SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “ỨNG DỤNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN TRONG VIỆC GIẢI TỐN ĐẠI SỐ Ở TRƯỜNG THPT” A – MỞ ĐẦU – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình đường trịn phương trình đường cong hay gặp mơn tốn nhà trường phổ thơng Khái niệm đường trịn phương trình đường trịn khơng nhiều, hệ thống tập đa dạng phong phú vơ Những ứng dụng quan trọng giải bất phương trình, tìm GTLN,GTNN biểu thức, biện luận số nghiệm hệ phương trình … Đó cơng việc “hình học hóa mơn đại số” Sử dụng phương pháp lời giải “đẹp,dễ nhớ thoáng” Đứng trước tốn biện luận hệ phương trình, tìm GTLN, GTNN biểu thức phải xác định phương pháp giải Có nhiều tác giả nghiên cứu dạng tập nhiều cách giải khác nhau; dùng định lý thuận, đảo dấu tam thức bậc hai; tách ghép đánh giá; dùng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpski…Song khai thác triệt để có hệ thống việc sử dụng phương trình đường trịn vào việc biện luận hệ phương trình chưa có Rất nhiều tốn nhờ ứng dụng phương pháp đường tròn giải cách ngắn gọn dễ dàng Thông qua đề tài : - Cung cấp cho học sinh phương pháp hay việc giải số toán đại số - Phát triển tư sáng tạo cho học sinh - Giúp học sinh cách nhìn logic chương trình tốn phổ thơng Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài : Các dạng phương trình, hệ phương trình chương trình tốn phổ thơng: phương trình đại số, phương trình siêu việt - Phương trình đường thẳng, đường trịn Nghiên cứu phạm vi chương trình tốn phổ thơng Vì lý tơi chọn đề tài : “ Ứng dụng đường thẳng đường tròn việc giải toán đại số trường THPT ” B – CƠ SỞ LÝ LUẬN LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG Dạng tổng quát phương trình đường thẳng : Ax + By + C = ( A2+B2 ≠ 0) Dạng tổng quát phương trình đường trịn tâm I(a,b) bán kính R có phương 2 trình : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 Điều kiện để phương trình : x + y + 2ax + 2by + c = phương trình đường trịn : a2 + b2 - c > Cơng thức tính khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng (d) có phương trình : Ax + By + C = ( A2+B2 ≠ 0) Ax + By + C d ( M,d ) = A + B2 Điều kiện để đường thẳng (d) : Ax + By + C = tiếp tuyến đường tròn ( C ) tâm I(a;b) bán kính R : d(I;d)=R Sự tương giao hai đồ thị y=f(x) y=g(x).Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình : f(x)=g(x) Sự biểu diễn đường cong mặt phẳng tọa độ,cách xác định miền đường thẳng đường trịn thỏa mãn bất phương trình,hệ bất phương trình Vị trí tương đối hai đường tròn ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R đường tròn 2 ( C’) : ( x − a ') + ( y − b' ) = R ' • • • • ( C ) ∩ ( C') ( C ) ⊂ ( C')  ( C' ) ⊂ ( C ) ( C ) ∩ ( C') ( C ) ∩ ( C') điểm hai điểm phân biệt Phương tích điểm M(x0;y0) đường tròn (C): ( x − a ) + ( y − b ) = R tâm I(a;b) bán kính R : 2 P( M/ (C) )= MA.MB = IM − R = ( x − a ) + ( y − b ) − R 2 Nếu M nằm đường trịn ta có : P( M/ (C) )= MT2 (với MT tiếp tuyến với đường tròn điểm T) 10 Trục đẳng phương hai đường trịn khơng đồng tâm : ( C ) : ( x − a ) + ( y − b) = R 2 ( C’) : ( x − a ') + ( y − b' ) = R ' 2  a ≠ a '   ÷  b ≠ b '  Phương trình trục đẳng phương (C) (C’) : ( a − a ' ) x + ( b − b ' ) y − ( a − a ' ) − ( b − b ' ) + R '− R = C – NỘI DUNG ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẠI SỐ Ứng dụng đường trịn để giải phương trình 1.1 Cơ sở lý thuyết : Một số phương trình đại số sau số bước biến đổi xuất dạng giao điểm đường cong nên ta xét tương giao