SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG" I ĐẶT VẤN ĐỀ Môn toán môn học phong phú đa dạng, niềm say mê người yêu thích toán học Đối với học sinh, để có kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi nhiều bền bỉ Đối với giáo viên: Làm để trang bị cho em đầy đủ kiến thức? Đó câu hỏi mà giáo viên phải đặt cho thân Nội dung "Phân tích đa thức thành nhân tử" học kỹ chương trình đại số lớp 8, có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì vậy, yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề vô cần thiết quan trọng Trong nhiều năm gần phân công giảng dạy toán lớp 8, nhận học sinh cứng nhắc, thiếu sáng tạo việc sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử gặp lúng túng, khó khăn giải toán phân tích đa thức thành nhân tử toán liên quan Nắm tinh thần trình giảng dạy toán lớp dày công tìm tòi, nghiên cứu, rút ''kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thông minh lực tư sáng tạo cho học sinh Trong SGK trình bày phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm hạng tử, dùng đẳng thức Trong sáng kiến kinh nghiệm giới thiệu thêm số ''kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' cách sử dụng phương pháp sáng tạo đa dạng như: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp tìm nghiệm đa thức Đồng thời vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập Khi lồng ghép sáng kiến vào trình giảng dạy nhận thấy học sinh thích thú đạt kết tốt, học sinh nắm vững vàng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà linh hoạt sáng tạo việc giải tập có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử toán giải phương trình, toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, toán tìm nghiệm nguyên , với tinh thần tâm thực sáng kiến kinh nghiệm: '' Kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục huyện nhà II NỘI DUNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Mục đích nghiên cứu: - Chỉ phương pháp dạy loại “ Phân tích đa thức thành nhân tử” - Đổi phương pháp dạy học - Nâng cao chất lượng dạy học 1.2 Nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu: 1.2.1 Nhiệm vụ: ♦ Nhiệm vụ khái quát: Nêu phương pháp dạy loại “ Phân tích đa thức thành nhân tử” ♦ Nhiệm vụ cụ thể: - Tìm hiểu thực trạng học sinh - Những phương pháp thực - Những chuyển biến sau áp dụng - Rút học kinh nghiệm 1.2.2 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp đọc sách tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề 1.3 Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu: - Đề tài nghiên cứu “Phân tích đa thức thành nhân tử tập vận dụng” - Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp trường THCS Ba Động THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU Từ năm học 2009 - 2010 đến nay, nhà trường phân công giảng môn toán lớp Qua thực tế dạy học kết hợp với dự thăm lớp giáo viên trường, thông qua kỳ thi chất lượng kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện thân nhận thấy em học sinh chưa có kỹ thành thạo làm dạng tập như: Quy đồng mẫu thức, giải loại phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ lý để giải loại tập cần phải có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Nếu em học sinh lớp thủ thuật kỹ phân tích đa thức thành nhân tử việc nắm bắt phương pháp để giải dạng toán kiến thức trình học toán vấn đề khó khăn Trong việc giảng dạy môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt, tự tìm tòi kiến thức mới, phương pháp làm toán dạng phương pháp thông thường mà phải dùng số phương pháp khó phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ giúp em có hứng thú học tập, ham mê học toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng toán khó Người thầy giáo giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh với khả sáng tạo, ham thích học môn toán giải dạng tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết tốt kỳ thi Từ mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát phương pháp giải phù hợp với cụ thể dạng khác CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử giải tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập vận dụng vận dụng ? - Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức - Phân tích đa thức thành nhân tử toán nhiều toán khác Ví dụ: + Bài toán chứng minh chia hết + Rút gọn biểu thức + Giải phương trình bậc cao + Tìm giá trị lớn nhỏ 3.1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 3.1.1 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử: Ví dụ 1: x4 + 5x3 +15x - Giải: Đa thức cho có số hạng đặt nhân tử chung áp dụng đẳng thức, ta nghĩ tới cách nhóm số hạng thêm bớt số hạng Ta phân tích sau: Cách 1: x4 + 5x3 + 15x - = x4 - + 5x3 + 15x = (x2 - 3) (x2 + 3) + 5x (x2 + 3) = (x2 + 3) (x2 - + 5x) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Cách 2: x4 + 5x3 + 15x - = x4 + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - = x2 (x2 + 5x - 3) + (x2 + 5x - 3) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Bài cần lưu ý học sinh tập hợp số hữu tỉ đa thức x + 5x - không phân tích Ví dụ 2: x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz Giải: Đa thức cho có số hạng lại không đặt nhân tử chung mà có hạng tử 3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành hạng tử để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz = x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz = x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy) = (xy + xz + yz) (x + y + z) Ví dụ 3: x2 + 6x + Giải: Với phương pháp biết đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng đẳng thức ta phân tích đa thức Nếu tách số hạng thành hai số hạng để đa thức trở thành số hạng nhóm hạng tử để xuất nhân tử chung xuất đẳng thức Từ có nhiều khả biến đổi đa thức cho thành tích Cách 1: x2 + 6x + = x2 + 2x + 4x + = x (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 2: x2 + 6x + - = (x+3)2 - = (x + - 1) (x+ +1) = (x+2) (x+4) Cách 3: x2 - + 6x + 12 = (x-2) (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 4: x2 + 6x + = x2 - 16 + 6x + 24 = (x - 4) (x + 4) + (x + 4) = (x + 4)(x - + 6) = (x+2)(x+4) Ví dụ 4: x3 - 7x - Giải: Ta tách sau: Cách 1: x3 - 7x - = x3 - x - 6x - = x (x2 - 1) - (x + 1) = x (x - 1)(x + 1) - (x + 1) = (x + 1)(x2 - x - 6) = (x + 1)(x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1)[ x (x - 3) + (x - 3)] = (x + 1)(x + 2)(x - 3) Cách 2: x3 - 7x - = x3 - 4x - 3x - = x (x2 - 4) - (x + 2) = x (x - 2) (x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (x2 - 2x - 3) = (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1) Cách 3: x3 - 7x - = x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x2 + 3x + - 7) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2) = (x - 3) (x + 2) (x + 1) Cách 4: x3 - 7x - = x3 + - 7x - = (x + 1) (x2 - x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x2 - x + - 7) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 5: x3 - 7x - = x3 + - 7x - 14 = (x + 2) (x2 - 2x + - 7) = (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3) = (x + 2) (x + 1) (x - 3) Cách 6: x3 - 7x - = x3 - 9x + 2x - = x (x - 3) (x + 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2) Chú ý: Cần lưu ý học sinh phân tích đa thức phải triệt để, tức kết cuối phân tích Tất nhiên yêu cầu có tính chất tương đối phụ thuộc tập hợp số mà ta xét Nếu phân tích không triệt để học sinh gặp tình cách phân tích có kết khác Chẳng hạn tập trên, cách 1, cách cho ta kết là: x3 - 7x - = (x + 1) (x2 - x - 6) Cách 2, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x + 2) (x2 - 2x - 3) Cách 3, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x - 3) (x2 + 3x + 2) Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh ý sau: - Một đa thức dạng ax2 +bx + c phân tích thành nhân tử tập hợp Q đa thức có nghiệm hữu tỉ  ∆ (hoặc ∆ , ) số phương (trong ∆ = b2 - 4ac ( ∆ , = b,2 - ac) - Một đa thức dạng ax2 + bx + c tách làm xuất đẳng thức : )là số phương chứa hạng tử A2 +2AB +B2 A2 - 2AB +B2 Ví dụ 5: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) Giải: Đa thức ta dự đoán có nhân tử b+c c-a a+ b Ta có cách phân tích sau: Cách 1: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) ac2 - a2c - a2b - ab2 = bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b) = bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a2 (c+ b) = (b + c) (bc + ac - ab - a2) = (b + c) [(bc - ab ) + (ac - a2) ] = (b + c) [b (c - a) +a (c - a)] = (b + c) (b + a) (c -a) ∆ (hoặc ∆ ' Cách 2: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c bc2 + ac (c -a) - a2b - ab2 = ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c2 - a2) = ac (c -a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a) = (c - a) (ac + b2 + bc + ab) = (c - a) (a +b) (c+ b) Cách 3: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab (a + b) = c (b2 - a2) + c2 (a + b) - ab (a + b) = c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b)= (a + b) (cb - ca + c2 - ab) = (a + b) [c (b + c) - a (c + b)] = (a + b) (b + c) (c - a) Cách 4: Nhận xét: c - a = (b + c) - (a + b) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b) = c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b) = (b + c) (a + b) (c - a) Cách 5: Nhận xét: b + c = (c - a) + (a + b) Ta có: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b) = bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b) = c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b) Cách 6: Nhận xét: a + b = (b + c) - (c - a) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a) = b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b) = (c - a) (c + c) (b + a) Ví dụ 6: a5 + a + Giải: Số mũ a từ xuống nên a5 a cần có số hạng với số mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất nhân tử chung Cách 1: a5 + a + = a5 + a4 - a4 + a3 - a3 + a2 - a2 + a + = a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1 = a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + = (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1) Cách 2: a5 + a + = a5 - a2 + a2 + a + = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1) 3.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 Giải: Đặt x = b - c; y = c - a; z = a - b Ta thấy: x + y + z = => z = - x - y (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 = x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + (- x - y)3 = x3 + y3 - x3 - y3 - 3x2y - 3xy2 = - 3xy ( x + y) = 3xyz = (b - c) (c - a) (a - b) Ví dụ 2: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 Thông thường gặp toán học sinh thường thực phép nhân đa thức với đa thức đa thức bậc với năm số hạng Phân tích đa thức bậc với năm số hạng thường khó dài dòng Nếu ý đến đặc điểm đề bài: Hai đa thức x + x + x2 + x + khác hạng tử tự do, ta đặt y = x + x + y = x2 + x biến đổi đa thức thành đa thức bậc hai đơn giản nhiều Đặt y = x2 + x + 10 Cách 1: Các ước : 1;2;4;-1;-2;-4 Thử giá trị ta thấy x = x = -2 nghiệm đa thức cho Cách 2: Tổng hệ số đa thức nên đa thức cho có nghiệm x = ♦ Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ đa thức: Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q p ước hệ số tự do; q ước dương số hạng có bậc cao Ví dụ: Tìm nghiệm đa thức sau: 2x3 + 5x2 + 5x + Giải: Các ước : 1;-1;3;-3 (p) Các ước dương : 1;2 (q) Xét số ±1; ±3;±1/2; ±3/2 ta thấy -3/2 nghiệm đa thức cho Chú ý: -Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức có nghiệm Ví dụ: Đa thức a) 3x4 - 4x +1 có 3+ (-4) + = nên có nghiệm x = b) 4x3 +5x2 - 3x - có + + (-3) + (-6) = nên có nghiệm x = - Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ đa thức có nghiệm -1 Ví dụ: Đa thức a) 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + 11 + (-3) = 13 Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + + = 13 12 Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 b) x3 + 3x2 + 6x + Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + = Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + = Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 ♦ Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức: Nếu đa thức F(x) có nghiệm x = a chứa nhân tử x - a phân tích cần làm xuất nhân tử chung cho có nhân tử x - a Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x3 + 3x2 - b) 2x3 + 5x2 + 5x + Giải: a) x3 + 3x2 - Cách 1: Đa thức x3 + 3x2 - có nghiệm x= nên chứa nhân tử x-1 Ta có : x3 + 3x2 - = x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1) = (x-1)(x2 + 4x + 4) = (x-1) (x+2)2 Cách 2: Đa thức x3 + 3x2 - có nghiệm x= -2 nên chứa nhân tử x + Ta có: x3 + 3x2 - = x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x -4 = x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2) 13 = (x+2) (x2 +x -2) = (x+2) (x2 - x + 2x -2) = (x+2)[ x(x-1) +2(x-1)] = (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1) (x+2)2 b) 2x3 + 5x2 + 5x + Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + có nghiệm x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3 Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + = 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3 = x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3) = (2x+3) (x2 + x +1) 3.2 Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử 3.2.1 Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử chung chúng Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: A= x − x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 Giải: Ta có A= x − x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 