Đang tải... (xem toàn văn)
Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích
Các công thức lượng giác I Các hệ thức bản: tan x = sin2x + cos2x = ⇒ sin2x = - cos2x = (1-cosx)(1+cosx) ⇒ cos2x = - sin2x = (1-sinx)(1+sinx) sin x cos x cos x sin x cot x = ; 1 + tan x = cos x ; tanx.cotx = 1 + cot x = ; sin x II Công thức nhân đôi – nhân ba: sin2x = 2sinx.cosx ⇒ sinx.cosx = sin3x = 3sinx – 4sin3x = sinx (3–4sin2x) cos3x = 4cos3x–3cosx =cosx(4cos2x–3) sin2x cos2x = cos2x - sin2x = (cosx-sinx)(cosx+sinx) = 2cos2x - = - 2sin2x tan x = tan x − tan x cot x = ; tan x − tan x tan x = − tan x cot x cot x − 10 cot x − 3cot x cot x = 3cot x − III Công thức hạ bậc: sin x = 11 cos x = (1– cos2x) 12 IV Công thức biểu diễn theo t = tan sin x = 14 2t 1+ t2 cos x = 15 tan x = (1+ cos2x) 13 − cos x + cos x x 1− t 1+ t2 tan x = 16 2t 1− t2 cot x = 17 1− t2 2t V Công thức quy gọn góc (góc có liên quan đặc biệt): 18 Hai cung đối nhau: sin(- x) = – sin x ; cos(- x) = cos x ; tan(-x) = – tan x 19 Hai cung bù nhau: ; tan( - x) = – tan x π sin( - x) = sin x 20 Hai cung phụ nhau: 21 Hai cung 22 Hai cung π π π sin π − x 2 π π ; cos( - x) = cos x = cos x ; : sin( + x) = – sin x ; : sin π + x 2 = cos x ; cos π − x 2 π = sin x ; cos( + x) = – cos x ; cos π + x 2 tan π 24 cos(x + k2 ) = cos x 25 tan(x + k ) = tan x 26 cot(x + k ) = cot x π π − x 2 π = cot x tan( + x) = tan x = – sin x ; tan 23 sin(x + k2 ) = sin x π π π + x 2 = – cot x VI Công thức cộng cung: 27 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 28 sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb 29 cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb tan a + tan b − tan a tan b 31 tan(a + b) = 30 cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb tan a − tan b + tan a tan b 32 tan(a - b) = II Công thức biến đổi tổng thành tích: a+b a −b 2sin cos 2 33 sina + sinb = a+b a −b cos cos 2 35 cosa + cosb = π 37 sinx + cosx = 39 sinx - cosx = cos 34 sina - sinb = −2 sin 36 cosa – cosb = π sin x + ÷ = cos x − ÷ 4 4 π π sin x − ÷ = − cos x + ÷ 4 4 VIII Công thức biến đổi tích thành tổng: sin ( a + b ) + sin ( a − b ) 2 41 sinacosb = sin ( a + b ) − sin ( a − b ) 2 43 cosasinb = a+b a −b sin 2 38 cotx + tanx = a+b a −b sin 2 sin 2x 40 cotx – tanx = 2cot2x 42 cosacosb = 44 sinasinb = cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 2 cos ( a − b ) − cos ( a + b ) 2 IX Một số công thức cần nhớ khác: 45 sin4x + cos4x = 46 sin6x + cos6x = 47 Họ nghiệm x = 1 − 2sin x cos x = − sin 2 x = + cos x 4 − 3sin x cos x = − sin 2 x = + cos x 8 α + k 2π x =α + 48 Họ nghiệm có điểm biểu diễn đường tròn lượng giác k 2π (n ≥ 2, n ∈ N ) n có n điểm biểu diễn cách ĐTLG X Bảng giá trị lượng giác số góc đặc biệt: Góc x/ GTLG sinx cosx 0 ( Rad) 300 ( π Rad) tanx cotx || 3 45 ( 600 ( 90 ( π π π 1200 ( 135 ( 1500 ( 1800 ( Rad) Rad) Rad) 2π Rad) 3π π 1 2 3 || 2 - Rad) 5π - Rad) Rad) - 3 - - -1 -1 3 - -1 - || Đại số tổ hợp – Xác suất Pn = n ! = 1.2.3 n Số hoán vị n phần tử là: Ank = Số chỉnh hợp chập k n phần tử là: Cnk = Số tổ hợp chập k n phần tử là: Cnk = Cnn −k n! = ( n − k + 1) ( n − k + ) n n − k)! ( Ak ( n − k + 1) ( n − k + ) n n! = n = k !