầy đủ từ 2000 đến 2007. đề thi cao học nhằm mục đích phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm bài tập cho học viên thi cao học.Tuyển tập đề thi cao học khoa học tự nhiên đầy đủ từ 2000 đến 2007. đề thi cao học nhằm mục đích phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm bài tập cho học viên thi cao học.
♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι M λ∝ τ⊄π ηπ χ÷χ mα τρ⊄ν χ⊇π n (n ≥ 1), τηχ, κη∂ νγη⇒χη Χηνγ mινη ρ≈νγ M λ∝ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν mα τρ⊄ν C ∈ M χ →⇒νη Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ f : M → M , f (A) = C −1 AC λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ νηm Τ⋅m Im f , Ker f (ηαψ χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ →…νγ χ⊇υ) Χηνγ mινη ρ∝νγ ÷νη ξ≠ f1 : M → R⋆, f1 (A) = |A| λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm Τ⋅m Im f1 , Ker f1 Χ♥υ ΙΙ Χηνγ mινη ρ≈νγ C⋆ λ∝ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν τη↔νγ τη↑νγ Ξ∠τ χ÷χ ÷νη ξ≠ f : C⋆ → C⋆, f (α) = α, g : C⋆ → C⋆, g(α) = α λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm, →←ν χ⊇υ, το∝ν χ⊇υ ηαψ κη↔νγ? Τ⋅m Im f , Ker f Χ♥υ ΙΙΙ Χηνγ mινη ρ≈νγ χ÷χ πη∠π βι∏ν →ι τρχ γιαο τρ♠ν κη↔νγ γιαν Ευχλιδ E λ∝m τη∝νη mτ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν (πη∠π ηπ τη∝νη), κ ηι√υ G Γι∂ σ g ∈ G ♣∅τ ÷νη ξ≠ ϕ : G → G, ϕ(f ) = g −1 f g Χηνγ mινη ρ≈νγ ϕ λ∝ →…νγ χ⊇υ νηm Χ♥υ Ις C[x] λ∝ ϖ∝νη ♣∅τ ÷νη ξ≠ ϕ : C [x] → C [x] , f (x) → f (x) (→↑χ ηιυ λ∝ a + a1 x + + anxn) Χηνγ mινη ρ≈νγ ϕ λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm Χηνγ mινη ρ≈νγ R[x] λ∝ ϖ∝νη χον m∝ κη↔νγ ιδεαν Χ♥υ ς Χηνγ mινη ρ≈νγ χ÷χ mα τρ⊄ν →ι ξνγ χ⊇π n λ⊄π τη∝νη νηm αβεν →ι ϖι πη∠π χνγ, κ ηι√υ νηm ν∝ψ λ∝ M Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ f : M → M , f (A) = A′ (χηυψν ϖ⇒ χ〉α A) λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm Τ⋅m Im f , Ker f Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π M χ÷χ mα τρ⊄ν →ι ξνγ τηχ χ⊇π n λ⊄π τη∝νη R−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← (ηαψ R−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← χον χ〉α κη↔νγ γιαν χ÷χ mα τρ⊄ν ϖυ↔νγ χ⊇π n) T λ∝ mα τρ⊄ν κη∂ νγη⇒χη (κη↔νγ νη⊇τ τηι∏τ →ι ξνγ) Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ f : M → M , f (A) = T −1 AT λ∝ →∑νγ χ⊇υ (τχ λ∝ ÷νη ξ≠ τυψ∏ν τ⇑νη) ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Τ⋅m η≠νγ χ〉α η√ ϖ∠χ τ← a1 , a2 , a3 ∈ R3 τηεο τηαm σ a a1 = (1, a, 1) , a2 = (1, 1, a) , a3 = (a, 1, 1) Τ⋅m πη∩ν β τρχ τι∏π χ〉α L = {a1, a2 , a3 } κηι a = −2 ηο∅χ a = Χ♥υ ΙΙ Βι∏τ R5 [x] λ∝ κη↔νγ γιαν χ÷χ →α τηχ χ β⊄χ νη〈 η←ν Χηο f (x) = + x + x3 + x4 Χηνγ mινη ρ≈νγ (1) ϖ∝ (2) λ∝ χ÷χ χ← σ χ〉α ν 1, x, x2 , x3 , x4 f (4) (x), f (3) (x), f ′′ (x), f ′ (x), f (x) Τ⋅m mα τρ⊄ν χηυψν χ← σ (1) σανγ (2) Τ⋅m το≠ → χ〉α f (x) = 34+33x+16x 2+5x3 +x4 τρονγ χ← σ (2) Χ♥υ ΙΙΙ Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f τρ♠ν κη↔νγ A= −1 γιαν πηχ χ mα τρ⊄ν λ∝ χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? Χ τ∑ν τ≠ι πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη νγη⇒χη →∂ο f −1 ? Τ⋅m ϖ∠χ τ← ρι♠νγ ϖ∝ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ χ〉α f −1 Χ♥υ Ις Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π ηπ χ÷χ mα τρ⊄ν τηχ χ δ≠νγ A= a b 2b a ϖι a, b ∈ R λ⊄π τη∝νη ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη Mat(2, R), η〈ι ν χ λ∝ ιδεαν κη↔νγ? ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2001 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Χηνγ mινη ρ≈νγ Τ⊄π S1 χ÷χ σ πηχ χ m↔ →υν β≈νγ λ∝ mτ νηm χον χ〉α νηm νη♥ν χ÷χ σ πηχ κη÷χ ¸νη ξ≠ f : R → S1 χηο βι f (x) = cos(πx) + i sin(πx) λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ τ⌡ νηm χνγ χ÷χ σ τηχ R ϖ∝ο S Χ♥υ ΙΙ Χηνγ mινη ρ≈νγ mι κη↔νγ γιαν χον L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← ηυ η≠ν χηιυ V →υ χ β τυψ∏ν τ⇑νη Πη∩ν β τυψ∏ν τ⇑νη χ〉α L χ δυψ νη⊇τ κη↔νγ? Τ⋅m σ χηιυ, mτ χ← σ ϖ∝ πη∩ν β τυψ∏ν τ⇑νη χ〉α κη↔νγ γιαν χον χ〉α κη↔νγ γιαν R4 σινη βι η√ ϖ∠χ τ← {u1 = (1, −2, −1, 1), u2 = (−1, 3, 0, 2), u3 = (2, −5, −1, −1), u4 = (2, −4, −2, 2)} Χ♥υ ΙΙΙ Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ a d A = d b d −d c Ν∏υ ϕ λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη τρονγ κη↔νγ γιαν R χ mα τρ⊄ν →ι ϖι χ← σ χη⇑νη τχ λ∝ A τη⋅ ϕ χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? ς⋅ σαο? ςι a = 3, b = 4, c = ϖ∝ d = η•ψ τ⋅m mα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο B = QT AQ λ∝ mα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο Χ♥υ Ις Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη ϕ γι λ∝ λυ λινη β⊄χ p ν∏υ p λ∝ mτ σ νγυψ♠ν δ↑←νγ σαο χηο ϕp−1 = ϖ∝ ϕp = Γι∂ σ ϕ λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη λυ λινη β⊄χ p τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V Χηνγ mινη ρ≈νγ Ν∏υ x λ∝ mτ ϖ∠χ τ← σαο χηο ϕp−1 (x) = τη⋅ η√ ϖ∠χ τ← x, ϕ (x) , ϕ2 (x) , , ϕp−1 (x) →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη p ≤ n ϕ χη¬ χ mτ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ λ = Ν∏υ E − A λ∝ mα τρ⊄ν χ〉α πη∠π βι∏ν →ι ϕ →ι ϖι χ← σ ν∝ο → τη⋅ mα τρ⊄ν A κη∂ νγη⇒χη (E λ∝ mα τρ⊄ν →←ν ϖ⇒) ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2001 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π O(n) χ÷χ mα τρ⊄ν τρχ γιαο χ⊇π n λ∝ mτ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν mα τρ⊄ν Χηο Q ∈ O(n), ξ∠τ ÷νη ξ≠ f : O(n) → O(n) χηο βι f (A) = QT AQ τρονγ → QT λ∝ χηυψν ϖ⇒ χ〉α Q Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ mτ →…νγ χ⊇υ νηm Χ♥υ ΙΙ Ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη ϕ : R3 → R3 χηο βι ϕ (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 3x2 + 4x3 , 4x1 − 7x2 + 8x3 , 6x1 − 7x2 + 7x3 ) Τ⋅m γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α ϕ Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R3 χ τ∑ν τ≠ι ηαψ κη↔νγ mτ χ← σ σαο χηο →ι ϖι χ← σ → mα τρ⊄ν χ〉α ϕ χ δ≠νγ →↑νγ χη∠ο Χ♥υ ΙΙΙ Τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R4 ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L σινη βι η√ ϖ∠χ τ← {(1, 1, 1, 1) , (1, 2, 2, −1) , (1, 0, 0, 3)} Τ⋅m χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν χον L ϖ∝ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α πη∩ν β τρχ γιαο L⊥ Γι∂ σ x = (4, −1, −3, 4) Τ⋅m ϖ∠χ τ← y ∈ L ϖ∝ ϖ∠χ τ← z ∈ L⊥ σαο χηο x = y+z Χ♥υ Ις Χηνγ mινη ρ≈νγ η 1, x − a, (x − a)2 , , (x − a)n−1 ϖι a ∈ R λ∝ mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν Rn [x] χ÷χ →α τηχ η√ σ τηχ χ β⊄χ νη〈 η←ν n Τ⋅m το≠ → χ〉α f (x) ∈ Rn [x] →ι ϖι χ← σ → Χ♥υ ς Γι∂ σ f1 , f2 λ∝ χ÷χ δ≠νγ τυψ∏ν τ⇑νη τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ ϕ : V × V → K χηο βι ϕ(x, y) = f1 (x) + f2 (y) λ∝ mτ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη τρ♠ν V Τ⋅m →ιυ κι√ν χ∩ν ϖ∝ →〉 → ϕ λ∝ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη →ι ξνγ Γι∂ σ V λ∝ K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← ηυ η≠ν χηιυ Χηνγ mινη ρ≈νγ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη ϕ χ η≠νγ β≈νγ κηι ϖ∝ χη¬ κηι ϕ = ϖ∝ χ ηαι δ≠νγ τυψ∏ν τ⇑νη f , f2 σαο χηο ϕ(x, y) = f1 (x) + f2 (y) ϖι mι x, y ∈ V ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Γι∂ σ h λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη τ⌡ ϖ∝νη K ϖ∝ο ϖ∝νη K ′ , ϖ∝ A λ∝ ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη G Χηνγ mινη ρ≈νγ h(A) λ∝ mτ ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη K ′ Τρ♠ν τ⊄π χ÷χ σ νγυψ♠ν Z ξ∠τ ηαι πη∠π το÷ν ξ÷χ →⇒νη βι a⊕b =a+b−1 a ◦ b = a + b − ab Χηνγ mινη ρ≈νγ (Z, ⊕, ◦) λ∝ mτ ϖ∝νη γιαο ηο÷ν χ →←ν ϖ⇒ Χ♥υ ΙΙ Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R3 ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη g ξ÷χ →⇒νη βι g(u) = (8x − y − 5z, −2x + 3y + z, 4x − y − z) ϖι u = (x, y, z) Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ ϖ∝ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α g Τ⋅m mτ χ← σ χ∂ κη↔νγ γιαν R σαο χηο →ι ϖι χ← σ → mα τρ⊄ν B χ〉α πη∠π βι∏ν →ι g χ χ÷χ πη∩ν τ πη⇑α τρ♠ν →↑νγ χη∠ο χη⇑νη β≈νγ ςι∏τ mα τρ⊄ν B Χ♥υ ΙΙΙ Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε E ξ∠τ η√ ϖ∠χ τ← {u1 , , un}, ϖ∝ mα τρ⊄ν G = ((ui, uj ))n×n Χηνγ mινη ρ≈νγ η√ ϖ∠χ τ← {u1 , , un} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη κηι ϖ∝ χη¬ κηι