SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI CHO BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN" ĐẶT VẤN ĐỀ Năm học 2009-2010 năm học tiếp tục thực vận động “Học tập làm theo gương đạo đức Hồ Chí Minh”, “Hai khơng_bốn nội dung”, “Mỗi thầy gương đạo đức, tự học tự sáng tạo”, với chủ đề “Năm học đổi quản lí nâng cao chất lượng giáo dục” với phong trào xây dựng “trường học thân thiện, học sinh tích cực” Nghị TW2 khố VIII khẳng định “ Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy truyền thụ chiều, rèn luyện nều tư cho người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, đại vào trình dạy học” Do q trình dạy học địi hỏi đội ngũ thầy giáo phải tích cực học tập, không ngừng nâng cao lực chuyên môn, đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, bồi dưỡng khả tự học, khả vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại say mê, hứng thú học tập cho học sinh Trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh cịn gặp nhiều lúng túng việc giải tốn hình học tọa độ nói chung, có nhiều ngun nhân dẫn đến tình trạng nói trên, theo tôi, nguyên nhân chủ yếu học hình học toạ độ, học sinh “giải hình học đại số”, khơng để ý đến tính chất hình học Các phương pháp giải cịn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp tốn trọng tìm cách giải cho riêng tốn mà khơng có cách nhìn tổng qt Chính vậydẫn đến tình trạng em bị lúng túng trước câu hỏi câu hỏi xoay quanh vấn đề: Viết phương trình đường thẳng khơng gian Với vai trị giáo viên dạy Toán qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi thầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm hướng giải đơn giản cho toán, làm cho học sinh nhớ kiến thức sở để sáng tạo Tơi xin trình bày số kinh nghiệm việc giải tốn Viết phương trình đường thẳng khơng gian : “Phân dạng định hướng cách giải cho tốn viết phương trình đường thẳng không gian” CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong chương trình Sách giáo khoa có đề cập đến hai dạng phương trình đường thẳng:Phương trình tham số phương trình tắc Như để xác định phương trình đường thẳng hai dạng trên, người học phải xác định được: +) Điểm mà đường thẳng qua +) Véctơ phương đường thẳng Nhưng trường hợp, ta tìm cách dễ dàng hai đại lượng nói trên, nhiều vấn đề khác toán học Bài tốn viết phương trình đường thẳng chủ yếu có hai dạng: tường minh khơng tường minh Dạng tường minh: - Các đại lượng để giải tốn đề cho sẵn, dạng tốn chủ yếu để người học củng cố công thức - Với tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian, dạng tường minh theo tơi là: Viết phương trình tham số (hoặc tắc)của đường thẳng biết: 1) Hai điểm mà đường thẳng qua 2) Một điểm mà đường thẳng qua véctơ phương Dạng không tường minh: - Các đại lượng để giải toán ẩn số điều kiện định đó, dạng tốn địi hỏi người học phải biết kết hợp kiến thức, có tư logíc tốn học, vận dụng linh hoạt điều kiện có đề Trong đề tài xin bàn dạng tốn khơng tường minh, dạng tốn chủ yếu xuất kì thi, học sinh thường găph phải khó khăn dạng tốn này, trước hết tơi xin chia nhỏ thành hai tốn: Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng không gian biết điểm qua Ở toán đề cho biết điểm qua,không cho trực tiếp