đường cong để giải phương trình ban đầu 1.2 Phương pháp:  Bước 1: Biểu diễn phương trình ban đầu tương giao đường cong  Bước : Biểu diễn đường cong xuất bước mặt phẳng tọa độ  Bước : Xét tương giao đường cong : - Nếu hai đồ thị khơng cắt phương trình cho vơ nghiệm Nếu hai đồ thị cắt điểm phương trình cho có nhiêu nghiệm 1.3 Bài tốn áp dụng Bài toán 1: Giải biện luận theo m phương trình : m + x + m − x = m ( 1) Giải: + Nếu m < ⇒ Phương trình (1) vơ nghiệm + Nếu m = ⇒ x + − x =  x≥0 ⇔x=0 TXĐ :  − x ≤  ⇒ x=0 nghiệm phương trình + Nếu m > Đặt    m + x = u m+x =u  ⇒  m − x = v ⇒ u + v = 2m m−x = v   u, v ≥ x + v = m u + v = 2m  (1) trở thành  u ≥  v ≥ ( 2) Nghiệm (2) giao điểm hai đường thẳng : » đường tròn (C) : u2+v2=2m tâm O(0;0) Đường thẳng (d) : u+v=m cung AB bán kính R = 2m Từ hình vẽ ta thấy (2) có nghiệm ⇔ OH ≤ d ( O;d ) ≤ R = 2m ⇔ m≤ m ≤ 2m ⇔ 2m ≤ m ≤ 2m ⇒ 2m ≤ m ≤ 4m ⇒2≤m≤4 Khi : u2+(m-u)2=m ⇔ 2u − 2mu + m − = m ± 4m − m ⇔ u1,2 =  m ± 4m − m 2 ⇒ x1,2 = u 1,2 − m =     −m ÷ ÷  m 4m − m =± Vậy : m > + Nếu :  phương trình (1) vơ nghiệm m < + Nếu m=0 phương trình (1) có nghiệm x=0 + Nếu ≤ m ≤ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : x1,2 m 4m − m =± * Mở rộng toán : Các tốn sau sử dụng tương giao hai đồ thị để giải 1) A − x ± B + x = C 2) A − f ( x ) ± B + f (x) = C Trong A,B,C biểu thức chứa tham số m đại lượng chứa tham số Bài toán 2: Xác định m để phương trình sau có nghiệm: cos x + − cos x + cos x − cos x = m • Cơ sở: Xuất hai đại lượng đối cosx − cos x ta đặt ẩn phụ theo ẩn u,v sau xét tương giao đường thẳng đường trịn để giải phương trình cho • Lời giải: • Đặt u = cos x u ≤ 1;1 ≤ v ≤  v = − cos x  u = cos x ⇒ ⇒ u + v2 = 2  v = − cos x ( ) Khi phương trình (1) trở thành :  ( u + v ) −  = m u + v + u + v + uv = m   2 u + v =   u + v = ⇔   −1 ≤ u ≤  −1 ≤ u ≤ 1 ≤ v ≤  1 ≤ v ≤ ( u + v ) + 2(u + v) − 2m − =  u + v = ⇔ −1 ≤ u ≤ 1 ≤ v ≤  3   u + v = − ± 2m + m ≥ −  ÷  2   ⇔ u + v = −1 ≤ u ≤  1 ≤ v ≤ ( *) v d":1 d'1 C B d2 -1 A 1 O -1 u d1 Coi (*) giao điểm đường cong : ( C ) : u2+v2= với −1 ≤ u ≤ ; ≤ v ≤ Đường thẳng (d1) : u + v = −1 + 2m + Đường thẳng (d2) : u + v = −1 − 2m + Ta có (d1) (d2) hai đường thẳng song song với song song với ( ∆ ) ¼ Đường trịn ( C ) : u2+v2= thỏa mãn −1 ≤ u ≤ ; ≤ v ≤ cung tròn ABC hình vẽ Mà (d2) ln nằm phía trùng với ( ∆ ) cón (d1) ln nằm phía ¼ trùng với ( ∆ ) ⇒ ( d ) ∩ ABC ¼ ⇒ (d ) chạy miền từ (d1) qua A // Vậy để hệ có nghiệm : ( d1 ) ∩ ABC ( ∆ ) đến (d1’’) qua B // ( ∆ ) ⇒ ≤ −1 + 2m + ≤ ⇔ ≤ 2m + ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ 3 (Thỏa mãn điều kiện m ≥ − ) Vậy phương trình cho có nghiệm : −1 ≤ m ≤ • • Mở rộng tốn : Các tốn sau sử dụng tương giao đường cong để giải để giải x + A − x + x A − x = m (A số) f (x) + A − f (x) + f (x) A − f (x) = m (A số) f (x) + A − f (x) + f (x) A − f (x) = B (A_const,B_chứa tham số) Tất tốn chuyển thành tốn khác sau : Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm,có nghiệm,có nghiệm : a) x + A − x + x A − x = m (A số) b) f (x) + A − f (x) + f (x) A − f (x) = m (A số) Bài toán : Cho phương trình : 1+ x + − x + (1+ x) ( − x) =a a) Giải phương trình a=3 b) Xác định a để phương trình cho có nghiệm • Cơ sở : Xuất hai đại lượng đối x –x nên chuyển phương trình cho hệ phương trình với ẩn u v,khi làm biến x ta thu phương trình • Mở rộng toán Các toán sau mở rộng tốn trên: Bài : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm phân biệt : ( x − 1) + ( y + ) = m  2  x + ( y − 1) = ( m + 1) Bài : Tìm m để hệ phương trình sau vơ nghiệm : ( x − 1) + ( y + ) = m  2  x + ( y − 1) = ( m + 1) Bài : Tìm m để hệ phương trình sau vơ nghiệm,có nghiệm nghiệm nhất,có nghiệm phân biệt : ( x − 1) + ( y − m ) =  2 ( x − 2m − 1) + ( y − m + 1) = 3.4 Bài tập tương tự toán ứng dụng đường trịn để giải hệ phương trình ( x + y ) = Bài : Tìm m để hệ sau có nghiệm phân biệt  2  x + y = 2(m + 1) Bài : Biện luận theo tham số a số nghiệm hệ phương trình : x + y = a  2 x + y = (2m + 1)x + my + m − = Bài : Cho hệ phương trình :  2 x + y = Xác định m để hệ phương trình có nghiệm phân biệt (x1;y1),(x2;y2) cho A= (x2-x1)2+(y2-y1 )2 lớn Bài : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :  − x = y   y − my + 3m = m Ứng dụng đường tròn để giải hệ bất phương trình 4.1 Cơ sở lý luận Một số hệ bất phương trình mà bất phương trình hệ xuất dạng phương trình đường cong thường gặp biểu diễn chúng lặt phẳng tọa độ ta giải hệ bất phương trình ban đầu nhờ vào việc xét tương giao đường cong 4.2 Phương pháp  B1 : Biểu diễn miền điểm thỏa mãn bất phương trình hệ mặt phẳng tọa độ  B2 : Xét tương giao miền  B3 : Dựa vào hình vẽ biện luận hệ bất phương trình 4.3 Một số tốn cụ thể Bài tốn 1: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm : ( x + 1) + y ≤ m  2 ( y + 1) + x ≤ m ( 1) ( 2) • Cơ sở lý luận Vế trái bất phương trình (1) (2) có dạng phương trình đường trịn Cịn vế phải phụ thuộc vào m xét tương giao hai bất phương trình trường hợp chúng phương trình đường trịn Miền thỏa mãn hai bất phương trình giao hệ có nghiệm • Lời giải Xét phương trình : (x+1)2+y2=m (1’) Nếu m0 (1’) phương trình đường trịn (C1) tâm I1(-1 ;0) bán kính R = m Xét phương trình x2+(y+1)2=m (2’) trường hợp m>0 (2’)là phương trình đường trịn (C2) tâm I2(0 ;-1) bán kính R = m - Ta có tập hợp điểm thỏa mãn (1) làm phần bên đường trịn (C1) - Ta có tập hợp điểm thỏa mãn (2) làm phần bên đường tròn (C2) - Ta thấy (C1) (C2) cắt hệ ln có nhiều nghiệm y -1 O x -1 - Vậy để hệ bất phương trình có nghiệm (C1) tiếp xúc (C2) ⇔ I1I = R + R ⇔ 2=2 m ⇔m= Vậy với m = hệ bất phương trình cho có nghiệm • Khai thác mở rộng tốn Bài : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm : ( x + 1) + y ≤ m  2 ( y + 1) + x ≤ m ( 1) ( 2) Bài : Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm : ( x + 1) + y ≤ m  2 ( y + 1) + x ≤ m ( 1) ( 2) Thay việc cho bán kính thay đổi ta cho tâm thay đổi cịn bán kính khơng đổi Bài tốn : Tìm a để hệ sau có nghiệm :  x + y ≤   x + y + 2x(y − 1) + a = ( 1) ( 2) • Cơ sở lý luận Nếu xét dấu bất phương trình (1) ta có phương trình đường thẳng.Cịn (2) sau chuyển vế bình phương xuất phương trình đường trịn.Nên ta đưa toán việc xét tương giao đường thẳng đường trịn • Lời giải ( 1) ⇔ x + y − ≤ tập hợp điểm thỏa mãn bất phương trình nằm mặt phẳng kể đường thẳng x+y-2 =0.Phần mặt phẳng phần khơng bị gạch chéo hình vẽ ( 2) ⇔ 2x(y − 1) + a = − x − y Theo (1) (x;y) thỏa mãn (1) ⇒ x + y ≤ 2⇒ 2−x− y≥ ( ) ⇔ 2xy − 2x + a = + x + y + 2xy ⇔ ( x − 1) + ( y − ) = a + ( 2' ) 2 2 + Nếu a+1 −1 ⇒ a ≥ − thỏa mãn Vậy a ≥ − hệ cho có nghiệm • Mở rộng tốn Thay cho việc xét tương giao hai đường ta xét tương giao nhiều đường Thay xét tương giao đường thẳng đường tròn ta xét tương giao đường tròn đường cong Bài tốn : Tìm m để hệ bất phương tình sau có nghiệm  x + y ≥ 2m +  2  x + (y − 1) ≤ m ( 1) ( 2) • Cơ sở lý luận (1) (2) có dạng phương trịn đường trịn,nên ta chuyển việc giải toán việc xét tương giao hai đường trịn • Lời giải - Ta thấy với m