B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI DNG MINH HONG TNH CHNH QUY CA KHễNG GIAN MM CC HM CHNH HèNH GI TR FRECHET Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 LUN VN THC S TON GII TCH Ngi hng dn khoa hc: TS Nguyn Vn Ho H Ni-2011 LI CM N Tỏc gi xin gi li cm n chõn thnh ti Ban giỏm hiu, phũng Sau i hc v cỏc GS, TS ging dy chuyờn nghnh toỏn gii tớch trng i hc s phm H Ni ó giỳp , to iu kin thun li tỏc gi quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v thc hin lun c bit, tỏc gi xin chõn thnh cm n TS Nguyn Vn Ho ó trc tip hng dn tỏc gi quỏ trỡnh nghiờn cu lun v hon chnh lun Trong quỏ trỡnh thc hin cụng tỏc nghiờn cu khụng trỏnh nhng hn ch v thiu sút, tỏc gi xin chõn thnh cm n nhng ý kin úng gúp ó nhn c ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo v cỏc bn hc viờn lun hon chnh nh hin ti H Ni, thỏng 05 nm 2011 Tỏc gi Dng Minh Hong LI CAM OAN Tụi xin cam oan, di s hng dn ca TS Nguyn Vn Ho, lun vi ti Tớnh chớnh quy ca khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh vi giỏ tr Frechet c hon thnh vi s nhn thc ca riờng tỏc gi, khụng trựng vi bt k lun no khỏc Trong quỏ trỡnh lm lun vn, tụi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 05 nm 2011 Tỏc gi Dng Minh Hong Mc lc M u Chng Cỏc kin thc chun b 1.1 Mt s chun b v khụng gian vộc t tụ pụ 10 10 1.2 i ngu v tụ pụ yu 17 1.3 Pụ la 19 1.4 Hm chnh hỡnh 19 1.4.1 a thc trờn khụng gian li a phng 19 1.4.2 Hm chnh hỡnh 25 1.4.3 Khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh 28 Chng Mt s bt bin tụ pụ tuyn tớnh trờn khụng gian Frechet 31 2.1 Bt bin tụ pụ tuyn tớnh (DN ) trờn khụng gian Frechet 31 2.1.1 Khỏi nim v bt bin tụ pụ tuyn tớnh (DN ) 31 2.1.2 Cỏc iu kin tng ng 32 2.1.3 Mt s vớ d 2.2 Bt bin tụ pụ tuyn tớnh () 2.2.1 Khỏi nim v bt bin tụ pụ () 41 2.2.2 Cỏc iu kin tng ng 44 2.2.3 Mt s vớ d 51 44 44 Chng Tớnh chớnh quy ca khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh vi giỏ tr Frechet 53 3.1 Mt iu kin cn cho tớnh chớnh quy ca khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh giỏ tr Frechet 53 3.2 Khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh trờn compact CN vi giỏ tr Frechet cú (DN ) chun 3.3 Khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh trờn compact L 55 chớnh quy vi giỏ tr Frechet cú (DN ) chun 60 3.4 Khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh vi giỏ tr Frechet cú (LB ) chun 67 Kt lun 70 Ti liu tham kho 71 M U Lý chn ti Trong gii tớch phc, mt ln c t i vi lý thuyt cỏc hm chnh hỡnh ú l tớnh chnh hỡnh a phng trờn mt X no ú ca mt khụng gian li a phng E vi giỏ tr khụng gian li a phng F iu ú dn n khỏi nim mm hm chnh hỡnh trờn X í ngha quan trng ca khỏi nim ny l s a phng húa khỏi nim phn t, thay cho vic xột mt phn t c nh no ú, ngi ta xột lp cỏc phn t tng ng i vi phn t ny Trong khỏi nim mm ta phõn cỏc c im chung liờn kt cỏc phn t tng ng li vi Tp cỏc mm hm chnh hỡnh H (X, F ) trờn mt compact X cú th c xột theo hai khớa cnh: Mt l, v mt i s ta cú th xem nú nh l mt vnh Cỏc tớnh cht ca vnh H (X, F ) ó c nghiờn cu rng rói; chng hn theo hng nghiờn cu ny ta cú th xem Bnic Stnsil [2], u Th Cp Nguyn Vn Khuờ [4] , Mt khỏc, H (X, F ) cú th xem nh mt khụng gian vộc t tụ pụ trang b tụ pụ li a phng t nhiờn bng cỏch kt hp cỏc tụ pụ ca khụng gian cỏc hm chnh hỡnh trờn mt lõn cn ca X Theo hng nghiờn cu ny ta phi k n cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca Chae [5, 6] Vn nghiờn cu cỏc tụ pụ li a phng trờn khụng gian H (U, F ) = H(U ) cỏc hm chnh hỡnh trờn mt m U khụng gian li a phng E c u bi Nachbin [11,12] v Alexander [1] Trong gii tớch phc vụ hn chiu, ngi ta thy rng tụ pụ m compact hay tụ pụ hi t u trờn cỏc compact ca U khụng ch l tụ pụ t nhiờn nht Tụ pụ c xut ln u tiờn bi Nachbin [11,12], nú i t ý tng liờn quan n cỏc phim hm gii tớch mang bi compact S i ca tụ pụ mang bi compact m nhiu hng nghiờn cu gii tớch phc vụ hn chiu v tr thnh cụng c hu hiu gii quyt nhiu bi toỏn quan trng lnh vc ny Mt cỏc c quan tõm nhiu lp khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh ú l vic c trng cỏc b chn ca nú Nh li rng, khụng gian mm H(K, F ) c xõy dng t khụng gian H(U, F ) cỏc hm chnh hỡnh trờn lõn cn m U ca K mt khụng gian li a phng E, vi giỏ tr mt khụng gian li a phng F , bng gii hn quy np phm trự cỏc khụng gian li a phng Nh vy, khụng gian mm H(K, F ) c gi l chớnh quy nu gii hn quy np trờn l chớnh quy Ngha l, mi b chn ca H(K, F ) l b cha v b chn khụng gian H(U, F ) no ú Tớnh chớnh quy ca khụng gian mm H (K, F ) = H (K) ó c nhiu tỏc gi quan tõm, m u cho hng nghiờn cu ny l Chae [5,6] Trong ú, cỏc tỏc gi xột bi toỏn cho trng hp K l mt compact ca mt khụng gian Banach Cỏc kt qu ny c tng quỏt húa v lm sõu sc hn bi Mujica[10] Nm 1981, bng vic mụ t h na chun sinh tụ pụ ca H(K) Dineen [7] ó chng t rng H(K) l y cựng vi gi thit K l compact khụng gian li a phng metric Cng õy, nh phng phỏp c s dng thu c tớnh y ca H(K), ln u tiờn Dineen ó a c mt s c trng v tớnh chớnh quy ca H(K) K l compact cỏc khụng gian khụng nht thit li a phng metric Cng theo hng nghiờn cu ny ta cn phi k n cỏc kt qu ca Soraggi [16], Soraggi ó ch cỏc vớ d cng nh cỏc phn vớ d v tớnh chớnh quy ca H(K) nghiờn cu tớnh chớnh quy ca khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh H(K, F ) vi giỏ tr Frechet v c s nh hng ca TS Nguyn Vn Ho em chn ti "CHNH QUY CA KHễNG GIAN MM CC HM CHNH HèNH GI TR FRECHET" Lun gm cú phn m u, phn kt lun, ba chng cựng ti liu tham kho Chng Cỏc kin thc chun b Chng ny dnh cho vic gii thiu cỏc khỏi nim liờn quan n vic xột bi toỏn v tớnh chớnh quy ca khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh vi xỏc nh v giỏ tr l cỏc khụng gian Frechet Trong ú, chỳng tụi ó trỡnh by cỏc kin thc quan trng liờn quan n hng nghiờn cu l Mt s chun b v khụng gian vộc t tụ pụ i ngu v tụ pụ yu Pụ la Hm chnh hỡnh Chng Mt s bt bin tụ pụ tuyn tớnh trờn khụng gian Frechet Khỏc vi chng 1, chng chỳng tụi gii thiu n hai bt bin trờn khụng gian Frechet Trong ú, tụ pụ tuyn tớnh l (DN ) v to iu kin thun li cho vic tip tc i sõu vo vic nghiờn cu ca chng sau chỳng tụi ó c bit chỳ trng a mt s cỏc iu kin T tng ng mt khụng gian Frechet cú tớnh cht (DN ) v ú dn n cỏc chng minh c th cho cỏc khụng gian dóy Kăothe, khụng C th chng ny chỳng gian chui ly tha cú tớnh (DN ) v tụi ó trỡnh by cỏc sau Bt bin tụ pụ tuyn tớnh (DN ) trờn khụng gian Frechet trờn khụng gian Frechet Bt bin tụ pụ tuyn tớnh Chng Khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh vi giỏ tr Frechet Trong chng chỳng tụi trỡnh by hng nghiờn cu chớnh ca lun u tiờn chỳng tụi a mnh núi n iu kin cn v tớnh chớnh quy ca khụng gian H(K, F ) vi K l compact CN Chỳng tụi quy bi toỏn v vic xột tớnh chớnh quy ca gii hn quy np ca mt dóy tng cỏc khụng gian Frechet ( (LF ) - khụng gian) Cng vi k thut ú, chỳng tụi a mt iu kin cn v cho tớnh chớnh quy ca khụng chớnh quy mt khụng gian mm H(K, F ) vi K l compact L gian Frechet iu kin õy l khụng gian Frechet F cú tớnh cht (DN ) Phn tip theo chng ny dnh trỡnh by kt qu nghiờn cu tớnh chớnh quy ca H(K, F ) F cú tớnh cht (LB ) mnh hn (DN ), nhng i vi compact K ch cn tha iu kin nht Mt iu kin cn cho tớnh chớnh quy ca khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh giỏ tr Frechet Khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh trờn compact CN vi gia tr Frechet cú (DN ) chun chớnh Khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh trờn compact L quy vi giỏ tr Frechet cú (DN ) chun Khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh vi giỏ tr Frechet cú (LB ) chun Mc ớch nghiờn cu Lun nghiờn cu tớnh chớnh quy ca khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh H(K, F ) vi giỏ tr Frechet Nhim v nghiờn cu Xut phỏt t vic nghiờn cu iu kin cn i vi tớnh chớnh quy ca khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh vi giỏ tr Frechet Lun trỡnh by mt s tớnh chớnh quy ca khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh H(K, F ) vi giỏ tr Frecht cú tớnh cht (DN ), (LB ) i tng v phm vi nghiờn cu Nghiờn cu tớnh chớnh quy ca khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh vi giỏ tr Frechet cú tớnh cht (DN ), (LB ) Phng phỏp nghiờn cu c sỏch, nghiờn cu ti liu Tng hp kin thc, dng cho mc ớch nghiờn cu D kin úng gúp ca lun Nghiờn cu tớnh chớnh quy ca khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh vi giỏ tr cỏc khụng gian Frechet cú (DN ) chun, trờn cỏc compact CN v compact chớnh quy Kt