Chuyên đề Bất đẳng thức đại Võ Quốc Bá Cẩn-Phạm Thị Hằng ii Mục lục Lời nói đầu v Tìm tòi số kỹ thuật giải toán 1.1 Đại lượng (a b)(b c)(c a) 1.2 Những kiểu lời giải đặc biệt AM-GM 1.3 Kỹ thuật pqr 1.3.1 Lời nói đầu 1.3.2 Những đẳng thức cần nhớ 1.3.3 Bất đẳng thức Schur 1.3.4 Đại lượng (a b)2 (b c)2 (c a)2 1.3.5 Làm mạnh 1.3.6 pqr hoán vị 1.4 The CYH techniques 1.4.1 Lời nói đầu 1.4.2 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz Holder 1.4.3 Một số kỹ thuật cần ý 1.5 The Hyberbolic functional technique 1.5.1 Lời nói đầu 1.5.2 Một số ví dụ mở đầu 1.5.3 Đặt vấn đề 1.5.4 Giải vấn đề 1.5.5 Một số mở rộng 1.6 Các dạng tổng bình phương 1.7 Hàm lồi, hàm bậc 1.8 Quy nạp Sáng tạo bất đẳng thức 1 12 22 22 23 23 28 42 55 70 70 70 72 143 143 143 146 152 164 179 186 196 201 A Một số bất đẳng thức thông dụng 343 A.1 Bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân-trung bình điều hòa (AM-GM-HM) 343 iii iv MỤC LỤC A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 Bất Bất Bất Bất Bất đẳng đẳng đẳng đẳng đẳng thức thức thức thức thức AM-GM suy rộng trung bình lũy thừa trung bình lũy thừa suy rộng Bernoulli Cauchy Schwarz A.7 Bất đẳng thức Holder A.8 Bất đẳng thức Minkowski A.9 Bất đẳng thức Chebyshev A.10 Khai triển Abel A.11 Bất đẳng thức Maclaurin A.12 Bất đẳng thức Schur A.13 Hàm lồi, hàm lõm A.14 Bất đẳng thức Jensen A.15 Tổng, tích hoán vị-đối xứng 343 343 344 344 344 344 345 345 345 345 346 346 346 346 Lời nói đầu Bất đẳng thức vấn đề hay khó chương trình toán phổ thông có mặt hầu khắp lĩnh vực toán học đòi hòi phải có vốn kiến thức tương đối vững vàng tất lĩnh vực Mỗi người chúng ta, đặc biệt bạn yêu toán, dù dù nhiều đau đầu trước bất đẳng thức khó có cảm giác tự hào phấn khích mà chứng minh bất đẳng thức Nhằm “kích hoạt” niềm say mê bất đẳng thức bạn, thực sách “Chuyên đề bất đẳng thức đại” Sách gồm chương Chương I xin giới thiệu đến bạn kỹ thuật (xin gọi kỹ thuật) mà tìm tòi tích lũy suốt thời gian học tập Do tất kỹ thuật mà đề cập có liên hệ khăng khít với (cái bổ trợ ngược lại) nên xin phép trình bày theo kiểu chuyên đề nhỏ, chuyên đề kỹ thuật Tuy nhiên, lĩnh vực bất đẳng thức phát triển (phát triển toán học sơ cấp nay), đề cập hết kỹ thuật (phương pháp) được, kỹ thuật (phương pháp) xuất sách, không nhắc lại đây, bạn tìm đọc chúng dựa vào tài liệu mà đặt phần tài liệu tham khảo Về kỹ thuật mà giới thiệu sách, hầu hết chúng kỹ thuật mạnh dùng để giải toán khó (đến khó) nên (việc giải toán khó) gặp phải tính toán, biến đổi phức tạp, điều tránh khỏi Nhưng bạn yên tâm, toán xuất kỳ thi học giỏi (quốc gia, olypimpic 30/4, chí thi toán quốc tế) thường đơn giản, bình thường nên việc sử dụng kỹ thuật nhẹ nhàng đơn giản Chẳng hạn toán thi IMO 2006 sau Bài toán 0.1 Tìm số nhỏ cho bất đẳng thức sau với số thực a; b; c ab(a2 b2 ) + bc(b2 c2 ) + ca(c2 a2 ) k(a2 + b2 + c2 )2 : Lời giải đáp án lời giải dài phức tạp (sử dụng bất đẳng thức AMGM), đòi hỏi người làm phải “rất khéo léo”, với lời giải kỹ thuật “đánh v vi LỜI NÓI ĐẦU giá bất đẳng thức hoán vị”, nhận lời giải ngắn gọn 1/3 so với lời giải gốc ban đầu Chương II sách tuyển tập toán mà (theo quan niệm