gv : Nguyễn Thò Hương Mai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH DƯƠNG PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ THUẬN AN TRƯỜNG THCS TRỊNH HỒI ĐỨC -o0o - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI : MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG GIẢI TỐN ĐẠI SỐ CẤP HAI TỔ : TỐN – TIN GIÁO VIÊN : NGUYỄN THỊ HƯƠNG MAI GIẢNG DẠY : 8A1 ; 9A5 ; 9A6 BỒI DƯỞNG HSG GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY SỐ ĐIỆN THOẠI : 09 03 769 265 ( 0650 3827 312) NĂM HỌC : 2011 - 2012 Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số gv : Nguyễn Thò Hương Mai KÍ HIỆU KHI ĐỌC SÁNG KIẾN NÀY :  Lời giải có sai lầm  Phân tích sai lầm TÀI LIỆU MƯỢN TRÍCH DẨN : Một số lời giải sử dụng báo Tốn Học Tuổi Trẻ Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số gv : Nguyễn Thò Hương Mai A GIỚI THIỆU : Các năm học vừa qua , tơi Ban Giám Hiệu nhà trường tin tưởng phân cơng dạy tốn lớp , thêm bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn ( Giải Tốn máy tính cầm tay ) Ban đầu tơi xúc , lo lắng liệu làm khơng , mặt nhà trường , lại năm học cuối cấp II Các em trải qua nhiều kỳ kiểm tra , thi học kỳ , tơi phát em thường nhầm lẩn cơng thức điều kiện tốn phần đại số Để nâng cao chất lượng giảng dạy nhằm đạt tiêu chí : “ Thầy dạy thật tốt , trò học thật tốt ” , tơi sử dụng phương pháp “ Nêu vấn đề ” cải tiến phương pháp giảng dạy nhằm tạo điều kiện kích thích cho học sinh biết cách tìm tòi , sáng tạo kiến thức cần nhớ , cần học Điều làm tơi trăn trở nhiều năm , tơi tìm cách vạch hướng phù hợp với học sinh Tơi tìm chọn lựa tập phù hợp với chương giảng dạy lớp lớp bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm đạt chất lượng tốt B.ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI : Thuận lợi : • Phần lớn học sinh thích thách thức , tìm tòi , phát tốt , hay sách giáo khoa , sách tham khảo , báo đài , Internet • Về nhà trường , bạn đồng nghiệp , ln tạo điều kiện giúp đở , học hỏi lẩn • Tủ sách thư viện trường đầy đủ , đội ngủ Tin học nhà trường giỏi nhiệt tình Khó khăn : • Sỉ số lớp đơng ( > 40 học sinh / lớp) ảnh hưởng nhiều đến việc tập trung vào giảng ; khó cho q trình theo dõi việc học tập em • Chất lượng học sinh khơng đồng , số em khơng nhớ kiến thức lớp , vẩn đến nhận thức khơng cao , tiếp thu khơng nên việc tự tìm tòi cách nhớ , cách học hạn chế Mặc dù nhiều khó khăn , tơi mong muốn học sinh tiếp thu tốt , đạt kết cao , tơi cố gắng nghiên cứu , tìm tòi , thực đề tài Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số gv : Nguyễn Thò Hương Mai C NỘI DUNG : I SAI LẦM KHI BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC : Những sai lầm biến đổi biểu thức thường mắc sử dụng đẳng thức (thay dùng đẳng thức) với điều kiện Đơi nhớ nhằm cơng thức Ví dụ : Rút gọn : 2 P = ( 1+ x) + ( 1− x)  Ta có : P = ( + x ) + ( − x ) =1+x+1–x =2 2  Cần nhớ : a = a với a ≥0 Nên ta sử dụng đẳng thức : a =a Lời giải : P = 1 + x  + 1 – x   xkhix >   2khi − ≤ x ≤ P=   −2 xkhix < −1 Ví dụ : Rút gọn Q = x x + − x3 + x Lời giải :  Q = x x + − x3 + x = x3 + x − x3 + x =  Có thể thay x = – vào Q ta : Q = −1 ( −1) + − ( −1) + ( −1) = −1 × − = −1 − = −2 Điều chứng minh kết sai ! sao?  