BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC Bài Cho tam giác ABC vuông A, điểm H di chuyển BC Gọi E, F điểm đối xứng H qua AB, AC a) b) c) Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng Tứ giác BECF hình gì? Tìm vị trí H để tứ giác BECF hình bình hành? Xác định vị trí H để tam giác EHF có diện tích lớn Bài Cho hình vuông ABCD M điểm đường chéo BD Kẻ ME MF vuông góc với AB AD a) b) c) DE = CF DE ⊥ CF Chứng minh Chứng minh DE, BF Cm đồng quy Xác định vị trí M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên cạnh AD CD lấy điểm M N cho AE + EF + FA = 2a a) Chứng tỏ đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn cố định b) Tìm vị trí E F cho diện tích ∆CEF lớn Tìm giá trị lớn Bài Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a cố định M điểm di động đường chéo AC Gọi E E hình chiếu M AB BC Xác định vị trí M AC cho diện tích tam giác DEF nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó? Bài Cho đường tròn (O;R) cố định AC đường kính cố định Đường kính BD thay đổi không trùng với AC a) b) c) Tứ giác ABCD hình gì? Vì Sao? Xác định vị trí BD tứ giác ABCD có diện tích lớn Tính diện tích lớn theo R? Chứng minh rằng, lúc ABCD có diện tích lớn chu vi tứ giác ABCD lớn Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB có chứa nửa đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến Ax By M điểm nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, tiếp tuyến cắt Ax By D E a) b) Chứng minh tam giác DOE tam giác vuông Chứng minh: AD.BE = R c) Xác định vị trí M nửa đường tròn (O) cho diện tích tam giác DOE đạt giá trị nhỏ Bài Cho tam giác ABC có cạnh Lấy D BC Gọi r 1, r2 bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD tam giác ADC Xác định vị trí D để tích r1r2 lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó? Bài Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Qua A vẽ hai tia vuông góc với , chúng cắt đường tròn (O) , (O’) B C Xác định vị trí tia để ∆ ABC có diện tích lớn Bài Cho đường tròn (O;R) đường kính BC, A điểm di động đường tròn Vẽ tam giác ABM có A M nằm phía BC Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ C xuống MB Gọi D, E , F, G theo thứ tự trung điểm OC, CM, MH, OH Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn Bài 10 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) D điểm thuộc cung BC không chứa A không trùng với B,C Gọi H, I, K theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ D đến đường thẳng BC, AC, AB Đặt BC = a, AC = b, AB = c, DH = x, DI = y, DK = z Chứng minh : a) b c a + = y z x a b c + + x y z Tìm vị trí điểm D để tổng nhỏ - b) HƯỚNG DẪN GIẢI Bài • Hình vẽ: a) Ta có: · ·  IAE = IAH  · · = DAH  FAD ( Vì AB trung trực HE, AC trung trực HF) · · · AF = 1800 EAB + BAC +C Dễ dàng suy ra: Vậy điểm E, A, F thẳng hàng b) Ta có: thang · · EAH + FCH = 2( ·ABC + ·ACB ) = 1800 Để BEFC hình bình hành c) Giả sử H gần B Ta có nên FC//BE hay tứ giác BEFC hình BE = CF ⇒ BH = HC S ∆EHF = 2S AIHD hay H trung điểm BC (AIHD hình chữ nhật) Dựng hình chữ nhật HPQD hình chữ nhật AIHD Khi đó: ∆HBI = ∆HMP S∆EHF = S ABMQ < S ∆ABC nên Tương tự với H gần C Vậy Khi H di chuyển ta có: S ∆EHF = S ∆ABC Bài • Hình vẽ: S ∆EHF = S AIPQ S ∆EHF ≤ S ∆ABC Tại vị trí H trung điểm BC ta có Vậy H trung điểm Bc tam giác EHF có diện tích lớn a) Tứ giác AEMF hình chữ nhật: AE = MF Tam giác MFD vuông cân: FM=FD suy AE = FD ∆AED = ∆DFC nên DE=CF · FND=90 Do đó: b) DE ⊥ CF hay EC ⊥ BF Chứng minh tương tự câu a ta có Do BD trung trực AC nên MA = MC, có MA = EF MC = EF ∆FED = ∆MCF (c.c.c) · · MCF + EFC = 900 CM ⊥ EF c) ·ADE = DCF · · · ⇒ NDF + NFD = 900 nên · · FED = MCF Lại có · · FED + EFC = 900 gọi H giao điểm CM với EF · CHF = 900 hay DE, BF CM đường cao tam giác CEF nên đồng quy Chu vi tứ giác AEMF = 2a không đổi nên S AEMF ME + MF = a không đổi Do tích ME.MF (tức ) lớn ME = MF, tức MEAF hình vuông, M trùng với O giao điểm hai đường chéo AC BD Bài • Hình vẽ: a) Trên tia đối tia BA lấy điểm K cho DF = BK ⇒ ∆CDF = ∆CBK · · · DCF = BCK FCK = 900 AE+EF+FA = 2a = AD+AB Mà AD = AF+FD, AB = AE+EB · · ⇒ EF = FD + EB = EB + BK = EK ⇒ ∆CEF = ∆CEK (c.c.c) ⇒ CEF = CEK CI ⊥ EF ⇒ ∆CIE=∆CBE ⇒ CI=CB=a b) Vẽ Ta có: Vậy EF luôn: tiếp xúc với (C;a) S ABCD = SCEF + SCDF + SCBE + S AEF = SCEF + S AEF ⇒ SCEF = MaxSCEF = Do Bài Ta có hình vẽ:  AE = a2 ⇔ AE.AF = ⇔   AF = a2 a2 − AE.AF ≤ 2 hay E F trùng với A suy Đặt AE = x, CF = y ⇒ MF = CF = y S DEF = S ABCD − S DAE − S DCF − SBEF = a − Ta có S DEF nhỏ ⇔ ⇒ x + y = a ax ay xy a xy a xy − − = a2 − ( x + y) − = − 2 2 2 xy lớn a2 a2  x+ y xy ≤  = ⇒ m ax( xy ) = ÷ 4   m inSDEF = Và a a 3a − = 2 Bài Ta có hình vẽ: x=y= a , M trung điểm AC a) ABCD hình chữ nhật S ABCD = AB AC ≤ b) Vậy AB + BC AC = = 2R2 2 MaxS ABCD = R AB = AC ⇔ AC ⊥ BD c) Ta có: ABCD hình vuông C ABCD = 2( AB + BC ) ≤ 2( AB + BC ) = 2 AC = R 2 giác ABCD Bài Ta có hình vẽ: 4R 2 Vậy gtln chu vi tứ AB = BC tức ABCD hình vuông a) Theo tính chất OD tia phân giác · DOE = 900 b) c) Ta có , OE tia phân giác · BOM nên Tam giác DOE vuông O có S DOE = ·AOM OM DE R = DE 2 DE ≥ AB Do OM ⊥ DE ⇒ OM = MD.ME ⇒ R = AD.BE S DOE nhỏ ⇔ DE nhỏ DEmin=2R DE//AB Lúc OM ⊥ AB Bài Ta có hình vẽ: Đặt BD = x ⇒ CD = − x Vẽ DE ⊥ AB ⇒ ∆BDE ∆DEA vuông E ⇒ AD = x − x + ⇒ ( S ABD = r1 Ta có: ) nửa tam giác  x   x  ⇒ AD = AE + DE = 1 −  +      Xét ⇒ BE = 2 AB + BD + DA S ABD = mà r1 + x + x − x + x 3 x = ⇒ r1 = 1+ x + x2 − x +1 DE AB x = x , DE = x Tương tự xét ∆ADC ⇒ r2 = 1− x 2 − x + x2 − x +1 x (1 − x) ⇒ r1 r2 = (1 + x + x − x + 1)( − x + x − x + 1) r1 r2 = ( ) 1 3  3  − x − x + = 1 − ( x − ) +  ≤ 1 − 4 4   Max (r1 r2 ) = Vậy 2− D trung điểm BC Bài Ta có hình vẽ: Kẻ OD ⊥ AB ; O’E ⊥ AC ta có: SABC = 2 AB.AC = 2AD.2AE= 2.AD.AE Đặt OA =R ; O’A = r ; AD = R sinα ⇒ SABC ·AOD = O · ' AE = α ; AE = r cosα = Rr 2sinα cosα 2sinα Cosα ≤ sin2α + cos2α =1 ⇒ SABC ≤ Rr Do : max SABC = Rr ⇔ sinα = cosα ⇔ sinα = sin( 900− α ) ⇔ α = 900 − α ⇔ α = 450 Vậy ta vẽ tia AB,AC tạo với tia AO, AO’ thành góc · · ' AC = 450 OAB =O ∆ ABC có diện tích lớn Bài Ta có hình vẽ: DEFG hình bình hành Kẻ OI ⊥FH , ta có OI đường trung bình ∆ BHC nên OI = ½ HC = GD MO đường trung trực AB nên Mà ED = ½ OM ⇒ EG = GD ⇒ DEFG hình thoi · IMO = 300 ⇒ OI = ½ OM ⇒ GD = ½ OM · · HFG = HMO = 30 ⇒ · EFG = 600 ⇒∆EFG ⇒ SDEFG =2SEFG = max S = R2 EF EF = = ⇔ H≡B ⇔  HC   ÷   · MBC = 90 Bài 10 Ta có hình vẽ: a) Lấy E BC cho · CDE = ·ADB ∆CDE đồng dạng với ∆ ADB ⇒ DH CE x CE c CE = ⇒ = ⇒ = DK AB z c z x Tương tự ∆BDE đồng dạng với ∆ ADC ⇔ ≤  BC   ÷   ·ABC = 300 ⇔ = R2 AC = R ⇒ ⇒ DH BE x BE b BE = ⇒ = ⇒ = DI AC y b y x b c BE + CE a + = = y z x x a b c + + x y z a a + x x 2a x b) = = Do S nhỏ ⇔ (M điểm cung BC không chứa A) a x nhỏ ⇔ x lớn ⇔ D≡M - [...]...· · HFG = HMO = 30 0 ⇒ · EFG = 600 ⇒∆EFG đều 2 ⇒ SDEFG =2SEFG = 2 max S = R2 3 2 EF 2 3 EF 2 3 = 4 2 = ⇔ H≡B ⇔  HC   ÷  2  2 · MBC = 90 0 Bài 10 Ta có hình vẽ: a) Lấy E trên BC sao cho · CDE = ·ADB ∆CDE đồng dạng với ∆ ADB ⇒ DH CE x CE c CE = ⇒ = ⇒ = DK AB z c z x Tương tự ∆BDE đồng dạng với ∆ ADC ⇔ 2 3 ≤  BC   ÷  2  2 ·ABC = 300 ⇔ 3 = R2 3 2 AC = R ⇒ ⇒