1 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI MN VN NG trạng thái kết hợp dao động tử Para-boson biến dạng Chuyờn ngnh : Vt lớ lớ thuyt v Vt lớ toỏn Mó s : 60 44 01 LUN VN THC S VT L Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS LU TH KIM THANH H NI, NM 2011 LI CM N Tụi xin c by t lũng bit n sõu sc ti PGS.TS Lu Th Kim Thanh, PGS.TS ó hng dn, cung cp ti liu v truyn t cho tụi nhng kin thc, kinh nghim v phng phỏp nghiờn cu khoa hc tụi hon thnh tt lun Tụi xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo t Vt lớ lớ thuyt - Khoa Vt lớ Trng i hc s phm H Ni ó nhit tỡnh ging dy to iu kin giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun Cui cựng tụi xin cm n Ban Giỏm Hiu Trng i hc s phm H Ni 2, Phũng Sau i Hc Trng i hc s phm H Ni 2, Trng Cao ng Cụng nghip Hng Yờn ó iu kin giỳp tụi hon thnh khoỏ hc ny LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca PGS.TS Lu Th Kim Thanh Lun khụng h trựng lp vi nhng ti khỏc H Ni, ngy thỏng Tỏc gi Mn Vn Ng nm 2011 MC LC M U CHNG I: BIU DIN MA TRN CA CC TON T SINH - HY BOSON 1.1 Biu din s ht ca dao ng t iu hũa tuyt tớnh 1.2 Biu din ma trn ca cỏc toỏn t sinh - hy Boson 11 CHNG II: TRNG THI KT HP CA CC DAO NG T 16 PARA BOSON 2.1 Trng thỏi kt hp 16 2.1.1 Hin tng ng t Bose-Einstein 16 2.1.2 Trng thỏi kt hp 22 2.2 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para Boson 24 2.2.1 Dao ng t Boson 24 2.2.2 Dao ng t Para Boson 25 2.2.3 Thng kờ Para Boson 27 2.2.4 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para Boson 28 CHNG 3: TRNG THI KT HP CA CC DAO NG T 32 PARA BOSON BIN DNG 3.1 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Boson bin dng q 32 3.1.1 Lý thuyt q s 32 3.1.2 Dao ng t iu hũa bin dng q 34 3.1.3 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Boson bin dng q 36 3.1.4 Dao ng t Boson bin dng q tng quỏt 39 3.2 Dao ng t cú thng kờ vụ hn 40 3.2.1 Phõn b thng kờ ca dao ng t cú thng kờ vụ hn 41 3.2.2 Trng thỏi kt hp ca dao ng t cú thng kờ vụ hn 42 3.3 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para Boson bin dng q 44 tng quỏt 3.3.1 Dao ng t Para Boson bin dng q tng quỏt 44 3.3.2 Phõn b thng kờ Para Boson bin dng q tng quỏt 45 3.3.3 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para Boson 46 bin dng q tng quỏt M U Lý chn ti Ngày lý thuyết trường lượng tử tạo nên sở giới quan vật lý để lý giải chất hạt vi mô mặt cấu trúc tính chất Từ lý thuyết trường lượng tử mở đường để nhận biết trình vật lý xảy giới vi mô, giới phân tử, nguyên tử hạt nhân hạt Trạng thái kết hợp diễn tả trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein trạng thái đặc biệt vật chất hạt vi mô Trong trạng thái kết hợp hệ thức bất định Heisenbeg đạt giá trị cực tiểu (dấu bằng) Việc nghiên cứu trạng thái kết hợp dao động tử góp phần giải toán phi tuyến quang học lượng tử, lý thuyết chuyển pha lượng tử làm xác phong phú thêm hiểu biết giới