ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MỸ LỆ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MỸ LỆ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG HUY RUẬN Hà Nội - Năm 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức phương pháp quy nạp toán học 1.1 Nguồn gốc phương pháp quy nạp toán học 1.2 Quy nạp quy nạp toán học 1.3 Giới thiệu phương pháp quy nạp toán học 1.3.1 Nguyên lí quy nạp toán học 1.3.2 Phương pháp quy nạp toán học 1.3.3 Các ví dụ 1.4 Một số hình thức phương pháp quy nạp toán học 1.4.1 Hình thức quy nạp chuẩn tắc 1.4.2 Hình thức quy nạp nhảy bước 1.4.3 Hình thức quy nạp kép Ứng dụng phương pháp quy nạp toán học giải toán 2.1 Phương pháp quy nạp toán học toán số học, đại số, giải tích 2.1.1 Một số toán chia hết chia có dư 2.1.2 Một số toán dãy số 2.1.3 Một số toán tính tổng chứng minh đẳng thức 2.1.4 Một số toán chứng minh bất đẳng thức 2.2 Phương pháp quy nạp toán học toán hình học 2.2.1 Tính toán quy nạp 2.2.2 Chứng minh quy nạp 6 12 13 15 17 22 22 26 31 35 35 35 41 50 61 70 70 76 2.2.3 Dựng hình quy nạp 2.2.4 Quy nạp với toán quỹ tích 2.3 Phương pháp quy nạp toán học toán rời rạc khác 82 85 89 Một số đề thi tham khảo 101 3.1 Đề thi Olympic toán học quốc tế 101 3.2 Đề thi vô địch nước khu vực 103 Mở đầu Nhà toán học vĩ đại Euclid viết "Trong thực tế, nhiều tính chất số biết tìm phép quy nạp tìm thấy lâu trước đắn chúng chứng minh chặt chẽ Cũng có nhiều tính chất quen thuộc với thời chưa chứng minh Chỉ có đường quan sát tư quy nạp dẫn đến chân lý." Câu nói phần lột tả tầm quan trọng phép quy nạp sống, khoa học toán học Tuy nhiên, trình quy nạp trình từ "tính chất" số cá thể suy "tính chất" tập thể nên lúc Phép suy luận thỏa mãn điều kiện định Trong toán học vậy, trình suy luận thỏa mãn nguyên lý quy nạp Trong toán học có nhiều toán giải hay chứng minh theo phương pháp thông thường khó khăn phức tạp, phương pháp quy nạp toán học lại công cụ đắc lực giúp giải toán Trong chương trình toán học phổ thông, phương pháp quy nạp đề cập đến lớp 11, phương pháp đề cập phạm vi hạn chế, chưa mô tả cách hệ thống, chưa nêu rõ ứng dụng phương pháp Số học, Đại số, Hình học, Từ niềm yêu thích môn Toán nói chung phương pháp quy nạp nói riêng, mong muốn nghiên cứu phương pháp cách sâu hệ thống, mong muốn tích lũy kiến thức toán học nhiều hơn, có chuyên môn vững vàng hơn, tác giả lựa chọn đề tài "Phương pháp quy nạp với toán phổ thông" Cuốn luận văn nhằm đưa nhìn tổng quan phương pháp quy nạp toán học, từ nguyên lý hình thức phương pháp đến tập áp dụng phân môn khác Hệ thống tập đưa phong phú Tác giả sưu tầm số đề thi Olympic toán quốc gia quốc tế giải phương pháp Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày nguồn gốc phương pháp quy nạp kiến thức phương pháp quy nạp toán học Chương 2: Trình bày ứng dụng phương pháp quy nạp giải toán, bao gồm số toán số học, đại số, giải tích, hình học số toán rời rạc khác Chương 3: Gồm số toán tham khảo trích đề thi IMO đề thi vô địch nước khu vực LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy Đặng Huy Ruận, Thầy quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả tận tình suốt thời gian thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Cô khoa Toán – Cơ – Tin học, người tham gia giảng dạy, truyền thụ cho tác giả kiến thức vô quý báu Tác giả xin cảm ơn Thầy Cô phòng Đào Tạo sau Đại học trường Đại Học Khoa học Tự Nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện tốt cho tác giả bạn suốt thời gian học tập Mặc dù tác giả cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế, luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận dạy Quý Thầy Cô ý kiến đóng góp quý độc giả Tác giả xin chân thành cảm ơn Chương Kiến thức phương pháp quy nạp toán học 1.1 Nguồn gốc phương pháp quy nạp toán học (Trích tài liệu tham khảo [11]) Khi ta tính số tam giác Pascal cách áp dụng công thức truy toán, ta phải dựa vào hai số tìm trước cạnh đáy Phép tính độc lập dựa vào công thức quen thuộc Cnr = n(n − 1)(n − 2) (n − r + 1) 1.2.3 r mà ta gọi công thức tường minh để tính hệ số nhị thức Cnr Công thức tường minh có công trình Pascal (trong diễn đạt lời kí hiệu đại) Pascal không cho biết ông làm để công thức (có thể lúc đầu đoán- ta thường phát quy luật tương tự nhờ quan sát lúc đầu, sau thử khái quát kết có