Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Thị Hồi Châu _ MƠ HÌNH HĨA TRONG DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM LÊ THỊ HỒI CHÂU* TĨM TẮT Các khái niệm liên quan đến vấn đề mô hình hóa dạy học Tốn giới thiệu tóm lược phần đầu báo Để tổ chức dạy học tri thức theo cách tiếp cận mơ hình hóa, yếu tố cần tính đến nghĩa tri thức này, tức vấn đề mà việc giải địi hỏi phải có can thiệp tri thức Phần thứ hai báo dành cho việc làm rõ nghĩa khác liên kết khái niệm đạo hàm Trong thực tế, nghĩa có học sinh huy động họ đứng trước tình ngồi tốn học hay khơng? Câu trả lời tìm thấy nghiên cứu thực nghiệm mà chúng tơi trình bày phần cuối báo Kết thu từ báo cho thấy yếu tố cần tính đến dạy học khái niệm đạo hàm theo cách tiếp cận mô hình hóa Từ khóa: mơ hình hóa, đạo hàm, vận tốc tức thời, tiếp tuyến, xấp xỉ afine ABSTRACT Modeling in teaching the concept of derivative The concepts related to modeling in mathematics teaching are introduced in the first part of this paper To organize the teaching activity for a knowledge module following the modeling approach, the first factor to take into account is the significance of this knowledge, that is, the problem to which the solution requyres the intervention of such knowledge The second part of the article is devoted to clarify the different meanings associated to derivative concept In fact, are these meanings utilized by students in a situation beyond mathematics or not? The answer will be found in empirical studies presented at the end of the article The results obtained from the paper will identify the factors to consider when teaching the concept of derivative following the modeling approach Keywords: modeling, dérivative, instantaneous velocity, tangent, approximately affine Tốn học bắt nguồn từ thực tiễn, lí thuyết toán học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng dụng chúng thực tiễn (từ “thực tiễn” dùng theo nghĩa rộng, bao gồm thực tế sống lẫn khoa học khác) Thế nhưng, xu hướng đặt mục tiêu dạy học (DH) Toán vào việc cung cấp kiến thức phổ thơng, rèn luyện kĩ giải số dạng tốn tiêu biểu gắn liền với chúng khiến cho kiến thức tốn dạy nhà trường trở nên hình thức, khơ khan, khơng hấp dẫn bổ ích đại đa số học sinh (HS) Nhận thấy bất cập này, chương trình giảng dạy Tốn nhiều nước giới từ thập niên qua trọng đến mục tiêu phát triển lực sử dụng cách sáng tạo kiến thức kĩ toán học khác vào việc giải vấn đề * PGS TS, Khoa Toán – Tin học, Trường ĐHSP TPHCM Số 65 năm 2014 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ đa dạng thực tiễn đặt Những chương trình kiểu DH thiên kiến thức hàn lâm, xa rời thực tiễn bị loại bỏ Mơ hình hóa tốn học Để sử dụng kiến thức kĩ toán vào việc giải vấn đề thực tiễn, người ta phải trải qua bước q trình mơ hình hóa tốn học – q trình chuyển vấn đề thuộc lĩnh vực ngồi tốn học thành vấn đề toán học, sử dụng cơng cụ tốn để tìm câu trả lời cho vấn đề đặt ban đầu Dưới đây, chúng tơi trình bày ngắn gọn vài khái niệm liên quan đến q trình mơ hình hóa tốn học 1.1 Hệ thống mơ hình Nói q trình mơ hình hóa tốn học, Chevallard (1989) xuất phát từ hai khái niệm hệ thống mơ hình - hệ thống Ông lấy lại định nghĩa nêu Encyc1opaedia