hạt vi mô Với mong muốn tìm hiểu rõ trạng thái kết hợp dao động tử, chọn đề tài '' Trạng thái kết hợp dao động tử Para-Boson biến dạng'' Mc ớch nghiờn cu - Nghiên cứu dao động tử Para-Boson lý thuyết trường lượng tử trạng thái kết hợp dao động tử Para-Boson biến dạng q -tổng quát Những vấn đề nghiên cứu - Tính phân bố thống kê hệ dao động tử biến dạng - Xây dựng trạng thái kết hợp dao động tử Para-Boson biến dạng q tổng quát - Các hệ thức phương sai toạ độ xung lượng - Số hạt trung bình trạng thái kết hợp xác suất để trạng thái kết hợp có n hạt i tng nghiờn cu v phm vi nghiờn cu - Hệ dao động tử Para-Boson Phng phỏp nghiờn cu - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử - Phương pháp lý thuyết nhóm lượng tử - Phương pháp giải tích toán học - Sử dụng hình thức luận dao động tử điều hòa hình thức luận trạng thái kết hợp cho hệ hạt vi mô Nhng úng gúp mi v khoa hc, thc tin ca ti - Đề tài có ý nghĩa góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học nhà trường sư phạm, nâng cao lực nghiên cứu khoa học giảng viên, học viên cao học - Xây dựng trạng thái kết hợp dao động tử Para-Boson biến dạng q tổng quát, thu hệ thức phương sai tọa độ xung lượng, tính số hạt trung bình hệ trạng thái kết hợp xác suất để trạng thái kết hợp có n hạt Kt cu ca lun Ngoi phn m u v kt lun, lun c chia lm ba chng: Chng 1: Biu din ma trn ca cỏc toỏn t sinh - hy Boson Chng 2: Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para - Boson Chng 3: Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para Boson bin dng NI DUNG CHNG I: BIU DIN MA TRN CA CC TON T SINH - HY BOSON 1.1 Biu din s ht ca dao ng t iu hũa tuyn tớnh Dao ng t iu hũa mt chiu l mt cht im cú lng m, chuyn ng di tỏc dng ca lc chun n hi f = -kx dc theo mt ng thng no ú Ta cú biu thc toỏn t Hamiltonian ca dao ng t iu hũa mt chiu: H P m x 2m 2 (1.1) x Ký hiu: x q l toỏn t ta p p i d l toỏn t xung lng dx x H thc giao hoỏn gia p v q pq qp i p,q i p,q d x x i d i d x ix d dx dx dx dx d x ix d i dx dx i p,q (1.2) Do ú ta cú th biu din toỏn t Hamiltonian theo p v q nh sau: p m q 2m 2 H Ta t: 2 p i m a a q h a a 2m (1.3) 10 theo a v a nh sau: Khi ú ta biu din H H p m q i m a a 2m 2m 2 2 a a a a 2 a a a a a a 2 2a a 2aa 2 m a a 2m 2 a a a a aa (1.4) Ta biu din cỏc toỏn t a v a ngc li qua p v q : p p i m a a a a ip m i m a a a a 2m q q q 2m 2m T ú ta thu c: m q i p m a (1.5) m q i p m a (1.6) D dng chng minh c cỏc toỏn t a v a tha h thc giao hoỏn: a,a (1.7) 42 Cỏc toỏn t ta q v toỏn t xung lng p c biu din theo cỏc toỏn t sinh ht, hy ht cú bin dng q nh sau: q a a 2m q q p i m a a q q H thc giao hoỏn gia p v q : i[N] p,q q 1] [N q (3.12) Toỏn t Hamiltonian cú dng: p m q H 2m a a a a [N+1] [N] 2 2 q q q q (3.13) q q Ta cú tr riờng ca toỏn t Hamiltonian l: E [n] [n+1] n q q (3.14) Trong trng hp q = chỳng ta thu c biu thc thụng thng: E n n 3.1.3 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Boson