Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi hoc sinh giỏi toán cấp huyện năm hoc 20142015 Đề thi học sinh giỏi toán cấp huyện năm học 20142015 Đề thi hoc sinh giỏi toán cấp huyện năm hoc 20142015 Đề thi học sinh giỏi toán cấp huyện năm học 20142015 Đề thi hoc sinh giỏi toán cấp huyện năm hoc 20142015
K THI CHN HSG CP HUYN LP THCS NM HC 2012 -2013 THI CHN HC SINH GIOI LP THCS NM HC 2012 2013 MễN: TON Thi gian: 150 phỳt khụng k thi gian giao thi cú: 01 trang Đề thức Cõu (3 im) Cho a thc f(x) = x + 6x +11x + 6x a) Phõn tớch a thc f(x) thnh nhõn t b) Chng minh rng vi mi s nguyờn x thỡ f(x) + luụn cú giỏ tr l mt s chớnh phng Cõu (4 im) ổ xa) Cho biu thc A = ỗ ỗ ỗ ố ửổ ữ x- x - 1ử ữ ỗ ữ x= : ỗ ữ Tớnh A ữ ữỗ ữ ứỗ 2+ xữ x+ xứ ố x b) Cho a, b, c l cỏc s thc khỏc tha a + b + c = Chng minh rng: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c Cõu (4 im) Gii cỏc phng trỡnh sau: 3 a) x +( x - 1) = ( 2x - 1) b) x +3 - x - =1 Cõu (7 im) Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R Gi d v d' ln lt l cỏc tip tuyn vi ng trũn ti A v B im C thuc ng thng d (C khỏc A) ng thng vuụng gúc vi OC ti O ct d v d' th t ti M v D a) Chng minh tam giỏc MCD cõn v CD l tip tuyn ca ng trũn (O) b) Chng minh rng C di chuyn trờn ng thng d thỡ tớch AC.BD cú giỏ tr khụng i c) im C v trớ no trờn ng thng d thỡ din tớch t giỏc ABDC nh nht ? Tớnh giỏ tr nh nht ú theo R Cõu (2 im) 3x Cho x, y, z l cỏc s thc tha y + yz + z = Tỡm giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca biu thc P = x + y + z 2 Ht H v tờn thớ sinh:.SBD: Cỏn b coi thi khụng cn gii thớch gỡ thờm./ Hng dn chm thi chn HSG mụn Toỏn lp THCS, nm hc 2012 - 2013 HNG DN CHM THI MễN TON Hng dn chm cú: 03 trang A Mt s chỳ ý chm bi - Hng dn chm di õy da vo li gii s lc ca mt cỏch gii Thớ sinh gii cỏch khỏc m ỳng thỡ t chm thng nht cho im tng phn ng vi thang im ca hng dn chm - im ca tng cõu cú th c chia nh n 0,25 im ca bi thi l tng cỏc im thnh phn khụng lm trũn B ỏp ỏn v thang im Cõu (3 im) Cho a thc f(x) = x + 6x +11x + 6x a) Phõn tớch a thc f(x) thnh nhõn t b) Chng minh rng vi mi s nguyờn x thỡ f(x) + luụn cú giỏ tr l mt s chớnh phng 3 2 ự a) Ta cú f(x) = x ( x + 6x +11x + 6) = x ộ ờ( x + x ) +( 5x + 5x ) + ( 6x + 6) ỷ ỳ = x ( x +1) ( x + 5x + 6) = x ( x +1) ( x + 2) ( x + 3) 1,5 2 b) Ta cú f(x) + = x ( x +1) ( x + 2)( x + 3) +1 = ( x + 3x )( x + 3x + 2) +1 = ( x + 3x ) + ( x + 3x ) +1 = ( x + 3x +1) 1,5 Vỡ x ẻ Z nờn f(x) + = ( x + 3x +1) cú giỏ tr l s chớnh phng Cõu (4 im) ổ xa) Cho biu thc A = ỗ ỗ ỗ ố ửổ ữ x- x - 1ử