Cần nhớ : a a = a 2b a≥ Lời giải x≥ Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số Q = x x + − x2 ( x + 2) = x x+2 − x x+2 = x+2( x− x ) 0khix ≥ = 2 x x + 2khi − ≤ x < gv : Nguyễn Thò Hương Mai 1+ Ví dụ : Rút gọn : S = 1+ 1+ x Lời giải : 1+  Rút gọn = 1+ 1+ 3x + 2x +1 x = x +1 S= 1+ 1+ x +1 x S= 1+ x +1 x 1 2x +1 = 1+ x = x +1 x +1 x +1 3x + = 1+ = 2x +1 2x +1 1+ x +1 2x +1 = 1+ = 2x +1 x +1 1+  Có thể thay x = hay x = –1 vào S ban đầu ta thấy S vơ nghĩa Nếu thay x = hay x = –1 vào kết cuối S lại giá trị xác định S (!) Sai đâu? Trong biến đổi ta qn đặt điều kiện để S có nghĩa  Cần nhớ : 1+  x ≠  với  x ≠ −1  x ≠ −  b = a a b ≠ ; a ≠ b Ta lưu ý thêm sai lầm sử dụng cơng thức biến đổi sau: Sai Đúng 3+2 3.2 (2 ) = = (2 ) = = 26 2n 2m ( a+ b = 2n m ) = ( a) +( b) 2 2n 2m = a+b ( a+ b = n+m ) =( a) 2 + ab + ( b) = a + ab + b với a ≥ ; b ≥ Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số gv : Nguyễn Thò Hương Mai II SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH: Khi giải phương trình bất phương trình ta thường sai lầm vi phạm quy tắc biến đổi phương trình , bất phương trình tương đương Đặt thiếu hay thừa điều kiện dẫn đến sai lầm, nhiều sai lầm khơng thể giải tiếp đến kết quả! Ví dụ 1: Giải phương trình : 3x3 – 6x2 – 9x = 9(x2 – 2x – 3) (1)  (1) ⇔ 3x (x2 – 2x – 3) = 9(x2 – 2x – 3) ⇔ 3x = ⇔ x =  Có thể thấy x = –1 nghiệm (1), sai lầm ta chia vế cho x2 –2x –  Cần nhớ : ab = cb ⇔ b(a – c) = Lời giải : (1) ⇔ (x2 – 2x – 3) (3x – 9) =  x ( x − ) + ( x − 3) = ( x − 3) ( x + 1) =  x2 − 2x − =  x − 3x + x − =  x = −1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = 3 x − = 3 x = x = x = Vậy ta có nghiệm x = –1 ; x = Ví dụ : Giải phương trình : − x3 + 3x + + x + = (1)  Điều kiện : ( x − 1) ( x + ) ≤ − x + 3x − ≥  x3 − 3x + ≤ x + ≤  x ≤ −2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   x ≥ −1  x ≥ −1 x +1 ≥  x ≥ −1  x ≥ −1 Vậy khơng tồn giá trị x để hai thức đồng thời có nghĩa nên phương trình vơ nghiệm  Có thể thay x = vào (1) hai thức đồng thời có nghĩa, x = nghiệm phương trình Ta sai giải bất phương trình : (x –1)2(x + 2) ≤ ⇔ x +2 ≤ Lời giải : Điều kiện :  x −1 =  x = ( x − 1) ( x + ) ≤ − x + 3x − ≥  x3 − 3x + ≤   ⇔ ⇔ ⇔   x + ≤ ⇔   x ≤ −2 ⇔ x =   x ≥ −1 x +1 ≥  x ≥ −1  x ≥ −1  x ≥ −1   Thử x = vào (1) ta có = nên x = nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình : x2 −1 − x + = x + Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số (1) gv : Nguyễn Thò Hương Mai ( x + 1) ( x − 1) ≥  x2 −1 ≥ x −1 ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x ≥1  Điều kiện :  x +1 ≥  x ≥ −1 x +1 ≥  x + ≥ Khi (1) ⇔ ( x + 1) ( x − 1) − x + = x + Vì x ≥ nên x + > 0, chia vế cho x + Ta có : x − – = x + Vì x ≥ x − < x + nên x − – < Vậy phương trình vơ nghiệm x +1 x −1 ≥ ( x + 1) ( x − 1) ≥ ⇔ ( Ta tưởng x +1 ≥  x + ≥ Sai lầm giải hệ:   A ×B ≥ A ≥ ⇔  A ≥ B ≥ ) Lời giải thiếu x = –1 nghiệm phương trình  A =   A ×B ≥  Bcó nghia ⇔  Cần nhớ :   A > A ≥    B ≥ Lời giải :  x ≥  x2 −1 ≥  x = −1 ( x + 1) ( x − 1) ≥  ⇔ ⇔   x ≤ −1 ⇔  Điều