qu tng t cng c khng nh cho lp khụng L gian mm cú giỏ tr Frechet cú (DN ), (LB ) chun 58 ú Ek = = (j,p ) B : := k,n k j,p j,p j pn < +, n p dng mnh 3.2, ta thy rng chng t H 0, B s ta ch cn kim tra iu kin sau (1) àk, nK, mN, S H s , B S k,n à,n + K,N Cho 1, chn k = 2à v n = 1, ta thy rng (2) K, mN, Sj, p j 2à j m p S K p+ j pN Thc vy, hin nhiờn (2) c tha cho cỏc cp (j, p) m pm 2j i vi cỏc cp (j, p) m pm > 2j thỡ ta cng kim tra mt cỏch d dng (2) c tha vi N> m log K + m, v S = log T (2) ta nhn c 2à,m = 2à j,p j,p S j,p j,p S à,1 + iu ny chng t rng H 0, B s j pm K,N j p+ K j pN l chớnh quy v ú H (K, F ) l chớnh quy Ngc li, ta gi s rng H (K, F ) l chớnh quy vi mi compact 59 K CN c bit, H , F l chớnh quy p dng mnh 3.2 mt ln na ta nhn c (3) àK, nN, S vi mi H k,m k+1 k , F k,m S à,n + K,N , v = sup (z) m :z k+1 k p dng (3) cho phn t z j x vi x F , ta cú k+1 k j x m j à+1 S x n + j K +1 K x N N T ú suy vi = 1, tn ti k v n cho x m 2k + k+1 S j x n + k (K + 1) K (k + 1) j x c bit vi K = k + 1, ta cú x m S e(k )j x n + e(k k+1 )j x N Trong ú k , vi mi k k+1 Cho r > ek , ta chn j cho k = log (k ) j log r (k ) (j + 1) (k ) j Khi ú ta nhn c (4) x m S r x n + r x N ú = k+1 k (k ) Ta cú th tng S (4) tha vi mi r > Ta t f (r) = r x n+ x r N, vi mi r > 0, 60 v ta i tỡm minimum ca hm f theo r Ta cú f (r) = x v n x N r1+ 2 r32 ( 1) r32 f (r) = x r4 N x N 1+ T ú f (r) = nu r = r0 = Rừ rng f (r) > vi mi x n r > 0, nờn hm s t cc tiu ti r = r0 v ta cú f (r0 ) = x =C n 1+ x x x 1+ N x x n 1+ N x + x N N 1+ n 1+ n vi C = 1++ iu ú suy rng x m D 1+ x 1+ N x 1+ n ngha l F cú tớnh cht (DN ) nh lý c chng minh 3.3 Khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh trờn chớnh quy vi giỏ tr Frechet cú compact L (DN ) chun Vi kt qu ó t c vic gii quyt tớnh chớnh quy ca lp khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh giỏ tr Frechet vi bt bin tụ pụ tuyn tớnh (DN ) trờn tt c cỏc compact bt k CN Chỳng tụi tip tc t m rng kt qu ny n trng hp khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh cú xỏc nh l cỏc khụng gian Frechet Trc ht ta gi nguyờn giỏ tr Frechet cú tớnh cht (DN ), thỡ tớnh chớnh quy ca nú ũi hi compact K cú tớnh cht gỡ? ú chớnh l iu kin chớnh quy Trong phn ny, ngoi k thut compact cú tớnh cht L s dng c trng phõn loi cỏc khụng gian Frechet cú tớnh cht (DN ) nh phn trc, chỳng tụi cũn dựng phng phỏp chuyn chớnh 61 quy ca H(K, F ) sang tớnh b chn ca cỏc ỏnh x tuyn tớnh liờn tc nh ngha 3.2 Tp compact K khụng gian Frechet E c gi l chớnh quy nu [H (K)] cú tớnh cht () L Vớ d 3.1 Xột khụng gian cỏc chui ly tha loi hu hn () = |xj | rj < +, < r < x = (xj ) : j1 Vi mi a = (aj )j1 () m aj vi mi j, ta t Da = = (j ) () : sup |j | aj < j Khi ú Da l mt m ca () v c gi l a a m Bi Meise nu v ch nu a > v lim inf a1/j > Mt Vogt [9], ta