Lời cảm ơn Trong trình thực đề tài, nhận đ-ợc giúp đỡ, tạo điều kiện tốt từ Ban Giám hiệu, tổ chuyên môn, tổ chức đoàn thể nhà tr-ờng, đặc biệt thầy cô tổ Toán - Lý - Tin đóng góp ý kiến quý báu để đề tài hoàn thiện Nhân dịp này, xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu, tổ chuyên môn, tổ chức đoàn thể nhà tr-ờng THPT Nguyễn Thị Giang, đặc biệt thầy cô tổ Toán - Lý - Tin nói chung, thầy cô nhóm Toán nói riêng, giúp đỡ trình nghiên cứu Đề tài chắn không tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đ-ợc đóng góp thầy cô độc giả để đề tài đ-ợc hoàn thiện Vĩnh T-ờng, ngày 15/04/2014 Ng-ời thực đề tài: Hạ Trọng Liên Mục lục Mở đầu Kiến thức liên quan 1.1 Nguyên hàm tích phân bất định 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các công thức tính họ nguyên hàm (tích phân bất định) 10 1.1.3 Một số ph-ơng pháp tìm họ nguyên hàm 11 1.2 Tích phân xác định 21 1.2.1 Định nghĩa 21 1.2.2 Tính chất 22 b 1.2.3 Ph-ơng pháp tính tích phân xác định I = f (x)dx 22 a Ph-ơng pháp giải số dạng tích phân xác định 25 2.1 Tích phân hàm hữu tỉ hàm hữu tỉ hóa 25 2.1.1 Ph-ơng pháp tam thức bậc hai 26 2.1.2 Ph-ơng pháp phân tích 26 2.1.3 Ph-ơng pháp đổi biến số 28 2.1.4 Ph-ơng pháp tích phân phần 30 2.1.5 Sử dụng ph-ơng pháp khác 31 2.2 Tích phân hàm vô tỉ 33 2.2.1 Sử dụng nguyên hàm 33 2.2.2 Ph-ơng pháp đổi biến 34 2.2.3 Ph-ơng pháp tích phân phần 38 2.2.4 Sử dụng ph-ơng pháp khác 39 2.3 Tích phân hàm l-ợng giác 42 2.3.1 Biến đổi, sử dụng nguyên hàm 43 2.3.2 Ph-ơng pháp đổi biến 46 2.3.3 Ph-ơng pháp phần 48 2.3.4 Sử dụng nguyên hàm phụ 49 2.4 Tích phân hàm siêu việt 51 2.4.1 Biến đổi, sử dụng nguyên hàm 51 2.4.2 Ph-ơng pháp đổi biến 52 2.4.3 Ph-ơng pháp tích phân phần 53 2.4.4 Kết hợp nhiều ph-ơng pháp 55 2.5 Tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối 57 2.6 Công thức tích phân truy hồi 60 2.6.1 Ph-ơng pháp phân tích 60 2.6.2 Ph-ơng pháp đổi biến 61 2.6.3 Ph-ơng pháp phần 63 Kết luận h-ớng phát triển đề tài 65 Tài liệu tham khảo 66 mở đầu I Lí chọn đề tài Để đáp ứng đ-ợc yêu cầu thời đại mới, năm qua, ngành giáo dục không ngừng tổng kết kinh nghiệm, đổi mặt, có đổi ph-ng pháp dạy học, thay ph-ơng pháp truyền thụ áp đặt ph-ơng pháp tích cực, sáng tạo Ng-ời giáo viên đóng vai trò tổ chức định h-ớng, phát huy tính chủ động tích cực học sinh để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức, hình thành kĩ năng, xây dựng giới quan nhân cách Môn Toán có vai trò quan trọng việc