LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Năng Tâm người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành khóa luận Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành khoá luận Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2011 Lê Thu Phương LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Định lý Lax-Milgram ứng dụng” hoàn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với lòng trân trọng biết ơn Một số kết tác giả đưa dựa thành tựu khoa học Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2011 Lê Thu Phương Mục lục Bảng ký hiệu v Lời mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn 1.2 Không gian Hilbert 14 1.3 Không gian Sobolev 19 Chương Định lý Lax-Milgram 22 2.1 Bài toán biến phân 22 2.1.1 Bài toán biến phân đối xứng 23 2.1.2 Bài toán biến phân không đối xứng 25 2.2 Định lý Lax-Milgram 26 2.3 Định lý Lax-Milgram mở rộng 29 2.3.1 Định lý Lax-Milgram không gian Banach phản xạ 29 2.3.2 Định lý Lax-Milgram không gian Banach 34 Chương Một số ứng dụng 37 3.1 Ứng dụng phương trình vi phân thường 37 3.2 Ứng dụng phương trình đạo hàm riêng 42 iii iv 3.3 Ứng dụng bất đẳng thức biến phân toán tối ưu 52 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 v BẢNG KÝ HIỆU R đường thẳng thực Rn không gian Euclid n - chiều ∇ toán tử gradient f :X→Y ánh xạ từ X vào Y V chuẩn không gian V inf f cận ánh xạ f sup f cận ánh xạ f f giá trị nhỏ ánh xạ f max f giá trị lớn ánh xạ f ker f hạt nhân, hạch ánh xạ f cl Ω bao đóng tập Ω clyếu∗ Ω bao đóng yếu∗ tập Ω div F divergence, phân tán hàm vector F ν vector phương x∗ , x ∂u ∂xi (x, y) ảnh toán tử x∗ điểm x đạo hàm riêng hàm u theo biến xi gọi tích vô hướng hai nhân tử x y chứng minh hoàn thành LỜI MỞ ĐẦU Các toán biến phân xuất từ lâu, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học tiếng kỷ XVII – XIX có ảnh hưởng lớn phát triển Giải tích toán học Nhưng phải đến kỷ XX toán biến phân hình thành với tư cách lý thuyết toán học độc lập, với nhiều hướng nghiên cứu khác Cho tới ngày nghiên cứu toán biến phân chủ yếu tập trung vào ba vấn đề chính: - Nghiên cứu định tính (điều kiện cần đủ để có nghiệm, định lý đối ngẫu, tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm, độ nhạy nghiệm, ); - Nghiên cứu định lượng (xây dựng thuật toán tìm nghiệm thỏa mãn tiêu chuẩn cho trước, xác định tập nghiệm, ); - Ứng dụng (giải toán kinh tế, bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, ) Một vấn đề quan trọng toán biến phân nghiên cứu tồn nghiệm Đã có nhiều công trình toán học nghiên cứu vấn đề này, phải kể đến hai nhà toán học Peter D Lax Arthur Milgram với định lý Lax-Milgram, cho ta điều kiện để xác định toán biến phân có nghiệm (xem [7], [13], [14]) Từ định lý Lax-Milgram đặt nhiều câu hỏi hướng mở rộng khác Trong không gian Hilbert toán biến phân có nghiệm Liệu điều không gian Banach? Đã có nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu câu hỏi chứng minh tính nghiệm không gian Banach (xem [8], [13], [14]) Khi mở rộng không gian cho định lý Lax-Milgram tính chất tuyến tính ánh xạ a(·, ·) (xem 2.2) giữ nguyên E Zeidler đầu việc nghiên