( n − k ) ! k! 1.2 n Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n Nhị thức Newton: ( x + 1) n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + + Cnn−1 x + Cnn = Cnn x n + Cnn −1 x n −1 + + Cn1 x + Cn0 n = ( + 1) = Cn0 + Cn1 + + Cnn−1 + Cnn n = ( − 1) = Cn0 − Cn1 + Cn2 − + ( −1) Cnn = ( Cn0 + Cn2 + ) − ( Cn1 + Cn3 + ) ⇒ Cn0 + Cn2 + = Cn1 + Cn3 + n n 10 Nếu n t.hiện phép thử có nA P( A) = lần x.ra kiện A x.suất x.ra kiện A là: nA n Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân I Dãy số: Dãy số Dãy số Dãy số Dãy số Dãy số { un } { un } { un } { un } { un } un < un +1 ∀n ∈ N ∗ gọi đơn điệu tăng gọi đơn điệu giảm un > un +1 ∀n ∈ N ∗ bị chặn số thực M bị chặn số thực m bị chặn ∃no ∈ N ∗ : ∀n ∈ N ∗ , n ≥ no ⇒ un ≤ M ∃no ∈ N ∗ : ∀n ∈ N ∗ , n ≥ no ⇒ un ≥ m ∃M ∈ R, m ∈ R, no ∈ N ∗ : ∀n ∈ N ∗ , n ≥ no ⇒ m ≤ un ≤ M II Cấp số cộng: Dãy số { un } gọi cấp số cộng un = u1 + ( n − 1) d un +1 = un + d ( d = const ) với ∀n ∈ N * , d công sai un + k = uk + nd = un + kd Tổng n số hạng cấp số cộng là: un −1 + un +1 = 2un 1 S n = ( u1 + un ) n = nu1 + n ( n − 1) d 2 III Cấp số nhân: Dãy số { un } gọi cấp số nhân un = q n −1 u1 un +1 = quk ( q = const ) với ∀n ∈ N * un + k = q k un = q n u k S n = u1 Tổng n số hạng cấp số nhân là: , q công bội un +1 un −1 = un2 q −1 q −1 n Giới hạn d.số - Giới hạn h.số - Sự liên tục hàm số I Giới hạn dãy số: un − L < ε lim un = L ⇔ ∀ε > 0, ∃no ∈ N cho ∀n ∈ N , n > no un − L < ε lim un = ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃no ∈ N cho ∀n ∈ N , n > no ∃no ∈ N cho un ≤ vn∀n > no lim = ⇒ lim un = lim un = ∞ ⇒ lim =0 un lim nα = +∞ ( α > ) Nếu lim un = M lim nα = ( α < ) lim = N 11 thì: lim un lim un M = = lim N lim un = L > 0, lim = −∞ ⇒ lim ( un ) = −∞ lim un = L < 0, lim = +∞ ⇒ lim ( un ) = −∞ lim un = L < 0, lim = −∞ ⇒ lim ( un ) = +∞ u lim un = L > 0, lim = 0, > ⇒ lim n ÷ = +∞ u lim un = L > 0, lim = 0, < ⇒ lim n ÷ = +∞ u lim un = L < 0, lim = 0, < ⇒ lim n II Giới hạn hàm số: lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀x ∈( xo − δ ; xo + δ ) x → xo lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀x ∈( xo − δ ; xo + δ ) 1b x → xo f( x) − L < ε f( x ) > ε lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ cho ∀x < δ f ( x ) − L < ε lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ cho ∀x > δ f ( x ) − L < ε x →−∞ lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ , ∀x > δ f ( x ) > ε 2b lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ , ∀x < δ f ( x ) > ε x →+∞ x →+∞ lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀x ∈( xo ; xo + δ ) f ( x ) − L < ε x → xo+ lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀x ∈( xo − δ ; xo ) f ( x ) − L < ε x → xo− 3a lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀x ∈( xo ; xo + δ ) f ( x ) > ε x → xo+ lim f ( x ) = ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀x ∈( xo − δ ; xo ) f ( x ) > ε x → xo− 3b f ( x ) ≤ g ( x ) ∀x ∈( xo − δ ; xo + δ ) lim g ( x ) = ⇒ lim f( x ) = x →+∞ x →+∞ f ( x ) ≤ g( x ) ∀x ∈( xo − δ ; xo + δ ) , ∃ lim f ( x ) x → xo h( x ) ≤ f ( x ) ≤ g( x ) ∀x ∈( xo − δ ; xo + δ ) lim g ( x ) ⇒ lim f ( x ) ≤ lim g ( x ) x → xo x → xo x → xo lim h( x ) = lim g ( x ) = L ⇒ lim f ( x ) = L x → xo x → xo x → xo Các tính chất từ đến 11 phần giới hạn dãy số cho giới hạn hàm số III Sự liên tục hàm số: x = xo ⇔ lim f ( x ) = f ( xo ) f( x) liên tục ÷ = +∞ x →+∞ 2a ( N ≠ 0) lim un = L > 0, lim = +∞ ⇒ lim ( un ) = +∞ u lim un = L < 0, lim = 0, > ⇒ lim n ÷ = −∞ 1a q > ⇒ lim q