1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướng nghiên cứu, bảo tận tình, chu đáo, động viên giúp đỡ trình thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, thầy giáo, cô Phòng Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, bạn bè người thân tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả Trần Thị Thắm LỜI CAM ĐOAN Luận văn kết trình học tập, nghiên cứu thân bảo, dìu dắt thầy giáo, cô giáo , đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình chu đáo Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng Trong nghiên cứu, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Luận văn với đề tài “Ứng dụng phương trình sai phân xử lí tín hiệu lọc số” trùng lặp Người cam đoan Trần Thị Thắm MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số 1.2 Sai phân 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.2.3 Một số ứng dụng 11 Chương Phương trình sai phân tuyến tính 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính 16 2.1.1 Định nghĩa 16 2.1.2 Nghiệm 17 2.2 Dạng tổng quát phương trình sai phân 24 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số số 26 2.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp với hệ số số 26 2.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n với hệ số số 31 Chương Một số ứng dụng phương trình sai phân xử lý tín hiệu lọc số 3.1 Các hệ thống tuyến tính 35 3.1.1 Định nghĩa 35 3.1.2 Khái niêm hệ thống tuyến tính 35 3.1.3 Đáp ứng xung hệ thống tuyến tính 36 3.2 Các hệ thống tuyến tính bất biến 37 3.3 Hệ thống tuyến tính nhân 3.3.1 Định nghĩa 37 3.3.2 Đáp ứng xung hệ thống tuyến tính nhân 37 3.4 Hệ thống tuyến tính ổn định 38 3.5 Phương trình sai phân với hệ số đáp ứng xung 35 hệ thống 3.6 Các hệ thống đệ quy không đề quy 47 3.6.1 Hệ thống rời rạc đệ quy 47 3.6.2 Hệ thống rời rạc không đệ quy 51 3.7 Biến đổi Z 56 3.7.1 Khái niệm biến đổi Z phía hai phía 56 3.7.2 Phương trình sai phân với hệ số biến đổi Z 59 3.7.3 Hàm truyền đạt 61 3.8 Độ ổn định 61 3.8.1 Sự ổn định hệ thống tuyến tính bất biến 61 3.8.2 Sự ổn định hệ thống tuyến tính bất biến nhân 62 3.8.2 Tiêu chuẩn Jurry 63 3.9 Phân tích hệ thống LTI miềm Z 65 3.9.1 Hàm truyền đạt hệ thống LIT 65 3.9.2 Đáp ứng độ 72 3.9.3 Hệ thống ổn định nhân 74 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 82 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán liên quan tới phương trình sai phân Vì việc nghiên cứu phương trình sai phân đóng vai trò quan trọng lý thuyết toán học toán học ứng dụng Nhiều tượng khoa học kĩ thuật dẫn đến toán phương trình sai phân, giải toán dẫn đến giải phương trình sai phân Chúng ta biết việc số hóa thiết bị Điện tử - Viễn thông thực mạnh mẽ toàn giới Việt Nam Chính mà xử lý thông tin lọc số trở thành ngành khoa học kĩ thuật Để tiếp cận với ngành khoa học cần trang bị kiến thức thiếu xử lý tín hiệu lọc số Vấn đề PGS TS Nguyễn Quốc Trung đề cập đến sách: “Xử lý tín hiệu lọc số” luận văn muốn đề cập sâu ứng dụng phương trình sai phân xử lý tín hiệu lọc số Qua luận văn hy vọng bước đầu làm quen với việc nghiên cứu ứng dụng toán học vào ngành khoa học kĩ thuật có ngành xử lý tín hiệu lọc số Rất mong nhận góp ý thầy cô! Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương trình sai phân ứng dụng phương trình sai phân xử lý tín hiệu lọc số Nhiệm vụ nghiên cứu Các cách giải phương trình sai phân Dựa vào phương trình sai phân để xét tính đệ quy hay không đệ quy hệ thống, tìm đáp ứng xung ổn định hệ thống, tìm hàm truyền đạt hệ thống, xét tính nhân hệ thống, xét tương quan hai hệ thống Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cách giải dạng phương trình sai phân ứng dụng xử lý tín hiệu lọc số Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nghiên cứu tổng quan phương trình sai phân ứng dụng xử lý tín hiệu lọc số Giả thuyết khoa học (hoặc Dự kiến đóng góp mới, đề tài không thuộc chuyên ngành Giáo dục học) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Dãy số Gọi M tập hợp n  số tự nhiên đầu tiên: M  0,1,2, , n Một hàm số x xác định tập M gọi dãy số hữu hạn tập giá trị dãy số hữu hạn là: x(0)  x , x(1)  x , , x(n)  x  Một hàm số x xác định tập n N gọi dãy số vô hạn ( gọi tắt dãy số) tập giá trị dãy số gồm vô số phần tử là: x(0)  x , x(1)  x , , x(n)  x ,  n Vậy ta xem dãy số hàm số đối số tự nhiên n , với kí hiệu: x(n)  xn , n  N 1.2 Sai phân 1.2.1 Định nghĩa Hàm số x : Z  R Ta gọi hiệu: xn  xn1  xn sai phân cấp hàm số x  n   xn , n  N Ta gọi sai phân sai phân cấp hàm số xn sai phân cấp hàm xn , kí hiệu  xn    xn     xn 1  xn   xn1  xn   xn   xn 1    xn1  xn   xn   2x n 1  xn Định nghĩa theo quy nạp: Sai phân cấp k hàm xn sai phân sai phân cấp k  hàm số i k i  k xn   k 1 xn 1   k xn   ( 1) C k.xn  k i (1.1) i 0 Trong C i k  k! i ! k  i ! Từ sau, ta gọi tắt sai phân cấp sai phân 1.2.2 Tính chất Tính chất Sai phân cấp biểu diễn qua giá trị hàm số Chứng minh: Ta chứng minh công thức (1.1) phương pháp quy nạp toán học Thật vậy: Với n  , ta có xn  xn1  xn  C10 xn1  C11 xn Giả sử (1.1) với n  k , có nghĩa là: k i  k xn   ( 1)i C k.xn  k i i 0 Ta chứng minh (1.1) với n  k  , tức chứng minh: k 1 i  k 1 xn   ( 1)i C k 1.xn k 1i (1.2) i Vế phải (1.2) là:  k 1 xn   k xn 1   k xn k = k i i k   (1)i Cki xn k i n 1 k  i  (1) C x i 0 i 0 k 1 k =  ( 1)iCki xn 1 k i   ( 1)i 1 Cki1 xn  k i 1 i 0 i 1 k k 1 =  ( 1)iCki xn 1 k i   ( 1)i 1 Cki1 xn  k 1i i 0 i 1 k k 1 i 0 i 1 = xn k 1   (1)iCki xn 1 k i   ( 1)i 1 Cki1 xn  k 1i   1 k 1 xn k = xn k 1   ( 1)i (Cki  Cki 1 ) xn 1 k i   1 k 1 xn i 1 k = ( 1) Ck01 xn 1 k    (1) i Cki 1 xn k 1i  (1) k 1 Ckk11 xn k 1i 1 i 1 k 1 = i  (1) C i k 1 n  k 1 i x i 0 Đây vế phải (1.2) Suy (1.2) k  N * Vậy công thức (1.1) với k  N * (ĐPCM) Hệ Nếu xn  c xn  c  c  c  0, n  N Tính chất Sai phân cấp hàm số toán tử tuyến tính, nghĩa là:  k  ax n  byn   a k xn  b k yn , a, b  R, k  1,2, Chứng minh: Với a, b  R, k  1,2, ta có: i k k  (axn  byn )   ( 1) ( axn k i  byn k i ) i 0 i k = i k  (1) Cki axnk i    1 byn k i i 0 i k i k i = a. ( 1) C xn  k i  b.  1 yn k i i k i 0 i = a k xn  b k yn Đây điều phải chứng minh Tính chất Sai phân cấp k đa thức bậc m là: i) Đa thức bậc m  k , k  m ii) Hằng số, k  m iii) Bằng , k  m Chứng minh: Theo tính chất sai phân cấp k toán tử tuyến tính, nên ta việc chứng minh cho đơn thức Pm (n)  nm đủ 10 i) Ta có: m n m   n  1  n m  Cm0  Cn1 n  Cn2 n   Cmm n m  n m  Cm0  Cn1 n  Cn2 n   Cmm 1.n m1  Pm1 ( n) Giả sử k  s  m  s nm  Pm  s  n  (1.3) Ta chứng minh k  s   m  s 1n m  Pm s 1  n  Thật vậy: m  s 1n m   s  n  1   