phương đường thẳng, buộc học sinh phải xác định phương đường thẳng dựa vào điều kiện khác toán Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn số điều kiện cho trước Ở toán đề không cho trực tiếp điểm qua phương đường thẳng, buộc học sinh phải xác định đại lượng dựa vào điều kiện tốn Ngồi việc phân dạng tốn, cần phải hướng dẫn cho học sinh định hướng cách giai đứng trước toán Trong toán Viết phương trình đường thẳng khơng gian, người học cần ý đến điều kiện xác định đường thẳng không gian, đặc biệt ý đền hai điều kiện xác định đường thẳng sau: +) Biết hai điểm qua +) Biết hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Và hướng giải chủ yếu cho tốn mà tơi đưa ra: Định hướng thứ nhất: Tìm hai điểm mà đường thẳng qua Khi xác định hai điểm qua hiển nhiên ta có hai đại lượng cần thiết để hình thành phương trình dạng tham số dạng tắc Định hướng thứ hai: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm Một vấn đề đặt là: phương trình dạng tổng qt đường thẳng khơng trình bày sách giáo khoa, học sinh để dạng tổng qt có chấp nhận hay khơng? khơng chấp nhận làm nào? Các khắc phục khơng có khó khăn, bạn hướng dẫn học sinh chuển dạng tham số thơng qua ví dụ sau: Ví dụ 1: (Cách thứ nhất) Đường thẳng ∆ tập hợp điểm có tọa độ thoả mãn hệ: x − y + 2z − =  2 x + y + z − = Ta đặt ẩn làm tham số Đặt:  x − y − + 2t = 3 x − + 3t =  x = − t z = 1+ t ⇒  ⇒ ⇒ 2 x + y + t = 2 x + y + t =  y = −2 + t Vậy ta có phương trình dạng tham số ∆ x = 1− t   y = −2 + t z = 1+ t  ( t ∈ R) Ví dụ 2: (Cách thứ hai) Đường thẳng ∆ tập hợp điểm có tọa độ thoả mãn hệ:  x − y + z − =   x + y + z − = +) Điểm qua: Với z =1 (α ) (β) ( I) thay vào hệ (I) ta có: x − y = x = ⇔  2 x + y =  y = −2 Suy ∆ qua ( I) M ( 1; −2;1) +) Đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng nên có véctơ phương tích có hướng hai mặt phẳng uur uur uur u∆ =  nα , nβ  = ( −3;3;3) Vậy ∆ có phương trình dạng tham số:  x = − 3t   y = −2 + 3t  z = + 3t  ( t ∈ R) Ngoài trường hợp cụ thể, với mối quan hệ toán cần hướng cho học sinh sáng tạo, tìm tịi cách giải CƠ SỞ THỰC TIỄN Sau nghiên cứu áp dụng vào tiết dạy cho học sinh, tơi thấy học sinh khơng cịn lúng túng trước tốn hình học dạng nữa, mà sau số tập định, em nắm nguyên tắc để giải toán “ Xác địn điểm qua véctơ phương” Đa số em học sinh từ trung bình trở lên tự tin làm hết tập SGK tập sách tập hình học nâng cao 12 Các em tự đặt câu hỏi: Cịn cách giải khác cho tốn khơng? Từ kích thích tị mị tìm cách giải cho tốn cụ thể có nhiều em tìm số lời giải độc đáo khác cho toán Biết kết hợp kiến thức học để giải tốn hình học khó NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI Trên sở kiến thức hình học giải tích trình bày sách giáo khoa Hình học 12 Kiến thức đường thẳng khơng gian lớp 11.Tơi xin trình bày nội dung đề tài số Bài toán mà phương pháp giải tốn rút từ hai định hướng cớ nêu Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng khơng gian biết điểm qua +) Điểm qua cho đề +) Phương đường thẳng xác định thông qua đại lượng, mối quan hệ tốn Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M ( 1; 2;3) vng góc với mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : M ( 1; 2;3) +) Mặt phẳng (α) ⇔ có tọa độ điểm