universalis, theo hệ thống tập hợp phần tử với tác động qua lại chúng, mà tác động phải tuân theo số nguyên lí hay quy tắc đặc trưng cho hệ thống Mơ hình mẫu, đại diện, minh họa thiết kế để mô tả cấu trúc hệ thống, cách vận hành vật, tượng thuộc hệ thống Người ta thường sử dụng khái niệm mơ hình với hai nghĩa khác Theo nghĩa thứ nhất, mơ hình sao, ví dụ, có tính chất đặc trưng cho vật gốc mà mơ hình biểu diễn Với nghĩa khối cầu, chóp, nón (cụ thể, vật chất) sử dụng DH hình học mơ hình khái niệm hình cầu, hình chóp, hình nón Hay tập hợp R² với hai phép tốn định nghĩa sau: ∀ ( , ), ( , ( , ) ∈ R2 , ∀ ∈ : )+( , ( , ) = ( )=( , + , + ) ) mơ hình khơng gian vectơ trừu tượng định nghĩa Đại số tuyến tính Theo nghĩa thứ hai mơ hình biểu diễn cho phần quan trọng hệ thống (có sẵn xây dựng) với mục đích nghiên cứu hệ thống Nói cách khác, mơ hình thu từ việc diễn đạt theo ngơn ngữ đặc trưng chủ yếu tình huống, hệ thống mà người ta cần nghiên cứu Cách biểu diễn tuân theo tập hợp quy tắc Khi quy tắc quy tắc tốn học mơ hình toán học tạo Bài báo sử dụng thuật ngữ mơ hình theo nghĩa thứ hai 1.2 Mơ hình hóa tốn học Mơ hình tốn học giải thích tốn học cho hệ thống ngồi tốn học với câu hỏi xác định mà người ta đặt hệ thống Quá trình mơ hình Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu _ hóa tốn học q trình thiết lập mơ hình tốn học cho vấn đề ngồi tốn học, giải vấn đề mơ hình đó, thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tế, cải tiến mơ hình cách giải khơng thể chấp nhận Trong phần lại viết, để ngắn gọn, chúng tơi dùng thuật ngữ mơ hình hóa thay cho mơ hình hóa tốn học Nói q trình mơ hình hóa, L Coulange (1997) phân biệt ba khái niệm khác nhau: toán thực tiễn (problème concret), toán thực tiễn (problème pseudo –concret) toán toán học (problème mathématique) (tham khảo [3], Lê Văn Tiến, 2005, tr 93) Với ba khái niệm này, L Coulange (1997) đưa vào thuật ngữ mơ hình thực tiễn, mơ hình thực tiễn, mơ hình tốn học, chia q trình mơ hình hóa thành bước Phỏng theo Coulange (1997), đưa sơ đồ tóm lược bước q trình mơ hình hóa: Chúng tơi cụ thể hóa bước q trình mơ hình hóa sau: Bước Xây dựng mơ hình thực tiễn vấn đề, tức xác định yếu tố có ý nghĩa quan trọng hệ thống xác lập quy luật mà phải tuân theo Bước Xây dựng mơ hình tốn học cho vấn đề xét, tức diễn tả lại dạng ngơn ngữ tốn học cho mơ hình thực tiễn Lưu ý ứng với vấn đề Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 65 năm 2014 _ xem xét có nhiều mơ hình tốn học khác nhau, tùy theo chỗ yếu tố hệ thống mối liên hệ chúng xem quan trọng Bước Sử dụng công cụ toán học để khảo sát giải tốn hình thành bước hai Bước Phân tích kiểm định lại kết thu bước ba Ở đây, người ta phải xác định mức độ phù hợp mơ hình kết tính tốn với vấn đề thực tế Nếu kết khơng thể chấp nhận phải lặp lại trình để tìm câu trả lời phù hợp cho tốn ban đầu 1.3 Mơ hình hóa dạy học tốn Vấn đề phải bồi dưỡng cho HS lực giải vấn đề thực tiễn kiến thức toán mà họ thu nhận Việc gắn DH Toán với giải vấn đề thực tiễn mang lại nhiều lợi ích Trước hết giúp HS hiểu nghĩa tri thức học được, lí tồn lợi ích cho sống cá nhân xã hội Sau đó, quan điểm DH gắn với mơ hình tạo hứng thú học tập, rèn luyện lực tư