thực mục tiêu chung ch-ơng trình giáo dục phổ thông Mục tiêu chung môn Toán là: Cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng, ph-ơng pháp Toán học phổ thông, bản, thiết thực Góp phần quan trọng vào việc phát triển lực trí tuệ, hình thành cho học sinh ph-ng pháp luận đặc tr-ng Toán học, cần thiết cho thực tiễn sống Từ hình thành phát triển cho học sinh phẩm chất đạo đức, tác phong lao động khoa học, ý chí khả tự học, tạo sở để học sinh tiếp tục học lên ĐH, CĐ THCN vào thực tiễn sống Ng-ời giáo viên dạy Toán muốn dạy tốt cần phải th-ờng xuyên tổng kết, rút kinh nghiệm giảng dạy, để thiết kế giảng có tính hệ thống tính s- phạm cao Phép tính tích phân nội dung chủ yếu ch-ơng trình toán THPT Vì vậy, việc học tốt nội dung cần thiết em học sinh Phép tính tích phân phép tính giải tích Không thế, phép tính tích phân giúp giải lớp toán tính diện tích thể tích vật thể, lớp toán giới hạn nhiều toán khác Từ đó, ta thấy đ-ợc tầm quan trọng toàn tích phân Tuy nhiên, để sử dụng ứng dụng tích phân cách triệt để việc thành thạo dạng tích phân, ph-ơng pháp giải chúng điều vô quan trọng Cho đến nay, ph-ơng pháp giải dạng tích phân đ-ợc nghiên cứu đầy đủ sâu sắc Tuy nhiên, để có thêm tài liệu tham khảo cho học sinh, muốn tổng hợp lại số dạng tích phân ph-ơng pháp tính tích phân đề tài: Ph-ơng pháp tính số dạng tích phân ch-ơng trình THPT II Mục đích nhiệm vụ Mục đích Với lí trên, đặt mục đích nghiên cứu trình bày sở lí thuyết ph-ơng pháp tính số dạng tích phân có ví dụ minh hoạ, cuối đ-a số tập đề nghị Nhiệm vụ Nhiệm vụ thực đề tài là: - S-u tầm nghiên cứu tài liệu tham khảo có liên quan đến vần đề đề tài - Xây dựng đề c-ơng tổng quát đề c-ơng chi tiết - Thực nội dung nghiên cứu đề tài: tập hợp trình bày xác kiến thức liên quan đến tích phân ph-ơng pháp giải - Thông qua nội dung nghiên cứu đề xuất h-ớng pháp triển đề tài III Ph-ơng pháp nghiên cứu - Ph-ơng pháp nghiên cứu lí thuyết: Tập hợp, s-u tầm nghiên cứu tài liệu, quán hoá trình bày hoàn chỉnh nội dung kiến thức liên quan đến đề tài - Ph-ơng pháp thảo luận nhóm, tham khảo ý kiến chuyên gia IV Cấu trúc đề tài Nội dung đề tài đ-ợc trình bày thành hai ch-ơng Ch-ơng kiến thức liên quan: trình bày số kiến thức liên quan nh- nguyên hàm, công thức nguyên hàm, số ph-ơng pháp tính nguyên hàm, định nghĩa tích phân xác định, tính chất ph-ơng pháp tính Ch-ơng hai trình bày nội dung đề tài ph-ơng pháp giải số dạng tích phân xác định nh-: Tích phân hàm hữu