thuộc mặt phẳng véctơ pháp tuyến: uur nα ( 2; −3;1) +) Quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Các cách giải: Cách 1: Vì đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (α)uurnên song song trùng với giá véctơ pháp tuyến mặt phẳng (α).Vậy ∆ nhận nα ( 2; −3;1) làm véctơ phương nên có phương trình dạng tham số:  x = + 2t   y = − 3t z = +1  ( t ∈ R) Cách 2: Vì đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (α) nên ∆ tập hợp điểm N ( x; y; z ) cho: uuuur uur  x − = 2t  x = + 2t  MN = tnα   ⇔  y − = −3t ⇔  y = − 3t  t ∈ R z − = t z = + t   ( t ∈ R) ( I ) Hệ (I) phương trình dạng tham số đường thẳng ∆ (Cách giải thứ đề xuất từ học sinh) Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M ( −1;2;5 ) song song với hai mặt phẳng: ( P ) :3x + y − z + = ( Q ) :2 x − y + z − = Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: M ( −1; 2;5 ) +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : +) Hai mặt phẳng : (P) ⇔ có véctơ pháp tuyến: (Q) ⇔ có véctơ pháp tuyến: uur nP ( 3;1; −5 ) uur nQ ( 2; −1;1) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ song song với hai mặt phẳng, suy có phương vng góc với hai véctơ pháp tuyến hai mặt phẳng 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Từ mối qua hệ đường thẳng ∆ với hai mặt phẳng (P) (Q) dẫn đến đường thẳng ∆ r uur uur có phương u =  nP ; nQ  = ( −4; −13; −5 ) Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tắc: ∆: x +1 y − z − = = −4 −13 −5 Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng qua điểm A ( −2;1;3) , cắt hai đường thẳng ∆1 : x −1 y − z + = = −1 ∆2 : x + y − z +1 = = −1 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm qua đường thẳng cần tìm : +) Đường thẳng ∆1 qua điểm M ( 1; 2; −1) A ( −2;1;3) có véctơ phương ur u1 ( 1; −1;1) +) Đường thẳng ∆2 qua điểm N ( −2;3; −1) có véctơ phương +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng ∆1 uur u2 ( −1; 2;1) ∆2 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Từ mối quan hệ ta có hai hướng giải sau: Định hướng 1: +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 nên xác định mặt phẳng ( α ) +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆2 nên xác định mặt phẳng ( β ) Vậy đường thẳng ∆ giao hai mặt phẳng ( α ) ( β ) Định hướng 2: +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 P +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆2 Q Vậy đường thẳng ∆ đường thẳng PQ Từ dẫn đến cách giải Cách giải: Cách 1: • Gọi ( α ) mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt ∆ uuuur ur AM ( 3;1; −4 ) u1 ( 1; −1;1) , uur uuuur ur nα =  AM ; u1  = ( −3; −7; −4 ) Vậy ( α ) có hai phương suy pháp tuyến ( α ) : • Gọi ( β ) mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt ∆ uuur AN ( 0; 2; −4 ) uur uuur uur nβ =  AN ; u2  = ( 10; 4; ) Vậy ( β ) có hai phương Suy đường thẳng cần tìm có phương: Hay ∆ có phương trình:  x = −2 + t  ∆ :  y = − 17t  z = + 29t  Cách 2: uur u2 ( −1; 2;1) ∆1 ∆2 , suy pháp tuyến ( α ) : r uur uur u =  nα ; nβ  = ( 2; −34;58 ) Gọi P giao điểm ∆ ∆1 P ∈ ∆1 ⇒ P ( + t ; − t ; −1 + t ) Gọi Q giao điểm ∆ ∆ Q ∈ ∆ ⇒ Q ( −2 − t ';3 + 2t '; −1 + t ' ) Mặt khác ba điểm P, A, Q thuộc đường thẳng ∆ nên thẳng hàng hay: uuur QA ( t '; −2 − 2t '; − t ' ) , uuur PA ( −3 − t ; −1 + t; − t )  t ' = 15 t ' = −3k − tk t '+ 3k + tk =  uuur uuur    QA = k PA ⇔ −2 − 2t ' = −k + tk ⇔ 2t '− k + tk = −2 ⇔ k = 15  − t ' = 4k − tk t '+ 4k − tk =    26  tk = − 15  t'= Với 15 qua A nên có uuur  34 58  QA  ; − ; ÷ Hay đường thẳng  15 15 15  x + y −1 z − ∆: = = phương trình: −17 29 ta có : r ∆ có phương: u ( 1; −17; 29 ) ∆1 P Cách 3: Ta có: r uuuur ur  AM ; u1  = ( −3; −7; −4 )   Gọi u ( a; b; c ) (a + b2 + c2 ≠ ) , • uuur uur  AN ; u2  = ( 10; 4; )   phương đường Q A ∆2 thẳng ∆ cần tìm uuuur ur r AM , u1 , u đồng phẳng uuuur ur r ⇔  AM , u1  u = ⇔ 3a + 7b + 4c = uuur uur r Ba vectơ AN , u2 , u đồng phẳng uuur uur r ⇔  AN , u2  u = ⇔ 10a + 4b + 2c = +) Ba vectơ +) ( 1) ( 2) Từ (1) (2): 3a + 7b + 4c = ⇔  5a + 2b + c = Vì 3a + 7b − 20a − 8b = b = −17 a ⇔  c = −5a − 2b c = 29a r a + b + c ≠ ⇒ a ≠ véctơ u ( a; −17 a; 29a ) hay đường r u ( 1; −17; 29 ) qua A nên có phương trình: thẳng cần tìm có phương ∆: x + y −1 z − = = −17 29 Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua  x = − 2t  d1 :  y = + 4t z = − t  đồng thời vng góc với d1 cắt d2:biết , d2 : A ( 1; 2;3) x −1 y + z − = = −1 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: A ( 1; 2;3) +)Điểm qua đường thẳng cần tìm : +)Đường thẳng +) Đường thẳng d1 d2 M ( 6;1; ) qua điểm qua điểm +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt ur u1 ( −2; 4; −1) uur phương u2 ( 2;1; −1) có véctơ phương N ( 1; −2;3) có véctơ d2 Đường thẳng ∆ vng góc với d1 (có thể cắt khơng cắt) 2) Cần xác định véctơ phương đường thẳng ∆ Từ mối quan hệ ta có hai hướng giải sau: Không thể dựa vào điều kiện ∆ cắt d1 mối qua hệ khơng chắn xảy Định hướng 1: (Xác định điểm qua) +)Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng +)Đường thẳng ∆ vng góc với d2 d1 P nên uuur ur uuur ur AP ⊥ u1 ⇔ AP.u1 = Suy đường thẳng ∆ đường thẳng PA Định hướng 2: +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng +) Đường thẳng ∆ vng góc với vng góc với d1 d2 nên xác định mặt phẳng ( α ) nên xác định mặt phẳng ( β ) qua A d1 Vậy đường thẳng ∆ giao hai mặt phẳng ( α ) ( β ) Từ dẫn đến cách giải 10 vng góc với mặt phẳng (P) Vì ∆1 ∆ Mặt khác chéo nên ∆1 khơng ∆ cắt (α) M vng góc với (P) nên ∆1 cắt đường thẳng qua M vuông góc với (P) Vây đường thẳng cần tìm ∆ đường thẳng qua M vng góc với mặt phẳng (P) Ta tìm M Mặt phẳng (α) qua M1 có pháp tuyến uur ur uur nα = u1 , nP  = ( −4;3; −1) suy ra: 4x + 3y − z − = Tọa độ điểm M nghiệm hệ:  x = + 3t '  y = 1− t ' −3  ⇒ ( + 3t ' ) + ( − t ' ) − ( t ' ) − = ⇒ t ' =  z = t ' 4 x + y − z − = Với t'= −3  3 ⇒ M  − ; ; − ÷  4 4 Suy đường thẳng có phương trình: y− z+ 4= 4= 1 −1 x+ Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng: ∆1 : x − y − z − 10 = = −1 ∆2 : x+4 y −3 z −4 = = −7 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +)Đường thẳng +)Đường thẳng ∆1 ∆2 ur qua M ( 6;1;10 ) có phương u1 ( 1; 2; −1) qua M ( −4;3; ) uur u phương ( −7; 2;3) có 17 +)Quan hệ: Đường thẳng ∆ vng góc cắt Đường thẳng ∆ vng góc cắt ∆1 ∆2 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Cách 1: (Xác định hai điểm qua) Gọi M, N giao điểm đường thẳng ∆ với +) M ∈ ∆1 ⇒ M ( + t ;1 + 2t ;10 − t ) ∆1 ∆2 +) N ∈ ∆ ⇒ N ( −4 − 7t ';3 + 2t '; + 3t ' ) uuuur +) MN ( −10 − 7t '− t; + 2t '− 2t ; −6 + 3t '+ t ) uuuur ur uuuur ur  MN ⊥ u1  MN u1 = ( −10 − 7t '− t ) + ( + 2t '− 2t ) − ( −6 + 3t '+ t ) = ⇔  uuuur uur ⇔  uuuur uur  −7 ( −10 − 7t '− t ) + ( + 2t '− 2t ) + ( −6 + 3t '+ t ) =  MN ⊥ u2  MN u2 = t '+ t = t ' = −1 ( −10 − 7t '− t ) + ( + 2t '− 2t ) − ( −6 + 3t '+ t ) = ⇔ ⇔ ⇔ 56 + 62t '+ 6t = t = −7 ( −10 − 7t '− t ) + ( + 2t '− 2t ) + ( −6 + 3t '+ t ) = uuuur Suy M ( 7;3;9 ) , MN ( −4; −2; −8 ) , hay đường vng góc chung có phương trình:  x = + 2t  y = 3+t  z = + 4t  Cách 2: (Đường thẳng giao hai mặt phẳng) Ta có: ur uur u1 ; u2  = ( 8; 4;16 )   su đường vuông góc chung có phương Gọi (α) mặt phẳng xác định ∆ ∆1 Vậy (α) qua điểm uur r ur pháp tuyến: nα = u; u1  = ( −9;6;3) nên có phương trình: r u ( 2;1; ) M ( 6;1;10 ) có véctơ M ( −4;3; ) có véctơ 3x − y − z − = Gọi (β) mặt phẳng xác định ∆ ∆ Vậy (β) qua điểm uur r uur pháp tuyến: nβ = u; u2  = ( −5; −34;11) nên có phương trình: x + 34 y − 11z − 38 = Vậy đường vng góc chung tập hợp điểm có tọa độ thỏa mãn hệ: 18 3 x − y − z − =  5 x + 34 y − 11z − 38 = z = + 4t Đặt: thay vào hệ ta có: 3 x − y = 4t +  x = + 2t ⇔  5 x + 34 y = 44t + 49  y = 1+ t Vậy đương vng góc chung cần tìm có phương trình: x − y −1 z −1 = = Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz Cho mặt phẳng (P) : x + y − 5z + = phương trình tham số đường thẳng đường thẳng ∆ d: x − y −1 z − = = Viết nằm (P), cắt vuông góc với d Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến +) Đường thẳng d qua +) Quan hệ: Đường thẳng M ( 2;1;7 ) uur nP ( 1;3; −5 ) uur có phương ud ( 1; 2;1) ∆ ⊂ ( P) Đường thẳng ∆ cắt d d ⊥∆ 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: • Điểm qua: Vì đường thẳng ∆ cắt d nằm mặt phẳng (P) nên qu agiao điểm d va (P).Tọa độ giao điểm nghiệm hệ:  x + y − 5z + =  x = 14  x + y − 5z + =    ⇔  y = 25  x − y −1 z − ⇔  y = 2x −  = = z = x +  z = 19   Vậy ∆ qua điểm M ( 14; 25;19 ) •Véctơ phương: 19 Cách 1: Vì ∆ nằm mặt phẳng (P) nên có phương vng góc với véctơ pháp tuyến (P), nên có phương: r uur uur u =  nP ; ud  = ( 13; −6; −1) Suy ∆ có phương trình: Cách 2: Gọi Ta có: Mặt khác:  x = 14 + 13t   y = 25 − 6t  z = 19 − t  N ( x; y; z ) điểm thuộc uuuur MN ( x − 14; y − 25; z − 19 ) uuuur uur  MN n p =  MN ⊂ ( P ) ⇔  uuuur uur   MN ⊥ d  MN ud = đường thẳng ∆ cần tìm, đó: d ∆ ( x − 14 ) + ( y − 25 ) − ( z − 19 ) = ⇔ ( x − 14 ) + ( y − 25 ) + ( z − 19 ) =  x + y − 5z + = ⇔  x + y + z − 83 = Đặt z=t, d’ P  x = 181 − 13z ⇔  y = −89 + z ta có phương trình tham số đường thẳng:  x = 181 − 13t  ⇔  y = −89 + 6t z = t  ( t ∈ R) (Trong cách 2, đường thẳng ∆ giao tuyến mặt phẳng (α) với mặt phẳng (P), (α) chứa d vơng góc với (P) ) Ví dụ 10 Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường phân giác hai đường thẳng: x − y +1 z − ∆1 : = = −2  x = + 4t  ∆ :  y = −3  z = + 3t  20 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: ∆1 +) Đường thẳng ∆1 +) Đường thẳng ∆ đi qua điểm qua M ( 2; −1;3) M ( 1; −3;5 ) có phương ur u1 ( 1; 2; −2 ) uur có phương u2 ( 4;0;3) +) Quan hệ: Đường phân giác ∆ tập hợp điểm nằm mặt phẳng xác định ∆ đồng thời cách hai đường thẳng 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: ∆1 Đường phân giác qua giao điểm A hai đường thẳng ∆2 Tọa độ giao điểm A nghiệm hệ: Đặt  x = + 4t  x = + 4t x =  y = −3  y = −3     y = −3 ⇔  z = + 3t ⇔ ⇒ A ( 1; −3;5 )  z = + 3t   z =  x − = y +1 = z −  4t − = −2 = 3t + t =  −2  −2 ur  ur u1  2  v1 = ur =  ; ; − ÷ u1  3   uur  vuur = u2 =  ;0;   uuur  5 ÷   Ta có: ur uur  17  ur uur  19  v1 + v2 =  ; ; − ÷, v1 − v2 =  − ; ; − ÷  15 15   15 15  Hai đường thẳng cắt có hai phân giác +) Phân giác phương trình: d2 có phương phương với x −1 y + z − = = 17 10 −1 phương trình: +) Phân giác d1 d1 d2 có phương phương với x −1 y + z − = = −7 10 −19 Ví dụ 11 Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng 21 ur uur v1 + v2 ur uur v1 − v2 có tọa độ: ( 17;10; −1) nên có có tọa độ: ( −7; 2; −19 ) nên có x = + 4t  d : y = + 2t z = −3 + t  nằm mặt phẳng ( P ) : −x + y + 2z + = Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P) cách d khoảng 14 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến +) Đường thẳng d qua M ( 2;3; −3) +) Quan hệ: Đường thẳng uur nP ( −1;1; ) có r u phương ( 4; 2;1) ∆ ⊂ ( P) Đường thẳng ∆ / /d 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Cách 1: Đường thẳng ∆ có phương r u ( 4; 2;1) với d Điểm qua: Gọi A ( x0 ; y0 ; z0 ) hình chiếu M đường thẳng ∆, suy ra: ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( z0 + 3) = 14  AM = 14  AM = 14  uuuur r    AM ⊥ d ⇔  AM u = ⇔  ( x0 − ) + ( y0 − ) + ( z0 + ) = A∈ P A∈ P − x + y + z + = ( ) ( ) 0    ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( z0 + 3) = 14  ⇔ 4 x0 + y0 + z0 − 11 = − x + y + z + = 0  Đặt z0 = 11 − 2t , ta có hệ: ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( 14 − 2t ) = 14 ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( 14 − 2t ) = 14   ⇔ 4 x0 + y0 − 2t = ⇔  y0 = −2 x0 + t − x + y + 22 − 4t + = −3x − 3t + 27 = 0   22 ( x0 − ) + ( y0 − 3) + ( 14 − 2t ) = 14 ( − t ) + ( 3t − 21) + ( 14 − 2t ) = 14   ⇔  y0 = −18 + 3t ⇔  y0 = −18 + 3t x = − t x = − t    t =  14t − 196t + 672 =  t =   ⇔  y0 = −18 + 3t ⇔  y0 = −18 + 3t x = − t x = − t    Với  x0 =  t = ⇒  y0 = ,  z = −5  ⇒ A ( 1;6; −5) Đường thẳng cần tìm có phương trình: Với  x0 =  t = ⇒  y0 = ,  z = −1  x −1 y − z + = = ⇒ A ( 3;0; −1) Đường thẳng cần tìm có phương trình: x − y z +1 = = Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn có phương trình: x −1 y − z + = = x − y z +1 = = Cách 2: (Giao hai mặt phẳng) Đường thẳng cần tìm giao mặt phẳng (P) với mặt phẳng (α) vng góc với (P) cách d khoảng 14 Mặt phẳng (α) có véctơ pháp tuyến: uur uur uur nα = ud ; nP  = ( 3; −9;6 ) nên phương trình có dạng: x − y + 2z + d = Mặt khác: d ( d , ( α ) ) = 14 ⇔ d ( M , ( α ) ) = 14 ⇔ 2−9−6+ d 23 1+ + = 14  d = −1 ⇔ d − 13 = 14 ⇔   d = 27 Với d = −1 ⇒ ( α ) : x − y + z − = Đường thẳng cần tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ: y = x = x − 3y + 2z − =   ⇒  x + 2z − = ⇒  y =  −x + y + 2z + =  −x + 2z + = z = −1    x = + 4t  2t y =  z = −1 + t  Đường thẳng có phương trình: Với d = 27 ⇒ ( α ) : x − y + z + 27 = Đường thẳng cần tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ: y = x = x − 3y + 2z + 27 =   ⇒ x + 2z + = ⇒ y =  −x + y + 2z + = −x + 2z + 11 = z = −5   Đường thẳng