cứu mở rộng trường hợp a(·, ·) phi tuyến (xem mục 2.15 [19]) Ta thấy, định lý Lax-Milgram cho kết đẹp toán biến phân, phương trình toán học Như vậy, câu hỏi đặt tự nhiên là: Liệu có tồn lớp hàm đủ rộng thỏa mãn định lý Lax-Milgram hay không? Hay có tồn lớp hàm không thỏa mãn điều kiện định lý Lax-Milgram có kết luận không (chính cách mở rộng định lý Lax-Milgram theo hướng làm yếu điều kiện toán tử a(·, ·))? Người theo hướng B Ricceri (xem [16]), sau J Saint Raymond (xem [15]) Nguyễn Đông Yên, Bùi Trọng Kim (xem [18]) Kết đạt từ định lý Lax-Milgram dạng mở rộng có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học khác tối ưu hóa, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng (xem [5], [6], [7], [8], [10]) Đề tài “Định lý Lax-Milgram ứng dụng” nhằm nghiên cứu hướng mở rộng định lý Lax-Milgram từ không gian Hilbert sang không gian Banach ứng dụng định lý Lax-Milgram phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương này, ta trình bày số kiến thức về: không gian định chuẩn, không gian Hilbert, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần sau Ngoài ra, phần chứng minh số bất đẳng thức không gian Sobolev nhằm giải toán ứng dụng định lý Lax-Milgram 1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X trường R với ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu · đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không θ); 2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ R) αx = |α| x ; 3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y Số x gọi chuẩn vector x Ta ký hiệu không gian định chuẩn (X, · ) Nếu X trang bị chuẩn ta ký hiệu X 10 Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.2 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy bản, lim m,n→∞ xn − xm = Định nghĩa 1.3 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Định lý 1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Cho không gian Banach V , ánh xạ co T từ V vào nó, nghĩa tồn số, M cho 43 đạo hàm riêng với điều kiện biên Dirichlet: −div(k∇u) + ru =f u =0 Ω (3.8) ∂Ω, (3.9) có nghiệm suy rộng H01 Chứng minh Đặt V = H01 ={v ∈ H H ={v v ∂Ω = 0}, (3.10) v (x) + |∇v(x)|2 dx < ∞}, (3.11) v (x) + |∇v|2 dx (3.12) Ω v V = Ω F (v) = f vdx, (3.13) [−div(k∇u) + ru] vdx (3.14) [−div(k∇u)v + ruv] dx (3.15) Ω a(u, v) = Ω = Ω Theo công thức tích phân phần, ta có div(k∇u)vdx (3.16) Ω ∂ ∂x1 = Ω = k ∂Ω =− k ∂u ∂x1 + ∂ ∂x2 k ∂u ∂x2 ∂u ∂u ν1 + ν2 vds − ∂x1 ∂x2 k∇u∇vdx, vdx k∇u∇vdx (3.17) (3.18) Ω (3.19) Ω đó, ν = (ν1 , ν2 ) vector phương ∂Ω v = ∂Ω Suy ra, a(u, v) = (k∇u∇v + ruv) dx Ω (3.20) 44 Ta có, V không gian Hilbert a dạng song tuyến tính đối xứng Vậy, toán biến phân tương ứng là, tìm u ∈ V cho a(u, v) = F (v), ∀v ∈ V (3.21) Theo giả thiết k, r bị chặn Ω nên ta đặt α = inf (k, r) > Ω sup(k, r) = C < +∞ Ω Ta dễ thấy tính a V Thật vậy, với v ∈ V , ta có (k |∇v|2 + rv )dx a(v, v) = Ω (v (x) + |∇v|2 )dx α Ω =α v H01 Hơn nữa, a liên tục Thật vậy, với v, w ∈ V , a(v, w) (|∇v| |∇w| + |v| |w|)dx sup(k, r) Ω Ω |∇v|2 + |v|2 C |∇v|2 + |v|2 dx Ω 2 2 (|∇v| + |v| )dx C H01 (|∇v| + |v| )dx Ω Ω C v w H01 Cuối cùng, ta chứng minh F liên tục Theo bất đẳng thức Schwarz, ta có |F (v)| f L2 Theo giả thiết, f ∈ L2 (Ω) nên f v L2 L2 f L2 v V < +∞, hay F bị chặn Áp dụng định lý Lax-Milgram tồn u ∈ V cho a(u, v) = F (v), 45 hay phương trình đạo hàm riêng (3.8)-(3.9) có nghiệm suy rộng Nhận xét 3.1 Tương tự, ta chứng minh phương trình đạo hàm riêng với điều kiện biên Neumann −div(k∇u) + ru =f ∂u =0 ∂ν Ω ∂Ω, có nghiệm suy rộng H , ta cần thay ∂u = ∂Ω ∂ν vào biểu thức (3.18) Theo cách chứng minh trên, ta thấy Ω ⊂ Rn toán Bài toán 3.4 Giả sử, Ω ⊂ Rn , f hàm thuộc L2 (Ω) Khi đó, phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet −∆u =f u =0 Ω, (3.22) ∂Ω, (3.23) có nghiệm suy rộng H01 Chứng minh Đặt V = H01 = {v ∈ H Ω f vdx, Ω ∂Ω = 0}, (v (x) + |∇v(x)|2 )dx < +∞}, H = {v F (v) = v 46 (−∆u)vdx a(u, v) = Ω n =− Ω i=1 ∂ 2u vdx ∂x2i Theo công thức tích phân phần, ta có n a(u, v) = − ∂Ω i=1 n ∂u v νi ds + ∂xi Ω i=1 ∂u ∂v dx ∂xi ∂xi (3.24) ∇u∇vdx = Ω Ta dễ thấy, a dạng song tuyến tính đối xứng Theo bất đẳng thức Poincaré, với v ∈ H01 , tồn α > cho v dx |∇v|2 dx α Ω (3.25) Ω Suy ra, α+1 |∇v|2 dx a(v, v) = Ω (v + |∇v|2 )dx = v α+1 H01 Ω Hay a V Hơn nữa, với ∀u, v ∈ V , ta có  ∇u∇vdx a(u, v) = ∇2 vdx ∇2 udx   Ω  12  12  u H01 v H01 Ω Ω Suy ra, a bị chặn H01 Bây giờ, ta chứng minh F liên tục Thật vậy, theo bất đẳng thức Schwarz, ta có |F (v)| f L2 v L2 f L2 v V 47 Theo giả thiết, f ∈ L2 (Ω) nên f L2 < +∞, hay F bị chặn Áp dụng định lý Lax-Milgram tồn u ∈ V cho a(u, v) = F (v), hay phương trình đạo hàm riêng (3.22)-(3.23) có nghiệm suy rộng Nhận xét 3.2 Tương tự, ta chứng minh phương trình Poisson với điều kiện biên Neumann: −∆u =f ∂u =0 ∂ν Ω ∂Ω, có nghiệm suy rộng H , ta cần thay ∂u = ∂Ω ∂ν vào biểu thức (3.30) Bây giờ, ta xét toán tổng quát Bài toán 3.5 Cho Ω ⊂ Rn bị chặn có biên ∂Ω Cho hàm aij ∈ C (cl Ω), L2 (Ω), i, j i, j n, a0 n, ∈ C (Ω), i n aij , , a0 , f ∈ 0, a0 , bị chặn hầu khắp nơi, tồn số dương α thỏa mãn: n i=1 ∂ai ∂xi 0, (3.26) n aij ξi ξj i,j=1 α ξ , ξ = (ξ12 + · · · + ξn2 ) (3.27) 48 Khi đó, phương trình Elliptic với điều kiện biên Dirichlet: n ∂ ∂u − aij + ∂x ∂x i j i,j=1 n i=1 ∂u + a0 u =f ∂xi u =0 Ω, (3.28) ∂Ω, (3.29) có nghiệm suy rộng H01 Chứng minh Đặt V = H01 = {v ∈ H v ∂Ω = 0}, (v (x) + |∇v(x)|2 )dx < +∞}, H = {v Ω F (v) = f vdx, Ω n n a(u, v) = Ω ∂u ∂ aij vdx + − ∂x ∂x i j i,j=1 i=1 Ω ∂u vdx + ∂xi a0 uvdx Ω Theo công thức tích phân phần, ta có n a(u, v) = Ω ∂u ∂v aij dx + ∂x ∂x i j i,j=1 n Ω i=1 ∂u vdx + ∂xi a0 uvdx, (3.30) Ω Ta dễ thấy, a dạng song tuyến tính (không thiết đối xứng) Với v thuộc H01 , n a(v, v) = Ω ∂v ∂v aij dx + ∂x ∂x i j i,j=1 n Ω i=1 ∂v vdx + ∂xi a0 v dx Ω (3.31) 49 Theo công thức tích phân phần, ta có n ∂v ∂v aij dx − ∂xi ∂xj i,j=1 a(v, v) = Ω |∇v|2 dx + a0 α n v2 a0 v dx (3.32) Ω v dx L∞ Ω i=1 Ω ∂ai dx + ∂xi (3.33) Ω H1 α v , (3.34) theo điều kiện (3.26)-(3.27) α = min{α, a0 L∞ } Vậy ta có, a V Hơn nữa, với ∀u, v ∈ V , ta có n n a(u, v) Ω ∂u ∂v aij dx + ∂x ∂x i j i,j=1 Ω i=1 ∂u vdx + ∂xi a0 uvdx Ω Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta n ∂u ∂v aij ∂xi ∂xj i,j=1 n i=1 ∂u ∂xi n n j=1 n j=1 n a2ij i,j=1 ∂v ∂xj a2ij i=1 ∂u ∂xi n ∂v ∂xj j=1 n a2ij |∇u|2 |∇v|2 i,j=1 Theo giả thiết, hàm số aij ∈ C (cl Ω) nên tồn số dương C n cho i,j=1 a2ij C Theo bất đẳng thức H¨older, ta n aij Ω i,j=1 ∂u ∂v dx ∂xi ∂xj Cdx ∇u L2 ∇v L2 (3.35) Ω C ∇u H01 ∇v H01 (3.36) 50 Hơn nữa, ta lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki (3.37) bất đẳng thức H¨older (3.38), (3.39) ta có n Ω i=1 n ∂u vdx ∂xi |∇u|2 vdx a2i (3.37) i=1 Ω n a2i i=1 Ω |∇u|2 vdx (3.38) |∇u|2 vdx (3.39) v L2 (3.40) , (3.41) L∞ n a2i i=1 L∞ Ω n a2i i=1 ∇u L2 L∞ n a2i i=1 u v H01 H01 L∞ bất đẳng thức a0 uvdx a0 L∞ u a0 L∞ u L2 v (3.42) L2 Ω H01 v H01 (3.43) Từ bất đẳng thức (3.35)-(3.43) suy ra, a bị chặn H01 Bây giờ, ta chứng minh F liên tục Thật vậy, theo bất đẳng thức Schwarz, ta có |F (v)| f L2 Theo giả thiết, f ∈ L2 (Ω) nên f v L2 L2 f L2 v V < +∞, hay F bị chặn Áp dụng 51 định lý Lax-Milgram tồn u ∈ V cho a(u, v) = F (v), hay phương trình đạo hàm riêng (3.22)-(3.23) có nghiệm suy rộng Nhận xét 3.3 Tương tự, ta chứng minh phương trình (3.26)(3.28) có nghiệm suy rộng H với điều kiện biên Neumann Ngoài ra, điều kiện biên hỗn hợp phương trình Elliptic (3.26)(3.28) có nghiệm H01 Nhận xét 3.4 Phương trình đạo hàm riêng Elliptic nghiên cứu nhiều công trình toán học (xem [1], [7]) Trong [7] trang 329 có nêu toán 3.5 với ∈ C(cl Ω), i n giả thiết (3.26), toán chưa giải Trong [1] trang 72 toán 3.5 với ∈ L2 (Ω), i n n a2i µ1 (3.44) i=1 toán giải Trong toán 3.5, hướng dẫn thầy hướng dẫn đưa vào điều kiện (3.26), điều kiện vừa lỏng, vừa chặt điều kiện (3.44) Chặt chỗ , chỗ , i , i n phải khả vi Ω, lỏng n không bị chặn, đó, với điều kiện (3.44) i n phải bị chặn Ω Ví dụ 3.3 Xét phương trình Tricomi, tìm hàm u = u(x, y), ∀x, y ∈ Ω = 52 {(x, y) ⊂ R2 |0 < x < 1, < y < 1} ∂ 2u ∂ 2u y + = 0, Ω ∂x ∂y u = 0, ∂Ω (3.45) (3.46) Bằng cách đặt ξ = x, ν = − y3 ta đưa phương trình (3.45)-(3.46) dạng tắc ∂v ∂ 2v ∂ 2v + 2+ = 0, Ω ∂ξ ∂ν 3ν ∂ν v = 0, ∂Ω (3.47) (3.48) Ta kiểm tra thấy phương trình (3.47)-(3.48) thoả mãn điều kiện toán 3.5 nên toán Tricomi có nghiệm 3.3 Ứng dụng bất đẳng thức biến phân toán tối ưu Bài toán 3.6 Cho (V, · ) không gian Banach R, a dạng song tuyến tính liên tục, V Khi đó, với tập lồi, đóng K phiếm hàm tuyến tính liên tục f V tồn phần tử u ∈ K cho a(u, v − u) f (v − u), ∀v ∈ K Chứng minh Theo giả thiết mục 2.3.2 a Vb thỏa mãn định lý Stampacchia Vì vậy, tập lồi, đóng K Vb f ∈ Vb∗ tồn điểm u ∈ K cho f (v−u) a(u, v−u), ∀v ∈ 53 K Mà, V Vb đẳng cấu nên K tập lồi, đóng V , f phiếm hàm tuyến tính liên tục V Nhận xét 3.5 Bài toán 3.6 mở rộng định lý Stampacchia không gian Banach Bài toán 3.7 Giả sử, điểm u nghiệm toán biến phân đối xứng 2.1 u cực tiểu hàm toàn phương Q(v) = a(v, v) − 2F (v), ∀v ∈ V Chứng minh Với v ∈ V , ta có Q(v) − Q(u) = a(v, v) − 2F (v) − (a(u, u) − 2F (u)) = a(v, v) − 2F (v) − a(u, u) + 2F (u) = a(v, v) − a(u, v) − a(u, v) + a(u, u), (vì u ∈ V, a(u, u) = F (u), a(u, v) = F (v)) Suy Q(v) − Q(u) = a(v − u, v) − a(u, v − u) = a(v − u, v − u) (tính chất đối xứng a(·, ·)) Vậy Q(v) 0, Q(u), ∀v ∈ V Cụ thể, toán 3.3 u cực tiểu dạng toàn phương k∇v∇v + rv dx − Q(v) = Ω f vdx, v ∈ H01 Ω Trong