cú H (Da ) () j khỏc, theo kt qu ca Boland - Dineen [3] ta cú [H (Da )] = H Da0 Do chớnh quy nu v ch nu a > v lim inf a1/j > ú, Da0 l compact L j Mnh 3.3 Cho E l mt khụng gian Frechet vi mt h c bn cỏc nu v ch nu mi p tn lõn cn gim {Uk } Khi ú E cú tớnh cht () ti q p v d > cho vi mi k q tn ti C > Uq Crd Uk + Up , vi mi r > r Trc trỡnh by kt qu chớnh, chỳng ta cn n cỏc b di õy chớnh quy mt khụng gian B 3.2 Nu K l compact L Frechet E thỡ K l compact nht; ngha l, nu f H (K) v f = trờn K thỡ f = trờn mt lõn cn no ú ca K E Chng minh Cho {Up } l c s lõn cn gim ca K E Theo gi chớnh quy nờn ta cú thit K l compact L p q p d > k q C > : f 1+d q C f k f d p 62 vi mi f H (Up ) p dng bt ng thc ny cho f n vi f H (Up ) ta c 1+d q f = f n n(1+d) q n f n (1+d) q = C =C n f n n k n k f n f n dq nd q f n f k f d q, n Do ú 1+d q f f k f d p vi mi f H (Up ) v vi mi k q Ta suy rng k , thỡ vi mi p tn ti q p v d > cho f 1+d q f K f d p, vi mi f H (Up ) iu ny chng t rng K l nht B c chng minh B 3.3 Cho E = lim indEk l gii hn quy np ca mt dóy cỏc khụng k gian Banach (Ek , k) tha vi mi p tn ti q p v d > vi mi k q tn ti C > cho 1+d q C k d p Khi ú E cú tớnh cht () Chng minh Gi Bk l hỡnh cu n v ca Ek Theo nh ngha ta cú x k = sup |u (x)| : u Bk0 = x Bk0 , vi mi x Ek Bq0 Crd Theo gi thit ca b ta cú th vit p 1q pd > 0k qC > : vi mi r > Ta hóy chng t rng Bq0 Crd Bk0 + Bp0 r Bk0 + r Bp0 63 Thc vy, nu x E Cr d Bk0 + Bp0 r thỡ ta cú Crd u (x) + v (x) : u Bk0 , v Bp0 r = Crd sup |u (x)| : u Bk0 + v (x) sup |v (x)| : v Bp0 r x Bp0 = Crd x Bk0 + r sup iu ny chng t rng x Bq00 v ta suy Bq0 Crd Bk0 + Bp0 , r vi mi r > T nh lý 2.5, ta suy rng E cú tớnh cht () Vy b c chng minh chớnh quy mt khụng gian B 3.4 Cho K l compact L vi mi khụng gian Banach Frechet Khi ú [H (K, F )] cú tớnh cht () F chớnh quy nờn ta cú Chng minh Do gi thit K l compact L p 1q pd > 0k qC > : f 1+d q C f k f u f (x) d p d p vi mi f H (K) Nhng ta cú f 1+d q = sup sup u f (x) u xUq C sup u = C |f | k 1+d q : u F sup { u f (x) k } sup xUk |f | xUp d p vi mi f H (K, F ) B c chng T b 3.3, chng t rng [H (K, F )] cú tớnh cht () minh 64 B 3.5 Cho F l khụng gian Frechet cú tớnh cht (DN ) Khi ú ] cú tớnh cht (DN ), ú Fbr l khụng gian F c trang b tụ pụ [Fbr Bornological liờn kt vi tụ pụ ca F Chng minh Cho {Un } l c s lõn cn gim ca F Do F cú tớnh cht (DN ) nờn ta cú pq, d > 0k, C > : q rd p+ C r k, vi mi r > 0, hoc dng tng ng pq, d > 0k, C > : Uq0 rd Up0 + C U , vi mi r > r k Vi u [Fbr ] v r > 0, ta cú u q = sup |u (x )| x Uq0 sup x rd Up0 + Cr Uk0 rd sup |u (x )| + x Up0 = rd u |u (x )| p + C u r C sup |u (x )| r x Uk0 k iu ny chng t rng [Fbr ] cú tớnh cht (DN ) B c chng minh B 3.6 Cho f = (f )I l ỏnh x b chn t mt m U ca mt khụng gian li a phng E vo khụng gian Banach l (I) cho: vi mi I, cỏc hm