Đề thi chuyên lam sơn (10) Môn : Toán (Toán chung) Bài 1 : (2đ) Cho biểu thức : + + ++ + + + + + = xxx xx x x xx x x x P 1 2 3 : 2 2 88 2 a. Tìm x để P có nghĩa và chứng minh rằng P 1 . b. Tìm x thoả mãn : ( ) 1.1 =+ Px Bài 2 : (3đ) a. Giải phơng trình : 1 1 2 2 = + + x x x b. Giải hệ phơng trình : x 2 y 2x + 3y 2 = 0 x 2 + y 2 x + 2y = 0 c. Giải phơng trình : 2006.20052006 2006 2244 =+++ xxxx Bài 3 : (1,5đ) Cho a, b, c là các số dơng . Chứng minh rằng : 8 1625 > + + + + + ba c ca b cb a . Bài 4 : (2đ) Cho ABC với BC=a, CA=b, AB=c (c<a, c<b) . Gọi M và N lần lợt là tiếp điểm của cạnh AC và cạnh BC với đờng tròn tâm O nội tiếp ABC . Đoạn thẳng MN cắt tia AO tại P và cắt tia BO tại Q .Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB và AC . a. Chứng minh rằng : c PQ b NQ a MP == . b. Chứng minh rằng : Q, E, F thẳng hàng . Bài 5 : (1,5đ) Hình tứ diện ABCD có cạnh AB vuông góc với cạnh CD, AD=AC, diện tích của thiết diện đi qua cạnh AB và trung điểm của cạnh DC bằng S ; DC=a . Tính thể tích của tứ diện ABCD theo a và S . §¸p ¸n §Ò thi chuyªn lam s¬n M«n : To¸n (To¸n chung) Bài 1 : (2đ) a. Điều kiện x>0 Ta có : )2.( )2()3( : )2.( )2()88()( 22 + ++++ + +++ = xx xxx xx xxx P (0.25đ) P= 52 44 ++ + xx x (0.25đ) P-1= 0 4)1( )1( 1 52 44 2 2 ++ = ++ + x x xx x (0.25đ) Vậy 1 P (0.25đ) b. 1).1( =+ Px 4 ( ) 521 2 ++=+ xxx (0.25đ) 3x + 6 x -1 = 0 (0.25đ) 3 323 3 323 + = = x x 3 347 = x (thoã mãn điều kiện x>0) . (0.25đ) Bài 2 : (3đ) a. Giải phơng trình : 1 1 2 2 = + + x x x (1) ĐK : 1 x (1) 1 1 2 ) 1 ( 1 2 2 2 2 2 = + + + + + x x x x x x x (0.25đ) 1 1 .2) 1 ( 2 2 = + + + x x x x x (0.25đ) 2)1 1 ( 2 2 =+ + x x 0)21()21( 0)21()21( 2 2 =++++ =++ xx xx (0.25đ) 2 12212 = x (thỏa mãn) (0.25đ) b. Giải hệ phơng trình : x 2 y 2x + 3y 2 = 0 x 2 + y 2 x + 2y = 0 Nếu y=0 x=0 Vậy x=0, y=0 là nghiệm của hệ phơng trình . (loại) (thỏa mãn) (0.25đ) Với y 0 hệ đã cho trở thành x 2 y 2x + 3y 2 = 0 x 2 y+ y 3 x + 2y 2 = 0 (0.25đ) 02 02 22 23 =++ =+ yxyx yxxy Nhận thấy 3 2 = y không thoả mãn hệ phơng trình . Xét 3 2 y từ (1) 2 3 2 + = y y x thay vào (2) ta có : 02 2 .) 