ữ ỗ ữ : ỗ ữ Tớnh A x = ữ ữỗ ữ ữ 2+ xứỗ x+ xứ ố x b) Cho a, b, c l cỏc s thc khỏc tha a + b + c = Chng minh rng: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c a) KX: x > 0, x 0,5 x x x +1 x x x = : : x x ( x + 1) x x x ( x + 1) Ta cú A = = x x : = x x ( x + 1) Vi x = A= ( x ( x x x ( x + 1) x ( x 1) ) 2- = = 4- = 4- 2+ ) 1+1 = = ( ( x + 1) x ) 3- ị x = - , ta cú: 3 +3 = Hng dn chm thi chn HSG mụn Toỏn lp THCS, nm hc 2012 - 2013 0,5 2 1 2 1 b) Ta cú + + ữ = + + + + + a b c ab bc ac a b c = 1 2(a + b + c) 1 1 1 + 2+ 2+ = + + +0= + + 2 a b c abc a b c a b c 0,5 (vỡ a + b + c = 0) 1 1 1 1 + + = + + = + + ữ a b2 c2 a b c a b c 0,5 Cõu (4 im) Gii cỏc phng trỡnh sau: 3 a) x +( x - 1) = ( 2x - 1) (1) b) x +3 - x - =1 a) Ta thy x + (x - 1) = 2x - t x - = y, phng trỡnh (1) tr thnh: x + y3 = ( x + y ) x + y3 = x + y3 + 3xy ( x + y ) xy ( x + y ) = x = x = y = x = x + y = x = 0,75 Vy, phng trỡnh (1) cú nghim l S = 0;1; 0,25 b) KX: x 0,25 x + - x - = x + = x - +1 x + = x - + x - = x x = x = 13 (tha món) 1,5 Vy, nghim ca phng trỡnh l x =13 0,25 Cõu (7 im) Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R Gi d v d' ln lt l cỏc tip tuyn vi ng trũn ti A v B im C thuc ng thng d (C khỏc A) ng thng vuụng gúc vi OC ti O ct d v d' th t ti M v D a) Chng minh tam giỏc MCD cõn v CD l tip tuyn ca ng trũn (O) b) Chng minh rng C di chuyn trờn ng thng d thỡ tớch AC.BD cú giỏ tr khụng i c) im C v trớ no trờn ng thng d thỡ din tớch t giỏc ABDC nh nht ? Tớnh giỏ tr nh nht ú theo R Hng dn chm thi chn HSG mụn Toỏn lp THCS, nm hc 2012 - 2013 a) Ch AB d v AB d ' C/m AOM = BOD ( g.c.g ) OM = OD CMD cú CO va l ng cao va l ng trung tuyn nờn cõn ti C K OH CD , C/m c OAM = OHD (cnh huyn - gúc nhn) OH = OA = R CD l tip tuyn ca ng trũn (O) b) AOM = BOD ( g.c.g ) BD = AM AC.BD = AC.AM COM vuụng ti O, cú OA CM AC.AM = OA = R AC.BD = R khụng i c) Theo Bt ng thc Cụ-si, ta cú AC + BD AC.BD = 2R AC + BD 2R AB 2R = 2R Vỡ ABDC l hỡnh thang vuụng nờn: SABDC = 2 ng thc xy AC = BD = R Vy, Min ( SABCD ) = 2R C cỏch A mt khong bng R 0,5 1 0,5 1 Cõu (2 im) 3x Cho x, y, z l cỏc s thc tha y + yz + z = Tỡm giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca biu thc P = x + y + z 2 3x 3x + 2y + 2yz + 2z = 2 2 ( x + y + z + 2xy + 2yz + 2xz ) + ( x + y 2xy ) + ( x + z 2xz ) = Ta cú: y + yz + z = 1- ( x + y + z ) + ( x y ) + ( x z ) = ( 1) 2 Vỡ ( x y ) 0, ( x z ) x, y, z nờn t (1) suy ra: 2 ( x + y + z) 0,5 x+y+z Vy, MinP = x = y = z = ; MaxP = x=y=z= Hng dn chm thi chn HSG mụn Toỏn lp THCS, nm hc 2012 - 2013 0,5