Ta thấy tử thức phân thức có nghiệm 2; ; ; -5 Mẫu thức phân thức có nghiệm -1 ; ; -4;-5 14 Do đó: A= x − x − 19 x + 106 x − 120 x + x − x − 67 x − 60 A= ( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x + 5) ( x + 1)( x − 3)( x + 4)( x +) A= ( x − 2)( x − 4) ( x + 1)( x + 4) Ví dụ : Rút gọn biểu thức: B= x + 3x − x+x−2 Giải: Ta thấy tử thức có nghiệm 1; mẫu thức có nghiệm 1; nên ta có: B= x + 3x − x+x−2 = x − x + x − x + 4x − x − x + 2x − 2x + 2x − = x+x+4 x + 2x + Ta thấy tử mẫu không phân tích 3.2.2 Dạng 2: Chứng minh chia hết Để giải toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên x ,ta có: [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15] (x+6) Giải: Ta có: 15 (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x2 + 8x +11 ⇒ (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - = (t + 1)(t - 1) Thay t = x2 + 8x +11 , ta có: (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) = (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) (x+6) Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên x ta có (4x + 3)2 - 25 chia hết cho Giải: Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 thừa số (4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + + 5) (4x + - 5) = (4x + 8) (4x - 2) = (x + 2) (2x - 1) = (x + 2) (2x - 1) Do x số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) số nguyên Do (x + 2) (2x - 1) chia hết cho Ta suy ĐPCM Cách 2: (4x + 3)2 - 25 = 16x2 + 24x + - 25 = 16x2 + 24x - 16 16 = (2x2 + 3x - 2) Vì x số nguyên nên 2x2 + 3x - số nguyên Do (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 3: Chứng minh với số nguyên n biểu thức: A= n n2 n3 + + số nguyên Giải: Ta có: n n n 2n + 2n + + + = 6 Muốn chứng minh biểu thức số nguyên cần chứng minh 2n + 3n + n3 chia hết cho với số nguyên n Ta có: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2) = n (2 + 2n + n + n2) = n [ (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2) Ta thấy n (n + 1) (n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho thừa số chia hết cho Mà hai số nguyên tố nên tích chia hết cho Vậy số nguyên n biểu thức A= n n2 n3 + + số nguyên Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho đa thức x 16 + x15 + + x2 + x + Giải: Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia sau: 17 x50 + x49 + + x2 + x + = (x50 + x49 + + x35 + x34) +(x33 + x32 + + x18 + x17) + x16 x2 + x + = (x34) (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x16 +x2 + x + = (x16 + x15 + +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Rõ ràng: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho x 16 + x15 + x + Kết phép chia : x34 + x17 + Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a+b+c Giải: Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c Dự đoán đa thức A phân tích thành nhân tử có nhân tử a + b + c Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb - ac2 - acb b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = B (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B Ví dụ 6: Cho CMR: 1 1 + + = a b c a+b+c 1 1 + n + n = n n a b c a + bn + cn với n lẻ Giải: 18 Ta có: 1 1 bc + ac + ab + + = => = a b c a+b+c abc a+b+c => (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc => abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc => (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = => bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = => (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = => (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = => (a + b) (b + c) (a + c) =0 => a + b = => a = - b b + c = => b = - c a + c = => a = - c Vì n lẻ nên a2 = -bn bn = - c2 an = - cn Thay vào ta suy điều phải chứng minh 3.2.3 Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng phương trình a) Giải phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Giải: Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2 = 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = x (3x + 4y) + 2y (3x + 4y) = (3x + 4y) (x + 2y) = 96 Ta có: 96 = 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 19 Mà x, y > => 3x + 4y > 7; x + 2y > Ta có hệ phương trình sau: x + 2y = x + 2y = (I) 3x + 4y = 24 x + 2y = 3x + 4y = 16 x + 2y = 12 (IV) (III) 3x + 4y = 12 3x + 4y = Giải hệ (I) ta x = 16; y = - (Loại) Giải hệ (II) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (III) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (IV) ta x = - 16;y = 14 (Loại) Vậy nghiệm hệ x = 4; y = Vậy nghiệm phương trình: x= 4; y = Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x3 + xy - = Giải: 2x3 + xy - = => 2x3 + xy = => x (2x2 + y) = => x=1 => 2x2 + y = Hoặc x=7 x=-1 x=1 y=5 => 2x2 + y =1 Hoặc (II) x=7 y = - 97 => x=-1 20 2x2 + y =-7 Hoặc x=-7 => y=-9 x=-7 2x2 + y = - y = -99 Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > thỏa mãn: x3 + y = y3 + 7x Giải: x3 + y = y3 + 7x => x3 - y3 - 7x + 7y = => (x - y)3 (x2 + xy + y2) - (x - y) = => (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = Vì x > y > => x2 + xy + y2 - = => x2 - 2xy + y2 = - 3xy => (x - y)2 = - 3xy => - 3xy > => 3xy < => xy < x.y ≤ => x = 2; y = b) Giải phương trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phương trình ( 3x - )2 -( x - )2 = Giải: Ta có: ( 3x - )2 -( x - )2 =  ( 3x - + x - )(3x - - x + 1) =  ( 4x - 6)(2x - 4) = ⇒ 4x - =  x = 3/2 21 2x - =  x = Vậy nghiệm phương trình cho x =3/2 x = Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + = Giải: Ta có: ` x3 + 3x2 + 4x + =  x3 + x2 +2x2 +2x +2x + = x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = (x + 1)(x2 + 2x + 2) = (x + 1) = => x = -1 (x2 + 2x + 2) = giá trị x ∈ Q Vậy nghiệm phương trình cho x = -1 3.3 Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) x3 - 4x2 + 8x - 2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz 3) x2 + 7x + 10 4) y2 + y - 5) n4 - 5n2 + 6) 15x3 + x2 - 2n 7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b) 8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b) 9) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 22 10) x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 11) (x2 + x) (x2 + x + 1) - 12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 13) Tính nhanh giá trị biểu thức sau với: a) x = - b) a = 5,75; P = (x+ 2)2 - (x + 2) (x - 8) + (x - 8)2 b = 4,25 Q = a3 - a2b - ab2 + b3 14) CMR biểu thức (2n + 3)2 - chia hết cho với n nguyên 15) CM biểu thức n n n3 + + 12 24 16) Chứng minh đa thức: + + x2 + x + số nguyên với số chẵn n x 79 + x78 + + x2 + x+ chia hết cho đa thức x 19 + x18 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy trường THCS Ba Động năm học 2013 - 2014 thu kết khả quan Kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt qua học, qua kỳ thi, đặc biệt em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết tốt Đa số em học sinh biết sử dụng phương pháp phân tích thông thường cách thành thạo, 80% em học sinh có kỹ nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào phương pháp phân tích nêu sáng kiến kinh nghiệm, kết kiểm tra định kỳ chương I đại số mà phần lớn kiến thức liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử, em làm tốt, 95% học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên so với chưa áp dụng sáng kiến tăng 20% Bên cạnh phương pháp em dễ dàng tiếp cận với dạng toán khó kiến thức việc hình thành số kỹ trình học tập giải toán học môn toán Việc áp dụng sáng kiến có hiệu chiều rộng mà chiều sâu Trong kỳ thi học sinh giỏi khối năm học phần kiến thức liên quan đến phân tích đa thức 23 thành nhân tử em làm tốt, kết bước đầu đáng khích lệ giúp tin tưởng việc áp dụng sáng kiến vào dạy học chia đồng nghiệp III KẾT LUẬN Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm có kết hữu hiệu cho việc học tập giải toán Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi định hướng phương pháp làm chưa có gợi ý giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo kết tốt từ việc giải toán rút phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Vì lẽ với giáo viên nói chung thân nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tượng học sinh để từ đưa tập phương pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm tập, gây hứng thú học tập, say sưa giải toán, yêu thích học toán Từ nâng cao từ dễ đến khó, có người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa cho học sinh làm, phát cách giải khác cách giải hay, tính tự giác học toán, phương pháp giải toán nhanh, có kỹ phát cách giải toán nhanh, có kỹ phát cách giải.'' Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử '' giúp học sinh nhiều trình giải toán đạt kết khả quan Đánh giá chất lượng trước thực giải pháp Năm học 20122013 Kết kiểm tra định kỳ Chương I đại số lớp (Có nội dung phần lớn phân tích đa thức Số học thành nhân tử) sinh khối Giỏi Khá Trung Yếu bình Kém 36 ( 17%) 12 ( 33%) 12 ( 33%) ( 17%) Đánh giá chất lượng sau thực giải pháp Năm học Kết kiểm tra định kỳ Chương I đại số lớp (Có nội dung phần lớn phân tích đa thức Số học thành nhân tử) sinh khối Giỏi Khá Trung Yếu 24 20132014 55 12 ( 22%) 21 ( 38%) bình Kém 19 ( 35%) ( 5%) Với kết khả quan trên, mạnh dạn trao đổi số đồng nghiệp, sau thời gian sử dụng đồng nghiệp cho ý kiến phản hồi tích cực Những kết đạt ban đầu giúp củng cố niềm tin hoàn thiện sáng kiến chia rộng rải đồng nghiệp, nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục huyện nhà thời gian đến Sáng kiến kinh nghiệm ''Kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' mà viết có lẽ hạn chế Mong tổ chuyên môn trường, đồng nghiệp góp ý chân thành để có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt phục vụ tích cực cho việc giảng dạy Ba Động, ngày 25 tháng 02 năm 2014 Người thực Bùi Tấn Vược 25 26 [...]... tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ nên đa thức đó có một nghiệm là -1 ♦ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức: Nếu đa thức F(x) có nghiệm x = a thì sẽ chứa nhân tử x - a do đó khi phân tích cần làm xuất hiện các nhân tử chung sao cho có nhân tử x - a Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x3 + 3x2 - 4 b) 2x3 + 5x2 + 5x + 3 Giải: a) x3 + 3x2 - 4 Cách 1: Đa thức. .. Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + 3 có nghiệm là x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3 Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + 3 = 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3 = x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3) = (2x+3) (x2 + x +1) 3.2 Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử 3.2.1 Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải bài toán rút gọn một biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và. .. 3.1.3 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức ♦ Phương pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức: Nghiệm nguyên (nếu có ) của một đa thức phải là ước của hạng tử tự do Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của đa thức sau: Giải: 11 x3 + 3x2 - 4 Cách 1: Các ước của 4 là : 1;2;4;-1;-2;-4 Thử các giá trị này ta thấy x = 1 và x = -2 là nghiệm của đa thức đã cho Cách 2: Tổng các hệ số của đa thức. .. phân tích thông thường một cách thành thạo, 80% các em học sinh có kỹ năng nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào các phương pháp phân tích đã được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm, kết quả kiểm tra định kỳ chương I đại số 8 mà phần lớn kiến thức liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử, các em làm bài rất tốt, hơn 95% học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên so với khi chưa áp dụng sáng kiến. .. vào giảng dạy ở trường THCS Ba Động trong năm học 2013 - 2014 đã thu được các kết quả khả quan Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỳ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết quả tốt Đa số các em học sinh đã biết sử dụng các. .. Bên cạnh đó các phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một số kỹ năng trong quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn toán Việc áp dụng sáng kiến này không những có hiệu quả về chiều rộng mà còn về chiều sâu Trong kỳ thi học sinh giỏi khối 8 năm học này phần kiến thức liên quan đến phân tích đa thức 23 thành nhân tử các em làm... áp dụng sáng kiến này vào dạy học và chia sẽ cùng đồng nghiệp III KẾT LUẬN Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân. .. -3/2 là nghiệm của đa thức đã cho Chú ý: -Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm bằng 1 Ví dụ: Đa thức a) 3x4 - 4x +1 có 3+ (-4) + 1 = 0 nên có một nghiệm x = 1 b) 4x3 +5x2 - 3x - 6 có 4 + 5 + (-3) + (-6) = 0 nên có một nghiệm x = 1 - Nếu đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì đa thức đó có một nghiệm là -1 Ví dụ: Đa thức a)... nhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng như cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phương pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải.'' Một số kinh nghiệm trong phân tích đa thức thành nhân tử '' ở trên đây giúp học... nghiệp, nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong huyện nhà trong thời gian đến Sáng kiến kinh nghiệm ' 'Kinh nghiệm về phân tích đa thức thành nhân tử' ' mà tôi đã viết trên đây có lẽ sẽ còn hạn chế Mong tổ chuyên môn trong trường, đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ tích cực cho việc giảng dạy Ba Động, ngày 25 tháng 02 năm 2014 Người thực hiện Bùi Tấn