kiện :  x ≥ x +1 ≥  x + ≥  x ≥ −1   Thay x = –1 thỏa mãn phương trình  Vì x ≥ x − < x + nên x − – < x + Nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = –1 Ví dụ 4: Giải biện luận phương trình: a −5+ 2a + =0 x−2 (theo tham số a) (1) Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số gv : Nguyễn Thò Hương Mai  Điều kiện: x ≠ (1) ⇔ (a – 5)(x – 2) + 2a + = ⇔ ax – 2a – 5x +10 + 2a + = ⇔ ax -5x = – 15 ⇔ x(a – 5) = – 15  Nếu a ≠ x = 15 5−a  Nếu a = phương trình vơ nghiệm  Sai lầm khơng để ý x= trình 15 khơng nghiệm phương 5−a Vì nghiệm phải thỏa mãn x ≠ nên 15 = ⇔ a = − phương trình 5−a vơ nghiệm Lời giải phải bổ sung điều kết luận : a ≠   Nếu :   a ≠ − a =   Nếu :   a = − Ví dụ 5: Giải phương trình : x = 15 5−a phương trình vơ nghiệm x + x − = 16 Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số (1) gv : Nguyễn Thò Hương Mai  Điều kiện: x ≥ Ta có: (1) ⇔ x − =16 – 2x ⇔ x – = 256 – 64x + 4x2 ⇔ 4x2 – 65x + 259 = ⇔ 4x2 – 28x – 37x + 259 = ⇔ 4x(x – 7) – 37(x – 7) = 0⇔ (x – 7) (4x – 37) = ⇔ x = x = 37 Thỏa x ≥ Vậy phương trình có nghiệm x = hay x = 37 Sai lầm viết x − = 16 –2 x ⇔ x – = 256 – 64x +x2 b ≥  Cần nhớ : a = b ⇔  a = b Lời giải : (1) ⇔ 16 − x ≥ x − = 16 − x ⇔   x − = ( 16 − x ) (khơng cần điều kiện a ≥ 0) x ≤  x ≤  x = ⇔ ⇔  ⇔ x=7 4 x − 65 x + 259 =   x = 37   Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 6: Giải bất phương trình: x2 − 2x + Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số < (1) x+5 gv : Nguyễn Thò Hương Mai  (1) ⇔ x + < x − x − ⇔ ( x + ) < x − x − ⇔ x + 10 x + 25 < x − x − ⇔ 12 x + 28 < ⇔ x < − 1 < ⇔ b < a a b  ab >  1 a−b a > b >0 ⇔  Cần nhớ : < ⇔  ab < a b a.b   a < b  Sai lầm nghĩ : Lời giải : Điều kiện :  x >  x2 − x − >  ⇔   x < −1  x + ≠  x ≠ −5  +Nếu x +Nếu  x − − > v x + > − < x < −  Nên (1)⇔ x + < x − x − ⇔ ( x + ) < x − x − ⇔ x + 10 x + 25 < x − x − ⇔ 12 x + 28 < ⇔ x < − Kết hợp điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: –5 < x < − III SAI LẦM KHI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 10 gv : Nguyễn Thò Hương Mai  Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho số a – a ta có: a ( 1− a) ≤ a +1− a = 2 ⇒ a(1 – a) ≤  Vẫn sai lầm ví dụ a 1– a khơng âm a ∈ [ 0; 1] Lời giải : (1) ⇔ a – a2 ≤ 1 ⇔ a2 – a + ≥ ⇔ (a – )2 ≥ , ∀a 4 Ví dụ 3: Chứng minh : Nếu a ; b ; c > th́ : a 96 + b96 + c96 ≥ abc a 95 + b95 + c95  Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương , ta có : a96 + b96 + c96 ≥ 3 ( abc ) (1) v a95 + b95 + c95 ≥ 3 ( abc ) Các vế (1) (2) dương nên chia vế ta : 96 a 96 + b96 + c96 ≥ a 95 + b95 + c95 ( abc ) 95 ( abc ) 95 (2) 96 = abc A B ≥ C D Chẳng hạn : > > , khơng thể suy : > (?)  