có phương trình:  x = + 4t  2t y =  z = −1 + t  Vậy có hai đường thẳng cần tìm:  x = + 4t  2t y =  z = −1 + t   x = + 4t  2t y =  z = −1 + t  Cách 3: (Sử dụng tập hợp điểm) Gọi K ( x '; y '; z ') +) điểm thuộc đường thẳng cần tìm Ta có: K ∈ ( P ) ⇔ − x '+ y '+ z '+ = +) d ( K ; d ) = 14 (1) (2) Gọi (β) mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng (P) Mặt phẳng (β) có pháp tuyến qua M ( 2;3; −3) có phương trình: x − y + z + 13 = uur uur r nβ =  nP , u  = ( −3;9; −6 ) 24 cóvéctơ pháp tuyến Ta có: d ( K ; d ) = 14 ⇔ d ( K ; ( β ) ) = 14 ⇔ x '− y '+ z '+ 13 14 = 14  x '− y '+ z '+ 13 = 14 ⇔ x '− y '+ z '+ 13 = 14 ⇔   x '− y '+ z '+ 13 = −14  x '− y '+ z '− = ⇔  x '− y '+ z '+ 27 = Từ (1) (3), đặt z ' = + 3t , ( 3) ( 4) ta được:  x '− y '+ + 6t − =  x ' = 11 + 12t ⇔   − x '+ y '+ + 6t + =  y ' = + 6t Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tham số:  x = 11 + 12t   y = + 6t ( t ∈ R )  z = + 3t  Từ (1) (3), đặt z ' = + 3t , ta được:  x '− y '+ + 6t + 27 =  y ' = 18 + 6t ⇒   − x '+ y '+ + 6t + =  x ' = 25 + 12t Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tham số:  x = 25 + 12t   y = 18 + 6t ( t ∈ R )  z = + 3t  Ví dụ 12 Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình hình chiếu vng góc ∆ đường thẳng x = + t  d : y = z = + t  mặt phẳng ( α ) : x + y − z = Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Mặt phẳng (α): véctơ pháp tuyến uur nα ( 2;3; −1) ur +) Đường thẳng d qua A ( 1;1;1) có phương u1 ( 1;0;1) 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: 25 Cách 1: (Xác định hai điểm qua) Để xác định hai điểm qua đường thẳng ∆: +) Nếu d cắt ( α) N N điểm qua ∆, lấy điểm M d khơng thuộc (α), xác định hình chiếu M’ M (α) Ta có hai điểm qua ∆ +)Nếu d khơng cắt (α) lấy hai điểm phân biệt M, Ntrên d, xác định hinhd chiếu M’, N’ M N (α) Ta có hai điểm qua ∆ Để xét tương giao d (α), ta xét hệ: x = + t x = + t x = + t x = −3 y =    y = y = ⇔ ⇔ ⇔ ( I ) : zy == 11+ t z = 1+ t   z = + t z = −3  2 ( + t ) + − ( + t ) =   2x + 3y − z = 2 + 2t + − − t = t = −4  Vậy d giao với (α) N ( −3;1; −3) , đường thẳng ∆ qua điểm N Gọi d’ đường thẳng qua A vuông góc với (α), nhận véctơ pháp tuyến (α) phương Có phương trình:  x = + 2t1   y = + 3t1 z = 1− t  ( t1 ∈ R ) Hình chiếu vng góc M mặt phẳng (α) giao điểm đường thẳng d’ với mặt phẳng (α).Có tọa độ nghiệm hệ:  x = + 2t1  x = + 2t1   y = + 3t x = , y = ,z =  y = + 3t     7 ⇔ ⇔   z = − t1  z = − t1 t = −  x + y − z =  ( + 2t1 ) + ( + 3t1 ) − ( − t1 ) =   suy 3 9 M ' ; ; ÷ 7 7 Đường thẳng ∆ đường thẳng NM’ qua N ( −3;1; −3) có phương uuuuur 24 30  NM '  ; − ; ÷ 7   có phương trình: 26 x = −3 + 4t  y = − t z = −3 + 5t  ( t2 ∈ R ) Cách 2: (Xác định hai mặt phẳng có giao đường thẳng cần tìm) Gọi ( β ) mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) , mp ( β ) qua A ( 1;1;1) có véctơ pháp tuyến uur uur ur nβ =  nα ; u1  = ( 3; −3; −3) , phương trình x − y − z +1 = Hình chiếu vng góc cần tìm giao (α) ( β ) , thỏa mãn hệ: x − y − z +1 =  2 x + y − z = Đặt z = 1+ t , ta có: 1  y= − t  x − y − t = 2 x − y − 2t =  5 ⇒ ⇒   x + y − − t = 2 x + y − − t =  x = + t  5 Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình:   x = + 4t   y = −t   z = + 5t   