bin dng q Dao ng t iu hũa bin dng q tng quỏt c xỏc nh theo cỏc tha cỏc h thc giao hoỏn: toỏn t sinh v hy a , a v toỏn t s ht N N,a a N,a a qa a q aa N vi q l tham s bin dng 43 T biu thc xỏc nh phõn b thng kờ ca i lng vt lý F: F Tr e F Z H Trong ú Z l tng thng kờ c trng cho tớnh cht nhit ng ca h: Z Tr e H vi kT Cỏc kt qu tớnh toỏn m chỳng ta thu c l: - Thng kờ ca h cỏc dao ng t bin dng q thụng thng: e e q q e a a (3.15) - Khi tham s bin dng q = 1, chỳng ta thu c phõn b thng kờ Bose Einstein cho h cỏc Boson e a a (3.16) T nh ngha trng thỏi kt hp c xem l trng thỏi riờng ca cỏc toỏn t hy dao ng a (3.17) Chỳng ta cú th biu din trng thỏi kt hp theo cỏc trng thỏi Fock nh sau: n [e] n [n] ! (3.18) q x Vi [e] l hm s m bin dng q tng quỏt c xỏc nh: n [e] x [n] ! x n (3.19) q Ta xỏc nh cỏc biu thc v phng sai ca ta v xung lng trng thỏi kt hp v xỏc nh phõn b s ht cng nh s ht trung bỡnh trng thỏi kt hp (3.8) 44 Cỏc toỏn t ta v xung lng c biu din theo cỏc toỏn t sinh, hy dao ng a , a nh sau: Q 2m a P i m a (3.20) a a Trong ú m v l lng v tn s ca dao ng, chỳng tuõn theo h thc: i N P,Q N q q (3.21) (3.20), thun tin cho vic tớnh toỏn, thay cho cỏc toỏn t P,Q chỳng ta s dựng cỏc i lng khụng th nguyờn sau: m Q Q a a P 2m P i a a (3.22) Cỏc kt qu tớnh toỏn chỳng ta thu c biu thc v bin thiờn ton phng ca ta v xung lng trng thỏi kt hp l: Q 2 P vi F q [e] 14 F 1 (3.23) [e] q2 v nh vy ta cú: Q P 161 F (3.24) Kt qu ny l phự hp vi tớnh cht ca trng thỏi kt hp, trng thỏi kt hp h thc bt nh l cc tiu Chỳng ta cng thu c biu thc 45 tớnh s ht trung bỡnh trng thỏi kt hp v xỏc sut trng thỏi kt hp trng thỏi cú n ht l: [e] N 2 [e] (3.25) 2n W n n [e] [n] ! q Vi [e] d [e] n x dx n 1x x n q 3.1.4 Dao ng t Boson bin dng q tng quỏt Dao ng t Boson bin dng q tng quỏt c c trng bi cỏc toỏn t sinh, hy tha h thc giao hoỏn: qa a q aa cN (3.26) ú q, c l hai tham s Nh vy c h thc (3.26) tr v h thc ca bin dng q thụng thng: qa a q aa N V c 0,q h thc (3.26) tr v h thc ca cỏc dao ng t cú thng kờ vụ hn: aa H thc giao hoỏn (3.26) s dn ti h thc: a a n q a n n c a n q a n q cN (3.27) õy chỳng ta s dng ký hiu s bin dng c ký hiu nh sau: c x q x q q qq cx (3.28) c i s (3.26) cú th c thc hin khụng gian Fock vi c s l cỏc vộc t trng thỏi riờng ó chun húa ca toỏn t s dao ng t N nh sau: n a n ! c q n (3.29) 46 khụng gian ny ta cú cỏc h thc: a a N c q N aa (3.30) c q 3.2 Dao ng t cú thng kờ vụ hn Khỏi nim dao ng t cú thng kờ vụ hn c c Greenberg [6] a ra: l biu din qua nhng s hng ca toỏn t sinh dao ng t a v hu dao ng t a tho h thc: a a (3.31) Toỏn t s ht dao ng t N tho h thc: N,a a a a a a aa+ N k N a a k (3.32) k Trng thỏi riờng ó chun hoỏ ca toỏn t N l: n a n Khi ú: n n n N Rừ rng: n a N (3.33) (3.34) k a k n = k k a a k =nn k n = nk k a a a 0 k n 47 a a n a a a Ta xột: n a = a aa + a a n = a a = a n n + n 0 =1 n Vy ta cú: a a n = n Nh vy trng thỏi n vi n l