det G = Χ♥υ Ις Γι∂ σ f λ∝ mτ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη η≠νγ r τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V n−χηιυ Ξ∠τ χ÷χ τ⊄π χον Vr = y τηυχ V : f (x, y) = →ι ϖι mι x τηυχ V , Vl = y τηυχ V : f (y, x) = →ι ϖι mι x τηυχ V Χηνγ mινη ρ≈νγ V r , Vl λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ dim V r = dim Vl = n − r ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Γι∂ σ h λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ τ⌡ νηm G ϖ∝ο νηm G ′ , ϖ∝ H λ∝ νηm χον χ〉α νηm G Χηνγ mινη ρ≈νγ h(H) λ∝ mτ νηm χον χ〉α νηm G ′ Ξ∠τ ÷νη ξ≠ f τ⌡ νηm τυψ∏ν τ⇑νη τνγ θυ÷τ GL(n, R) ϖ∝ο νηm νη♥ν R ⋆ χ÷χ σ τηχ κη÷χ ξ÷χ →⇒νη βι f (A) = det A Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ mτ το∝ν χ⊇υ Ξ÷χ →⇒νη νηm χον f (O(n)), ϖι O(n) λ∝ νηm χ÷χ mα τρ⊄ν τρχ γιαο Χ♥υ ΙΙ Γι∂ σ L λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον p−χηιυ χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε E n−χηιυ Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π L∗ = {x ∈ E : (x, y) = 0, ∀y ∈ L}, λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον (n − p)−χηιυ ϖ∝ E = L L ⋆ Ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε R σινη βι η√ ϖ∠χ τ← u1 = (1, 0, 2, 1), u2 = (2, 1, 2, 3), u3 = (0, 1, −2, 1) Ξ÷χ →⇒νη mτ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν χον L ∗ Χ♥υ ΙΙΙ ς∏τ χ〉α mα τρ⊄ν A χ⊇π n τρ♠ν τρ↑νγ K λ∝ τνγ χ÷χ πη∩ν τ τρ♠ν →↑νγ χη∠ο χη⇑νη, →↑χ κ ηι√υ λ∝ Tr(A) Χηνγ mινη ρ≈νγ Tr(AB) = Tr(BA) ς∏τ χ〉α mα τρ⊄ν χ〉α mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη κη↔νγ πη τηυχ ϖ∝ο ϖι√χ χην χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν Χ♥υ Ις Η≠νγ χ〉α mα τρ⊄ν A = (aij )m×n →↑χ κ ηι√υ λ∝ r(A) Χηνγ mινη ρ≈νγ r(A + B) ≤ r(A) + r(B) Τ⇑νη r(A) ϖι A = (min{i, j})m×n ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⇑χη χ÷χ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη Ξ∠τ →∑νγ χ⊇υ νηm f : G → G′ Χηνγ τ〈 ρ≈νγ ν∏υ G λ∝ mτ νηm γιαο ηο÷ν τη⋅ Im(f ) χ∫νγ λ∝ mτ νηm γιαο ηο÷ν Χηο mτ ϖ⇑ δ χηνγ τ〈 →ιυ νγ↑χ λ≠ι νι χηυνγ κη↔νγ →⌠νγ Χ♥υ ΙΙ Γι∂ σ L λ∝ κη↔νγ γιαν χον χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R σινη βι η√ ϖ∠χ τ← {u1 = (2, 3, 5) , u2 = (3, 7, 8) , u3 = (1, −6, 1)} ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α τηαm σ a τη⋅ ϖ∠χ τ← u = (7, −1, a) τηυχ κη↔νγ γιαν χον L Χηνγ mινη ρ≈νγ τρονγ κη↔νγ γιαν χ÷χ η∝m σ τηχ λι♠ν τχ C (a, b) η√ ϖ∠χ τ← {1, cos x, cos2 x, , cosn x} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη Χ♥υ ΙΙΙ Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ →ι ξνγ A = −2 −2 Τ⋅m mα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο Q T AQ λ∝ mα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο ςι∏τ mα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο → Χ♥υ Ις Γι∂ σ u λ∝ mτ ϖ∠χ τ← χ〉α κη↔νγ γιαν Ευχλιδ E Χηνγ mινη ρ≈νγ ϖι mι ϖ∠χ τ← x τηυχ E χ τη βιυ διν δυψ νη⊇τ δ↑ι δ≠νγ x = au + v τρονγ → ϖ∠χ τ← v τρχ γιαο ϖι ϖ∠χ τ← u Χηο E = R4 , u = (2, −1, 0, 2), x = (1, 1, 1, −1) Τ⇑νη a ϖ∝ v ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Τρονγ νηm G ξ∠τ ÷νη ξ≠ h : G → G ξ÷χ →⇒νη βι h(a) = a −1, ∀a ∈ G Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ h λ∝ mτ τ →…νγ χ⊇υ κηι ϖ∝ χη¬ κηι G λ∝ mτ νηm Αβεν Χ♥υ ΙΙ Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε R4 ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L χηο βι η√ πη↑←νγ τρ⋅νη 2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = x1 + 2x2 + 2x3 − 9x4 = Τ⋅m σ χηιυ ϖ∝ mτ χ← σ χ〉α πη∩ν β τρχ γιαο L ⋆ χ〉α κη↔νγ γιαν χον L Χηο ϖ∠χ τ← x = (7, −4, −1, 2) Τ⋅m ϖ∠χ τ← y ∈ L, z ∈ L⋆ σαο χηο x = y + z Χ♥υ ΙΙΙ Ξ∠τ ÷νη ξ≠ τυψ∏ν τ⇑νη g : R4 → R3 →↑χ χηο βι g((x1 , x2 , x3 , x4 )) = (x1 − 2x2 + x4 , x1 + x3 − x4 , 2x2 + x3 − 2x4 ) Τ⋅m dim Ker g, dim Im g ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α τηαm σ a τη⋅ ϖ∠χ τ← y = (−1, 2, a) τηυχ κη↔νγ γιαν χον Im g Χ♥υ Ις Γι∂ σ f λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη λυ λινη β⊄χ n (τχ λ∝ f n−1 = 0, f n = 0) τρονγ K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V Χηνγ mινη ρ≈νγ Ν∏υ x ∈ V : f k(x) = τη⋅ η√ ϖ∠χ τ← {x, f (x), , f