s n m  Pm s  n  1  Pm  s  n   Pm s 1  n  Suy  k n m  Pm k  n  , k  m ii) Theo chứng minh k  m ta có:  m n m  Pm m  n   P0  n   c (hằng số) iii) Khi k  m ta có:  k n m   k  m ( m n m )   k  m c   k  m1  c   ( Theo hệ tính chất 1) Kết thúc chứng minh Tính chất N  k xn   k 1 xN 1   k 1 xa , k  N * n a Chứng minh: Ta có N N  Δ k x n =  Δ(Δ k-1x n ) n =a n =a  (  k 1 xa )  ( k 1 xa1 )      k 1 xN  61 Tìm đáp ứng xung h  n  hệ thống: h  n   IZT  H  z   Áp dụng biểu thức (3.5) (3.6) trường hợp ta có: Đối với hệ thống nhân muốn hội tụ H  z  nằm vòng tròn có bán kính a, tức H  z  hội tụ với z  a , ta có đáp ứng xung hệ thống tuyến tính bất biến nhân sau: h  n   a u u ( n) Đối với hệ thống tuyến tính bất biến phản nhân miền hội tụ H  z  nằm vòng tròn có bán kính a, tức H  z  hội tụ với điều kiện z  a , ta có đáp ứng xung hệ thống tuyến tính bất biến phản nhân sau: h  n   a nu  n  1 Nghiên cứu độ ổn định hệ thống nhân quả: Hàm truyền đạt H  z  có điểm cực z p1  a Vậy theo điều kiện ổn định, hệ thống nhân ổn định   , tức z p1  a phải nằm vòng tròn đơn vị Trong trường hợp đáp ứng xung h  n  giảm theo hàm mũ với tăng n Ví dụ 3.8.3.1 Giả sử ta có hệ thống tuyến tính bất biến mô tả phương trình sai phân sau đây: y (n )  a1 y (n  1)  a2 y ( n  2)  x (n) Hãy tìm hàm truyền đạt hệ thống Hãy xét ổn định hệ thống nhờ tiêu chuẩn Jurry theo tham số 1 2 62 Giải: Lấy biến đổi Z hai vế phương trình sai phân ta có: Y ( z )(1  a1 z 1  a2 z 2 )  X ( z )  H ( z )  Y ( z)  1 X ( z )  a1 z  a2 z 2 z2  z  a1 z  a2 Xét ổn định: D  z   z  a1 z  a2 N   N   hàng Ta có D  z  |z 1   a1  a2  Suy a2  (1  a1 ) D  z  |z 1   a1  a2  ( N chẵn) Suy a2  (1  a1 ) a2  suy 1  a2  Dựa vào ba điều kiện ổn định trên, xác định miền ổn định hệ thống theo a1 a2 Miền ổn định hệ thống hình tam giác mặt phẳng  a1 , a2  3.9 Phân tích hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian miền Z 3.9.1 Hàm truyền đạt hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian 3.9.1.1 Hàm truyền đạt (hàm hệ thống) Ta thấy hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian hoàn toàn đặc trưng miền thời gian đáp ứng xung h  n  nó, với tín hiệu vào x  n  , đáp ứng hệ thống tính tổng chập: 63 y  n  x  n  * h  n  (3.32) Chúng ta thấy khó khăn xác định đáp ứng hệ thống trực tiếp tổng chập Gọi X  z  H  z  biến đổi Z x  n  h  n  , áp dụng tính chất chập biến đổi Z , ta biến đổi Z y  n  sau: Y  z   X  z  H  z  (3.33) với miền hội tụ thích hợp Vậy, thông qua phép biến đổi Z , tổng chập hai dãy biến thành phép nhân đơn giản Sau có Y  z  , ta dùng phép biến đổi Z ngược để tính đáp ứng y  n  Cách làm rõ ràng dễ dàng cách tính trực tiếp từ tổng chập Phương trình (3.32) viết lại: H Z   Y ( z) X ( z) (3.34) H  z  gọi hàm hệ thống hay hàm truyền đạt Vì H  z  h  n  cặp nhất, nên hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian hoàn toàn đặc tả hàm hệ thống 3.9.1.2 Hàm truyền đạt hệ thống đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính với hệ số Xét hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian mà quan hệ vào thỏa mãn phương trình sai phân tuyến tính hệ số sau: 64 N M  a y  n  k   b y n  k  k (3.27) k k 0 k 0 Chúng ta biết rằng, từ phương trình sai phân (3.34) ta tìm y  n  theo phương pháp đệ qui Nếu điều