Cách 3: (Sử dụng tập hợp điểm) Gọi M điểm thuộc đường thẳng d, M ( + t;1;1 + t ) Hình chiếu d’ d tập dợp điểm hình chiếu M mặt phẳng ( α ) Trong khơng gian tọa độ Oxyz Viết phương trình hình chiếu vng góc ∆ đường thẳng x = + t  d : y = z = + t  mặt phẳng 27 Ví dụ 13 Trong không gian tọa độ Oxyz Cho đường thẳng phẳng ( α ) : x + y + z − = ∆: x −1 y +1 z +1 = = −1 mặt 1.Viết phương trình hình chiếu vng góc d ∆ mặt phẳng (α) 2.Viết phương trình hình chiếu song song theo phương l: đường thẳng ∆ mặt phẳng (α) x + y z +1 = = −1 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +)Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến uur nP ( 1;1; −1) +)Đường thẳng ∆1 qua M ( −1;1; −2 ) +)Đường thẳng ∆2 qua M ( 2;1;0 ) +)Quan hệ: Đường thẳng ur có phương u1 ( 2;3;1) ur có phương u1 ( 3; −1;1) ∆ ⊥ ( P) Đường thẳng ∆ cắt ∆1 ∆2 2)Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Ví dụ 14 Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x+2 y z+3 = = −2 mặt phẳng ( P ) : 2x + y − z − = 1.Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng (P) 2.Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng (P) 28 Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +)Đường thẳng d M ( −2;0; −3) có r pháp tuyến n ( 2;1; −1) qua +)Mặt phẳng ( P ) có +)Quan hệ: Đường thẳng Đường thẳng ur phương u1 ( 1; −2; ) qua mặt phẳng ( P ) d' đối xứng với d cắt mặt phẳng ( P ) d 2)Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng ∆ Cách giải: Ví dụ 15 Trong khơng gian tọa độ Oxyz Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng:  x = + 2t  ∆ :y = t  z = −2 + t  ( t ∈ R) , ∆1 : x + y −1 z +1 = = 1 Viết phương trình đường thẳng d1 , d ∆2 : x − y +1 z −1 = = −1 đối xứng với 29 ∆1 , ∆ qua ∆ Định hướng giải quyết: Đề cho đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Đường thẳng ∆ qua M ( 1;0; −2 ) +) Đường thẳng ∆1 qua M ( −3;1; −1) +) Đường thẳng ∆2 qua M ( 2; −1;1) r có phương u ( 2;1;1) ur có phương u1 ( 2;1;1) có uur u phương ( 2; −1;1) +) Quan hệ: 1) Quan hệ đại lượng cho: ∆ ∆1 song song với ∆ ∆2 cắt nhau 2) Quan hệ đại lượng cần tìm với đại lượng cho d1 đối xứng với ∆1 qua đường thẳng ∆ d đối xứng với ∆2 qua đường thẳng ∆ 2) Cần xác định điểm qua véctơ phương đường thẳng cần tìm Cách giải: 1) Xác định đường thẳng M1 Cách 1: (Xác định điểm qua) Lấy hai điểm • M ( −3;1; −1) ∈ ∆1 M ( 1;0; −2 ) ∈ ∆ Ta B1 ( x1 ; y1 ; z1 ) điểm đối xứng với A1 uuuur uuuuur có: MB1 ( x1 − 1; y1; z1 + ) , M 1M ( 4; −1; −1) Vì B1 Gọi đối xứng với A1 ∆1 d1 ∆ M • qua M qua I nên I trung điểm d1 • B1 A1 B1 , hay x −1 =  x1 = uuuur uuuuur   MB1 = M 1M ⇔  y1 = −1 ⇔  y1 = −1 ⇒ B1 ( 5; −1; −3)  z + = −1  z = −   Mặt khác ∆ phương với ∆ ∆1 song song với nên d1 30 song song với ∆, hay d1 có Vậy d1 có phương trình:  x = + 2t  d1 :  y = − + t  z = −3 + t  ( t ∈ R) Cách 2: (Sử dụng tập hợp điểm) Lấy Gọi d1 A ( 1;0; −2 ) ∈ ∆ K ∈ ∆1 , suy ra: K ( −3 + 2t ;1 + t ; −1 + t ) tập hợp điểm K1 ( x1 ; y1 ; z1 ) đối xứng với K qua A Vậy: 4 − 2t = x1 − 4 − 2t = x1 −  x1 = − 2t uuur uuuur    ⇔ −1 + t = y1 KA = AK1 ⇔ −1 − t = y1 ⇔  y1 = −1 + t  −1 − t = z +  −1 − t = z +  z = −3 − t 1     x = − 2t   y = −1 + t  z = −3 − t  hay đường thẳng cần tìm có phương trình: 31