2 ( 3 2 22 3 2 =+ + + + y y y y y y 02 2)2( 3 3 23 3 = + + + + y y y y y 08113 36 =++ yy (0.25đ) 32 3 2 3 8 111 3 3 3 = == === xyy xyy (0.25đ) Vậy hệ có 3 nghiệm (0;0) (1;-1) (-2 3 ; 33 2 ) . (0.25đ) c. 2006.200520062006 2244 =+++ xxxx [ ][ ] 020062006.20062006)2006( 2224 =+++++ xxxx (0.25đ) [ ] 0)20062006(20062006 242 =++++ xxx 20062006 24 += xx (0.25đ) 4 1 20062006 4 1 2224 +++=++ xxxx 2222 ) 2 1 2006() 2 1 ( +=+ xx 2 1 2006 2 1 22 +=+ xx (0.25đ) 2 80214011 2006 2 + =+ x 180212 2 = x 2 18021 2 = x 2 18021 = x . (0.25đ) Bài 3 : (1.5đ) Đặt b+c=x , c+a=y, a+b=z (ĐK: x,y,z>0) (2) (1) 2 2 2 zxy c yzx b xzy a + = + = + = (0.25đ) Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh ta có : +++++ = +++++= + + + + + = 42) 2 16 () 25 () 1625 ( 2 1 116 1616 25 25 25 2 1 22 )(16 2 )(25 y y z x z z x y x x y z x z y y z y x x z x y z zxy y yzx x xzy VT áp dụng bất đẳng thức CôSi cho các số dơng : 8 . .16 2 2 16 10 . 25. 2) 25 ( 40 16.25 2) 16 25 ( =+ =+ =+ zy yzy y z xz zx x z z x xy xy y x x y (0.25đ) Thay vào (1) ta có : VT 8)42.81040( 2 1 =++ (0.25đ) Dấu bằng bất đẳng thức xảy ra khi : z y y z x z z x y x x y = = = 16 25 16 25 yz zx xy = = = 4 5 45 kx kky kz 5 )0(4 = >= = (0.25đ) a= 0 2 54 2 = + = + kkk xzy (loại vì a >0) (0.25đ) Vậy không có dấu bằng xảy ra 8 1625 > + + + + + ba c ca b cb a . Bài 4 : O M F C N B E A P Q (1) (0.25đ) (0.25đ) a. Ta có : BOP là góc ngoài AOB BOP= OAB + OBA = 2 1 (BAC + ABC) Lại có : PNB=180 0 MNC =180 0 - )( 2 1 180 2 180 0 0 ABCBAC ACB += (0.25đ) BOP+PNP=180 0 tứ giác BOPN nội tiếp OPM = OBC (cùng bù OPN ) Mặt khác : OMP = OCN OPM OBC (g.g) OB OP OC OM a PM == (1) (0.25đ) Tơng tự ta có : ONQ OCA (g.g) a PM OC OM OC ON b NQ === AOB QOP (g.g) a PM OB OP c PQ == (0.25đ) Từ (1) , (2) c PQ b NQ a MP == hay : (0.25đ) b. Tứ giác AMQO nội tiếp (CM trên) AQO=AMO = 90 0 ABQ vuông tại Q có QE là trung tuyến (0.25đ) EQB= EBQ=CBQ EQ//BC (0.25đ) mà EF//BC E, Q, F thẳng hàng . (0.25đ) Bài 5 : C H D B A M Ta có : AC = AD gọi M là trung điểm của CD vì ACD cân (0.25đ) AM CD AB CD CD (ABM) CD BM . (0.25đ) Ta có thiết diện đi qua cạnh AB và trung điểm CD là mặt phẳng (ABM) Ta có : CD BM CM=MD BCD cân tại B (0.25đ) Từ A hạ đờng vuông góc cắt BM tại H AH BM AH CD lại có BAM CD (0.25đ) AH (BCD) . Vậy AH chính là đờng cao của tứ diện ABCD hạ từ A . V ABCD = 3 1 S BCD .AH= 3 1 AH. 2 1 BMCD= 6 1 AH.BM.CD= 3 1 S ABM .CD= 3 1 .S.a= 3 Sa (đvtt) (0.5đ) . C H D B A M Ta có : AC = AD gọi M là trung điểm c a CD vì ACD cân (0.25đ) AM CD AB CD CD (ABM) CD BM . (0.25đ) Ta có thi t diện đi qua cạnh AB. (BCD) . Vậy AH chính là đờng cao c a tứ diện ABCD hạ từ A . V ABCD = 3 1 S BCD .AH= 3 1 AH. 2 1 BMCD= 6 1 AH.BM.CD= 3 1 S ABM .CD= 3 1 .S .a= 3 Sa (đvtt) (0.5đ)