LỜI CẢM ƠN Lời xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, phòng khảo thí đảm bảo chất lượng, phòng đào tạo đại học, thầy cô tổ môn Giải tích, đặc biệt cô Phạm Thị Thái, thầy Vũ Việt Hùng, người định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, động viên có thêm nghị lực hoàn thành đề tài Nhân dịp xin cảm ơn tới người thân bạn sinh viên lớp K53 ĐHSP Toán Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ, động viên thầy cô bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn! Sơn la, tháng năm 2015 Người thực Sinh viên: Hoàng Thị Hiền - Trương Bá Hiệp Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại số σ-đại số tập hợp 1.1.1 Đại số tập hợp 1.1.2 Đại số gian Rk 13 1.1.3 σ −đại số tập hợp 14 1.2 1.3 1.4 Độ đo đại số tập hợp 16 1.2.1 Hàm tập hợp 16 1.2.2 Độ đo đại số tập hợp 17 1.2.3 Một số tính chất độ đo 18 Mở rộng độ đo 19 1.3.1 Độ đo 20 1.3.2 Mở rộng độ đo 21 Độ đo Rk 23 1.5 1.6 1.4.1 Độ đo Lebesgue R 24 1.4.2 Độ đo Rk 25 Hàm đo 26 1.5.1 Định nghĩa điều kiện tương đương 26 1.5.2 Các phép toán hàm đo 27 1.5.3 Cấu trúc hàm đo 28 Tích phân Lebesgue 29 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM TRÊN KHÔNG GIAN ĐO 37 2.1 Hội tụ hầu khắp nơi 37 2.2 Hội tụ theo độ đo 39 2.3 Hội tụ 42 2.4 Hội tụ trung bình 44 2.5 Hội tụ 49 SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC DẠNG HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN ĐO 52 3.1 Sự liên hệ hội tụ trung bình hội tụ theo độ đo 52 3.2 Sự liên hệ hội tụ theo độ đo hội tụ hầu khắp nơi 53 3.3 Sự liên hệ hội tụ trung bình hội tụ 56 3.4 Sự liên hệ hội tụ trung bình hội tụ hầu khắp nơi 57 3.5 Sự liên hệ hội tụ hội tụ hầu khắp nơi 59 3.6 Sự liên hệ hội tụ theo độ đo hội tụ 60 3.7 Sự liên hệ hội tụ hầu khắp nơi hội tụ 62 3.8 Biểu đồ thể liên hệ dạng hội tụ 63 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 67 TỪ VIẾT TẮT VT vế trái VP vế phải h.k.n hầu khắp nơi h.n.d MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Các dạng hội tụ dãy hàm không gian đo phần nhỏ lĩnh vực Độ đo tích phân Lebesgue Đây phần giải tích ứng dụng nhiều thực tế , tảng cho giải tích đại Do việc nghiên cứu cần thiết, giúp nắm vững kiến thức phần tạo điều kiện để nghiên cứu sâu phần giải tích có liên quan Xuất phát từ lí mạnh dạn vào nghiên cứu "Bước đầu nghiên cứu hội tụ dãy hàm đo không gian đo" Mục đích, đối tượng, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, giới hạn phạm vi nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu dạng hội tụ dãy hàm đo không gian đo liên hệ dạng hội tụ Từ đưa số ứng dụng lý thuyết giải tích đại 2.2 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài hội tụ dãy hàm đo không gian đo 2.3 Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích trên, đặt nhiệm vụ tìm hiểu trình bày lại vấn đề kiến thức có liên quan