được) Tuy vậy, Pascal đưa cách chứng minh xuất sắc cho công thức tường minh Công thức tường minh dạng viết không áp dụng trường hợp r = Tuy vậy, ta quy ước r = 0, theo định nghĩa Cn0 = Còn trường hợp, r = n công thức không ý nghĩa ta có Cnn = n(n − 1)(n − 2) 2.1 = 1.2.3 (n − 1)n Đó kết Như vậy, ta cần chứng minh công thức với < r < n, tức bên tam giác Pascal công thức truy toán sử dụng Tiếp theo ta trích dẫn Pascal với số thay đổi không Một phần thay đổi dấu ngoặc vuông Mặc dù mệnh đề xét (công thức tường minh hệ số nhị thức) có vô số trường hợp riêng, chứng minh cách hoàn toàn ngắn gọn dựa hai bổ đề Bổ đề thứ khẳng định, mệnh đề với đáy thứ nhấtđiều hiển nhiên (khi n = công thức tường minh trường hợp giá trị r, nghĩa r = 0, r = rơi vào điều nhận xét trên) Bổ đề thứ hai khẳng định, mệnh đề với đáy tùy ý [đối với giá trị n tùy ý] với đáy [đối với n + 1] Từ hai bổ đề trên, ta suy đắn mệnh đề giá trị n Thật vậy, bổ đề thứ nhất, mệnh đề với n = Do đó, theo bổ đề thứ hai với n = 2, theo bổ đề thứ hai với n = đến vô hạn Như vậy, ta phải chứng minh bổ đề thứ hai Theo cách phát biểu bổ đề đó, ta giả thiết công thức ta đáy thứ n, nghĩa giá trị tùy ý n với giá trị r (đối với r = 1, 2, , n) Đặc biệt đồng thời với cách viết Cnr = n(n − 1)(n − 2) (n − r + 1) 1.2.3 (r − 1)r ta viết (với r ≥ 1) Cnr−1 = n(n − 1)(n − 2) (n − r + 2) 1.2.3 (r − 1) Cộng hai đẳng thức áp dụng công thức truy toán, ta hệ ( ) n − r + n(n − 1) (n − r + 2) r Cn+1 +1 = Cnr + Cnr−1 = 1.2 (r − 1) r = n(n − 1) (n − r + 2) n + (n + 1)n(n − 1) (n − r + 2) = 1.2 (r − 1) r 1.2.3 r Nói cách khác, đắn công thức tường minh giá trị n kéo theo tính đắn n + Chính điều khẳng định bổ đề thứ hai Như vậy, ta chứng minh bổ đề Những lời Pascal trích dẫn có giá trị lịch sử chứng minh ông vận dụng lần phương pháp suy luận mẻ, thường gọi phương pháp quy nạp toán học 1.2 Quy nạp quy nạp toán học (Trích tài liệu tham khảo [10]) Quy nạp trình nhận thức quy luật chung cách quan sát so sánh trường hợp riêng Nó dùng khoa học toán học Còn quy nạp toán học dùng toán học để chứng minh loại định lý Thật không may chỗ hai tên gọi lại liên quan với nhau, hai phương pháp liên hệ lôgic Tuy nhiên, có liên hệ thực tế người ta thường đồng thời dùng hai phương pháp Ta minh họa hai phương pháp ví dụ sau Một cách ngẫu nhiên, ta thấy + + 27 + 64 = 100 viết lại sau 13 + 23 + 33 + 43 = 102 Khi ta tự hỏi tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp có luôn bình phương không? Để trả lời câu hỏi đó, ta làm nhà tự nhiên học, tức kiểm tra trường hợp riêng khác nhau, với n = 1, n = 2, n = 3, n = 13 = 12 13 + 23 = = 32 13 + 23 + 33 = 36 = 62 13 + 23 + 33 + 43 = 100 = 102 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225 = 152 Qua đó, nhà tự nhiên không nghi ngờ tính đắn quy Tài liệu tham khảo [1] Ban tổ chức kì thi (2007), Tuyển tập đề thi Olympic, 30 tháng 4, lần thứ XIII-2007, Toán học, NXB đại học sư phạm [2] Lê Trần Chính, Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Lộc, Vũ Văn Thỏa (2000), Tuyển tập 200 thi vô địch toán (Số học đại số), NXB Giáo dục [3] Doãn Minh Cường (chủ biên), Phạm Minh Phương, Trần Văn Tấn, Nguyễn Thị Thanh Thủy (2004), Toán bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thông THCS, tập 1- Số học, NXB đại học sư phạm [4] Nguyễn Hữu Điển (2000), Phương pháp quy nạp toán học, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Hữu Điển (2010), Olympic toán năm 2000, 33 đề thi lời giải, NXB Giáo dục [6] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2006), Đại số Giải tích nâng cao 11, NXB Giáo dục [7] Trần Hữu Nam (2015), Toán học tuổi trẻ, (453), tr.23 [8] Đặng Huy Ruận (2002), Sáu phương pháp giải toán không mẫu mực, NXB Khoa học Kỹ thuật [9] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2002), 40 năm Olympic Toán học Quốc tế, NXB Giáo dục 109 [10] G.Polya (2009), người dịch: Hồ Thuần, Bùi Tường, Giải toán nào, NXB Giáo dục [11] G.Polya (2010), người dịch: Hà Sĩ Hồ, Hoàng Chúng, Lê Đình Phi, Nguyễn Hữu Chương, Hồ Thuần, Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục [12] G.Polya (2010), người dịch: Nguyễn Sỹ Tuyển, Phan Tất Đắc, Hồ Thuần, Nguyễn Giản, Toán học suy luận có lí, NXB Giáo dục [13] L.I.Golovina, I.M.Yaglom (1987), người dịch: Khống Xuân Hiền, Phép quy nạp hình học, Sở Giáo Dục Nghĩa Bình 110