n = +∞ lim ( un ± ) = lim un ± lim = M ± N lim ( un ) = lim un lim = M N 10 q < ⇒ lim q n = x → xo x → xo không liên tục (gián đoạn) không tồn f( x) ∀xo ∈ ( a; b ) ( a; b ) ⇔ f( x ) liên tục liên tục f( x) liên tục f( x) liên tục [ a; b] [ a; b] ⇔ f( x) liên tục lim f ( x ) ≠ f ( xo ) lim f ( x ) x = xo ⇔ f( x) ∀xo ∈ ( a; b ) x → xo lim f ( x ) = f ( a ) , lim− f ( x ) = f ( b ) x →a + x →b f ( a ) f ( b ) < ⇒ ∃c ∈ ( a; b ) cho f( c ) = Các công thức đạo hàm nguyên hàm I Các quy tắc tính đạo hàm: u = u( x ) Với hàm số ( u ± v ) ' = u '+ v ' v = v( x ) ta có: (k.u)’=k.u’ với k∈R (uv)’=u’v+uv’ y = y( u ) ; u = u( x ) ' u u ' v − uv ' ÷= v2 v Với hàm hợp ta có: y = y u ' x ' u ' x II Các công thức đạo hàm bản: y = y( x ) Đạo hàm hàm sơ cấp ( xα ) ' = α xα −1 α ≠ −1 với y = y( u ) ; u = u( x ) Đạo hàm hàm hợp ( uα ) ' = α u ' uα −1 α ≠ −1 với ' ' 1 ÷ =− x x 10 ( x) = x = ex (a ) = a x ln a x ' 14 (e ) x ' 12 ' 11 = 16 ( log a x ) 18 ( sin x ) ' ' x = (e ) = u ' eu (a ) = u ' au ln a u ' 15 ' ( u ) ' = 2u 'u u ' 13 ( ln x ) ( ln u ) ' = 17 x ln a ( log a u ) 19 ( sin u ) = cos x 20 ' ' u' u = u' u ln a = u 'cos u 21 ( cos x ) 22 u' 1 ÷ =− u u ' ( cos u ) = − sin x 23 ' = −u 'sin u ( tan x ) ' cos x = 24 ( cot x ) ' ' = u' cos u ( cot u ) ' = −u ' sin u 25 −1 sin x = ( tan u ) 26 27 III Các phương pháp tính nguyên hàm: I = ∫ f (u ) u(' x ) dx u = u( x ) ⇒ du = u(' x ) dx Phương pháp đổi biến: Nếu đặt , ta I = ∫ udv = uv − ∫ vdu Phương pháp nguyên hàm phần: VI Các công thức nguyên hàm bản: dx xα +1 α x dx = +C (α ≠ −1) ∫ x = ln x + C α +1 ∫f (u ) du ∫ dx ∫x ∫ =− +C x dx =2 x + C x ∫ e dx = e x a ∫ cos x dx = sin x + C dx +C x ∫ cos x x = tan x + C dx ∫ a dx = ln a + C x ∫ sin x dx = − cos x + C 10 ∫ sin x = − cot x + C Các công thức biến đổi hàm mũ lôgarit I Các công thức biến đổi hàm mũ: m x−n = n n n x = x x n = n xm x n ( xy ) = x y n n n Nếu x >1 x xn = ÷ yn y α β x > x ⇔α > β xm x n = xm+n ( x m ) = ( x n ) = x m.n n x m : x n = x m−n 10 Nếu < x x β ⇔ α < β II Các công thức biến đổi hàm lôgarit: log a = log a a = log a a n = n α = log a b ⇔ b = aα a > 0, a ≠ 1, b > Với ta có: b log a (bc) = log a b + log a c ( b > 0; c > ) log a ÷ = log a b − log a c log a b a =b c 8 log an b = log a b n = n log a b log a b = 11 15 Nếu log c b log c a a >1 log b a = log a b n log a b = log an b n = log n a n b 10 log b a 13 12 log a b > log a c ⇔ b > c log10 a = log a = lg a 16 Nếu < a log a c ⇔ b < c Các công thức cần nhớ số phức a, b ∈ R Số phức: z = a+bi với , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo i2 =1 i n = i n +1 = i i n + = −1 i n +3 = −i n∈ N Với ta có: , , , a + bi = c + di ⇔ Hai số phức nhau: a=c b=d z = OM = a + b2 Số phức z = a+bi b.diễn mptđ Oxy điểm M(a;b) Mô đun z z z = a + b z = a − bi Số phức liên hợp z = a+bi Ta có: ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i Phép cộng: ( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i Phép trừ: Phép nhân: Phép chia: ( a + bi ) ( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i a + bi ( a + bi ) ( c − di ) ( ac + bd ) + ( bc − ad ) i ac + bd bc − ad = = = + i c + di ( c + di ) ( c − di ) c2 + d c + d c2 + d a + bi = c + di ⇔ a + bi = ( c + di ) = ( c − d ) + 2cdi ⇔ a = c − d 2 10 Căn bậc hai: ax + bx + c = a, b, c ∈ R ; a ≠ 11 Xét phương trình bậc hai: - Nếu - Nếu - Nếu ∆=0 ∆>0 ∆