ta f l chnh hỡnh Khi ú f l chnh hỡnh Chng minh Ta cn chng t f l G chnh hỡnh Mun vy, ta chng t rng ỏnh x f : { C : a + b U, a U ; = b E} l (I) l chnh hỡnh Theo gi thit f l chnh hỡnh vi mi I nờn ta cú th vit khai trin Taylor ca f ti Cn, n , f () = n0 65 ú Cn, = f (a + b) d, vi < < d (, U ) n+1 (2i)n ||= Theo bt ng thc tớch phõn Cauchy ca hm mt bin ta cú |Cn, | M vi M = sup f (z) vi I n zU t Cn = (Cn, )I , ú ta nhn c k k n f () Cn, I n=0 Cn, n = sup f () n=0 Cn, n = sup I n=k+1 M n=k+1 n k iu ny chng t f l G chnh hỡnh B c chng minh nh lý 3.2 Khụng gian Frechet cú tớnh cht (DN ) nu v ch nu chớnh quy khụng H (K, F ) l chớnh quy vi mi compact L gian Frechet E Chng minh Cho {f }I l mt b chn H (K, F ) xột ỏnh x tuyn tớnh S : Fbr H (K, l (I)) c xỏc nh bi cụng thc S (u) = (u f )I Theo b 3.2 v 3.6, ta thy rng S hon ton c xỏc nh (i) Trc ht ta kim tra rng S l b chn Thc vy, cho B l mt b chn F Ta chn k cho B 66 l b cha v b chn Fk ú Fk l khụng gian Banach liờn kt vi k v k : F F k l ỏnh x chớnh tc T kt qu ca Bựi c Tc [17], ta thy rng khụng gian mm H (K, Fk ) l chớnh quy Bi tớnh b chn ca {k f }I ta cú th tỡm c mt lõn cn V ca K E cho {k f }I l b cha v b chn H (V, Fk ) Do ú S (B) l b cha v b chn H (V, l (I)), tc l S liờn tc (ii) Ta xột ỏnh x S : [H (K, l (I))] [Fbr ] Do cỏc b 3.4 v 3.5, ta thy S l ỏnh x tuyn tớnh loi (LB) Vy S v ú S cng l ỏnh x tuyn tớnh loi (LB) Khi ú ta cú th tỡm c mt lõn cn W ca Fbr cho S (W ) l b chn H (K, l (I)) Bi Bựi c Tc [17], khụng gian H (K, l (I)) l chớnh quy nờn ta cú th tỡm c mt lõn cn V ca K E cho S (W ) l b cha v b chn H (V, l (I)) T ú suy S (Fbr ) H (V, l (I)) Nh vy S : Fbr H (V, l (I)) Ta xỏc nh ỏnh x g : V [Fbr ] bi g (z) (u) = [S (u) (z)] , I, u Fbr v z V T sup S (u) (z) M < +, vi mi u Fbr , zV ta suy {g }I v ú {f }I l b cha v b chn [H (V, F ) ; ] Tc l H (K, F ) l chớnh quy Ngc li, gi s rng H (K, F ) l chớnh quy vi mi compact L 67 chớnh quy khụng gian Frechet E c bit, H , F l chớnh quy n õy phộp chng minh c lp li hon ton nh phộp chng minh phn th hai ca nh lý 3.1 nh lý c chng minh 3.4 Khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh vi giỏ tr Frechet cú (LB) chun chớnh quy ca K cú nh lý 3.2 cú mt hn ch ú l tớnh L th gim bt iu kin ny thay cho tớnh cht (DN ) ta hóy xột tớnh cht (LB ) mnh hn (DN ) nh ngha 3.3 Khụng gian Frechet E c gi l cú tớnh cht (LB ) nu vi mi dóy t nhiờn {N } n iu tng, tn ti k N vi mi n0 N tn ti N0 N v D > cho vi mi x E, tn ti s t nhiờn N tha n0 < N < N0 thỡ ta cú x 1+N n0 D x N k x N Chỳ ý Tớnh cht (LB ) kộo theo tớnh cht (DN ) v khụng gian Frechet cú tớnh cht (LB ) cng cú chun liờn tc, chun ny c gi l (LB ) chun Mt hng tip theo m rng kt qu, chỳng tụi quan tõm n lp khụng gian giỏ tr Frechet Theo phng phỏp chuyn qua ỏnh x v tuyn tớnh loi (LB) trờn lp cỏc khụng gian