tỉ, Tích phân hàm vô tỉ, Tích phân hàm l-ợng giác, Tích phân hàm siêu việt, Tích phân hàm chứa trị tuyệt đối Ch-ơng Kiến thức liên quan 1.1 Nguyên hàm tích phân bất định 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.1 Nhắc lại khái niệm vi phân Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a; b) có đạo hàm x (a; b) Cho x số gia x cho: x + x (a; b) Khi ta gọi tích f (x)x y x vi phân hàm số y = f (x) x ứng với số gia x kí hiệu dy df (x) Nh- ta có: dy = y x (1); df (x) = f (x)x (1 ) Mặt khác, với y = x ta có dy = dx = x x dx = x (2) Thay (2) vào (1) (1'), ta đ-ợc: dy = y dx (3); df (x) = f (x)dx (3 ) 1.1.1.2 Định nghĩa nguyên hàm a) Định nghĩa Hàm số F (x) đ-ợc gọi nguyên hàm hàm số f (x) khoảng (a; b) F (x) = f (x), x (a, b) b) Định lý (Ta thừa nhận định lý này) Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng (a; b) thì: i) Với số C, F (x) + C nguyên hàm f (x) khoảng ii) Ng-ợc lại, G(x) nguyên hàm f (x) khoảng (a.b) viết G(x) = F (x) + C (C = const) Khi đó: {F (x) + C, C R} đ-ợc gọi họ nguyên hàm f (x) khoảng (a; b) c) Tính chất Tính chất Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x), H(x) nguyên hàm hàm số h(x) thì: i) F (x) + H(x) nguyên hàm hàm số f (x) + h(x) ii) F (x) H(x) nguyên hàm hàm số f (x) h(x) Tính chất Nếu F (x) nguyên hàm hàm số h(x), k số thực kF (x) nguyên hàm hàm số kf (x) Tổng quát: k1 , k2 , , kn số thực F1(x), F2 (x), , Fn (x) lần l-ợt nguyên hàm hàm số f1 (x), f2 (x), , fn (x) k1 F1(x)k2 F2(x)ã ã ã kn Fn (x) nguyên hàm hàm số k1 f1(x) k2 f2(x) ã ã ã kn fn (x) 1.1.1.3 Định nghĩa tích phân bất định a) Định nghĩa Họ nguyên hàm hàm số f (x) khoảng (a; b) gọi tích phân bất định hàm f (x) Kí hiệu: f (x)dx = F (x) + C, đó: f (x)dx Nh- vậy, ta có: C số tuỳ ý dấu tích phân bất định f (x) Hàm số d-ới dấu tích phân bất định f (x)dx biểu thức vi phân d-ới dấu tích phân bất định Chú ý Họ nguyên hàm hàm số f (x) khoảng (a; b) tích phân bất định f (x) khoảng b) Tính chất Giả sử F (x) nguyên hàm hàm số f (x) Khi đó, ta có: F (x)dx = F (x) + C d f (x)dx = f (x)dx [f (x) g(x)]dx = f (x)dx g(x)dx f (x)dx = f (x) kf (x)dx = k f (t)dt = F (t) + C n f (x)dx ki fi (x)dx = f (u(x))u (x)dx = F (u(x)) + C n i=1 ki fi (x)dx i=1 c) Sự tồn nguyên hàm Ta thừa nhận định lí: Mọi hàm số f (x) liên tục [a; b] có nguyên hàm đoạn Chú ý Để tính f (x)dx ta phải tìm hàm số cho đạo hàm f (x) 1.1.2 Các công thức tính họ nguyên hàm (tích phân bất định) 1.1.2.1 Bảng họ nguyên hàm dx = x + C x dx = x+1 + C ( = 1) +1 dx = ln |x| + C x ex dx = ex + C ax + C (0 < a = 1) a dx = ln a x cos xdx = sin x + C sin xdx = cos x + C dx = tan x + C cos2 x dx = cot x + C sin2 x Bảng 10 1.1.2.2 Các họ nguyên hàm mở rộng u+1 + C ( = 1) u u dx = +1 u dx = ln |u| + C (u = 0) u 1 dx = ln |ax + b| + C (a = 0) ax + b a eax+b dx = eax+b + C (a = 0) a cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a sin(ax + b)dx = cos(ax + b) + C a 1 dx = tan(ax + b) + C cos2 (ax + b) a 1 cot(ax + b) + C dx = a sin2(ax + b) Bảng 1.1.3 Một số ph-ơng pháp tìm họ nguyên hàm Cơ sở lý thuyết ph-ơng pháp tìm họ nguyên hàm ta tìm cách đ-a nguyên hàm nguyên hàm (hoặc mở rộng) đ-ợc trình bày phần 1.1.2 Trong phần này, ph-ơng pháp đ-a một, hai ví dụ minh hoạ Chúng ta, nghiên cứu ph-ơng pháp ch-ơng Ph-ơng pháp Biến đổi, áp dụng công thức họ nguyên hàm Ph-ơng pháp ta dùng với tập bản, ta dùng phép biến đổi thông th-ờng để đ-a nguyên hàm Ví dụ Tính họ nguyên hàm sau: a) c) (2x + 5)4 dx e2x dx e2x + b) d) Giải 11 sin3 x cos xdx (ln x + 3)2 dx x c) Chia tử mẫu cho 9x ta đ-ợc x 2x I= = 1 ln ln 43 2 dx = 1 2x 2x x d 43 ln 43 2x +1 x= = ln d x 2x ln ln ln ln 2.4.2 Ph-ơng pháp đổi biến Ví dụ Tính tích phân sau e + ln x dx a) I = 2x 1 (1 + ex )2 c) I = dx ex b) I = e d) I = etan x+2 dx cos2 x ln xdx x[(ln x)2 + 1] Giải dx x Đổi cận: x = t =0;x = e t = Khi 1 2+t 2 dt = (2 + t)3 = I= 3 0 dx b) Đặt: t = tan x + dt = cos2 x Đổi cận: x = t = 2; x = t = Khi a) Đặt: t = ln x dt = 3 t I= c) Đặt: t = ex dt = ex dx t = e2 (e 1) e dt = e 2 Đổi cận: x = t = 1; x = t = e Khi e I= e (1 + t)2 dt = t t 1 e 1 (1 + + )dt = (t + ln t ) = e + t t t e dx x Đổi cận: x = t = 0; x = e t = Khi đó, ta có: d) Đặt: t = ln x dt = 1 tdt = t2 + I= 0 1 dt2 = ln(t ln + 1) = t2 + 2 52 2.4.3 Ph-ơng pháp tích phân phần Đây ph-ơng pháp để tính tích phân hàm siêu việt sau b P (x)exdx Dạng Tính I = a P R[x] ( R ) Khi đó, ta đặt: u = P (x) dv = ex dx b b x Dạng Tính I = e a Khi đó, đặt ex sin xdx ) với , = cos xdx ( I = a u = cos x dv = exdx u = sin x dv = ex dx b x ln xdx Dạng Tính I = a ( R\{1}) Khi đó, đặt: u = ln x dv = x dx Ví dụ Tính tích phân sau 1 x2 ex dx a) I = x ln(1 + x2 )dx b)I = 0 c) I = (x 1) cos xdx d) I = ex sin2 (x)dx Giải a) Đặt u = x2 dv = ex dx du = 2xdx v = ex Khi đó, ta có: 1 I = x2 ex xex dx = + 2I1 e +2 0 53 (1) +) Tính I1 = xex dx u = x du = dx Đặt : dv = ex dx v = ex Khi đó, ta có: x 1 + e dx = ex e x I1 = xe =1 e Thay vào (1), ta đ-ợc: =2 I = +2 e e e 2xdx u = ln(1 + x2 ) du = + x2 b) Đặt x2 dv = xdx v = Khi đó, ta có: 1 x3 dx x ln x2 ln(1 + x ) x = I= 2 + x2 1+x 0 x2 1 ln 2 ln(1 + x ) = ln = 2 2 u = x du = dx c) Đặt dv = cos xdx v = sin x dx sin xdx = ( 1) + cos x Khi đó, ta có:I = (x 1) sin x 0 du = sin x cos xdx u = sin2 x d) Đặt v = ex dv = ex dx x Khi đó, ta có: I = e sin x ex sin(2x)dx = J 0 +) Tính J = ex sin(2x)dx u = sin(2x) du = cos(2x)dx Đặt dv = ex dx v = ex x Khi đó, ta có: J = e sin(2x) ex cos(2x)dx = 2K 0 54 = +) Tính K = ex cos(2x)dx du = sin(2x)dx u = cos(2x) Đặt v = ex dv = ex dx x Khi đó, ta có: K = e cos(2x) ex sin(2x)dx = e + +2 0 Suy J = 2K = 2(e + 2J ) = 2e J J = 2e 2 (e 1) Suy I = J = = + 4 + 2e + 2.4.4 Kết hợp nhiều ph-ơng pháp Ví dụ Tínhcác tích phân sau a) I = ln(x + x2 + 1)dx e b) I = ln 1 + ln2 x dx x Giải a) Biến đổi I dạng ln(x + I= x2 + 1)dx + ln(x + x2 + 1)dx = I1 + I2 +) Tính I1 Đặt: x = t dx = dt Đổi cận: x = t = 2; x = t = Khi I1 = ln(t + t2 + 1)dt = ln(t + ( ln(t + t2 + 1) hàm lẻ) 2 ln(t + = t2 + 1)dt t2 + 1)dt = Suy I = I2 + I2 = e ln + ln2 x dx = b) Ta có I = x ln(x + x2 + 1)dx = I2 e ln(1 + ln2 x) dx x 55 Đặt: t = ln x dt = dx x 1 Đổi cận: x = t = 0; x = e t = Khi I = ln(1 + t2 )dt 30 u = ln(1 + t2 ) 2t du = Đặt dtv = t Khi đó, ta có: + t2 dv = dt 1 2 2t dt = ln dt I = t ln(1 + t2 ) 2 + t + t 0 = (ln 2) + 3 ln 2 dt + I1 = 1+t 3 +) Tính I1 0) Giải +) Tr-ờng hợp 1: Nếu a x a < 0, x [0, 1] Khi x(x a)dx = I = 58 x3 ax2 = a +) Tr-ờng hợp 2: Nếu < a < ta có: a x(x a)dx + I = x(x a)dx a a x ax = x3 ax2 + a3 a + = 2 a |x2 (a + 1)x + a|dx theo a Ví dụ Tính tích phân I = Giải Ta có 2 |(x 1)(x a)|dx = I= (x 1)|x a|dx +) Nếu a x a x [1, 2] ta có: 2 (x2 (a + 1)x + a)dx (x 1)(x a)dx = I = 1 a+1 x x + ax = = 3a +) Nếu < a < ta có: a (x 1)(x a)dx + I = (x a)(x a)dx a a x3 a + x + ax = (a 1)3 3a = x3 a + x + ax + 2 a +) Nếu a ta có: I= (x 1)(x a)dx = x3 a + x + ax 59 = 3a Bài tập đề nghị Tính tích phân sau x3 2x2 + xdx I1 = I2 = |x2 2x + m|dx I3 = |x3 2x2 x + 2|dx I4 = 1 |2x 4|dx I5 = + sin xdx |ex t|dx t R I6 = 0 Đáp án: I1 I3 I4 I6 24 + I2 = = 15 m m = (1 m) + 3m < m < m m 37 I5 = + = 12 ln (t + 1) e t e = 2t ln t 3t + e + < t < e e (t + 1) t 2.6 Công thức tích phân truy hồi chủ đề này, sử dụng ph-ơng pháp nh- phân tích, đổi biến, phần (nội dung ph-ơng pháp này, xét phần tr-ớc) Bây áp dụng vào dạng tích phân truy hồi 2.6.1 Ph-ơng pháp phân tích Ví dụ Cho In = tan2n xdx a) Chứng minh In > In+1 60 b) Thiết lập hệ thức liên hệ In In1 1 c) Chứng minh < In < 2(2n + 1) 2(2n 1) Giải a) với x [0, ] ta có tan x tan2(n+1) x tan2n x tan2(n+1) xdx < tan2n xdx In > In+1 với n b) Ta có tan2n2 x tan2 xdxdx = In = 2n2 tan 2n2 xd tan x = 1)dx cos2 x = tan2n2 x( tan tan2n1 x xdx = 2n 1 In1 2n 1 2n c) Theo phần a) dãy số In giảm, +) 2In = In + In < In + In1 = 2n 1 +) 2In = In + In > In + In+1 = 2n + Suy 1 < In < 2(2n + 1) 2(2n 1) hay In + In1 = 2.6.2 Ph-ơng pháp đổi biến Ví dụ Cho In = (1 x2 )n dx; n Z+ a) Thiết lập hệ thức liên hệ In In1 b) Tính In Giải 61 In1 dx = cos tdt Đổi cận: x = t = 0; x = t = Khi a) Đặt: x = sin t với t (1 sin2 t)n cos tdt = In = Đặt cos2n t cos tdt u = cos2n t dv = cos tdt du = 2n cos2n1 t sin tdt v = sin t Suy In = cos2n t sin t cos2n1 t sin2 tdt +2n 0 cos2n1 t(1 cos2 t)dx = 2n = 2n = 2n cos2n1 tdt 0 cos2n+1 tdt cos2(n1) t cos tdt 0 cos2n t cos tdt = 2n(In1 In ) Suy In = 2n In1 2n + b) Từ (1) ta có 2n 2n 2(n 1) In1 = In2 2n + 2n + 2(n 1) + 2n 2(n 1) ã ã ã I0 = ããã = 2n + 2n In = n n! = 3.5 (2n + 1) 2n n! dx = 3.5 (2n + 1) 62 (1) 2.6.3 Ph-ơng pháp phần xn ex dx Ví dụ Cho In = a) Chứng minh In > In+1 b) Thiết lập hệ thức liên hệ In In1 c) Tính In Giải a) Với x [0, 1], ta có: 1 xn+1 xn xn+1 ex dx < xn ex dx hay In > In+1 b) Đặt u = xn dv = ex dx du = nxn1 dx v = ex Khi đó, ta có: 1 In = xn ex Suy ex.n.xn1 dx = e nIn1 In = e nIn1 c) Theo phần b), ta có: In = e nIn1 = e n(e (n 1)In2 ) = e[1 n + n(n 1) ã ã ã + (1)n n!] + (1)n+1 n!I0 = e[1 n + n(n 1) ã ã ã + (1)n n!] + (1)n+1 n! ex dx = e[1 n + n(n 1) ã ã ã + (1)n n! + (1)n+1 n!] 63 Bài tập đề nghị Bài Cho In = xn xdx a) Thiết lập hệ thức liên hệ In In1 b) Tính In 1 Bài Cho In = n x(1 x2 )ndx x (1 x ) dx Jn = 0 a) Tính Jn b) Chứng minh In 2(n + 1) n = 0, 1, In+1 n+ In sin x cos x sin x + cos x c) Tính In+1 theo In tìm lim Bài Tính tích phân In = 2n+1 dx Đáp án Bài 2n In1 2n + 2n+1 n! b) In = 3.5.7 (2n + 3) Bài a) Jn = 2(n + 1) b) HD với x [0, 1] ta có x2 (1 x2 )n x(1 x2 )n 2(n + 1) In+1 In ; lim c) In+1 = =1 n+ In 2n + Bài 1 In1 với I0 = ln In = 2n a) In = 64 kết luận h-ớng phát triển đề tài - Với hai ch-ơng đề tài, đề tài giải đ-ợc mục đích nhiệm vụ đặt nghiên cứu, s-u tầm tài liệu, quán hoá trình bày sở lý luận, ph-ơng pháp giải số dạng tích phân theo loại hàm số Đề tài đ-a đ-ợc ví dụ minh hoạ, tập đề nghị có kết để học sinh tự giải - Với nội dung đ-ợc trình bày đề tài, mong muốn tài liệu tham khảo hữu ích cho em học sinh lớp 12, em ôn thi CĐ - ĐH, ng-ời