trng thỏi riờng ca a a ng vi tr riờng bng a a c bit vi n = thỡ: (3.35) 3.2.1 Phõn b thng kờ ca dao ng t cú thng kờ vụ hn Vi thng kờ vụ hn ta cú phõn b thng kờ sau: a a Tr e z N a a = n e z N a a n n = n e z N n n a a = e z n n v a a n n vi n ) (vỡ a a=1 e e n Suy ra: a a 1 n n n e = 1- (1- e- ) n n 48 a a = e Tng t: (3.36) b b n n v n cui cựng chỳng ta thu c: a a b b e (3.37) 3.2.2.Trng thỏi kt hp ca dao ng t cú thng kờ vụ hn Trng thỏi kt hp ca dao ng t cú thng kờ vụ hn c xỏc nh nh sau: Z C(z) za n C(z) Z n n n (3.38) n T iu kin chun hoỏ Z Z ta cú: C(z)= Z 2n n chỳ ý: vi Z thỡ Z 2n phõn kỡ, ú C(z) trit tiờu n vỡ vy trng thỏi kh d ch cú Z vi Z ta cú: C(z)=(1- z )1/2 Suy trng thỏi kt hp li c vit li l: Z Z 2 Z n (3.39) n n bin thiờn ton phng ca to v xung lng c tớnh l: Z Z a a Z Z Z Z Q 2 z z = z aa = 1 z + 49 z P z z i a a i z z z 2 z = z z aa = 1 z + z = z P z = 1 z suy ra: z Q (3.40) H thc bt nh trng hp ny s l: Q P = 1 z 16 (3.41) Mt khỏc trng thỏi n tớnh toỏn vi lch ton phng ta thu c: n Q n = n P n = 2 (3.42) n P n = 2 n Q n (3.43) S ht trung bỡnh trng thỏi kt hp l: z = z zN m z * m n = z Nz n mn = z = z z d dz z n z 2n n 2n n z (3.44) Xỏc sut trng thỏi kt hp trng thỏi cú s ht n l: W n z n n z z n z m = z m m z n 50 W z n z 2n z N z = n z zN (3.45) n Nhn xột: Khỏc vi thng kờ Para, thng kờ vụ hn cú gii hn Shot Noice nh hn gii hn gii hn Shot Noice bỡnh thng H cú: z z P z z tc l: z N z z Q 3.3 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para Boson bin dng q tng quỏt 3.3.1 Dao ng t Para-Boson bin dng q tng quỏt c Thay cho cỏc s t nhiờn, chỳng tụi s dng q s n thu c cỏc q h thc trng hp bin dng ca cỏc dao ng t Para - Boson l: a a n n n n 1 p n aa c c c n q q q (3.46) 1 p n c n q T cụng thc (3.46) chng t rng khụng gian Fock vi c s l vộc t trng thỏi riờng n ca toỏn t s dao ng t N cú cỏc biu thc sau: 1 p N aa 1 p a a N c c n q q c n (3.47) c q q v h thc giao hoỏn bin dng ca cỏc dao ng t Para Boson nh sau: aa a,a c c q q c N a a N p N q (3.48) 51 i s (3.48) cú th c thc hin khụng gian Fock vi cỏc vộc t c s l cỏc vộc t trng thỏi riờng ó chun húa ca toỏn t N: n a c n (3.49) n ! p q ú: n với n chẵn n n p với n lẻ c c p q c q c q c q c c n ! n p p q p q p q c q 3.3.2 Phõn b thng kờ Para-Boson bin dng q tng quỏt Da vo h thc (3.47), phõn b thng kờ ca a a vi kt qu nh sau: a a e e q q e q c c c p e q (3.50) T (3.50), chỳng ta thu c phõn b thng kờ i vi cỏc dao ng t Para Boson q = 1: p e e a a (3.51) v p chỳng ta thu c phõn b thng kờ i vi h cỏc dao ng q tng quỏt: a a e e q q e q c c (3.52) v t ú s thu c kt qu ca M.Chaichian cho thng kờ i vi h dao ng t Boson bin dng q thụng thng c : a a e e q q e (3.53) 52 c 0,q chỳng ta thu li phõn b thng kờ vụ hn: a a e (3.54) 3.3.3 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para-Boson bin dng q tng quỏt Trng thỏi kt hp z tha phng trỡnh hm riờng, tr riờng ca toỏn t hy: a z z z cú