cách có hệ thống logic Từ trình bày cách chi tiết hội tụ dãy hàm đo không gian đo 2.4 Phương pháp nghiên cứu Do đặt nhiệm vụ đặc thù môn, chọn phương pháp sưu tầm tài liệu, hỏi ý kiến chuyên gia, giảng viên hướng dẫn, nhóm nghiên cứu Từ hệ thống lại kiến thức theo nội dung đề tài 2.5 Giới hạn phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu nghiên cứu vấn đề hội tụ dãy hàm đo không gian đo Bố cục Từ mục đích nhiệm vụ đặt bố cục đề tài xếp sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày lý thuyết độ đo, hàm đo tích phân Lebesgue để làm sở cho nghiên cứu chương sau Chương Các dạng hội tụ Trình bày số dạng hội tụ quan trọng không gian đo bao gồm hội tụ theo độ đo, hội tụ hầu khắp nơi, hội tụ trung bình Chương Sự liên hệ dạng hội tụ Trình bày mối quan hệ số dạng hội tụ nêu chương Đó mối quan hệ hội tụ theo độ đo hội tụ hầu khắp nơi Đóng góp đề tài Đề tài trình bày cách có hệ thống kiến thức liên quan chi tiết kiến thức hội tụ dãy hàm không gian đo Đề tài tài liệu tham khảo chuyên sâu hữu ích cho sinh viên chuyên ngành toán lĩnh vực đề tài, tài liệu tham khảo cho sinh viên Khoa Toán – Lý – Tin trường Đại học Tây Bắc thư viện nhà trường Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Lý thuyết độ đo xây dựng vững lý thuyết đại số σđại số tập hợp Trong phần đầu chương này, dành cho việc trình bày lý thuyết đại số σ− đại số tập hợp, tiếp đến trình bày lý thuyết độ đo hàm đo không gian đo 1.1 1.1.1 Đại số σ-đại số tập hợp Đại số tập hợp Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập khác ∅, C họ tập ( ) X Ta nói C đại số tập X nếu: a)X ∈ C b) Nếu A ∈ C CA = A ∈ C c) Nếu A, B ∈ C A ∪ B ∈ C Từ định nghĩa ta có ví dụ minh họa sau đại số tập hợp Ví dụ 1.1.2 ( X, τ ) không gian tô pô, ta gọi C họ tập vừa đóng vừa mở X Khi họ C thỏa mãn tiên đề đại số tập hợp X Thật vậy: a)X ∈ C X vừa mở vừa đóng b)A ∈ C , A vừa mở vừa đóng ⇒ X \ A vừa mở vừa đóng, X \ A ∈ C c)A, B ∈ C ta cần chứng minh A ∪ B ∈ C Thật rõ ràng A ∩ B vừa đóng, vừa mở X Vậy C đại số X Mệnh đề sau cho thấy, để kiểm tra đại số, kiểm tra cách tương đương điều kiện c) điều kiện c)’ A, B ∈ C ⇒ A ∩ B ∈ C Mệnh đề 1.1.3 C đại số X thỏa mãn điều kiện sau: a) X ∈ C b) Nếu A ∈ C CAA ∈ C c) Nếu A, B ∈ C A ∩ B ∈ C Chứng minh Giả sử C - đại số, theo c), ta có: A, B ∈ C ⇒ A ∪ B ∈ C Xét: A ∩ B = A ∩ B = A ∪ B Vì A ∈ C , B ∈ C nên A ∈ C , B ∈ C , A ∪ B ∈ C 10 Chứng minh Với ε > tùy ý, ta có: µ({ x ∈ A : | f n ( x ) − f ( x )| ≥ ε}) ≤ ε | f n − f |dµ → A n → +∞ Do { f n }n≥1 hội tụ f theo độ đo µ A Nhưng điều ngược lại định lý nói chung không Nghĩa dãy µ hàm f n −→ f ta chưa thể suy f n hội tụ trung bình f Ví dụ sau cho thấy chiều ngược lại Định lý (3.1.1) không Ví dụ 3.1.2 Cho f n = nX với n f = Khi < ε ≤ n µ({ x ∈ (0; 1)|| f n ( x )| ≥ ε}) = → với n → +∞ n (0; ) Do { f n }n≥1 hội