yêu thích vấn đề - Do lực cá nhân thời gian hạn chế, đề tài không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đ-ợc ý kiến quý báu để đề tài đ-ợc hoàn thiện xác nhận thủ tr-ởng đơn vị Vĩnh T-ờng, ngày 15 tháng năm 2014 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung ng-ời khác Hạ Trọng Liên 65 Tài liệu tham khảo [1] Th.s Lê Hồng Đức Ph-ơng pháp giải toán luyện thi Đại học tập NXB Hà Nội, 2004 [2] Nhóm GV chuyên Toán tr-ờng THPT thành phố Hồ Chí Minh Phân loại ph-ơng pháp giải toán tích phân NXB trẻ, 2001 [3] Phan Huy Khải Giới thiệu dạng toán luyện thi Đại học phần II NXB Hà Nội, 2002 [4] Ngô Thúc Lanh (chủ biên) SGK Giải tích 12 (chỉnh lí hợp năm 2000) NXB GD [5] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (chủ biên) SGK Giải tích 12 NXB GD 2008 [6] Nguyễn Xuân Liêm Giáo trình giải tích tập 1, NXB GD, 2000 66 [...]... d-ới dấu tích phân Sau đó áp dụng công thức Newton - Leibnitz để tính tích phân xác định 1 Ph-ơng pháp tam thức bậc hai 2 Ph-ơng pháp phân tích 3 Ph-ơng pháp đổi biến 4 Ph-ơng pháp tích phân từng phần 5 Sử dụng các ph-ơng pháp khác Phần cơ sở lí thuyết của các ph-ơng pháp này đã đ-ợc trình bày ở ch-ơng 1 phần 1.1.3 ở phần này chúng ta sẽ áp dụng để tính nguyên hàm của các hàm số d-ới dấu tích phân Sau... (a) đ-ợc gọi là tích phân từ a đến b b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f (x) Ký hiệu là f (x)dx a (theo Giải tích lớp 12), vậy ta có: b b f (x)dx = F (x) = F (b) F (a) a a b f (x)dx chỉ phụ thuộc vào a, b, f mà không phụ thuộc vào Chú ý Tích phân a biến số Vì vậy, ta có thể viết: b b f (x)dx = a b f (u)du = a f (t)dt = ã ã ã a 1.2.1.2 ý nghĩa hình học của tích phân b f (x)dx Nếu... quen thuộc Sau đây là một số dạng cụ thể và cách phân tích x1 Ax + B dx phân tích thành +) Dạng I = 2 + bx + c ax x0 x1 x1 2ax + b dx I = dx + b 2 2 x0 ax + bx + c x0 (x + 2a ) 4a2 x1 Ax2 + Bx + C dx phân tích thành +) Dạng I = 2 x0 ax + bx + c x1 x1 A x1 2ax + b I= dx + (x+ bdx dx + 2 2 2a ) 4a2 a x0 x0 ax + bx + c x0 x1 P (x) +) Dạng I = dx phân tích thành n x0 (x a) x1 dx x1 x1 dx dx + I =... b 1 b f (x)dx = f ()(b a) f () = f (x)dx ba a a b 1.2.3 Ph-ơng pháp tính tích phân xác định I = f (x)dx a Ph-ơng pháp 1 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz Chúng ta sẽ sử dụng tất cả các ph-ơng pháp đã nếu ở phần 1.1.3 để tìm nguyên hàm của hàm số d-ới dấu tích phân rồi sử dụng công thức Newton Leibnitz để tính tích phân xác định đó 22 Chú ý 1 