Sai lầm từ suy luận A ≥ B > v C ≥ D > để có  Cần nhớ : Bất đẳng thức Trbưsep : Ta có : 3(a.an + b bn + c cn) ≥ (a + b + c)( an + bn + cn ) , với a ; b ; c > Lời giải đng : Với vai trò bình đẳng a ; b ; c nên giả sử < a ≤ b ≤ c ⇒ a95 ≤ b95 ≤ c95 Áp dụng Bất đẳng thức Trbưsep , ta có : a 96 + b96 + c96 a + b + c ≥ (1) a 95 + b95 + c95 a+b+c ≥ abc (2) Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương , ta có : a 96 + b96 + c96 Từ (1) (2) ⇒ 95 95 95 ≥ abc ( Điều phải chứng minh ) a +b +c 3(a.a95 + b b95 + c c95) ≥ (a + b + c)( a95 + b95 + c95 ) ⇒ IV SAI LẦM KHI GIẢI CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ( TAM THỨC BẬC HAI ) : Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 12 gv : Nguyễn Thò Hương Mai Các sai lầm xuất giải tốn tam thức bậc khơng để ý đến giả thiết định lý vội vàng áp dụng lạm dụng suy diễn mệnh đề khơng đúng, xét thiếu trường hợp cần biện luận Ví dụ 1: Tìm m để A = ( m + 1) x − ( m − 1) x + 3m − , có nghĩa ∀x  A có nghĩa ∀x ⇔ f(x) = (m+1) x2 – (m –1 ) x + 3m – ≥ ; ∀x  m > −1 m + > a >  ⇔ ' ⇔ ⇔ m ≥ ⇔ m ≥ ∆ ≤ m − − m − m + ≤ ( ) ( ) ( )  x   m ≤ −2   Vậy m ≥ A có nghĩa ∀x  Cần nhớ : f(x) = ax2 + bx + c ≥ ; ∀x  a = b =   c ≥ ⇔  a >    ∆ ' ≤ Lời giải xét thiếu trường hợp a = Lời giải : A có nghĩa ∀x ⇔ f(x) ≥ ; ∀x m + =  m = −1 a = b =   ⇔ −2 ( m − 1) = ⇔  m = + Trường hợp 1:  c ≥ 3m − ≥ m ≥   Khơng có m để xảy trường hợp  m > −1  m + > a >  ⇔ ⇔ m ≥ ⇔ m ≥ +Trường hợp : ⇔  ∆ ' ≤   m ≤ −2 ( m − 1) − ( m − 1) ( m + 1) ≤  Tóm lại : m ≥ Ví dụ : Tìm m để phương trình : (m –1)x2 + (2m –1)x + m + = có nghiệm phân biệt Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 13 gv : Nguyễn Thò Hương Mai  Phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ (2m –1)2 – 4(m –1)(m+5) > 0–20m + 21 > ⇔ m <  Có thể với m = < 21 20 21 mà phương trình có nghiệm x = – 20  Cần nhớ : a ≠ ∆ ' > f(x) = ax2 + bx + c có nghiệm phân biệt  Lời giải : m ≠ a ≠ m − ≠  ⇔ ⇔ Phương trình có nghiệm phân biệt ⇔  21 ∆ > −20m + 21 > m < 20 21 Tóm lại: m ∈ (– ∞ ; 1) ∪ (1 ; ) 20 x − 2mx + 3m + ≤ ; ∀ x ∈ R (1) Ví dụ : Tìm m cho: x − mx +  (1) ⇔ x2 – 2mx + 3m +2 ≤ 2x2 – mx + ; ∀x ∈ R ⇔ x2 + mx – 3m ≥ ; ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ ⇔ m2 + 12m ≤ ⇔ –12 ≤ m ≤  Sai lầm nhân vế với 2x2 – mx + chưa biết dấu biểu thức Lời giải :Vế trái tồn ∀x ∈ R ⇔ 2x2 – mx + ≠ ;∀x ∈ R ⇔ 2x2 – mx + = vơ nghiệm ⇔ ∆ < ⇔ m2 –16 < ⇔ – < m < 2x2 – mx + > ; ∀x Nên :  −4 < m < −4 < m < ⇔  x − 2mx + 3m + ≤ x − mx + 2; ∀x ∈ R  x + mx − 3m ≥ 0; ∀x ∈ R  −4 < m <  −4 < m <  −4 < m < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −4 < m ≤ ∆ ≤ −12 ≤ m ≤  m + 12m ≤ ( 1) ⇔  2 Ví dụ 4: Biện luận số nghiệm theo m phương trình: m(x –1)(x + 96) + x = Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 14 gv : Nguyễn Thò Hương Mai  Gọi vế trái f(x) f(x) tam thức bậc 2, có f(1) = f( – 96) = – 96 ⇒ f(– 96 ) f(1) < ; ∀m ⇒ f(x) ln có nghiệm thuộc (– 96 ; 1) nghiệm ngồi [–96 ; 1] Tức với m phương trình ln có nghiệm phân biệt  Sai lầm chổ tưởng f(x) ln tam thức bậc Với m = th? f(x) = x có nghiệm x = Với m ≠ th́ lý luận Đáp số đúng: Với m = : phương trình có nghiệm Với m ≠ : phương trình có nghiệm V SAI LẦM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH : Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 15 gv : Nguyễn Thò Hương Mai Khi xét loại hệ phương trình thường xuất sai lầm từ ngun nhân khơng nắm vững phép biến đổi tương đương khơng để ý biện luận đủ trường hợp xảy Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình  x + y + xy = (1) có nghiệm  2  x y + xy = m  x + y + xy = Ta có : (1) ⇔  xy x + y = m )  ( a + b =  ab = m Đặt a = x + y ; b = xy Ta có  Theo định lý Viét đảo a ; b nghiệm phương trình : t2 –3t + m = (*) Hệ có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm ⇔ ∆ t ≥ ⇔ – 4m ≥ ⇔ m ≤  Lời giải tồn a b, theo định lý Viét đảo x, y nghiệm phương trình : z2 –az + b = Do hai ẩn x, y có nghiệm ⇔ hệ hai ẩn số a ; b có nghiệm thỏa mãn a – 4b ≥  a + b = ( 1)  ⇔ Hệ a ×b = m ( ) có nghiệm   a − 4b ≥ ( 3) Lời giải : Theo lý luận trên, đưa tốn tương đương : Tìm m để hệ gồm (1), (2) (3) có nghiệm Từ (1) ta có b = – a a ≥ Thay vào (3) : a – 4(3 – a) ≥ ⇔ a + 4a – 12 ≥ ⇔ a ≤ −6  Thế b = – a vào (2) ta có : a (3 – a) = m (4) Giá trị m thỏa mãn ⇔ (4) có nghiệm a ∉ ( – ; 2) Đây tốn tam thức bậc hai Kết m ≤ VI SAI LẦM KHI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT : Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 16 gv : Nguyễn Thò Hương Mai Những sai sai lầm tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số hay biểu thức nhiều ẩn thường vi phạm tính logic Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ A = (x + y)2 + (x + 1)2 + (y – 2)2 Với x y ∈ R : (x + y)2 ≥ ; (x + 1)2 ≥ ; (y – 2)2 ≥ Vậy A ≥ ; ∀ x ; y ∈ R Từ , ta có A =  Sai lầm lời giải khơng giá trị x y để A = Cần nhớ : A ≥ ; ∀ x ; y ∈ R tồn x0 ; y0 cho A = kết luận A = Đối với tốn khơng tồn x0 y0 để A = Lời giải : Ta có : A = (x + y)2 + (x + 1)2 + (y – 2)2 = x2 + 2xy + y2 + x2 + 2x + + y2 – 4y + 25 y2 + y + + y – 5y + + 2  y +1 y2 + y +1   25  + =  x + 2x ÷+  y − y + ÷+    2 = 2x2 + 2xy + 2x + 2 y +1   5  = 2 x + ÷ + y− ÷ +  2 3  Nên : A ≥ ; ∀ x ; y ∈ R −4 y +1    x =  x + = ⇔ Đẳng thức xảy ⇔  y − = y = 3   −4 Vậy A = x = ;y= 3 Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 17 gv : Nguyễn Thò Hương Mai Ví dụ : Tìm giá trị lớn B = xy Biết x + y2 = x + y Ta có : (x - y)2 ≥ ; ∀ x ; y ∈ R⇒ x2 + y2 ≥ 2xy ;∀ x ; y ∈ R⇒ x2 + y2 ≥ 2B ; ∀ x ; y ∈ R Đẳng thức xảy ⇔ x = y Thay x = y vào hệ thức cho ta có 2x2 = 2x ⇔ x = hay x = • Nếu x = y = nên B = • Nếu x = y = nên B = Vậy max B = x = y = Cần nhớ : B ≤ M với M số tồn x , y để B = M , kết luận max B = x = y = Lời giải sau chứng minh B≤ x2 + y x2 + y xem số (!)và mắc sai lầm ! 2 Lời giải : x + y = m  x + y = m x + y = m  ⇔ ⇔ Đặt : x + y = x + y = m  2 m2 − m x + y = m x + y − xy = m xy = ( )      2 m −m = có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ m2 – 2(m2 X y tồn ⇔ phương trình t − mt + 2 – m) ≥ ⇔ - m2 + 2m ≥ ⇔ ≤ m ≤ Xét B = xy = m2 − m với ≤ m ≤ • Nếu m = B = • Nếu m = x = y = , ta có max B = Đây kiến thức nhiều năm tơi dạy trường phổ thơng rút để sau tơi dạy tốt / D HIỆU QUẢ VÀ DẶN DỊ : Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 18 gv : Nguyễn Thò Hương Mai I HIỆU QUẢ CỦA ỨNG DỤNG: Hiểu nội dung sách giáo khoa đòi hỏi Nhắc lại vận dụng kiến thức tốn học theo hình xoắn ốc cách thơng minh Vận dụng kiến thức học nhiều năm vào tập cách thành thạo , linh hoạt , xác Qua kiểm tra 15 phút , tiết , học kỳ nhiều năm , em làm sai , cụ thể : Năm học : 2008 – 2009 , mơn Tốn đạt : khoảng 49% Trung bình Năm học : 2009 – 2010 , mơn Tốn đạt : khoảng 51% Trung bình Năm học : 2010 – 2011 , mơn