cho HS Nói mơ hình hóa DH Tốn, tác giả Lê Văn Tiến (2005) phân biệt hai khái niệm DH mơ hình hóa DH mơ hình hóa DH mơ hình hóa dạy học cách thức xây dựng mơ hình tốn học thực tiễn, nhắm tới trả lời cho câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn [ ] Quy trình DH là: DH tri thức tốn học lí thuyết → Vận dụng tri thức vào việc giải tốn thực tiễn vào việc xây dựng mơ hình thực tiễn (Lê Văn Tiến, 2005, tr 96) Về mặt sư phạm, quy trình làm vai trị động tốn thực tiễn Về mặt khoa học luận, làm nguồn gốc thực tiễn tri thức tốn học Quy trình DH mơ hình hóa cho phép khắc phục khiếm khuyết Vấn đề dạy học Tốn thơng qua DH mơ hình hóa Như vậy, tri thức tốn học cần giảng dạy nảy sinh qua trình giải tốn thức tiễn Quy trình DH tương ứng là: Bài tốn thực tiễn → Xây dựng mơ hình tốn học → Câu trả lời cho toán thực tiễn → Tri thức cần giảng dạy → Vận dụng tri thức vào giải toán thực tiễn (Lê Văn Tiến, 2005, tr 96) Những sở lí luận trình bày dẫn ta đến chỗ phải thừa nhận tính cần thiết tất yếu nghiên cứu khoa học luận nghĩa tri thức cần dạy (nguồn gốc nảy sinh, lí tồn tri thức, vấn đề mà cho phép giải quyết, v.v ) việc tổ chức DH theo cách tiếp cận mơ hình hóa Nghĩa khái niệm đạo hàm Thuật ngữ đạo hàm mà chúng tơi nói đến báo dùng để đạo hàm bậc hàm số điểm thuộc tập xác định Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu _ 2.1 Những toán nguồn gốc hình thành khái niệm đạo hàm Có hai toán nguồn gốc làm nảy sinh khái niệm đạo hàm, thuộc lĩnh vực Hình học đến từ Vật lí Bài tốn hình học: xác định tiếp tuyến đường cong Nếu trước đây, nhiều tốn Đại số giải nhờ công cụ phương pháp Hình học, kể từ kỉ XVI, với hệ thống kí hiệu Viète đề nghị vào năm 1591, Đại số tách khỏi Hình học, phát triển cách độc lập với phương pháp có sức mạnh lớn lao Nhận thấy sức mạnh ấy, Descartes Fermat khai thác vào nghiên cứu Hình học việc xây dựng nên Hình học giải tích Sự đời Hình học giải tích khiến cho vấn đề nghiên cứu nhiều đường cong phức tạp trở nên dễ dàng Bài tốn tìm tiếp tuyến đường cong đặt Bài tốn nhà tốn học thời kì trước giải số đường đặc biệt (đường tròn, đường conic, đường xoắn ốc Archimedes) công cụ hình học cổ điển Tuy nhiên, với hàng loạt đường cong xuất hiện, toán xác định tiếp tuyến đòi hỏi phương pháp tổng quát Khái niệm tiếp tuyến lúc hiểu theo quan niệm vị trí “tới hạn” cát tuyến hay đường thẳng trùng với phần vô nhỏ với đường cong tiếp điểm Chính từ quan niệm “vị trí tới hạn” mà hệ số góc tiếp tuyến với đường cong y = f(x) định nghĩa (theo ngôn ngữ ngày nay) biểu thức lim f ( x  h )  f ( x )  f ' ( x ) h h Bài tốn vật lí: tìm vận tốc tức thời Thừa nhận xem vận tốc tức thời vật thể có phương trình chuyển động s = S(t) giới hạn vận tốc trung bình khoảng thời gian (t , t  t ) t  , Newton đến biểu thức xác định (có chất với biểu thức xác định hệ số góc tiếp tuyến) mà theo ngôn ngữ ngày ta viết là: S ( t  t )  f ( t )  S ' (t ) t t  vtt  lim 2.2 Những nghĩa khác khái niệm đạo hàm Đạo hàm – hệ số góc tiếp tuyến Đây nghĩa hình học khái niệm đạo hàm Nhờ khái niệm đạo hàm hàm số điểm, người ta trả lời câu hỏi tồn hay không tiếp tuyến đường cong điểm tồn đường thẳng nào, dựng Câu trả lời Số 65 năm 2014 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ cho câu hỏi trường hợp đường cong khó mà tìm thấy với cơng cụ hình học túy Đạo hàm - tốc độ biến thiên hàm số Phương pháp giải tốn tìm vận tốc tức thời Newton vận dụng để giải nhiều toán khác vật lí Năm 1687, sách tiếng Những ngun lí tốn học triết học tự nhiên Newton phát biểu ba định luật quan trọng chuyển động, định luật thứ hai cho thấy thay đổi trạng thái chuyển động gây lực tác động lên vật, mối quan hệ lực với chuyển động tuân theo quy tắc: lực tác động tỉ lệ với đạo hàm cấp hai hàm tọa độ chất điểm Lúc này, biết trước lực tác động người ta tính tốn quỹ đạo dự đoán trước tương lai kiện Những nghiên cứu Newton khiến đạo hàm mang lại quyền lực lớn lao cho nhà vật lí Từ nhìn vật lí, Newton đến ý tưởng xây dựng Giải tích học sở “chuyển động”, đạo hàm định nghĩa tốc độ biến thiên tức thời đại lượng theo “thời gian” “Thời gian” không hiểu theo nghĩa đen, mà theo nghĩa tổng qt, biến x biến thiên theo thời gian, nghĩa cho ( x) '  Ý tưởng Newton mang lại cho đạo hàm đặc trưng trực quan hữu ích: đạo hàm thước đo tốc độ biến thiên hàm số so với tốc độ biến thiên đối số Quan niệm mở đường cho ứng dụng ạt, mạnh mẽ vơ hiệu đạo hàm nói riêng, Giải tích nói chung, việc giải nhiều vấn đề khác vật lí tốn học, để từ mở rộng lĩnh vực khác thực tiễn Chẳng hạn, với đạo hàm, người ta giải vấn đề nghiên cứu biến thiên, cực trị hàm số, ứng dụng sử dụng cho tượng kinh tế học, xã hội học Chúng gọi nghĩa vật lí khái niệm đạo hàm Cần phải nói rõ tính từ vật lí trường hợp muốn nói đến lĩnh vực vốn nguồn gốc khái niệm đạo hàm Nó khơng có nghĩa giới hạn cho vận tốc chuyển động học Theo nghĩa vật lí này, đạo hàm phản ánh tốc độ biến thiên hàm số so với tốc độ biến thiên biến số x → Đạo hàm – công cụ xấp xỉ hàm số Thế kỉ XVIII, sau khái niệm đạo hàm hàm số đạo hàm định nghĩa tường minh, nhà bác học dùng để giải nhiều vấn đề vật lí tốn học Năm 1715, Taylor đưa kết mà ngày ta gọi công thức khai triển Taylor: = + ℎ, nghĩa ℎ = − ( )= ( )+ ( ) ! ℎ+ ( ) ! ℎ + ⋯+ ( )( ! ) ℎ + (ℎ ) (ℎ ) là vô bé bậc cao ℎ Công thức Taylor cho phép xấp xỉ ( ) với hàm đa thức Trong nhiều trường hợp, việc nghiên cứu ( ) trở nên dễ dàng nhiều ta chuyển hàm đa 10 Lê Thị Hoài Châu Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ thức xấp xỉ với ( ) Trường hợp đơn giản nhất, người ta xấp xỉ ( ) với hàm tuyến tính (gọi xấp xỉ affine) Nếu chuyển sang ngơn ngữ hình học điều có nghĩa phần đường cong ( ) lân cận (khá bé) x xấp xỉ với đoạn thẳng (chính tiếp tuyến x) Chúng gọi nghĩa công cụ xấp xỉ khái niệm đạo hàm Nghiên cứu thực trạng dạy học khái niệm đạo hàm Trong chuỗi nghiên cứu dài thực từ nhiều năm qua, chúng tơi muốn tìm hiểu thực trạng DH khái niệm đạo hàm bậc THPT sau tìm cách tác động vào thực trạng tình DH có tính đến q trình mơ hình hóa Ba câu hỏi nghiên cứu đặt là: - Nghĩa khái niệm đạo hàm hình thành sách giáo khoa (SGK) Toán lớp 11, 12 thực hành DH giáo viên? - Sự lựa chọn SGK giáo viên ảnh hưởng lên kiến thức HS? - Từ quan điểm tích hợp mơ hình hóa DH tốn, nên tổ chức DH để HS có kiến thức đầy đủ khái niệm đạo hàm? Với khn khổ có hạn báo, phần chúng tơi trình bày vài kết trả lời cho câu hỏi thứ hai Nghiên cứu thực trạng DH khái