Đối với ph-ơng pháp đổi biến: ta cũng dựa vào các dấu... = t(t3 1)dt = (t4 t) = Ta có: 3 t t 2 2 2 1 + x2 Bài tập đề nghị Tính các tích phân sau 4 1) I = 2 x(2 cos2 x 1)dx 2) I = 0 e 3) I = (x ln x)2dx 1 2 4) I = 0 ln(1 + x) dx x2 e2x sin 3xdx 0 Đáp án 2 8 7e3 1 3) I = 27 1) I = 3 2) I = ln 3 + 3 ln 2 2 3 2ex 4) I = 13 24 Ch-ơng 2 Ph-ơng pháp giải một số dạng tích phân xác định 2.1 Tích phân của các hàm hữu tỉ và các hàm có thể hữu tỉ hóa ở bài toán... có: Bài tập đề nghị Tính các tích phân sau 5 1 2x2 + 4x 3 2x + 3 dx I2 = dx I1 = 2 2 2 x 4x + 3 3 x + 6x + 13 1 1 + x4 2 xdx I3 = dx I = 4 6 1 + x 2 + x + 2x 0 1 a 1 dx dx (a > 1) I5 = (a > 1) I = 6 2 2 1 x(x + 1) a x (x + 1) Đáp án: 1 5 I1 = ln 2 I2 = 4 4 ln 2 I3 = 2 8 3 1a 1a 2a 2a + I6 = ln + I5 = ln I4 = 3 3 a + 1 2(a + 1) a+1 a 32 2.2 Tích phân của các hàm vô tỉ Để tính tích phân của các... hàm vô tỷ chúng ta cần linh hoạt lựa chọn ph-ơng pháp thích hợp để tìm nguyên hàm của hàm d-ới dấu tích phân sau đó áp dụng công thức Newton - Leibnitz để tính tích phân Các ph-ơng pháp chú ý để xác định nguyên hàm của các hàm vô tỷ là: 1 Sử dụng nguyên hàm cơ bản 2 Ph-ơng pháp đổi biến 3 Ph-ơng pháp tích phân từng phần 4 Sử dụng các ph-ơng pháp khác Các ph-ơng pháp này cũng là những ph-ơng pháp cơ bản... ở phần này chúng ta cần chú ý khi đổi biến phải đổi cận lấy tích phân Nếu tích phân có dạng I = x1 xk1 P (xk )dx x0 Q(xk ) ; trong đó P, Q là hai đa thức Ta thực hiện phép đổi biến sau Đặt t = xk dt = dxk = kxk1 dx Đổi cận x = x0 t = t0 = xk0 , x = x1 t = t1 = xk1 28 x1 (x)P [(x)] dx thì ta đặt t = (x) Q[(x)] x0 Ví dụ 3 Tính các tích phân sau 1 2 1 + x2 xdx a) I = dx b) I = (Khối A-2004) 4 1... v= +1 Các ví dụ Ví dụ 1 Tính I = (4x + 1) sin xdx Giải áp dụng ph-ơng pháp tích phân từng phần, ta đặt: u = 4x + 1 du = 4dx dv = sin xdx v = cos x Khi đó: I = (4x + 1) sin xdx = (4x + 1)( cos x) ( cos x)4dx = 4 sin x (4x + 1) cos x + C Ví dụ 2 Tính tích phân bất định I = (4x + 1) ln xdx Giải áp dụng ph-ơng pháp tích phân từng phần, ta đặt: u = ln x du = dx x dv = (4x + 1)dx v = 2x2... + I = + ã ã ã + 2 n x0 x a x0 (x a) x0 (x a) 26 x1 P (x)dx phân tích thành 2 x0 (ax + b)(mx + nx + p) x1 dx x1 Bx + C I =A + dx 2 + nx + p ax + b mx x0 x0 x1 P (x) +) Dạng I = dx phân tích thành 3 3 x0 x a x1 x1 x1 P (x)dx dx Bx + C = A + I= dx 2 2 2 2 x0 (x a)(x ax + a ) x0 x a x0 x ax + a x1 P (x)dx +) Dạng I = (a > 0) phân tích thành 4 + a2 x x0 x1 x1 P (x)dx P (x)dx I= = = ããã 4 2 2