Tốn đạt : khoảng 59% Trung bình Năm học : 2011 – 2012 , mơn Tốn đạt : khoảng 60,5 % Trung bình (HKI) II HƯỚNG DẨN HỌC SINH HỌC TẬP : Cố gắng chủ động tự học tập , rèn luyện kỷ vận dụng phương pháp học với tập ứng dụng Giáo viên cần động viên , kích thích em học sinh nhằm giúp em có phương pháp học tập tối ưu Rèn luyện tinh thần học hỏi say mê học tập , tạo lòng tin ,tự tin sáng tạo em học sinh : “ Muốn biết hỏi , muốn giỏi học ” ln tạo cho em học sinh có cầu tiến khơng ngừng Cần tìm tòi sách tham khảo tập tương tự , tập lạ để giải , phải có thái độ học tập kiên trì , nhẫn nại , giải tốn Đại số đòi hỏi em tập trung sức lực , tư tưởng dẻo dai bền bỉ tính tốn , có phải vận dụng nhiều kiến thức học qua nhiều năm , nhiều kiểu khác nhờ nhiều em tự đưa phương pháp nhẹ nhàn , nhanh gọn cho tốn khó Các em cần luyện thái độ học tập đắn cách thường xun , liên tục , biết vượt khó , khơng có đường đến thành cơng mà dể dàng , cần nổ lực hết minh , nhờ thành cơng có giá trị E KẾT LUẬN – ĐỀ NGHỊ : 1/ Kết luận: Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 19 gv : Nguyễn Thò Hương Mai • Qua thực tế áp dụng đề tài tơi nhận thấy để học sinh thực tích cực học tập người giáo viên phải có phương pháp giáo dục phù hợp,kích thích khả sáng tạo học sinh • Trong q trình giảng dạy để học sinh vận dụng kiến thức vào việc giải tập đòi hỏi giáoviên phải chuẩn bị chu đáo việc thiết kế giảng • Đối với tơi cho học sinh câu hỏi tập để học sinh chuẩn bị trước nhà u cầu tập câu hỏi chuẩn bị phải kích thích tư học sinh, biết vận dụng kiến thức liên quan, tượng đời sống sản xuất để đưa kiến thức • Giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt câu hỏi, tập chuẩn bị học sinh vào phần cho phù hợp với phương pháp giảng dạy • Giáo viên cho học sinh thảo luận theo chủ đề sau phần, chương để kích thích hứng thú học tập giúp học sinh củng cố kiến thức học 2/ Đề nghị Để thực tốt mục tiêu đổi giáo dục đòi hỏi người giáo viên phải khơng ngừng học tập nâng cao trình độ , phải có phương pháp dạy học tiên tiến tơi đề nghị : • Phải có đủ thiết bị, dụng cụ dạy học cần thiết • Cung cấp tư liệu kiến thức , kiến thức chun sâu tốn học cho giáo viên • Tạo điều kiện cho giáo viên học sinh tham quan sở sản xuất đồ gia dụng - may gia cơng quần áo , nhà máy chế tạo may mặc , cơng trình xây dựng trường hợp an tồn lao động F KINH NGHIỆM RÚT RA: + Đối với giáo viên: Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 20 gv : Nguyễn Thò Hương Mai • Nắm vững kiến thức kiến thức liên quan để thiết kế giảng với phương pháp tích cực để kích thích khả tự nghiên cứu học sinh • Có phương pháp phù hợp với học • Dành thời gian hỏi đáp nội dung đoạn, tiết dạy tạo hội thảo luận luận đối đáp với học sinh • Uốn nắn sữa chữa sai sót kịp thời học sinh + Đối với học sinh: • Say mê nghiên cứu • Cần chuẩn bị theo u cầu giáo viên • Tích cực chủ động học tập • Chủ động vận dụng kiến thức vào tập Đối với học sinh yếu giáo viên cần dành thời gian hỏi đáp nội dung phần , tiết dạy tạo hội cho học sinh hỏi Nếu học sinh khơng hỏi giáo viên phải hỏi để qua đánh giá kết tiếp thu kết giảng dạy Được giúp đở ban