kiện ban đầu nghỉ thỏa mãn, hệ thống tuyến tính, bất biến nhân Áp dụng biến đổi Z cho hai vế phương trình (3.34) để ý đến tính chất tuyến tính, dịch thời gian biến đổi Z , ta thu : N M K  aK z Y ( z)  K 0 Hay: K b z  K X (z) K 0  N  M  K    a K z Y ( z )    bK z  K  X ( z )  K 0   K 0  (3.28) Suy hàm truyền đạt hệ thống có dạng: M Y z H z   X z b z k k k 0 N  ak z  k (3.29) k 0 Từ điều kiện đầu phương trình sai phân với hệ số hằng, ta xác định miền hội tụ H  z  H  z  đặc tả hệ thống Một cách biểu diễn khác: M (1  cK z 1 )  b0   H  z     kN1  a0   (1  d K z 1 ) k 1 (3.30) 65 Mỗi thừa số 1  ck Z 1  tử số góp vào zero Z  ck Tương tự, thừa số 1  d k Z 1  mẫu số đóng góp vào cực Z  d k Có mối quan hệ rõ ràng phương trình sai phân biểu thức đại số hàm truyền đạt tương ứng Như ta thấy, đa thức tử số phương trình (3.29) có hệ số với vế phải phương trình (3.28) đa thức mẫu số phương trình (3.27) có hệ số với vế trái phương trình (3.28) Như vậy, biết hàm truyền đạt ta suy phương trình sai phân ngược lại Ví dụ 3.9.1 Giả sử hàm truyền đạt hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian là: 1 H ( z)  1  z   1  1  1  z   z     với miền hội tụ z  (3.31) Từ miền hội tụ H  z  , ta thấy hệ thống nhân Để tìm phương trình sai phân biểu diễn hệ thống, ta đưa H  z  dạng phương trình (3.29):  z 1  z 2 Y ( z) H ( z)    z 1  z 2 X ( z )   Suy ra:   z 1  z 2  Y ( z )  1  z 1  z 2  X ( z )   phương trình sai phân là: y ( n)  y (n  1)  y (n  2)  x( n)  x( n  1)  x(n  2) (3.32) 66 Vì hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian nhân nên phương trình (3.39) thỏa điều kiện đầu nghỉ Ví dụ 3.9.2 Hãy xác định hàm truyền đạt H  z  hệ thống mô tả phương trình sai phân truyến tính hệ số hằng: y ( n)  y (n  1)  x(n) Nếu điều kiện đầu chưa xác định, phương trình sai phân truyến tính hệ số H  z  cho mô tả hệ thống khác nhau? Trong trường hợp tính đáp ứng xung tương ứng Đáp ứng hệ thống cực-zero với điều kiện đầu khác Giả sử tín hiệu x  n  đưa vào hệ thống cực-zero thời điểm n  Như vậy, tín hiệu x  n  giả sử nhân Ảnh hưởng tín hiệu vào trước lên hệ thống phản ánh qua điều kiện đầu y  1 , y  2  , y  3 , , y   N  Vì tín hiệu vào nhân ta quan sát tín hiệu y  n  thời điểm n  , nên phải dùng biến đổi Z phía Tín hiệu có dạng (ta luôn đưa phương trình sai phân truyến tính hệ số dạng này): N M y ( n)   a K y ( n  K )   b K x ( n  K ) K 1 K 0 biến đổi Z phía là: N K   M Y  ( z )   a K z  K Y  ( z )   y ( n) z n    bK z  K X  ( z ) K 1 n 1   K 0 67 M N  bK z 1 Y  ( z)  K 0 N X (z)  a K K  a K z 1  y(n) z n K 0 n 1 N z 1   a K z K K 0 K 0 (Vì x  n  nhân nên X   Z   X  Z  Y  ( z )  H ( z ).X ( z )  N Với: N ( z )  N (z) A( z ) (3.33) K a K K 1 z 1  y (  n) z n n 1 Từ phương trình (3.32) ta thấy đáp ứng hệ thống với điều kiện đầu khác chia làm phần: Phần thứ là: Yzs  z   H  z  X  z  gọi đáp ứng trạng thái zero hệ thống Đây đáp ứng hệ thống thỏa điều kiện nghỉ Phần thứ hai là: Ġ gọi đáp ứng tín hiệu vào zero hệ thống Đáp ứng tổng xác định biến đổi Z ngược y zs  n  Yzs  z  yzi  n  Y zi(z), là: y  n   y zs  n   yzi  n   Vì mẫu số Y zi , A( z ), có cực p1 , p2 , , p N Kết quả, đáp ứng tín hiệu vào zero có dạng: N y zi (n)   DK ( p K ) n u (n) (3.34) K 1 Kết thêm vào phương trình ( 3.33) số hạng có chứa cực  pk  liên kết để đáp ứng tổng có dạng: 68 N L y (n)   AK, ( p K ) n u (n)   Q K (q K ) n u (n) K 1 Ở (3.35) K 1 Ak  Qk  Dk Từ trình bày trên, ta thấy ảnh hưởng điều kiện đầu làm thay đổi đáp ứng tự nhiên hệ thống thông qua việc làm thay đổi thừa số  Ak  , cực đưa vào với điều kiện đầu khác , ảnh hưởng đến đáp ứng ép hệ thống Ví du 3.9.3 Xác định đáp ứng với hàm nhảy bậc đơn vị hệ thống mô tả phương trình phương trình sai phân truyến tính hệ số sau: y  n   0,9 y  n  1  0,81 y  n    x  n  với điều kiện đầu sau: (a) y  1  y  2   (b) y  1  y  2   Giải: Hàm hệ thống H ( z )  p1  0.9e j p  0.9 Hàm hệ thống phức : 1  z 1  0.8 z  , hệ thống có hai cực phức  j H (z) P = 0,9e jx 1  0,9 z 1  0,8z  P = 0,9e , hệ thống có hai cực có hai cực  jx Biến đổi Z hàm nhảy bậc đơm vị u  n  là: X ( z)  1  z 1 69 Vậy Y (z)   1  0,9e   jx  je   1  0,9e z 1   z 1          y z ( n)  1,099  1,089(0,9) n cos( n  5,2 0 )u (n)   (a) Vì điều kiện đầu nên y  n   y rs  n  (b) Với điều iện đầu y  1  y  2   , thành phần thêm vào biến đổi Z là: Y zi ( z )  = N ( z) 0,09  0,81z 1  A( z )  0,9 z 1  0,81z 5 0,26  j 0,4936 jz  0,9e z 1  0,026  j 0,4936  0,9e  jz z 1 Kết quả, đáp ứng tín hiệu vào là: Trong trường hợp này, đáp ứng tổng có biến đổi Z là: Y z  Y \ zs  z   Yzi  z  Lấy biến đổi Z ngược ta có đáp ứng tổng:  y (n)  1,099u (n)  1,44(0,9) n cos( n  38 )u (n) 3.9.2 Đáp ứng độ đáp ứng xác lập Như ta trình bày phần trước, đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào xác định tách làm phần, đáp ứng tự nhiên đáp ứng ép Đáp ứng tự nhiên hệ thống nhân có dạng: 70 N ynr ( n)   A K ( p K ) n u (n) (2.36) K 1 Trong đó,  pK  , k  1,2, , N cực hệ thống Ak thừa số tùy thuộc vào tính chất kích thích điều kiện đầu Nếu pk  với k , ynr  n  hội tụ đến Khi n   Trong trường hợp này, ta gọi đáp ứng tự nhiên đáp ứng độ Tốc độ giảm phụ thuộc vào độ lớn cực Nếu tất cực nhỏ, tốc độ suy giảm nhanh Ngược lại, có nhiều cực gần vòng tròn đơn vị, đáp ứng độ trì thời gian dài Đáp ứng ép hệ thống có dạng: L y n (n)   Q1 (q1 ) n u (n) (3.37) l 1 Ở đây, q K  , k  1,2, , L cực biến đổi Z tín hiệu vào Qk thừa số phụ thuộc đặc tính hệ thống tín hiệu vào Nếu tất cực tín hiệu nằm vòng tròn đơn vị, ynr  n  giảm n   , trường hợp đáp ứng tự nhiên Ta không nên ngạc nhiên tín hiệu vào tín hiệu độ Ngược lại, tín hiệu vào tín hiệu nhân hình sin, cực nằm vòng tròn đơn vị, kết đáp ứng ép tín hiệu điều hòa n  Trong trường hợp đáp ứng ép gọi đáp ứng xác lập hệ thống Vì vậy, để trì đáp ứng xác lập với n  , tín hiệu vào phải trì suốt thời gian Ví dụ 3.9.3 Xác định đáp ứng độ đáp ứng xác lập hệ thống mô tả phương trình sai phân với hệ số hằng: y  n   0,5 y  n  1  x  n  71 Khi tín hiệu vào x(n)  10 cos( n )u ( n) Hệ thống thỏa điều kiện nghỉ Giải: Hàm truyền đạt: H ( z )  1  0,5z 1 Suy hệ thống có cực z=0,5 Biến đổi Z kích thích có dạng: Vì Y  z   H  z  X  z  , suy ra: 1   10(1  ) z  Y z  j  j   1  1 1  0,5 z  1  e z 1  e z 1     6,3 6,78e j 28,7 6,78e j 28,7    j j  0,5 z 1  1 e z  e z 1 n Đáp ứng tự nhiên hay đáp ứng độ là: ynr  6,3 0,5  u  n  Ta thấy đáp ứng xác lập tồn suốt thời gian n  tín hiệu vào tồn 3.9.3 Hệ thống ổn định nhân Khi thành lập phương trình (3.37) từ phương trình (3.35) giả sử hệ thống hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian, không đề cập đến tính chất ổn định nhân Tương ứng, từ phương trình sai phân ta thu biểu thức đại số hàm truyền đạt, không 72 thu miền hội tụ Điều phù hợp với thực tế, thấy phần trước, phương trình sai phân không xác định cách đáp ứng xung hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian, chưa xác định điều kiện đầu Vì vậy, hàm truyền đạt phương trình (3.37) hay (3.38), có nhiều chọn lựa khác cho miền hội tụ tương ứng với phương trình sai phân Tuy nhiên, giả sử hệ thống có tính nhân quả, nghĩa h  n  dãy bên phải miền hội tụ H  z  phải bên vòng tròn qua điểm cực Nếu giả sử hệ thống ổn định, nghĩa đáp ứng xung phải thỏa mãn   h n   (3.38) n phương trình (3.38) đồng nghĩa với   h  n    z 1 (3.39) n Vậy điều kiện ổn định miền hội tụ H  z  chứa vòng tròn đơn vị, vậy, tổng hợp lại điều kiện để hệ thống ổn định nhân tất điểm cực phải nằm vòng tròn đơn vị Ví dụ 3.9.4 Xét hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian có phương trình sai phân truyến tính hệ số sau: y  n  H  z  cho bởi: y  n  1  y  n    x  n  (3.40) 73 H (z)  1  1 1  z  z  1  z 1   z 1 2    (3.48)  Đồ thị cực-zero H  z  vẽ hình 3.2, có khả để chọn miền hội tụ: Nếu hệ thống giả sử hệ nhân quả, miền hội tụ: z  Trong trường hợp hệ thống không ổn định miền hội tụ không chứa vòng tròn đơn vị Nếu chọn miền hội tụ hệ thống không ổn định không nhân Hình 3.2: Đồ thị cực-zero ví dụ3.9.4 74 KẾT LUẬN Luận văn trình bày tính chất phương trình sai phân với hệ số cách tìm nghiệm phương trình sai phân với hệ số Nghiên cứu ứng dụng phương trình trình sai phân tuyến tính với hệ số ngành xử lý tín hiệu lọc số thông qua ứng dụng cụ thể sau: Ứng dụng phương trình sai phân với hệ số để xét tính nhân hệ thống tuyến tính Ứng dụng phương trình sai phân với hệ số để xét tính nhân hệ thống tuyến tính Ứng dụng phương trình sai phân với hệ số để xét tính đệ quy hay không đệ quy hệ thống tuyến tính Ứng dụng phương trình sai phân với hệ số để xét tìm hàm truyền đạt hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian Trên kết nghiên cứu đề tài, vấn đề nhiều điều lí thú bổ ích Tuy nhiên thời gian kinh nghiệm có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện 75 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Xuân Quỳnh, 1991, Lý thuyết mạch logic kĩ thuật số, Nhà xuất Đại học giáo dục chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Nguyễn Xuân Quỳnh, 1995, Cơ sở toán rời rạc ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] Lê Đình Thịnh (chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] Lê Đình Thịnh, Hoành Thị Xuân Bình (1996), Phương pháp sai phân với hệ số thay đổi, Tạp chí THPT, Khoa học tự nhiên, số chuyên đề 1996 [5] Lê Đình Thịnh, Phương pháp sai phân, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Quốc Trung, 2006, Xử lý tín hiệu lọc số, NXB khoa học kĩ thuật, Hà Nội [7] Nguyễn Quốc Trung, 1997, Vi điện tử số, NXB khoa học kĩ thuật, Hà Nội [8] Athanasios Papoulis, 1977, Signal Analysis, McGraw – Hill Book Company, New York [9] Sophoclis J Orfanidis, 1988, Optimum Signal processing: A Introduction, McGraw – Hill Book Company, New York [10] James V Candy, 1988, Signal processing: The Modern approach, McGraw – Hill Book Company, New York