Frechet cú tớnh cht () (DN ), thu c tớnh chớnh quy ca cỏc khụng gian mm nh nh lý 3.2, chỳng tụi tõm ti mt kt qu v ỏnh x tuyn tớnh loi (LB) liờn quan n tớnh cht (LB ) sau õy Mnh 3.4 [18] Cho F l mt khụng gian Frechet Khi ú cỏc iu kin sau õy l tng ng L ( () , F ) = LB ( () , F ) F cú tớnh cht (LB ), xy vi dóy m = (n )n1 no ú 68 Khụng gian xỏc nh ca lp ỏnh x c xột mnh ny l khụng gian cỏc chui ly tha loi vụ hn iu ú dn n mi liờn tng ti kt qu ca Meise-Vogt [9] v cu trỳc ca khụng gian mm [H (K)] , ú K l compact khụng gian Frechet m nú l khụng gian thng ca khụng gian () hch Theo hng ny chỳng tụi thu c mt kt qu mnh hn v mt khớa cnh no ú so vi nh lý 3.2 v tớnh chớnh quy ca khụng gian mm H (K, F )(K ch cn l mt chớnh quy) compact nht ch khụng nht thit phi l L B 3.7 Cho F l mt khụng gian Frechet cú tớnh cht (LB ) v B l mt khụng gian Banach Khi ú, khụng gian L (B, F ) ca cỏc ỏnh x tuyn tớnh liờn tc t B vo F cng cú tớnh cht (LB ) Chng minh Cho mt dóy t nhiờn tng {N }, ta chn k cho tớnh cht (LB ) ca F c tha Khi ú ta cú f 1+N n0 = sup f (x) 1+N n0 : x C max sup { f (x) n0 N N0 C max n0 N N0 f N f N f (x) N k : x 1} N k vi mi f L (B, F ) iu ny chng t L (B, F ) cú tớnh cht (LB ) v b c chng minh B 3.8 Cho F l mt khụng gian Frechet cú tớnh cht (LB ) v E l khụng gian thng ca khụng gian cỏc chui ly tha hch loi vụ hn Khi ú L ([H (K, B)] , F ) = LB ([H (K, B)] , F ) vi mi khụng gian Banach B v mi compact K F Chng minh Cho mt ỏnh x tuyn tớnh liờn tc : [H (K, B)] F 69 Bi vỡ [H (K, B)] = [H (K)] B , nờn cm sinh mt ỏnh x tuyn tớnh liờn tc : [H (K)] L (B , F ) T kt qu ca Meise-Vogt [9], ta cú [H (K)] l khụng gian thng ca khụng gian ( ()) Theo b 3.7 v mnh 3.4, ta suy rng l b chn trờn mt lõn cn U ca [H (K)] iu ny suy l b chn trờn conv (U V ) Tc l b chn trờn lõn cn ca [H (K)] B Trong ú V l hỡnh cu n v B B c chng minh nh lý 3.3 Cho F l mt khụng gian Frechet phn x cú tớnh cht (LB ) v E l khụng gian thng ca khụng gian cỏc chui ly tha loi vụ hn Khi ú H (K, F ) l chớnh quy vi mi compact nht K E Chng minh Ta xột ỏnh x tuyn tớnh S : Fbr H (K, l (I)) xỏc nh bi S (u) = (u f )I Trong ú {f }I l mt b chn H (K, F ) Lp li phộp chng minh phn (i) ca nh lý 3.2, ta thu c tớnh liờn tc ca ỏnh x S Ta xột ỏnh x S : [H (K, l (I))] [Fbr ] = F Theo b 3.8, thỡ S l ỏnh x tuyn tớnh loi (LB) T ú cng suy rng S v ú S l loi (LB) Tip tc lp lun nh nh lý 3.2, ta cng chng t c H (K, F ) l chớnh quy nh lý c chng minh KT LUN Ni dung ca lun l nghiờn cu tớnh chớnh quy ca khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh giỏ tr Frechet v a mt s ỏp dng khụng gian ny Lun ó trỡnh by cỏc kt qu sau H thng li mt s kin thc c bn liờn quan n hng nghiờn cu ca lun Chng t c tớnh chớnh quy ca khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh vi giỏ tr cỏc khụng gian Frechet cú (DN ) chun, trờn cỏc chớnh quy Kt qu tng t compact CN v compact L cng c khng nh cho lp khụng gian mm cú giỏ tr Frechet cú (LB ) chun, trờn cỏc compact ca khụng gian Frechet, m nú l khụng gian thng ca khụng gian cỏc chui ly tha hch loi vụ hn a cỏc vớ d v lp khụng gian mm loi (DN ) Cỏc kt qu trờn c nghiờn cu nhng nm gn õy v cú ý ngha khoa hc, úng gúp vo hng nghiờn cu bi toỏn v tớnh chớnh quy ca lp khụng gian mm cỏc hm chnh hỡnh vi giỏ tr vộc t Ti liu tham kho [1] H Alexander, Analytic functions on Banach spaces, Thesis, University of California Berkeley, 1968 [2] C Bnic and O Stnsil, Algebraic Methods in the global of complex spaces, John Wiley, London - New York, Sydney - Toronto, 1976 [3] P J Boland and S Dineen, Holomorphic function on fully nuclear spaces, Bull Soc Math France 106, 1978 [4] D T Cap and N V Khue, On the integral extension of algebras of semiglobal holomorphy and of semiglobal anatic algebras, Rev Roumaine Math Pures Appl 35(6), 523-529, 1990 [5] S B Chae, Sur les espaces localement convexes de germes holomorphes, C R Acad Sci Paris 271, 990-991,1970 [6] S B Chae, Holomorphic germs on Banach spaces, Ann Inst Fourier Grenoble 21, 107-141, 1971 [7] S Dineen, Holomorphic germs on compact subsets of locally convex spaces, Functional Analysis, Holomorphy-Approximation Theory, Ed S Machado, Springer - Verlag Lecture Notes in Math 843, 247-263, 1981 [8] A Grothendieck, Espaces vectoriels, 2nd ed., Soc Math Sao Paulo, 1958 [9] R Meise and D Vogt, Structure of spaces of holomorphic Functions on infinite dimensional polydiscs, Studia Math 75, 235-252, 1983 [10] J Mujica, Spaces of germs of holomorphic functions, studies in analysis Advances in Mathematics, Sup Studies 4, 1-14, 1979 72 [11] L Nachbin, On the topology of the space of all holomorphic function on a given open subset, Indag Math 29, 366-368, 1967 [12] L Nachbin, Topology on space of Holomorphic Mappings, Springer Verlag, Berlin - New York, 1969 [13] Ph Noverraz , Fonctions phurisoshamorniques et analytiques dans les espaces vectoriel topologiques,Ann Ints Forier 19, 419-494, 1969 [14] A Pietch, Nuclear Locally Convex Spaces, 2nd edition, Berlin, Springer Verlag, 1972 [15] H.H Schaefer, Topological Vector Spaces, Springer - Verlag, Berlin NewYork, 1971 [16] R.L Soraggi, Holomorphic germs on certain locally convex spaces, Ann Math.Pura et App 144(1), 1-22, 1986 [17] B D Tac, Extending holomorphic maps in infinite dimensions, Ann Polon Math 54, 241-253, 1991 [18] D Vogt, Frechet raume, Zwische denen jede Stetige lineare-dung beschankt ist, J.Reine Angen Math 354, 183-200, 1983 [19] D Vogt, Regularity properties of (LF ) spaces, Progress in Function Analysis, K.D.Bierstedt, J.Bonet, J.Horvath and M.Maestre(Eds), Elsevier Science Publishers 57-84,1992