giám hiệu nhà trường , tổ chun mơn bạn đồng nghiệp dồi kinh nghiệm chun mơn , thân tơi học hỏi nhiều kinh nghiệm , biết cách giúp em học sinh làm tốn Đại số cách nhanh gọn , khoa học , xác , lời giải Đây kinh nghiệm tơi nhận thấy đem lại hứng thú học tập học sinh nhiên nhiều thiếu sót mong q đồng nghiệp góp ý bổ sung để sáng kiến kinh nghiệm hồn chỉnh có tác dụng phát huy tính tích cực học tập học sinh mơn Tốn học tơi trau dồi thêm kiến thức giảng dạy tốt Ngày 01 tháng 10 năm 2011 Người viết Nguyễn Thị Hương Mai Xét duyệt tổ chun mơn Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 21 gv : Nguyễn Thò Hương Mai ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… Xét duyệt Ban giám hiệu Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 22 gv : Nguyễn Thò Hương Mai ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… Xét duyệt Phòng Giáo Dục ………………………………………………………… Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 23 gv : Nguyễn Thò Hương Mai ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… Xét duyệt Sở giáo dục Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 24 gv : Nguyễn Thò Hương Mai ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… MỤC LỤC ĐỀ MỤC Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 25 gv : Nguyễn Thò Hương Mai Bìa Ký hiệu đọc sáng kiến tài liệu mượn trích dẩn Trang A Giới thiệu B Đặc điểm tình hình chọn đề tài • Thuận lợi • Khó khăn C Nội dung : I / Sai lầm biến đổi biểu thức →5 II / Sai lầm giải phương trình – Bất phương trình → 10 III / Sai lầm giải bất đẳng thức 11 → 12 IV / Sai lầm giải tốn phương trình bậc hai (Tam thức bậc hai ) 13 → 15 V / Sai lầm giải hệ phương trình 16 IV / Sai lầm tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ 17 → 18 D Hiệu dặn dò 19 E Kết luận đề nghị 20 F Kinh nghiệm rút 21 Xét duyệt tổ chun mơn 22 Xét duyệt Ban Giám hiệu 23 Xét duyệt Phòng Giáo Dục 24 Xét duyệt Sở Giáo Dục 25 Mục lục 26 Một số sai lầm thường gặp giải toán Đại số 26 [...]... và y0 để A = 0 Lời giải đúng : Ta có : A = (x + y )2 + (x + 1 )2 + (y – 2) 2 = x2 + 2xy + y2 + x2 + 2x + 1 + y2 – 4y + 4 1 3 25 1 y2 + y + + y 2 – 5y + + 2 2 6 3 2  2 y +1 y2 + 2 y +1  3  2 5 25  1 + = 2  x + 2x ÷+  y − 2 y + ÷+ 2 4 3 9  3   2 = 2x2 + 2xy + 2x + 2 2 y +1  3  5 1  = 2 x + ÷ + y− ÷ + 2  2 3 3  1 Nên : A ≥ ; ∀ x ; y ∈ R 3 −4 y +1    x = 3  x + 2 = 0 ⇔ Đẳng thức... 2mx + 3m + 2 ≤ 1 ; ∀ x ∈ R (1) Ví dụ 3 : Tìm m sao cho: 2 x 2 − mx + 2  (1) ⇔ x2 – 2mx + 3m +2 ≤ 2x2 – mx + 2 ; ∀x ∈ R ⇔ x2 + mx – 3m ≥ 0 ; ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ m2 + 12m ≤ 0 ⇔ – 12 ≤ m ≤ 0  Sai lầm khi nhân 2 vế với 2x2 – mx + 2 khi chưa biết dấu của biểu thức này Lời giải đúng :Vế trái tồn tại ∀x ∈ R ⇔ 2x2 – mx + 2 ≠ 0 ;∀x ∈ R ⇔ 2x2 – mx + 2 = 0 vơ nghiệm ⇔ ∆ < 0 ⇔ m2 –16 < 0 ⇔ – 4 < m < 4 khi đó 2x2... MỤC Một số sai lầm thường gặp trong giải toán Đại số 25 gv : Nguyễn Thò Hương Mai Bìa Ký hiệu khi đọc sáng kiến và tài liệu mượn trích dẩn Trang 1 2 A Giới thiệu 3 B Đặc điểm tình hình khi chọn đề tài • Thuận lợi • Khó khăn 3 C Nội dung : I / Sai lầm khi biến đổi biểu thức 4 →5 II / Sai lầm khi giải phương trình – Bất phương trình 6 → 10 III / Sai lầm khi giải bất đẳng thức 11 → 12 IV / Sai lầm khi giải. .. thức bậc hai ) 13 → 15 V / Sai lầm khi giải hệ phương trình 16 IV / Sai lầm khi tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất 17 → 18 D Hiệu quả và dặn dò 19 E Kết luận và đề nghị 20 F Kinh nghiệm rút ra 21 Xét duyệt của tổ chun mơn 22 Xét duyệt của Ban Giám hiệu 23 Xét duyệt của Phòng Giáo Dục 24 Xét duyệt của Sở Giáo Dục 25 Mục lục 26 Một số sai lầm thường gặp trong giải toán Đại số 26 ... = 5 3 3   1 −4 5 Vậy min A = khi x = ;y= 3 3 3 Một số sai lầm thường gặp trong giải toán Đại số 17 gv : Nguyễn Thò Hương Mai 2 Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của B = xy Biết x + y2 = x + y Ta có : (x - y )2 ≥ 0 ; ∀ x ; y ∈ R⇒ x2 + y2 ≥ 2xy ;∀ x ; y ∈ R⇒ x2 + y2 ≥ 2B ; ∀ x ; y ∈ R Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y Thay x = y vào hệ thức đã cho ta có 2x2 = 2x ⇔ x = 0 hay x = 1 • Nếu x = 0 thì y = 0 nên B =... 2( m2 X và y tồn tại ⇔ phương trình t 2 − mt + 2 2 2 – m) ≥ 0 ⇔ - m2 + 2m ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 Xét B = xy = m2 − m với 0 ≤ m ≤ 2 2 • Nếu m = 0 thì B = 0 • Nếu m = 2 thì x = y = 1 , ta có max B = 1 Đây là những kiến thức trong nhiều năm tơi dạy ở trường phổ thơng rút ra được để sau này tơi dạy tốt hơn / D HIỆU QUẢ VÀ DẶN DỊ : Một số sai lầm thường gặp trong giải toán Đại số 18 gv : Nguyễn Thò Hương Mai I HIỆU... =1 ⇒ x+ Ví dụ 2: Chứng minh rằng : ∀a ta có a(1 – a) ≤ Một số sai lầm thường gặp trong giải toán Đại số 1 (1) 4 11 gv : Nguyễn Thò Hương Mai  Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho 2 số a và 1 – a ta có: a ( 1− a) ≤ a +1− a 1 = 2 2 ⇒ a(1 – a) ≤ 1 4  Vẫn sai lầm như ví dụ 1 vì a và 1– a chỉ khơng âm khi a ∈ [ 0; 1] Lời giải đúng : (1) ⇔ a – a2 ≤ 1 1 1 ⇔ a2 – a + ≥ 0 ⇔ (a – )2 ≥ 0 , đúng ∀a 4 4 2 Ví dụ 3: Chứng... < m < 4 khi đó 2x2 – mx + 2 > 0 ; ∀x Nên :  −4 < m < 4 −4 < m < 4 ⇔ 2  x − 2mx + 3m + 2 ≤ 2 x − mx + 2; ∀x ∈ R  x + mx − 3m ≥ 0; ∀x ∈ R  −4 < m < 4  −4 < m < 4  −4 < m < 4 ⇔ ⇔ 2 ⇔ ⇔ −4 < m ≤ 0 ∆ ≤ 0 − 12 ≤ m ≤ 0  m + 12m ≤ 0 ( 1) ⇔  2 2 Ví dụ 4: Biện luận số nghiệm theo m của phương trình: m(x –1)(x + 96) + x = 0 Một số sai lầm thường gặp trong giải toán Đại số 14 gv : Nguyễn Thò Hương... với M là hằng số thì khi tồn tại x , y để B = M , mới kết luận max B = 1 khi và chỉ khi x = y = 1 Lời giải trên sau khi chứng minh B≤ x2 + y 2 x2 + y 2 đã xem như là hằng số (!)và mắc sai lầm ! 2 2 Lời giải đúng : x + y = m  x + y = m x + y = m  ⇔ ⇔ Đặt : x + y = x + y = m thì  2 2 m2 − m 2 x + y = m x + y − 2 xy = m xy = ( )      2 2 m −m = 0 có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m2 – 2( m2 X và y tồn tại... IV SAI LẦM KHI GIẢI CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ( TAM THỨC BẬC HAI ) : Một số sai lầm thường gặp trong giải toán Đại số 12 gv : Nguyễn Thò Hương Mai Các sai lầm xuất hiện khi giải tốn tam thức bậc 2 do khơng để ý đến giả thiết của các định lý đã vội vàng áp dụng hoặc lạm dụng suy diễn những mệnh đề khơng đúng, hoặc xét thiếu các trường hợp cần biện luận Ví dụ 1: Tìm m để A = ( m + 1) x 2 − 2 (