k(x)} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη n ≤ dim V Ν∏υ n = dim V τη⋅ →α τηχ →∅χ τρ↑νγ χ〉α πη∠π βιν →ι f χ δ≠νγ p(λ) = (−1)nλn ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Γι∂ σ (G, ◦) λ∝ mτ νηm χ ηυ η≠ν πη∩ν τ, →←ν ϖ⇒ e Χηνγ mινη ρ≈νγ ♣ι ϖι mι πη∩ν τ a ∈ G τ∑ν τ≠ι σ νγυψ♠ν k ≥ σαο χηο a k = e (σ νγυψ♠ν δ↑←νγ νη〈 νη⊇τ χ τ⇑νη χη⊇τ → γι λ∝ χ⊇π χ〉α πη∩ν τ a) Ν∏υ a λ∝ πη∩ν τ χ⊇π n τη⋅ A = {a, a2 , , an} λ∝ mτ νηm χον χ〉α νηm (G, ◦) Χ♥υ ΙΙ Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ a b+c A = b a + c c a+b Χηνγ τ〈 mα τρ⊄ν A κη↔νγ κη∂ νγη⇒χη Τ⇑νη η≠νγ χ〉α mα τρ⊄ν A τηεο γι÷ τρ⇒ χ〉α χ÷χ τηαm σ a, b, c Χ♥υ ΙΙΙ Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R3 →↑χ χηο βι f (x, y, z) = (4x − 5y + 2z, 5x − 7y + 3z, 6x − 9y + 4z) Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f Πη∠π βι∏ν →ι f χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? ς⋅ σαο? Τ⋅m mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν R3 σαο χηο mα τρ⊄ν χ〉α f →ι ϖι χ← σ → λ∝ mα τρ⊄ν ταm γι÷χ Χ♥υ Ις Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π χον κη÷χ ρνγ L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R n λ∝ mτ κη↔ν γιαν χον κηι ϖ∝ χη¬ κηι L λ∝ τ⊄π νγηι√m χ〉α mτ η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν νη⊇τ τρ♠ν R ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004 Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Γι∂ σ X λ∝ mτ ϖ∝νη Χηνγ mινη ρ≈νγ ♣ι ϖι mι σ νγυψ♠ν n ≥ 0, τ⊄π nX = a = nx = x + x + + x : x ∈ X n λ∩ν λ∝ mτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη X (ϖι θυψ ↑χ 0x = 0) Χ÷χ τ⊄π δ≠νγ nZ ϖι n = 0, 1, 2, λ∝ τ⊇τ χ∂ χ÷χ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη σ νγυψ♠ν Z Χ♥υ ΙΙ Τρονγ κη↔νγ γιαν R4 ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L σινη βι η√ ϖ∠χ τ← {u1 = (1, a, −1, −2) , u2 = (2, −1, a, 5) , u3 = (1, 10, −6, 1)} Τ⇑νη dim L τηεο τηαm σ a Γι∂ σ η√ ϖ∠χ τ← {u1 , u2 , , un} λ∝ mτ χ← σ χ〉α K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V ♣∅τ vk = uk + + un ϖι k = 1, 2, , n Χηνγ mινη ρ≈νγ η√ {v1 , v2 , , vn} λ∝ mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν V Χ♥υ ΙΙΙ Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη g τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R →↑χ χηο βι g((x1 , x2 , x3 )) = (x1 − 3x2 − x3 , −3x1 + x2 + x3 , −x1 + x2 + 5x3 ) Χηνγ τ〈 ρ≈νγ g λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι →ι ξνγ Τ⋅m mτ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R λ∝ χ÷χ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α g Χ♥υ Ις Γι∂ σ f λ∝ mτ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη η≠νγ k τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← K n Ξ∠τ χ÷χ τ⊄π χον Vr = y ∈ Kn : f (x, y) = →ι ϖι mι x ∈ K n , Vl = y ∈ Kn : f (y, x) = →ι ϖι mι x ∈ K n Χηνγ mινη ρ≈νγ V r , Vl λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ dim V r = dim Vl = n − k ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2007 →τ Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη∩ν τ a τηυχ νηm (G, ◦, e) γι λ∝ χ χ⊇π ηυ η≠ν p ν∏υ p λ∝ σ νγυψ♠ν δ↑←νγ νη〈 νη⊇τ σαο χηο a p = e Γι∂ σ G λ∝ mτ τ⊄π ηπ ηυ η≠ν χ n πη∩ν τ Χηνγ mινη ρ≈νγ Μι πη∩ν τ a τηυχ νηm (G, ◦, e) →υ χ χ⊇π ηυ η≠ν ςι mι a, b τηυχ νηm (G, ◦, e) χ÷χ πη∩ν τ a ◦ b ϖ∝ b ◦ a χ χ⊇π β≈νγ νηαυ Χ♥υ ΙΙ Ξ÷χ →⇒νη σ χηιυ χ〉α κη↔νγ γιαν νγηι√m N χ〉α η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν νη⊇τ σαυ →♥ψ τηεο τηαm σ τηχ a x1 + ax2 − x3 + 2x4 = 0, 2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 0, x1 + 10x2 − 6x3 + x4 = Χηο a = 3, τ⋅m πη∩ν β τρχ τι∏π χ〉α N0 τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R4 Χ♥υ ΙΙΙ Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R3 ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f χηο βι f ((x1 , x2 , x3 )) = (3x1 + 2x2 , 2x1 + 4x2 − 2x3 , −2x2 + 5x3 ) Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ πη∠π βι∏ν →ι →ι ξνγ Τ⋅m χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχιλδ R λ∝ χ÷χ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f ϖ∝ χηο βι∏τ mα τρ⊄ν χ〉α f →ι ϖι χ← σ → Χ♥υ Ις Ξ∠τ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη κη↔νγ συψ βι∏ν g τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V Γι∂ σ ρ≈νγ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη g1 τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← χον r−χηιυ F χηο βι g1 (x, y) = g(x, ) ϖι mι x, y τηυχ F λ∝ mτ δ≠νγ κη↔νγ συψ βι∏ν Ξ∠τ τ⊄π F ⋆ = {x ∈ V : g (x, y) = ϖι mι y ∈ F } Χηνγ mινη ρ≈νγ F ⋆ λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ F ⋆ ∩ F = {0} V = F ⊕ F ⋆ ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000 Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Χηνγ mινη ρ≈νγ η∝m σ mτ βι∏ν σ λι♠ν τχ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] τη⋅ λι♠ν τχ →υ τρ♠ν → √ − cos x Χηο η∝m σ f (x) = Η•ψ ξ∠τ σ λι♠ν τχ →υ χ〉α ν τρ♠ν χ÷χ τ⊄π δ↑ι x →♥ψ: (α) Τρ♠ν (0, 1) (β) Τρ♠ν (−1, 0) (χ) Τρ♠ν (−1, 0) ∪ (0, 1) Χ♥υ ΙΙ Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ mτ δ•ψ σ →←ν →ι√υ χ mτ δ•ψ σ χον ηι τ τη⋅ ν χ∫νγ λ∝ mτ δ•ψ ηι τ Χηνγ τ〈 ρ≈νγ δ•ψ σ {xn} ϖι 1 xn = + + · · · + − ln(n) , n λ∝ mτ δ•ψ ηι τ n≥1 Χ♥υ ΙΙΙ Τ⇑νη δι√ν τ⇑χη χ〉α mιν ν≈m τρονγ m∅τ πη…νγ το≠ → xOy →↑χ γιι η≠ν βι τρχ ηο∝νη ϖ∝ mτ νη⇒π χψχλοιδ x = a(t − sin t) y = a(1 − cos t) (0 ≤ t < 2π, a > 0) Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ (x + 1)α sin x (x − 1)β dx, τρονγ → α, β λ∝ χ÷χ τηαm σ Χ♥υ Ις Χηο χηυι η∝m +∞ enx n=1 + n2 (α) Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m (β) Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α τνγ χηυι η∝m τρονγ mιν ηι τ Χηο f (x) λ∝ η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν (−∞, +∞) ςι n νγυψ♠ν δ↑←νγ →∅τ 1 n fn(x) = f (x + ) + f (x + ) + · · · + f (x + ) n n n n Χηνγ mινη ρ≈νγ δ•ψ η∝m {f n(x)} ηι τ →υ τρ♠ν mι →ο≠ν ηυ η≠ν β⊇τ κ ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000 Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Χαυχηψ ϖ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ (χ⇓ν γι λ∝ τι♠υ χηυ∪ν Χαυχηψ) Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ {xn} τρονγ → xn = sin + sin 1 + + sin 12 n2 Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη λι♠ν τχ →υ χ〉α mτ η∝m σ λι♠ν τχ τρ♠ν mτ →ο≠ν Χηο f (x) λι♠ν τχ τρ♠ν [0, +∞) Βι∏τ ρ≈νγ τ∑ν τ≠ι γιι η≠ν ηυ η≠ν χ〉α f (x) κηι x → +∞ Χηνγ mινη ρ≈νγ f (x) λι♠ν τχ →υ τρ♠ν [0, +∞) Χ♥υ ΙΙΙ Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m +∞ n=1 nx + n x2 τρ♠ν κηο∂νγ (−∞, +∞) Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m σ +∞ e−n x S (x) = n=0 Χ♥υ Ις (x2 + y ) dxdy ϖι D = {(x, y) ∈ R2 : x4 + y Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν 1} D Χηο f (x) ξ÷χ →⇒νη ϖ∝ χ →≠ο η∝m ηυ η≠ν f ′(x) τρ♠ν κηο∂νγ (a, b) Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ f ′(x) = ϖι ∀x ∈ (a, b) τη⋅ f (x) →←ν →ι√υ τρ♠ν κηο∂νγ (a, b) Χ♥υ ς Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν +∞ sin2 2x dx x Βι∏τ ρ≈νγ f (x) κη∂ ϖι λι♠ν τχ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] ϖ∝ f (a) − f (b) = Χηνγ mινη ρ≈νγ b ′ max |f (x)| a x b (b − a)2 |f (x)| dx a ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002 Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Βολζανο−Wειρεστρασσ ϖ γιι η≠ν χ〉α δ•ψ σ Γι∂ σ a0 λ∝ σ τηχ τηο∂ m•ν θυψ τχ a1 = a0 , a2n = ϖ∝ {an} λ∝ δ•ψ σ τηχ ξ÷χ →⇒νη τηεο a0 a2n−1 a2n+1 = , (1 + a2n) Χηνγ mινη ρ≈νγ δ•ψ {a n} χη¬ χ γιι η≠ν ρι♠νγ λ∝ , n ϖ∝ 23 Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ →⇒νη λ Χαυχηψ ϖ γι÷ τρ⇒ τρυνγ β⋅νη χ〉α τη↑←νγ ηαι η∝m κη∂ ϖι Χηο f (x) = x2 + x, g (x) = x3 Η〈ι χ τη ÷π δνγ →↑χ →⇒νη λ Χαυχηψ τρ♠ν [−1, 1] χηο τη↑←νγ ηαι η∝m ν∝ψ κη↔νγ? Τ⋅m σ c → f (1) − f (−1) f ′ (c) = ′ g (1) − g (−1) g (c) Χ♥υ ΙΙΙ Χηο η∝m βι∏ν f (x, y) = √ xy x2 +y2 ν∏υ (x, y) = (0, 0) , ν∏υ (x, y) = (0, 0) Χηνγ mινη ρ≈νγ τρονγ mτ λ♥ν χ⊄ν χ〉α →ιm (0, 0) η∝m f λι♠ν τχ ϖ∝ χ χ÷χ →≠ο η∝m ρι♠νγ γιι νι νη↑νγ f κη↔νγ κη∂ ϖι τ≠ι →ιm (0, 0) Χ♥υ Ις Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ sin2 2x x dx Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m +∞ x2 e−nx, x < +∞ n=0 Χ♥υ ς Χηνγ mινη ρ≈νγ → δ∝ι l χ〉α →↑νγ ελιπ π (a + b) l π x2 a2 + y2 b2 = τηο∂ m•ν β⊇τ →…νγ τηχ (a2 + b2 ) ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002 Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Χαυχηψ ϖ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ Χηνγ mινη ρ≈νγ mτ δ•ψ →←ν →ι√υ χ mτ δ•ψ χον ηι τ τη⋅ δ•ψ → χ∫νγ ηι τ Χ♥υ ΙΙ Χηο f (x) λ∝ η∝m σ ξ÷χ →⇒νη ϖ∝ χ χ÷χ →≠ο η∝m ηυ η≠ν f ′(x), f ′′(x) τρ♠ν κηο∂νγ (−∞, 0) Η•ψ ξ÷χ →⇒νη χ÷χ η≈νγ σ a, b, c → η∝m σ f (x) ax + bx + c F (x) = ϖι x 0, ϖι x > 0, χ →≠ο η∝m F ′(x), F ′′(x) τρ♠ν κηο∂νγ (−∞, +∞) Χ♥υ ΙΙΙ Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ η∝m σ f (x, y) λι♠ν τχ τηεο τ⌡νγ βι∏ν x ϖ∝ y τρονγ mιν D, →←ν →ι√υ τηεο mτ τρονγ ηαι βι∏ν → τη⋅ ν λι♠ν τχ τηεο ηαι βι∏ν (x, y) τρονγ D Χ♥υ Ις Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι λυ τη⌡α +∞ n=1 4n + (−3) n n Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α δ•ψ η∝m fn (x) = n (x − 1)n √ n x − τρ♠ν →ο≠ν [1, 2] Χ♥υ ς Χηο f (x) λ∝ η∝m σ κη∂ ϖι τρ♠ν →ο≠ν [0, 1] ϖ∝ τηο∂ m•ν →ιυ κι√ν f ′(0)f ′(1) < Χηνγ mινη ρ≈νγ f (x) →≠τ χ⊄ν τρ♠ν →⌠νγ ηο∅χ χ⊄ν δ↑ι →⌠νγ τ≠ι mτ →ιm τρονγ κηο∂νγ (0, 1) ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003 Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη λι♠ν τχ →υ χ〉α mτ η∝m σ λι♠ν τχ τρ♠ν mτ →ο≠ν Χηνγ mινη ρ≈νγ mτ η∝m σ λι♠ν τχ →υ τρ♠ν κηο∂νγ ηυ η≠ν (a, b) τη⋅ χ τη β συνγ γι÷ τρ⇒ η∝m τ≠ι ηαι →∩υ m⌠τ → τρ τη∝νη η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν [a, b] Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη κη∂ τ⇑χη χ〉α η∝m γιι η≠ν χ〉α mτ δ•ψ η∝m ϖ∝ →ιυ κι√ν χηυψν θυα γιι η≠ν δ↑ι δ⊇υ τ⇑χη πη♥ν Χ♥υ ΙΙΙ Τ⇑νη − (cos x)sin x lim √ x→ + x3 − Τ⋅m χχ τρ⇒ χ〉α η∝m σ u = xyz ϖι →ιυ κι√ν x + y + z = τρονγ mιν x > 0, y > 0, z > Χ♥υ Ις Τ⋅m mιν ηι τ ϖ∝ ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m ∞ (−1)n n=1 n + − sin 2x Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ ∞ xα sin 2x + x2 dx τρονγ → α λ∝ mτ τηαm σ Χ♥υ ς Χηο δ•ψ σ {an} Βι∏τ lim a2k = α, lim a2k+1 = β; α, β λ∝ ηαι σ ηυ η≠ν k→ ∞ Τ⋅m liman, liman k→ ∞ ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003 Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ →ιυ κι√ν χηυψν θυα γιι η≠ν τ⌡νγ σ η≠νγ χ〉α mτ χηυι η∝m Χηο χηυι η∝m + ∞ n= n2 x2 x2 + n + n2 (−1)n n Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m ϖ∝ ξ∠τ τ⇑νη λι♠ν τχ χ〉α τνγ χηυι η∝m → τρ♠ν mιν ηι τ χ〉α ν Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Λαγρανγε ϖ η∝m κη∂ ϖι Χηνγ mινη ρ≈νγ mτ η∝m κη∂ ϖι τρ♠ν κηο∂νγ ηυ η≠ν (a, b) ϖ∝ κη↔νγ γιι νι τρ♠ν κηο∂νγ → τη⋅ →≠ο η∝m χ〉α ν χ∫νγ κη↔νγ γιι νι τρ♠ν κηο∂νγ → Τ⇑νη lim x→0 √ √ cos x − cos x x2 Χ♥υ ΙΙΙ Χηο η∝m σ f (x, y) = (x2 + y ) sin x2 + y2 ν∏υ x2 + y = 0 ν∏υ x2 + y = 0, Χηνγ mινη ρ≈νγ η∝m σ χ →≠ο η∝m ρι♠νγ τ≠ι mι →ιm νη↑νγ χ÷χ →≠ο η∝m ρι♠νγ ν∝ψ κη↔νγ λι♠ν τχ τ≠ι →ιm (0, 0) Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m σ τ≠ι (0, 0) Χ♥υ Ις Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ √ x ln2 x + xα dx τρονγ → α λ∝ mτ τηαm σ Χ♥υ ς Χηο f λ∝ η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν (−∞, ∞) ςι n νγυψ♠ν δ↑←νγ →∅τ fn(x) = n f (x + n ) + f (x + n ) + · · · + f (x + n n ) Χηνγ mινη ρ≈νγ δ•ψ η∝m {f n(x)} ηι τ →υ τρ♠ν mι →ο≠ν ηυ η≠ν β⊇τ κ ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004 Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Χαντορ ϖ δ•ψ →ο≠ν λ∑νγ νηαυ τητ λ≠ι τρ♠ν R Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ {an} ϖι an = sin − sin + sin − sin + ··· + sin n − sin(n + 1) n Χ♥υ ΙΙ Τ⇑νη (1 + x)x − x→0 x2 lim Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m σ f (x, y) = x4 y + x4 ν∏υ x2 + y > 0, y4 ν∏υ x = y = Χ♥υ ΙΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ →ιυ κι√ν χηυψν θυα γιι η≠ν χ〉α mτ χηυι η∝m +∞ +∞ Un(x) = lim x→x0 lim Un(x) x→x0 n=1 n=1 Χηο χηυι η∝m +∞ S(x) = n=1 (n − x)2 Τ⋅m mιν τ∑ν τ≠ι χ〉α S(x) ϖ∝ ξ∠τ τ⇑νη λι♠ν τχ χ〉α S(x) τρ♠ν mιν → Χ♥υ Ις Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ ln2 x xα dx τρονγ → α λ∝ mτ τηαm σ Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ f (x) λ∝ η∝m κη∂ ϖι τρ♠ν (a, +∞) ϖ∝ lim f ′(x) = τη⋅ x→+∞ lim x→+∞ f (x) x = ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004 →τ Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Ρολλε ϖ η∝m κη∂ ϖι Χηνγ mινη