toán 3.4 u cực tiểu dạng toàn phương f vdx, v ∈ H01 (−v∆v) dx − Q(v) = Ω Ω Nhận xét 3.6 Chương chứng minh vài ứng dụng định lý Lax-Milgram phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng tối ưu hoá Đây số lớp phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng có nghiệm Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề tính nghiệm toán biến phân dựa định lý Lax-Milgram ứng dụng định lý Lax-Milgram Cụ thể, luận văn đã: Chứng minh định lý Lax-Milgram không gian Hilbert Chứng minh dạng mở rộng định lý Lax-Milgram không gian Banach Chứng minh tính chất nghiệm số phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, chứng minh dạng mở rộng định lý Stampacchia không gian Banach Tác giả chứng minh dạng mở rộng định lý Banach-NeˇcasBabuˇska không gian Banach phản xạ mà [13] nêu nội dung định lý mà không chứng minh Trong toán 3.5 (phương trình đạo hàm riêng Elliptic tổng quát) tác giả đưa điều kiện (3.26) chứng minh toán 3.5 có nghiệm suy rộng Đề tài định lý Lax-Milgram ứng dụng đề tài có tính thời nghiên cứu nhiều năm gần Tác giả luận văn hy vọng tương lai có đóng góp có ý nghĩa cho hướng nghiên cứu 54 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [4] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [5] J P Aubin (1979), Applied Functional Analysis, John Wiley & Sons, New York [6] D Braess (1997), Finite Elements Theory Fast Solvers and Applications in Solid Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge, second edition [7] Lokenath Debnath, Piotr Mikusinski (1990), Hilberts spaces with applications, Academic Press, USA 55 56 [8] Dimosthenis Drivaliaris, Nikos Yannakakis (2007), "Generalizations of the Lax-Milgram Theorem", Hindawi Publishing Porporation, (Volume 2007(2007), Article ID 87104, pages doi:10.1155/2007/87104) [9] T L Hayden (1968), "Representation theorems in reflexive Banach spaces", Mathematische Zeitschrift, vol 104(5), 405-406 [10] Johnson, Claes (1987), Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press ISBN 0521345146 [11] Peter D Lax (2002), Function Analysis, John Wiley & Sons, Inc [12] R E Megginson (1998), An Itroduction to Banach space Theory, Springer-Verlag, New York [13] Jeff Ovall (2008), "Lax-Milgram and B-N-B Theorem" [14] S Ramaswamy (1980), "The Lax-Milgram Theorem for Banach Spaces", Proc Japan Acad, (Vol 56(A)), 462–464 [15] J Saint Raymond (1997), "A generalization of Lax-Milgram’ s theorem", Le Matematiche, vol LII(I), 149-157 [16] B Ricceri (1987), "Exitstence theorems for nonlinear problems", Rendiconti dell’Accademia Nazionale delle Scienze, Memorie di Matematica, Vol XI(5), 77–99 57 [17] Vitoriano Ruas, Paolo R Trales (2002), "A global theory on variational approximations of linear problems: some remarkable applications"Mecánica Computacional, Vol.XXI, 1517-1530 [18] Nguyễn Đông Yên, Bùi Trọng Kim (2001), "Linear operators satisfying the assumptions of some generalized Lax-Milgram theorems", Acta Mathematica VietNamica, vol 26(3), 407-417 [19] E Zeidler (1991), Appiled functional analysis applications to mathematical physics, Springer-Verlag, New York