dng nh sau: z a n z Cz n n c n ! p q z z Cz (3.55) n c n n ! n p q vi C(z) l hng s chun húa: Cz e (3.56) z2 p x Vi e l hm m Para bin dng q tng quỏt c nh ngha qua cụng p thc: x n e x n ! c p p q Tớnh toỏn da vo h thc (3.48) chỳng ta chng minh c cỏc toỏn t ta Q v toỏn t xung lng P tuõn theo h thc giao hoỏn sau: c c q q c i N P,Q N p N q (3.57) 53 Cỏc biu thc v bin thiờn ton phng ca ta v xung lng trong trng thỏi kt hp cú dng: z Q z z P z 1F (3.58) vi: z2 F e p z 2n ! n c n p c c n c n p q q q q S ht trung bỡnh trng thỏi kt hp v xỏc sut trng thỏi kt hp cú n ht l: z2 z2 z N z z e e p z2 (3.59) p z W e n ! n 2n (3.60) c p p q vi: e p x x d e n x dx n c p n0 p q n 54 KT LUN CHNG III Vi cỏc ni dung chng 1, chng chỳng tụi ó m rng nghiờn cu v "Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para - Boson bin dng" c th l: Nghiờn cu lý thuyt q s v xõy dng thng kờ Para - Bose; Nghiờn cu v dao ng t cú thng kờ vụ hn t ú dn n vic nghiờn cu dao ng t Para - Boson bin dng q tng quỏt Cỏc kt qu thu c v phng sai ca ta v xung lng, s ht trung bỡnh trng thỏi kt hp v xỏc sut trng thỏi kt hp cú n ht s tr v cỏc kt qu quen thuc tham s bin dng q tin n 55 KT LUN Trong lun "Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para - Boson bin dng" chỳng tụi ó trỡnh by nghiờn cu y v "Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para - Boson bin dng" Cỏc kt qu chớnh sau nghiờn cu v hon thnh lun thu c l: - Biu din ma trn ca cỏc toỏn t a+, a, N - Xõy dng cỏc thng kờ lng t bin dng - Xõy dng trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para - Boson bin dng - Thu c cỏc biu thc v: Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para - Boson, dao ng t cú thng kờ vụ hn, trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t Para - Boson bin dng Sau hon thnh lun ny tụi ó c nõng cao v phng phỏp nghiờn cu khoa hc v hiu bit y hn v nghiờn cu ca ti ti cũn cú th c m rng nghiờn cu v trng thỏi ngng t Bosen - Einstein cú th so sỏnh vi cỏc kt qu thc nghim Vi nhng kt qu ca lun vn, tụi hy vng gúp phn lm chớnh xỏc v phong phỳ thờm nhng hiu bit v th gii ht vi mụ ca chỳng ta, ti lun cú th l cun ti liu tham kho cho sinh viờn v hc viờn cao hc 56 TI LIU THAM KHO [1] Nguyn Quang Bỏu, Vt lớ thng kờ, NXB HQG H Ni 2003 [2] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lí thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội [3] A.J.Macfarlame (1989), On q-annalogues of the Quantum Harmonic Osdil- lator and the Quantum Group SU (2)q, J Phys A: MAth Gen,(22), PP 4581 [4] D.V.Duc, N.B.An Coherent states for oscillators of non-con-ventional Statistics, ICPT report IC/IR/98/25, 1998 [5] H.S.Green (1953), A Generalized Method of Field Quantization,Phys.Rev,(90),270 [6] O.W.Greenberg (1990), Exemple of Infinite Statistics,Phys.Rev.Lett,(64),705 [7] L.T.K.Thanh (1999), Coherent States for Deformed Para Boson Oscillators, Comm.In Phys, (4),242-248