ρ≈νγ τ∑ν τ≠ι δυψ νη⊇τ mτ η∝m λι♠ν τχ y = y(x), x ∈ (−∞, +∞) τηο∂ m•ν πη↑←νγ τρ⋅νη y = x + ε sin y, ≤ ε < Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Βολζανο−Wειερστρασσ ϖ γιι η≠ν δ•ψ σ Τ⋅m lim n n2 + n→+∞ Χ♥υ ΙΙΙ Χηο χηυι η∝m + +∞ n=1 n2 + 22 x n (1 + nx2 ) + + n2 + n2 Ξ÷χ →⇒νη mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m Ξ∠τ τ⇑νη λι♠ν τχ χ〉α χηυι η∝m τρονγ mιν ηι τ χ〉α ν Χ♥υ Ις ¸π δνγ τ⇑χη πη♥ν ηαι λπ τ⇑νη δι√ν τ⇑χη χ〉α η⋅νη γιι η≠ν βι χ÷χ →↑νγ χονγ xy = a2 , xy = 2a2 , y = αx, y = βx τρονγ → < α < β Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν x2 + y dxdydz V τρονγ → V λ∝ mιν γιι η≠ν βι χ÷χ m∅τ z = x2 + y , x2 + y + z = 2az, a > Χ♥υ ς Χηο η∝m g(x) ξ÷χ →⇒νη τρ♠ν κηο∂νγ [0, +∞) →←ν →ι√υ δ∩ν ϖ κηι x → +∞ Χηνγ mινη ρ≈νγ χ÷χ τ⇑χη πη♥ν +∞ +∞ g (x) sin xdx ϖ∝ χνγ ηι τ ηο∅χ χνγ πη♥ν κ g (x) dx ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004 →τ Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν mτ →ο≠ν χ γι÷ τρ⇒ ηαι →∩υ m⌠τ →ο≠ν → τρ÷ι δ⊇υ νηαυ τη⋅ →∑ τη⇒ χ〉α ν σ∉ χτ τρχ ηο∝νη Τ⋅m τηαm σ a → η∝m σ λι♠ν τχ τρ♠ν ,1 sin πx f (x) = sin πx3 a ν∏υ x ∈ ν∏υ x = 1, ,1 , Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m γιι η≠ν χ〉α mτ δ•ψ η∝m Χηο χηυι η∝m +∞ f (x) = n=1 |x| n + x2 Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α η∝m f ϖ∝ ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α ν τρ♠ν mιν → Χ♥υ ΙΙΙ Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m σ − e f (x, y) = x +y 2 Τ⇑νη ν∏υ x2 + y > 0, ν∏υ x2 + y = x lim x→+∞ arctg2 xdx √ x2 + Χ♥υ Ις Τ⋅m χ÷χ γιι η≠ν ρι♠νγ χ〉α δ•ψ σ {a n} ϖι an = 1+ n n + (−1)n sin nπ Γι∂ σ f λ∝ η∝m κη∂ ϖι ηαι λ∩ν τρ♠ν [1, +∞) ϖ∝ f (1) > 0, f ′(1) < χ⇓ν f ′′(x) ≤ 0, ∀x > Χηνγ mινη ρ≈νγ πη↑←νγ τρ⋅νη f (x) = χ δυψ νη⊇τ νγηι√m τηυχ [1, +∞) ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2005 →τ Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι ♣⇒νη νγη⇐α τνγ Dαρβουξ τηεο mτ πη♥ν ηο≠χη τρ♠ν →ο≠ν [a, b] χ〉α mτ η∝m ξ÷χ →⇒νη τρ♠ν → Τ⌡ → πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ →ιυ κι√ν χ∩ν ϖ∝ →〉 → mτ η∝m κη∂ τ⇑χη τρ♠ν [a, b] b Χηο f λ∝ mτ η∝m κη∂ τ⇑χη τρ♠ν →ο≠ν [a, b] ϖ∝ f (x) dx > Χηνγ mινη ρ≈νγ a τ∑ν τ≠ι mτ →ο≠ν [α, β] ⊂ [a, b] σαο χηο f (x) > 0, ∀x ∈ [α, β] Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ mτ η∝m σ λι♠ν τχ τρ♠ν mτ →ο≠ν ϖ∝ γι÷ τρ⇒ χ〉α η∝m σ τ≠ι ηαι →∩υ m⌠τ χ〉α →ο≠ν → τρ÷ι δ⊇υ νηαυ τη⋅ →∑ τη⇒ η∝m σ λυ↔ν χτ τρχ ηο∝νη Τ⋅m χχ τρ⇒ χ〉α η∝m σ u = xy z ϖι →ιυ κι√ν x + 2y + 3z = 6, x > 0, y > 0, z > Χ♥υ ΙΙΙ Χηο χηυι η∝m +∞ n=2 xn−1 (1 − xn) (1 − xn+1 ) (α) Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m (β) Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m τρ♠ν →ο≠ν [−a, a] τρονγ → a λ∝ τηαm σ τηο∂ m•ν < a < Ξ∠τ σ ηι τ τυψ√τ →ι ϖ∝ β÷ν ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ a sin x (x − a) (x − b) Χ♥υ Ις Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ χηυι σ +∞ dx ϖι b > a > an ηι τ τυψ√τ →ι τη⋅ χηυι σ +∞ an χη¬ β÷ν ηι τ τη⋅ χ τη νι n=1 ηαψ κη↔νγ? Ν∏υ κη↔νγ →⌠νγ τη⋅ η•ψ χηο mτ ϖ⇑ δ a3n χ∫νγ n=1 n=1 ηι τ τυψ√τ →ι Ν∏υ +∞ +∞ n=1 a3n ηι τ τυψ√τ →ι →↑χ ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2005 →τ Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Χαντορ ϖ τ⇑νη λι♠ν τχ →υ χ〉α η∝m σ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] √ − cos x Χηο η∝m σ f (x) = Η•ψ ξ∠τ σ λι♠ν τχ →υ χ〉α ν τρ♠ν χ÷χ τ⊄π δ↑ι x →♥ψ: (α) Τρ♠ν (0, 1) (β) Τρ♠ν (−1, 0) (χ) Τρ♠ν (−1, 0) ∪ (0, 1) Χ♥υ ΙΙ Ξ∠τ σ ηι τ τυψ√τ →ι χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ √ x cos x3 x + 10 Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν √ dx xydxdy D τρονγ → D λ∝ mιν →↑χ γιι η≠ν βι χ÷χ →↑νγ χονγ y = ax 2, y = bx2 , xy = p, xy = q (0 < a < b, < p < q) Χ♥υ ΙΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη λι♠ν τχ χ〉α τνγ χηυι η∝m Χηο χηυι η∝m +∞ √ xe−nx n=1 Ξ∠τ τ⇑νη ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m τρονγ χ÷χ κηο∂νγ (α) [0, +∞) (β) [δ, +∞), δ > Χ♥υ Ις Χηο η∝m σ f (x) λι♠ν τχ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] ϖ∝ τηο∂ m•ν →ιυ κι√ν b xnf (x) dx = ϖι mι n = 1, 2, , N a Χηνγ mινη ρ≈νγ η∝m f χ ⇑τ νη⊇τ N + κη↔νγ →ιm τρονγ κηο∂νγ (a, b) ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2006 →τ Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Χαυχηψ ϖ τι♠υ χηυ∪ν ηι τ χ〉α δ•ψ σ ¸π δνγ νγυψ♠ν λ Χαυχηψ ξ∠τ τ⇑νη ηι τ χ〉α δ•ψ σ +∞ an = k=2 √ , k ln k n Χ♥υ ΙΙ Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ xα sin x 1+x dx ϖι α λ∝ τηαm σ Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν βα λπ z − x2 + y dxdydz V τρονγ → V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 1, 1} z Χ♥υ ΙΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Ρολλε ϖ γι÷ τρ⇒ τρυνγ β⋅νη χ〉α η∝m σ κη∂ ϖι τρονγ mτ κηο∂νγ Χηο f (x) λι♠ν τχ τρονγ [0, 1], κη∂ ϖι τρονγ (0, 1) ϖ∝ f (0) = e, f (1) = Β≈νγ χ÷χη ξ∠τ η∝m g (x) = exf (x) χηνγ mινη ρ≈νγ τ∑ν τ≠ι c ∈ (0, 1) σαο χηο f ′(c) = −f (c) Χ♥υ Ις Χηο {rn} λ∝ mτ δ•ψ χ÷χ σ ηυ τ τηυχ →ο≠ν [0, 1] Ξ∠τ χηυι +∞ |x − rn| n=1 3n , x Χηνγ mινη ρ≈νγ (α) Χηυι ηι τ ϖι mι x ∈ [0, 1] ϖ∝ τνγ S(x) λ∝ mτ η∝m λι♠ν τχ τρονγ →ο≠ν [0, 1] (β) S(x) κη∂ ϖι τ≠ι mι →ιm ϖ↔ τ νη↑νγ κη↔νγ κη∂ ϖι τ≠ι χ÷χ →ιm ηυ τ τηυχ [0, 1] Χηο δ•ψ η∝m fn (x) = nαxe−nx, n (α) Ηι τ τρ♠ν →ο≠ν [0, 1] (β) Ηι τ →υ τρ♠ν →ο≠ν [0, 1] ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α α τη⋅ δ•ψ η∝m ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2006 →τ Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Χαντορ ϖ τ⇑νη λι♠ν τχ →υ χ〉α η∝m σ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] Χηο η∝m σ f (x) ξ÷χ →⇒νη ϖ∝ λι♠ν τχ τρονγ κηο∂νγ (a, +∞), (−∞ < a < +∞) Γι∂ τηι∏τ τ∑ν τ≠ι χ÷χ γιι η≠ν ηυ η≠ν lim f (x) = L , x→a+0 lim f (x) = K x→+∞ Χηνγ mινη ρ≈νγ η∝m f (x) λι♠ν τχ →υ τρονγ (a, +∞) Χ♥υ ΙΙ Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α τνγ χ〉α χηυι η∝m Χηο un (x), n = 1, 2, λ∝ χ÷χ η∝m ξ÷χ →⇒νη ϖ∝ →←ν →ι√υ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] Γι∂ τηι∏τ ρ≈νγ χηυι η∝m mινη ρ≈νγ χηυι η∝m +∞ n=1 +∞ un (x) ηι τ τψ√τ →ι τ≠ι x = a ϖ∝ x = b Χηνγ un (x) ηι τ →υ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] n=1 Χ♥υ ΙΙΙ Ξ∠τ τ⇑νη ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ +∞ e− x − e− x dx Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⇑χη πη♥ν +∞ sin (f (x)) dx ηι τ ν∏υ f ′(x) →←ν →ι√υ τ♦νγ ϖ∝ δ∩ν ρα +∞ κηι x → +∞ Χ♥υ Ις Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν x2 + y + z dxdydz I= V τρονγ → V λ∝ mιν →↑χ γιι η≠ν βι m∅τ (x + y ) + z = 3a2 Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m +∞ n=0 n k! anxn τρονγ → an = k=0 ♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι ♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2007 →τ Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ Χ♥υ Ι Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη χ÷χ →⇒νη λ Βολζανο−Χαυχηψ τη νη⊇τ ϖ∝ τη ηαι ϖ γι÷ τρ⇒ τρυνγ γιαν χ〉α η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν mτ →ο≠ν Χηο X λ∝ mτ κηο∂νγ σ τηχ: X ⊂ R, f : X → R λ∝ mτ η∝m λι♠ν τχ, Y = {f (x) : x ∈ X} λ∝ τ⊄π γι÷ τρ⇒ χ〉α η∝m f τρ♠ν X Χηνγ mινη ρ≈νγ Y χ∫νγ λ∝ mτ κηο∂νγ Χ♥υ ΙΙ Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν σαυ (ln x + ln y) dxdy τρονγ → D λ∝ mιν →↑χ γιι η≠ν βι D χ÷χ →↑νγ χονγ σαυ: x = y, x2 = 2y, y2 = x, y2 = 2x Ξ∠τ τ⇑νη ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ σαυ +∞ sin 2x xα + xβ dx , α > 0, β > Χ♥υ ΙΙΙ +∞ Χηο χηυι η∝m un (x), x ∈ X ⊂ R n=1 • Πη÷τ βιυ →⇒νη νγη⇐α τ⇑νη ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m τρ♠ν τ⊄π ηπ X • Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ Wειερστρασσ ϖ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m τρ♠ν τ⊄π ηπ X Χηο {un (x)}+∞ n=1 λ∝ δ•ψ η∝m ξ÷χ →⇒νη τρ♠ν →ο≠ν [a, b] σαο χηο +∞ (α) Χ÷χ χηυι |un (a)|2 , n=1 +∞ |un (b)|2 ηι τ n=1 (β) un(x) λ∝ χ÷χ η∝m κη∂ ϖι λι♠ν τχ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] ϖ∝ u ′n (x) = ϖι mι x ∈ [a, b], n = 1, 2, Χηνγ mινη ρ≈νγ χηυι +∞ n=1 x un (x) sin n ηι τ →υ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] Χ♥υ Ις Χηο η∝m σ f (x, y) = (x2 + y ) sin Η•ψ τ⇑νη χ÷χ →≠ο η∝m ρι♠νγ →ο≠ν τ≠ι →ιm (0, 0) x2 + y ∂f ∂x ϖ∝ ∂f ∂y ν∏υ x2 + y = 0, τ≠ι →ιm (0, 0) Χηνγ mινη χ÷χ →≠ο η∝m ρι♠νγ Χηνγ mινη ρ≈νγ η∝m f (x, y) κη∂ ϖι τ≠ι →ιm (0, 0) ∂f ∂f , ∂x ∂y γι÷ν