niệm đạo hàm tiến hành qua nhiều thực nghiệm Chúng tơi trích để trình bày số kết thu qua ba số thực nghiệm Trong ba thực nghiệm có thuộc phạm vi đề tài nghiên cứu Mơ hình hóa dạy học Tốn (Lê Thị Hồi Châu, 2014) hai thuộc khuôn khổ luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Lí luận Phương pháp DH Tốn bảo vệ Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh (Bùi Anh Tuấn (2007), Ngô Minh Đức (2013)) Thực nghiệm tiến hành hình thức cho HS làm việc (cá nhân nhóm) vấn đề (tốn học hay ngồi tốn học) xây dựng theo mục đích nghiên cứu khác Dưới chúng tơi trích năm số vấn đề sử dụng cho ba thực nghiệm Thuật ngữ tốn dùng để nói vấn đề Những phân tích trình bày thu qua pha HS làm việc cá nhân 3.1 Thực nghiệm Bài toán Cho hàm số ( ) = √ = a) Tính ( ) ′( ) b) Khơng dùng máy tính bỏ túi, ứng dụng công thức ( ) ≈ ( ) + ( )( − ) để tính gần (lấy đến ba chữ số thập phân) giá trị 0,85 ; √0,9 ; 0,95 ; 1,05 ; √1,1 ; 1,15 11 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 65 năm 2014 _ c) Gọi a, b, c, d, e, f giá trị gần 0,85 ; √0,9 ; 0,95 ; 1,05 ; √1,1 ; 1,15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm A (0,85; a), B (0,9; b), C (0,95; c), D (1,05; d), E (1,1; e) F (1,15; f) có thẳng hàng hay khơng? Giải thích rõ lí (Trích từ Bùi Anh Tuấn (2007) Lê Thị Hoài Châu (2014)) Ở HS dễ dàng tính ( ) = ; ′( ) = 0,5 ; 0,85  0,925; √0,9  0,95 ; 0,95  0,975; 1,05  1,025; √1,1  1,05 ; 1,15  1,075 Sau đó, chiến lược xét thẳng hàng sử dụng là: - Chiến lược “vectơ”: Dùng khái niệm hai vectơ phương hình học giải tích để chứng minh ba điểm thẳng hàng; - Chiến lược “điểm”: Vẽ điểm lên mặt phẳng tọa độ, kết luận; - Chiến lược “đường thẳng”: Viết phương trình đường thẳng qua điểm đó, sau kiểm chứng điểm cịn lại có nằm đường thẳng hay khơng; - Chiến lược “tăng đều”: điểm cho có hồnh độ tăng 0,05, tung độ tăng 0,025, nên chúng thẳng hàng; - Chiến lược “phương trình”: Từ cơng thức tính gần đúng, ta suy điểm A, B, C, D, E F có tọa độ thỏa mãn phương trình = 0,5( − 1) + Đây phương trình tiếp tuyến Vậy chúng thẳng hàng Đây chiến lược tối ưu toán Lưu ý dùng chiến lược HS kết luận sáu điểm xét thuộc đường thẳng = 0,5( + 1) mà không nhắc đến “tiếp tuyến” Vì lẽ tác giả Bùi Anh Tuấn gọi chiến lược “phương trình” Xét thẳng hàng điểm biết tọa độ chúng kiểu nhiệm vụ quen thuộc mà HS thường gặp Hình học giải tích Nhưng tọa độ điểm tác giả chọn cho việc giải tốn chiến lược hình học gặp nhiều khó khăn Lí lựa chọn để thúc đẩy HS đến với việc sử dụng đạo hàm, hay nói xác phương trình tiếp tuyến, để chứng tỏ thẳng hàng sáu điểm cho Công thức xấp xỉ nhắc lại (đã có SGK Giải tích 11), vế phải có liên quan đến phương trình tiếp tuyến với đường cong (một nội dung trọng SGK đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông (THPT) hay tuyển sinh đại học) lựa chọn nhằm tạo thuận lợi cho xuất chiến lược “phương trình” Bài tốn cho phép kiểm tra tồn hay không kiến thức HS nghĩa công cụ xấp xỉ đạo hàm Sự xấp xỉ đặt phạm vi hình học gắn liền với nghĩa hình học: lân cận bé người ta xấp xỉ đường cong với tiếp tuyến Bài tốn phần thực nghiệm thực với 107 HS vừa tốt nghiệp THPT Cần Thơ, sau nêu cho 49 HS lớp 12 thuộc trường địa bàn TP Hồ Chí Minh Bảng thống kê kết thu 12 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Thị Hồi Châu _ Bảng Thống kê kết thực nghiệm với toán Bảng cho thấy có 2/107 4/49 HS sử dụng chiến lược “phương trình”, dù tình thực nghiệm thiết kế theo hướng gây trở ngại cho việc sử dụng chiến lược hình học Cần nói thêm quan sát HS pha làm việc theo nhóm (tham khảo Lê Thị Hồi Châu, 2014), chúng tơi thấy kiểu lập luận sau xuất không HS: “A, B, C, D, E, F không thẳng hàng chúng nằm đường cong ( ) = √ ” Như vậy, dù tung độ điểm tính theo cơng thức gần đúng, HS khơng thiết lập mối liên hệ tình với công thức đề cập DH xấp xỉ affine hàm số Dường nghĩa cơng cụ xấp xỉ affine xấp xỉ hình học đạo hàm chưa thực diện kiến thức HS 3.2 Thực nghiệm Bài toán Trong “Phương trình dao động lắc đơn”, sách giáo khoa Vật lí lớp 12 có nêu nhận xét sau: “Khi x nhỏ ( < ) ta coi ≈ ” Em đưa tất lí để giải thích cho nhận xét Bài toán Số dân thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 (chẳng hạn, xét năm 2012 t = 2012 – 1970 = 42) ước tính cơng thức: ( ) = (nghìn người) Tính số dân thị trấn vào năm 1990 2008 Vào hai thời điểm năm 1990 2008, năm dân số thị trấn tăng nhanh ? (Trích từ Ngơ Minh Đức, 2013) Hai toán đưa cho 35 HS lớp 12 hai trường THPT địa bàn TP Hồ Chí Minh u cầu tốn khơng phải tính gần giá trị hàm số điểm, mà giải thích xấp xỉ hàm thừa nhận SGK Vật lí 12 Chiến lược tìm câu trả lời là: 13 Số 65 năm 2014 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ - Áp dụng công thức xấp xỉ affine ( ( ) ≈ ( ) + nhỏ) cho hàm số ( ) = sin = ( )( − ) | − | - Áp dụng công thức lim → = 1: x nhỏ (khá gần 0) ≈ hay sin ≈ - Chọn giá trị x ngày nhỏ dùng máy tính bỏ túi tính giá trị sinx tương ứng Đối chiếu kết luận sin ≈ x nhỏ - Vẽ vòng tròn lượng giác lập luận dựa vào độ dài cung AB chắn góc  độ dài AH = sin: Độ dài cung AB = = (do R=1) Khi  nhỏ AB  AH, tức   sin Giống 1, toán xây dựng để kiểm tra diện hay không kiến thức HS nghĩa công cụ xấp xỉ đạo hàm, tức tìm hiểu quan niệm họ mối quan hệ đạo hàm với xấp xỉ affine Tuy nhiên, khác với toán 1, xấp xỉ xấp xỉ số tùy Chúng giả định so với xấp xỉ hình học quan niệm xấp xỉ số túy dễ có khả hình thành HS Câu trả lời mong đợi sử dụng công thức xấp xỉ affine hàm ( ) – công thức diện SGK Giải tích 12 Thế nhưng, thực tế lại khơng có học sinh sử dụng cơng thức Bài tốn vốn tốn có mặt SGK Giải tích 12 (chương trình nâng cao) Điểm thay đổi tác giả bỏ thông báo “Đạo hàm hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số thị trấn” mà SGK đưa vào đề tốn Hơn nữa, thay đặt câu hỏi SGK “tính tốc độ tăng dân số” năm, tác giả yêu cầu HS so sánh xem hai thời điểm “năm dân số thị trấn tăng nhanh hơn” Việc đặt toán giúp kiểm tra xem đặc trưng tốc độ biến thiên liệu có xuất hay khơng quan niệm HS sau học khái niệm đạo hàm Những chiến lược mà HS sử dụng để tìm câu trả lời là: - Tính đạo hàm: ( ) = ( ) Tại năm 1990, t = 1990 − 1970 = 20  f (20) = 0,192 Với năm 2008, t = 2008 − 1970 = 38  f (38) = 0,065 Do ( ) > ( ) nên năm 1990 dân số thị trấn tăng nhanh năm 2008 - Tính lượng dân số tăng từ năm 1970 đến 1990 chia cho số năm 20 năm để tính trung bình Tiến hành tương tự cho năm 2008 so sánh tốc độ trung bình để kết luận (hoặc tính số dân tăng từ năm 1989 đến 1990 số dân tăng từ 2007 đến 2008, có nghĩa tìm số dân tăng năm tính đến năm xét so sánh để kết luận) - Vẽ đồ thị hàm ( ) xem xét đồ thị hai thời điểm cần xét xem đâu hàm số dốc (nghĩa tăng nhanh hơn) 14 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Thị Hồi Châu _ Kết thu từ thực nghiệm cho thấy chiến lược (sử dụng đạo hàm) thực tế không xuất Lời giải chiếm ưu (19/35 HS) sử dụng chiến lược thứ hai: tính tốc độ tăng dân số trung bình dựa vào tốc độ trung bình để so sánh tốc độ tăng dân số tức thời hai thời điểm Dưới giải có từ chiến lược đó: Việc đa số HS lựa chọn chiến lược cho thấy em biết để tìm thời điểm dân số tăng nhanh phải tính tốn tốc độ tăng dân số Khái niệm tốc độ biến thiên trung bình diện quan niệm học sinh Nhưng cần phải xác định tốc độ biến thiên tức thời chiến lược đạo hàm lại khơng xuất 3.3 Thực nghiệm Ở hai tốn trích từ thực nghiệm gần nhất, thực với 47 HS lớp cuối lớp 11 Trường Trung học Thực hành – Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Bài Hai chất điểm chuyển động thẳng trục định hướng Vị trí tương ứng p1, p2 chúng trục phụ thuộc vào thời gian t phụ thuộc cho hai đồ thị (p 1), (p 2) hình a) Dựa vào đồ thị, em ước tính thời điểm mà hai chất điểm có vận tốc b) Xác định thời điểm tính tốn, biết hàm số tương ứng với hai đồ thị là: ( ) = , ( ) = 15 Số 65 năm 2014 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Bài Phương trình chuyển động vật = √ , với p vị trí vật thời điểm t Khi = = ta tính vị trí vật = Nhưng thời điểm mà giá trị t số phương thì, khơng có máy tính bỏ túi, ta khơng dễ tìm số p biểu thị vị trí tương ứng vật Chẳng hạn, t = 8,96 ta nói ≈ (vị trí vật gần 3) a) Người ta muốn tìm giá trị xấp xỉ (của ) biểu thị xác vị trí thực vật t = 8,96 Em đề nghị (hay nhiều) cách thức để đưa giá trị Nhớ em không sử dụng máy tính bỏ túi b) Cho vật chuyển động theo theo phương trình = + − (p vị trí vật thời điểm t) Một người nói t = 1,127 ≈ Em tìm giá trị biểu thị xác vị trí thực vật thời điểm (Trích từ Lê Thị Hồi Châu, 2014) Thực nghiệm mà xây dựng gợi lên từ nghiên cứu J-Y Gantois M Schneider (2009) Hai tốn đặt tình học, loại tình SGK Giải tích 11 ưu tiên để đưa vào khái niệm đạo hàm theo cách tiếp cận DH mơ hình hóa Để giải tốn thứ nhất, trước hết HS phải nhận chuyển động thẳng đồ thị cho thấy vận tốc Kiến thức đạo hàm mà HS phải sử dụng là: hai chuyển động đạt vận tốc thời điểm mà tiếp tuyến có hệ số góc Như trường hợp này, HS phải có liên kết hai nghĩa khác đạo hàm – nghĩa vật lí nghĩa hình học Bài tốn thứ hai đưa để tìm hiểu xem khái niệm đạo hàm có HS huy động khả để tìm giá trị xấp xỉ địa phương hàm số hay khơng Chúng tơi trình bày tóm lược kết quan sát qua thực nghiệm 12/47 HS khơng đưa lời giải cho tốn Trong 35 HS lại 13 em sử dụng đạo hàm để giải tốn 1b, em đưa đáp số Trong số 22 HS khơng sử dụng đạo hàm có đến 10 em tìm đáp số cách giải phương trình = Có thể giải thích 10 HS cho thời điểm hai chuyển động có vận tốc quãng đường 12 HS khác giải câu 1a) có vẽ thêm đường thẳng song song với “tiếp xúc” với , sử dụng tính chất hình học (định lí Pythagore) cố gắng tìm quãng đường chất điểm chuyển động theo phương trình , khơng đến kết Ta thấy