tụ theo độ đo f = khoảng (0; 1) Nhưng ta lại có | f n ( x )|dx = Vậy { f n }n≥1 không hội tụ trung bình f = khoảng (0; 1) 3.2 Sự liên hệ hội tụ theo độ đo hội tụ hầu khắp nơi Bây trình bày mối liê hệ hai khái niệm hội tụ quan trọng hội tụ theo độ đo hội tụ hầu khắp nơi Định lý sau cho thấy không gian đo hữu hạn hội tụ hầu khắp nơi mạnh hội tụ theo độ đo 53 Định lý 3.2.1 Nếu dãy hàm { f n }n≥1 hội tụ hầu khắp nơi f A µ độ đo đủ f đo A Hơn nữa, µ( A) < ∞ f n hội tụ f theo độ đo µ, µ hay f n −→ f Chứng minh Ta chứng minh f đo A Thật vậy, đặt B = { x ∈ A : f n f }, µ( B) = Mặt khác µ độ đo đủ nên f đo B Hơn f n hội tụ f A\ B ⇒ f đo A\ B Từ f đo A = B ∪ ( A\ B) µ Ta chứng minh f n −→ f A, µ( A) < ∞ Thật vậy, với ε > 0, ∀n, ∃i : | f n+1 − f | ≥ ε x ∈ B Từ suy {| f n+i − f | ≥ ε} ⊂ B n ≥1 i ≥1 Do µ độ đo đủ nên {| f n+i − f | ≥ ε} µ = n ≥1 i ≥1 Đặt En = i ≥1 {| f n+i − f | ≥ ε} Ta có µ ∏ En n ≥1 = Rõ ràng n tăng, f n+i giảm Do số phần tử A En dãy giảm Vì E1 ⊃ E2 ⊃ · · · ⊃ En ⊃ · · · Mặt khác µ( E1 ) ≤ µ( A) < ∞ Do từ tính liên tục độ đo ta có lim µ( En ) = ⇒ lim µ( En−1 ) = n→∞ n→∞ Ta có {| f n−1+i − f | ≥ ε} = {| f n − f | ≥ ε} ∪ En−1 = i ≥1 {| f n−1+i − f | ≥ ε} i ≥2 54 Từ ≤ µ({| f n − f | ≥ ε}) ≤ µ( En−1 ) Suy ⇒ lim µ({| f n − f | ≥ ε}) = n→∞ µ Vậy f n −→ f Ví dụ sau cho thấy tồn dãy hàm hội tụ hầu khắp nơi không hội tụ theo độ đo Ví dụ 3.2.2 Xét tập số thực R với độ đo Lebesgue Chọn f n = X[n;n+1] Ta có f n → n → ∞ Tuy nhiên f n không hội tụ theo độ đo với ε = µ x | f ( x ) − 0| ≥ thì: = µ[n; n + 1] = Như vậy, từ hội tụ theo độ đo không suy hội tụ hầu khắp nơi Tuy nhiên có định lý sau µ Định lý 3.2.3 Cho dãy hàm { f n }n≥1 hàm f đo A Khi f n −→ f h.k.n A tồn dãy { f nk }n≥1 cho f nk −→ f A ∞ Chứng minh Chọn dãy số dương {ε k }k : ε k → dãy {ηk }k : ηk > 0, ∑ ηk < k =1 ∞ µ Do f n −→ f nên ∀ηk , ∃n(k ) : ∀n ≥ n(k ), µ{| f n − f | ≥ ε k } ≤ ηk Đặt n1 = n(1), n2 = max{n1 + 1, n(2)}, · · · ⇒ n1 < n2 < · · · ∀k ∈ Ψ, µ 55 | f nk − f | ≥ ε k ≤ ηk Đặt Qi = ∞ k =i ∞ | f nk − f | ≥ ε k , B = ∏ Qi i =1 ∞ ⇒ µ( B) ≤ µ(Qi ) ≤ ∑µ ∞ | f nk − f | ≥ ε k k =1 ≤ ∑ ηk → k =1 ⇒ µ( B) = Mặt khác, ∀ x ∈ A\ B ⇒ ∃i : x ∈ / Qi ⇒ ∀k ≥ i, | f nk − f | ≤ ε k → k → ∞ h.k.n Vậy f nk −→ f 3.3 Sự liên hệ hội tụ trung bình hội tụ Chúng ta biết giải tích cổ điển kết quan trọng qua qua giới hạn dấu tích phân, dãy hàm liên tục hội tụ giới hạn tích phân chúng tích phân hàm giới hạn Mặt khác biết hàm liên tục khả tích Riemann khả tích Lebesgue Kết sau chó thấy mở rộng thực cho trường hợp tích phân Lebesgue Định lý 3.3.1 Nếu { f n }n≥1 dãy hàm khả tích hội tụ hàm f A, µ( A) < +∞ f n hội tụ trung bình hàm f Chứng minh Do f n ⇒ f nên ta suy ∀ε > 0, ∃n0 : | f n ( x ) − f ( x )| < ε, ∀n ≥ n0 , x ∈ A 56 Mặt khác ta có | f | ≤ | f n − f | + | f n | nên |f| ≤ A | fn − f | + A | fn| A | f n | < +∞ ≤ εµ( A) + A Vậy, f khả tích A Nhưng ta lại có với ∀n ≥ n0 | f n − f | ≤ εµ( A), ∀ε > A | f n − f | → 0, n → ∞ Chứng tỏ ⇒ A Vậy, f n hội tụ trung bình hàm f 3.4 Sự liên hệ hội tụ trung bình hội tụ hầu khắp nơi Mối liên hệ sau hội tụ trung bình hội tụ hầu khắp nơi coi Định lý Lebesgue - Levi hội tụ bị chặn Đây kết đặc sắc có nhiều ứng dụng lý thuyết tích phân Lebesgue Kết cho phép qua giới hạn dấu tích phân h.k.n Định lý 3.4.1 Cho dãy hàm { f n }n≥1 khả tích A f n −→ f Khi tồn hàm khả tích không âm g cho | f n | ≤ g f n hội tụ trung bình hàm f h.k.n h.k.n Chứng minh Do f n −→ f nên | f n − f | −→ 57 Ta có: | f n − f | ≤ | f n | + | f | ≤ 2g Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta có: | f n − f | → 0, n → ∞ A Vậy f n hội tụ trung bình hàm f Ví dụ sau cho thấy { f n }n≥1 hội tụ hầu khắp nơi hàm f , { f n }n≥1 không hội tụ trung bình hàm f Ví dụ 3.4.2 Xét f n ( x ) = n Ta có: ∀ x ∈ [0; 1], + n2 x n = lim 2 n→∞ n→∞ + n x + nx n lim f n ( x ) = lim n→∞ h.k.n Do đó, f n −→ đoạn [0; 1] Tuy nhiên 1 f n ( x )dx = lim lim n→∞ n→∞ n = lim n→∞ n dx + n2 x du = lim [arctan u] n→∞ + u2 = lim (arctan n) = n→∞ n π Vậy f n không hội tụ trung bình Tuy nhiên có kết sau mà thân áp dụng nhiều lý thuyết giải tích đại Định lý 3.4.3 Cho dãy hàm { f n }n≥1 hàm f khả tích Nếu f n hội tụ trung bình h.k.n hàm f tồn dãy { f nk }n≥1 ⊂ { f n }n≥1 cho f nk −→ f µ Chứng minh Do f n hội tụ trung bình hàm f nên f n −→ f nên ta suy tồn h.k.n dãy { f nk }n≥1 ⊂ { f n }n≥1 cho f nk −→ f 58 3.5 Sự liên hệ hội tụ hội tụ hầu khắp nơi Kết hợp lý sau cho thấy hội tụ mạnh hội tụ hầu khắp nơi h.n.d Định lý 3.5.1 Cho { f n }n≥1 , f hàm đo A Khi f n −→ f h.k.n f n −→ f h.n.d Chứng minh Do f n −→ f nên với số tự nhiên k, tồn Ek cho µ( Ek ) < f n ⇒ f Ekc k Đặt F = ∞ k =1 Ekc f n −→ f F Mặt khác ta lại có µ( F c ) ≤ µ( Ek ) < , ∀k k h.k.n Suy µ( F c ) = Vậy f n −→ f A Chúng ta ý chiều ngược lại Định lý không Tuy nhiên chiều ngược lại có thêm số điều kiện Ta có định lý sau Định lý 3.5.2 Cho { f n }n≥1 , f hàm đo A, µ( A) < +∞ Khi đó, h.k.n h.n.d f n −→ f f n −→ f Chứng minh Với k, n số nguyên dương cho trước, đặt Enk ∞ = ∏ | fm − f | < m=n h.k.n Từ f n −→ f A, suy µ( A\ E) = 59 , E = lim Enk n k Do vậy, với ε > cho trước, ∃nk : µ( A\ Enk ) < ∞ ε , ∀n ≥ nk 2k Đặt F = ∏ Enk k f đo k =1 ∞ ( A\ Enk k ) µ( A\ F ) = µ k =1 ∞ ≤ ∑ ( A\Enk ) < ε k =1 Mặt khác ∀ x ∈ F ⊂ Enk k , ∀n ≥ nk : | f n − f | < , ∀k k h.n.d Vậy f n −→ f 3.6 Sự liên hệ hội tụ theo độ đo hội tụ Kết sau tiếp tục cho thấy hội tụ mạnh hội tụ theo độ đo h.n.d Định lý 3.6.1 Cho dãy hàm { f n }n≥1 hàm f đo A Khi đó, f n −→ f µ f n −→ f h.n.d Chứng minh Do f n −→ f nên ∀m ∈ N, ∃ Em đo thỏa mãn µ( Em ) < , f n ⇒ f A\ Em , m ⇒ ∃ N (ε, m) ∈ N : ∀n > N (ε, m) {| f n − f | ≥ ε} ⊂ Em ⇒ µ ({| f n − f | ≥ ε}) ≤ µ( Em ) < ⇒ µ ({| f n − f | ≥ ε}) = µ Vậy, f n −→ f 60 , ∀m m Chiều ngược lại định lý không đúng, ta có định lý sau tương tự mối quan hệ hội tụ theo độ đo hội tụ hầu khắp nơi µ Định lý 3.6.2 Cho dãy hàm { f n }n≥1 , f đo A Nếu f n −→ f ∃{ f nk }n≥1 h.n.d dãy { f n }n≥1 cho f nk −→ f µ Chứng minh Do f n −→ f , nên ta có với k đặt En = x | f n ( x ) − f ( x )| ≥ k µ( En ) → n → ∞ Chọn nk cho ∀n ≥ nk , ta có µ( En ) ≤ 2−k Đặt Ak = , Gj = x | f nk ( x ) − f ( x )| ≥ k ∞ Ak k= j Khi x ∈ Gjc ⇒ x ∈ Ack , với ≥ j Đặt G = ∩ Gj , ta có ∞ µ( G ) ≤ µ( Gj ) ≤ ∑ µ( Ak ) = k= j ∞ ∑ 2− k = 2− j +1 , ∀ j k= j suy µ( G ) = Nếu x ∈ /G⇒x∈ / Gj , ∀ j ⇒ | f nk ( x ) − f ( x )| < , ∀k k Với ε > 0, chọn k cho < ε Khi ta có: k ∀x ∈ / G, ∀nl > nk ⇒ | f nl ( x ) − f ( x )| < h.n.d Do nk không phụ thuộc vào x nên ta có f nk −→ f 61 < ε k 3.7 Sự liên hệ hội tụ hầu khắp nơi hội tụ Sự liên hệ hội tụ hầu khắp nơi hội tụ cho kết tiếng Egoroff sau Định lý 3.7.1 Định lý Egoroff Cho µ( A) < ∞, dãy hàm f n hàm f đo h.k.n A Nếu f n −→ f với số ε > 0, ∃ E ⊂ A : µ( Ec ) < ε f n hội tụ hàm f E h.k.n Chứng minh Do f n −→ f A nên ∃C ⊂ A : µ(C ) = lim f n ( x ) = f ( x )∀ x ∈ B = A\C n→∞ Với m, n ta đặt ∞ x ∈ B : | f j ( x ) − f ( x )| < Bm,n = j=n m Khí ta có { Bm,n } dãy đơn điệu tăng: Bm,1 ⊂ Bm,2 ⊂ · · · Mặt khác, lim f n ( x ) = f ( x ), ∀ x ∈ B n→∞ nên ta có ∞ B= Bm,n n =1 Do µ( B) = lim µ( Bm,n ) n→∞ Tiếp theo với m, ∃nm ta có µ( B\ Bm,nm ) = µ( B) − µ( Bm,nm ) < 62 ε 2m Đặt ∞ ∏ Bm,nm D = A\ m =1 Thì ta có ∞ µ( D ) ≤ ∞ ε = ε 2m m =1 ∑ µ( B\ Bm,nm ) ≤ ∑ m =1 ∞ Gọi E = ∏ Bm,nm , ta có E đo m =1 E ⊂ A µ( A\ E) = µ( D ) < ε, ∀ x ∈ E ⇒ x ∈ Bm,nm , ∀m Do | f j ( x ) − f ( x )| < , ∀ j > nm m Điều chứng tỏ f n hội tụ hàm f E 3.8 Biểu đồ thể liên hệ dạng hội tụ Như hội tụ dãy hàm đo có mối quan hệ với Tuy nhiên mối quan hệ có thay đổi tùy thuộc có hay không điều kiện µ( A) < +∞ Để dễ nắm mối quan hệ này, sau lược đồ thể mối qua hệ chúng 63 Trường hợp tổng quát: Trung bình Đều ✟ ✟✟ ✟ ✙✟ ✟ Hầu ❄ ✟✟ ✟ ✟ ✙ ✟ ✟ ❍❍ ❍ ❍❍ ❥ Độ đo Hầu khắp nơi Trường hợp µ( A) < ∞: Trung bình Đều ✛ ✟✟ ✟ ✙ ✟ ✟✟ Hầu ❄ Độ đo ✟ ✟✟ ✙ ✟ ✛ ❍❍ ❨ ❍❍ ❍❍ ❍❍ ❥ ✟✟ Hầu khắp nơi 64 KẾT LUẬN Trong khả điều kiện cho phép, bước đầu đề tài giải vấn đề đặt ra: trình bày dạng hội tụ dãy hàm, liên hệ dạng hội tụ Cụ thể sau: Thứ chương trình bày lý thuyết độ đo, hàm đo tích phân Lebesgue để làm sở cho nghiên cứu chương sau Thứ hai, chương 2, trình bày số dạng hội tụ quan trọng không gian đo bao gồm hội tụ theo độ đo, hội tụ hầu khắp nơi, hội tụ trung bình, Qua khái niệm, đưa ví dụ minh họa phản ví dụ cho khái niệm Thứ ba, chương 3, trình bày mối quan hệ số dạng hội tụ nêu chương Như mối quan hệ hội tụ theo độ đo hội tụ hầu khắp nơi cho Định lý 3.2.1, cho thấy hội tụ hầu khắp nơi mạnh hội tụ theo độ đo trường hợp không gian đo có độ đo hữu hạn Định lý 3.1.1 cho ta thấy hội tụ trung bình mạnh hội tụ theo độ đo Định lý 3.3.1 cho thấy hội tụ mạnh hội tụ trung bình, từ kết Định lý 3.5.1 cho ta thấy hội tụ mạnh hội tụ hầu khắp nơi Hơn nữa, qua nội dung cố gắng tìm phản ví dụ cho mối quan hệ ngược lại không Hai chương cuối nội dung đề tài Với kết đạt 65 nói trên, đề tài để lại nhiều hướng nghiên cứu cho chúng tôi, chẳng hạn tiếp tục nghiên cứu dạng hội tụ khác không gian đo mối quan hệ chúng Xa muốn áp dụng đơn vị kiến thức nghiên cứu vào việc nghiên cứu kết liên quan giải tích đại, chẳng hạn lý thuyết xác suất, nơi mà lý thuyết độ đo công cụ hữu ích đóng vai trò chủ đạo Do thời gian nghiên cứu có hạn kiến thức chuyên môn chưa tích lũy nhiều nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp, giúp đỡ, góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên để đề tài đầy đủ hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn! 66 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Minh Thông (2007), Không gian tôpô, Độ đo-Tích phân , Nxb Giáo dục [2] Phạm Kỳ Anh-Trần Đức Long (2001), Giáo trình Hàm thực Giải tích hàm thực , Nxb ĐHQG Hà Nội [3] Robert G Bartle (2001), A Modern Theory of Integration II, Vol 32, American Mathematical Society Providence, Rhode Island [4] M Papadimitrakis (2004), Notes on measure theory, Lecture notes, University of Crete [5] Robert G Bartle (2001), Solutions Manual to A Modern Theory of Integration III, American Mathematical Society Providence, Rhode Island 67 [...]... thuyết độ đo, người ta thấy rằng không phải mọi tập con của một tập đo được là đo được Trường hợp riêng, không phải tập con của một tập có độ đo không đều đo được (tất nhiên chúng cũng có độ đo không) Điều này xuất phát khái niệm về độ đo đủ, ở đó khẳng định là đúng Ta có khái niệm về độ đo đủ như sau Định nghĩa 1.3.4 Độ đo µ được gọi là đủ nếu mọi tập con của một tập có độ đo không đều đo được Tới... a} ∈ F 26 Nhận xét 1.5.4 i) Nếu f đo được trên A thì f đo được trên mọi tập con B đo được của A ii) Nếu f đo được trên A thì ∀ a ∈ R, { x ∈ A : f ( x ) = a} ⊂ F iii) ∀ f = c, c = const thì f đo được iv) Nếu ∀ f đo được, ∀k = const, thì k f đo được 1.5.2 Các phép toán đối với hàm đo được Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các phép toán quan trọng đối với hàm đo được Một trong những tính chất quan... hạn của dãy hàm đo được Đây là tính chất mà lớp hàm liên tục không có Định lý 1.5.5 Chúng ta có các khẳng định sau i) Nếu f đo được thì mọi α > 0, thì hàm | f |α đo được f ii) Nếu f , g đo được thì f ± g; f g; ( g = 0) cũng đo được g Chứng minh Xem tài liệu [1] Định lý 1.5.6 Cho { f n }n≥1 đo được và hữu hạn trên A Khi đó các hàm sup f n , inf f n , lim f n , lim f n , lim f n n n n n cũng đo được. .. giản không âm Tính chất này cũng được mở rộng sau này với tùy ý các hàm đo 32 được không âm Tiếp theo, chúng ta nghiên cứu một số định lý cơ bản của tích phân Lebesgue được định nghĩa nêu trên Định lý sau đây còn được gọi là định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue Định lý 1.6.2 Cho ( X, A, µ) là một không gian đo được dương Giả sử f 1 ≤ f 2 ≤ f 3 ≤ · · · : X → [0; ∞) là hàm đo được, sao cho f = lim f n Khi... σ - đại số F hay là µ đo được nếu: (∀ a ∈ R), { x ∈ A : f ( x ) < a} ∈ F Chú ý 1.5.2 a) Xét X = Rk , F = L, µ là độ đo Lebesgue, khi đó ta nói f là hàm đo được Lebesgue Trường hợp F = B( x ) khi đó F được gọi là hàm Borel b) Mọi hàm liên tục đều đo được ( L)F = L Định lý sau cho ta các điều kiện tương đương để kiểm tra một hàm đo được Định lý 1.5.3 f : A −→ R là hàm đo được trên A khi và chỉ khi thỏa... < ε 25 v) Tập A ⊂ Rk đo được Lebesgue khi và chỉ khi tồn tại tập Borel B và tập N có độ đo không sao cho A = B ∪ N Ta nói một tập là đo được Lebesgue khi và chỉ khi tập đó sai khác tập Borel nào đó một tập có độ đo không 1.5 1.5.1 Hàm đo được Định nghĩa và điều kiện tương đương Định nghĩa 1.5.1 Cho ( X, F , µ) là không gian đo Hàm f : A −→ R = R ∪ (−∞; +∞) được gọi là đo được trên tập A ∈ F đối với... Một hệ quả khác của Định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue (1.6.2) là tích cộng tính của tích phân các hàm đo được không âm sau đây Định lý 1.6.4 Cho f , g : X → [0; ∞] là những hàm đo được Khi đó ( f + g)dµ = f dµ + gdµ Chứng minh Từ định lí cấu trúc hàm đo được, tồn tại các hàm đo được đơn giản φn , ψn thỏa mãn: 0 ≤ φ1 ≤ φ2 ≤ · · · , lim φn = f ; 0 ≤ ψ1 ≤ ψ2 ≤ · · · , lim ψn = g Do đó hàm đơn giản χn =... 1.5.8 Hàm đặc trưng X A đo được trên X khi và chỉ khi A đo được, nghĩa là A ∈ F Định nghĩa 1.5.9 Hàm f xác định trên A gọi là hàm đơn giản nếu f đo được và chỉ nhận hữu hạn giá trị hữu hạn trên A Ví dụ 1.5.10 ( X, F , µ) = (R, L, µ) Xét f : R −→ R, được xác định như sau: f ( x ) =      0 nếu x ∈ / [0; 1]     1 nếu x ∈ [0; 1] 28 Ta có: f = X[0;1] do [0; 1] đo được ⇒ X[0;1] = f đo được f... dụng định lý mở rộng độ đo của Caratheodory thác triển độ đo m trên đại số C( J ) được độ đo ngoài µ∗ trên P ⊂ R, µ = µ∗ |L được gọi là độ đo Lebesgue trên R Chú ý 1.4.2 Từ định nghĩa của độ đo Lebesgue chúng ta thấy σ đại số Borel B(R) ⊂ L ở đó L − σ đại số các tập đo được Lebesgue 24 1.4.2 Độ đo trong Rk Tương tự như trong mục trước, chúng ta thu được kết quả sau về mở rộng độ đo trong Rk Trong phần... của hàm đo được Định lý sau đây còn gọi là định lý cấu trúc của hàm đo được Đây là kết quả quan trọng cho việc xây dựng tích phân Lebesgue sau này T.rước hết chúng ta có khái niệm hàm đặc trưng và hàm đơn giản như sau Định nghĩa 1.5.7 Cho không gian độ đo ( X, F , µ) và A ⊂ X Hàm số X A : X −→ R x −→ X A ( x ) với X A ( x ) =      1 nếu x ∈ A     / A 0 nếu x ∈ được gọi là hàm đặc trưng của