ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRẦN NGỌC DIỄM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH f: U → V axtt i) f(x+y) = f(x) + f(y), ∀x, y∈U ii) f(λx) = λf(x), ∀x∈ U, ∀ λ ∈K * f(M) = {f(x)/ x∈ M} * f − 1(N) = {x/ f(x) ∈ N} * Imf = f(U) : ảnh f * Kerf = f −1(0) : nhân f Một số tính chất cần nhớ f : U → V tt: i Nếu M ≤ U f(M) ≤ V ii M ≤ U, M = < S> ⇒ f(M) = < f(S)> Chú ý Tìm sở Imf tìm sở f(S), với S tập sinh sở U Tìm Kerf tìm không gian nghiệm hệ pt f(x) = dimImf + dimKerf = dimU CÁCH CHO ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Cho biểu thức tường minh: f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x2 + 3x3 , −2 x1 + x2 ) Cho thông qua ảnh sở Cho {e1, …, en} sở U, {f1, …, fn} hệ vector tùy ý V Khi tồn axtt f: U→ V cho f(ei) = fi, i = 1, 2, …, n Với x = α1e1 +…+ αnen ∈V: f(x) = α1f1 +…+ αnfn Cách cho axtt Tìm axtt f: R2 → R3 xác định f (1,1) = (1,−2,0), f (2, − 3) = (1,2,3) Cho axtt f: R3 → R3 xác định : f ( 1,1,2 ) = ( 1,2,3) ; f ( 0,3,1) = ( − 1,1,1) ; f ( 2,1, − ) = ( 0,3,4 ) Tìm f(2,0,1) Tìm nhân, ảnh Cho f: R3 → R3, f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 − x3 , x1 + x3 ,3 x1 + x2 − x3 ) Xác định sở cà chiều Imf Kerf f: R4 → R3, f ( x, y, z, t ) = ( x + z − t , x + y − z + 3t , − x + y − z + 3t ) Xác định sở cà chiều Imf Kerf Tìm nhân, ảnh Cho axtt f: R3 → R3 xác định : f ( 1,1,2 ) = ( 1,2,3) ; f ( 0,3,1) = ( −1,1,1) ; f ( 2,1, −2 ) = ( 0,3,4 ) Tìm sở Imf, Kerf Tìm sở chiều Kerf, Imf với f : R3 → R3 thỏa: f ( 1,1,1) = ( 1,2,1) , f ( 1,1,2 ) = ( 2,1, −1) , f ( 1,2,1) = ( 5,4, −1) Tìm nhân, ảnh Cho axtt f: R3 → R3 xác định : f ( 1,0, − 1) = ( 1,2,3) ; f ( 1,1, − 1) = ( − 1,1,1) ; f ( 2,1,2 ) = ( 0,3,4 ) Tìm m để u =(1,-2,m) thuộc Kerf Cho axtt phép quay mặt phẳng Oxy góc 30o ngược chiều kim đồng hồ Xác định axtt MA TRẬN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH f : U → V tuyến tính, dimU = n, dim V = m E = {e1, …, en}, F = {f1, …, fm} sở U V A =[ f ]E = F ( [ fe ] [ fe ] F F [ fen ] F ) A gọi ma trận f sở E, F [ f ( x) ] F = [ f ] E [ x ] E F Ma trận axtt Cho f : R3 → R2, f(x,y,z) = (x+y-z, x+z) a Xác định ma trận f sở tắc R3 R2 b Xác định ma trận f sở E = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} F = {(2,1), (1,-1)} Ma trận axtt Cho f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x+y − z, y+z, 3x+y) a Xác định ma trận f sở tắc E R3 b Xác định ma trận f sở tắc E sở E’ = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} c Xác định ma trận f sở E’ = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} Ma trận axtt Cho axtt f: R3 → R3 xác định : f ( 1,1,2 ) = ( 1,2,3) ; f ( 0,3,1) = ( − 1,1,1) ; f ( 2,1, − ) = ( 0,3,4 ) Tìm ma trận [ f ]E F với E = { ( 1,1,2 ) , ( 0,3,1) , ( 2,1, −2 ) } F = { ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1) } Ma trận axtt Cho axtt f : R3 → R3 Có ma trận sở E = { ( −1,1,0 ) , ( −2,1, −1) , ( −1,1, −1) } F = { ( 1,1, −1) , ( 1,1, ) , ( 1, 2,1) } là:  −3 1  A =  −2 ÷  ÷  1 −3 ÷   a) Tìm f(2,0,-1) b) Tìm sở Imf, Kerf Ma trận axtt Cho axtt f : R3 → R3 Có ma trận sở E = { ( −1,1,0 ) , ( −2,1, −1) , ( −1,1, −1) } là: 0 2  ÷ A = 1 −1  ÷  −1 ÷   a) Tìm f(2,0,-1) b) Tìm m để (m, 2, 0) thuộc Kerf Liên kết ma trận sở khác f : U → V tuyến tính, dimU = n, dim V = m E = { e1 , e2 , , en } , E ′ = { e1′, e2′ , , en′ } sở U F = { f1 , f , , f m } , F ′ = { f1′, f 2′, , f m′ } sở V S = S E → E′ , P = PF → F ′ E F (Ma trận chuyển sở) S P E′ F′ [ f ] E′ = P [ f ] E S F′ −1 F Chứng minh  f ( x )  F = [ f ] E [ x ] E F P  f ( x )  F ′ = [ f ] E S [ x ] E′ F  f ( x )  F ′ = P −1 [ f ] E S [ x ] E′ F [ f ] E′ F′ Liên kết ma trận sở khác f : U → U tuyến tính, dimU = n E = { e1 , e2 , , en } , E ′ = { e1′, e2′ , , en′ } sở U S = S E →E′ [ f ] E′ = S −1.[ f ] E S Ma trận axtt Cho axtt f : R3 → R3 Có ma trận sở E = { ( −1,1,0 ) , ( −2,1, −1) , ( −1,1, −1) } là: 0 2  ÷ A = 1 −1  ÷  −1 ÷   Tìm ma trận f sở tắc E ′ = { ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1) } Ma trận axtt Cho axtt f : R3 → R2 Có ma trận sở E = { ( −1,1,0 ) , ( −2,1, −1) , ( −1,1, −1) } F = { ( 1,1) , ( 1,2 ) } là:  −3 1  A= ÷ − 2   Tìm ma trận f sở tắc E ′ = { ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1) } , F ′ = { ( 1,0 ) , ( 0,1) } Ma trận axtt Cho axtt f : R3 → R3 Có ma trận sở E = { ( −1,1,0 ) , ( −2,1, −1) , ( −1,1, −1) } F = { ( 1,1, −1) , ( 1,1,2 ) , ( 1,2,1) } là:  −3 1  A =  −2 ÷  ÷  1 −3 ÷   Tìm ma trận f sở tắc E ′ = { ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1) } Ma trận axtt Cho axtt f: R3 → R3 xác định : f ( 1,1,2 ) = ( 1,2,3) ; f ( 0,3,1) = ( − 1,1,1) ; f ( 2,1, − ) = ( 0,3,4 ) Tìm ma trận [ f ]E với E sở tắc E = { ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1) }