HS có khó khăn việc sử dụng đạo hàm để tìm vận tốc tức thời chuyển động trường hợp gián tiếp biết hệ số góc tiếp tuyến, dù ý nghĩa hình học đạo hàm nội dung DH trình bày tường 16 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lê Thị Hồi Châu _ minh SGK Giải tích 11 Hai nghĩa hình học vật lí khơng HS huy động gắn kết với Đối với tốn 5, có 11/48 HS sử dụng cơng thức tính gần (bằng vi phân hàm số) mà SGK Giải tích 11 đưa vào Những HS lại thử thực phép khai (nhưng khơng thành cơng, xưa việc tìm bậc hai số ln em thực với máy tính bỏ túi), mò mẫm lấy số “gần với 3” thử (bằng cách tính bình phương số đó) Những cách làm đương nhiên không khả thi cho trường hợp câu hỏi 5b) Kết luận Nghiên cứu thực nghiệm cho thấy dù khái niệm đạo hàm SGK Giải tích 11 trình bày đầy đủ ba nghĩa (nghĩa vật lí – tốc độ biến thiên, nghĩa hình học – hệ số góc tiếp tuyến, nghĩa giải tích – cơng cụ xấp xỉ affine), HS có khó khăn việc huy động chúng vào giải số vấn đề thực tiễn Giải thích ngun nhân khó khăn này, chúng tơi tiến hành phân tích SGK thực hành DH giáo viên nhiều phương diện Một nguồn gốc khó khăn tìm thấy lựa chọn SGK SGK tính đến quan điểm gắn DH tốn với vấn đề mơ hình hóa Cả hai cách tiếp cận DH mơ hình hóa DH mơ hình hóa diện SGK Cụ thể khái niệm đạo hàm trình bày theo cách tiếp cận DH mơ hình hóa (để hình thành nghĩa vật lí khái niệm) Sau SGK nêu ứng dụng khác đạo hàm, qua nghĩa hình học nghĩa xấp xỉ đề cập đến Tuy nhiên, tình cho phép thiết lập mối liên kết ba nghĩa (vào khái niệm, đạo hàm) không tồn SGK Nguồn gốc thứ hai lúng túng HS nằm chỗ, với lựa chọn hệ thống tập SGK thực hành DH giáo viên, khả vận dụng tốn học nói chung, đạo hàm nói riêng vào giải vấn đề ngồi toán học chưa phát triển HS mức cần phải có Quan điểm gắn DH tốn với q trình mơ hình hóa chưa tính đến cách đầy đủ SGK thực tế DH GV Một đồ án dạy học khái niệm đạo hàm gắn với quan điểm tích hợp mơ hình hóa chúng tơi thiết kế thực nghiệm, khơng thể trình bày khn khổ báo 17 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 65 năm 2014 _ TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Thị Hoài Châu (2014), Mơ hình hóa dạy học Tốn, Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu cấp sở, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Ngơ Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm dạy học Tốn Vật lí trường phổ thơng, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học mơn Tốn trường phổ thơng, Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Bùi Anh Tuấn (2007), Biểu diễn đồ thị hàm số nghiên cứu đường cong qua phương trình nó: trường hợp đường thẳng, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Chevallard Y (1989), Le passage de l'arithmétique l'algèbre dans l'enseignement des mathématiques au collège, Petit x, N° 19, pp 45-75, La Pensé Sauvage Coulange L (1997), Les problèmes concrets “mettre en équations” dans l'enseignement, Petit x, N° 47, pp 33-58, La Pensé Sauvage Gantois J-Y, Schneider M (2009), Introduire les dérivées par les vitesses Pour qui? Pourquoi? Comment?, Petit x, N°79, pp 5-21, La Pensé Sauvage (Ngày Tòa soạn nhận bài: 05-10-2014; ngày phản biện đánh giá: 28-10-2014; ngày chấp nhận đăng: 22-12-2014) 18