thân) hay khó Chúng chủ yếu tuyển chọn bất đẳng thức chứa “không mẫu mực” dùng biến đổi thông thường để giải chúng thúc đẩy sáng tạo Trong chương này, phần lớn giải cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz-Holder (CYH techniques) bất đẳng thức Schur (bậc 3, bậc 4) Thực tế số toán lời giải mà có nhiều lời giải khác nữa, chọn lời giải bất đẳng thức trên, muốn bạn “hòa nhập” vào quan điểm “Cái đơn giản mạnh nhất!” Trong chương này, có số toán khó, lời giải mà tìm phức tạp, mong bạn suy nghĩ chúng tìm lời giải đơn giản Chúng thực sách với mong muốn cung cấp thêm cho bạn thêm nguồn tập (khó) bất đẳng thức để luyện tập thêm kĩ giải toán Mặc dù cố gắng điều tuyệt đối cả, nên khó tránh khỏi thiếu sót, sai lầm Mong bạn thông cảm góp ý cho để sách chỉnh sửa hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Xin gửi tặng sách đến người gái yêu quý nhất, bạn Phạm Thị Hằng, học sinh chuyên toán K34, trường THPT Chuyên Phan Bội Châu, thành phố Vinh, tỉnh Nghệ An Võ Quốc Bá Cẩn SV lớp YY0647A1, trường ĐHYD Cần Thơ Số nhà C65 khu dân cư Phú An, phường Phú Thứ, quận Cái Răng, Cần Thơ E-mail: can_hang2007@yahoo.com Chương Tìm tòi số kỹ thuật giải toán 1.1 Đại lượng (a b)(b c)(c a) Với bất đẳng thức hoán vị vòng quanh, việc xử lý chúng khó bất đẳng thức đối xứng nhiều Tuy nhiên, điểm đáng ý dạng bất đẳng thức này, biến đổi chúng thành dạng "bán đối xứng" sau Đặt f (a; b; c) biểu thức hoán vị vòng quanh đề bài, ta viết lại f (a; b; c) sau 1 f (a; b; c) = [f (a; b; c) + f (c; b; a)] + [f (a; b; c) f (c; b; a)] 2 Khi đó, có điểm đáng ý f (a; b; c) + f (c; b; a) biểu thức đối xứng theo a; b; c f (a; b; c) f (c; b; a), ta tách đại lượng đặc biệt (a b)(b c)(c a): Từ đó, việc đánh giá toán trở nên đơn giản nhiều Sau vài ví dụ Ví dụ 1.1 Cho số dương a; b; c: Chứng minh ab bc ca + + 3a2 + b2 3b + c2 3c + a2 : (Dương Đức Lâm) Lời giải Bất đẳng thức tương đương với X (a cyc b)(3a b) 3a2 + b2 CHƯƠNG TÌM TÒI MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN , X (a b) cyc , X (a cyc X a2 b2 a2 + b2 cyc a+b a2 + b2 2(3a b) 3a2 + b2 b) (3a2 2ab + 3b2 ) (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) Y a2 b2 a2 + b2 cyc Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có X (a cyc b) (3a2 2ab + 3b2 ) (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) Nên ta cần chứng minh v uY u (a 3t cyc v uY u (a 3t cyc b) (3a2 2ab + 3b2 ) (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) b) (3a2 2ab + 3b2 ) (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) Y a2 b2 a2 + b2 cyc b) (3a2 2ab + 3b2 ) Y (a2 b2 )3 (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) (a2 + b2 )3 cyc cyc Y Y , 27 (3a2 2ab + 3b2 )(a2 + b2 )2 (a b)(a + b)3 (3a2 + b2 ) Y (a , 27 cyc cyc Bất đẳng thức chứng minh ta chứng minh bất đẳng thức sau với x; y > 3(3x2 2xy + 3y )(x2 + y )2 jx yj (x + y)3 (3x2 + y ) Theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có x2 + y (x + y)2 Nên ta cần chứng minh 3(3x2 2xy + 3y )(x2 + y ) x2 y (3x2 + y ) Bất đẳng thức hiển nhiên x2 + y x2 y2 3(3x2 2xy + 3y ) 2(3x2 + y ) = 3x2 Bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c: 6xy + 7y = 3(x y)2 + 4y 0: