Chương Chương BÀI TOÁN CAUCHY-DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TRONG MIỀN KHÔNG CHÍNH QUY Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thành Anh Học viên: Trần Thị Hòa Mã học viên: K24-0109 Hà Nội, 26-10-2016 Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 / 15 Chương Chương Mở đầu Lý chọn đề tài Các toán biên không dừng (hyperbolic, parabolic, ) thường xét miền quy, nghĩa miền không thay đổi theo thời gian Tuy nhiên, nhu cầu thực tiễn, toán biên phương trình không dừng miền thay đổi theo thời gian nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Miền người ta gọi miền không quy (non-regular) Có nhiều cách tiếp cận toán loại Trong khuôn khổ đề tài luận văn, quan tâm đến phương pháp xấp xỉ miền để xét phương trình parabolic miền không quy Bởi vậy, chọn đề tài “Bài toán Cauchy-Dirichlet phương trình parabolic miền không quy”, nội dung nghiên cứu dựa kết công trình [8] Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 / 15 Chương Chương Mở đầu Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính giải toán Cauchy-Dirichlet phương trình parabolic miền không quy Phương pháp nghiên cứu Vận dụng phương pháp xấp xỉ miền để chứng minh tính giải toán đặt Cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Bài toán Cauchy-Dirichlet phương trình parabolic miền không quy 2.1 Phát biểu toán 2.2 Tính nghiệm 2.3 Nghiệm toán miền xấp xỉ 2.4 Sự tồn nghiệm Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 / 15 Chương Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian H 1,2 (Q) Giả sử < T < ∞, kí hiệu Q = (0, T ) × Ω = {(t, x) : t ∈ (0, T ); x ∈ Ω} gọi trụ Rn+1 với đáy Ω, chiều cao T Khi H 1,2 (Q) = {u(t, x) ∈ L2 (Q) : ∂u ; Dx u; Dx2 u ∈ L2 (Q)} ∂t Chuẩn H 1,2 (Q) xác định T (|u|2 + |∇u|2 + |Dx2 u|2 + | u =( Học viên: Trần Thị Hòa Ω Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh ∂u | )dxdt)1/2 ∂t Hà Nội, 26-10-2016 / 15 Chương Chương Kiến thức chuẩn bị 1.2 Định lý xấp xỉ miền Giả sử Ω miền tùy ý, bị chặn Rn Khi đó, tồn dãy miền Ω , > cho Ω = {x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > } lim Ω = Ω nghĩa lim µ(Ω\Ω ) = 0, → với ∂Ω trơn Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 / 15 Chương Chương 2.1 Phát biểu toán Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 / 15 Chương Chương 2.1 Phát biểu toán Giả sử Ω tập mở R2 , xác định Ω = {(t, x1 ) ∈ R2 : < t < T ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)}, T số dương, hữu hạn; ϕ1 , ϕ2 hàm giá trị thực, liên tục Lipschitz [0, T ] cho: ϕ(t) := ϕ2 (t) − ϕ1 (t) > 0, t ∈ [0, T ] Hàm ϕ triệt tiêu t = t = T Giả thiết hàm ϕ1 ϕ2 thỏa mãn Học viên: Trần Thị Hòa ϕi (t)ϕ(t) → t → 0, i = 1, 2, (1) ϕi (t)ϕ(t) → t → T , i = 1, (2) Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 / 15 Chương Chương 2.1 Phát biểu toán Cho số dương cố định bi , với i = 1, 2, , N − Giả sử Q miền thuộc không gian (N + 1) chiều, xác định Q =Ω× Xét toán N−1 i=1 (0, bi ) ∂t u − N k=1 ∂xk u = f Q, u = ∂Q\ΓT , (3) ΓT phần biên Q t = T f ∈ L2 (Q) Trong luận văn này, nghiên cứu tính giải toán (3) không gian Sobolev H01,2 (Q), với H01,2 (Q) = {u ∈ H 1,2 (Q) : u|∂Q\ΓT = 0}, Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 / 15 Chương Chương 2.2 Tính nghiệm Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 / 15 Chương Chương 2.2 Tính nghiệm Định nghĩa Nghiệm mạnh toán (3) hàm u thuộc không gian H01,2 (Q) thỏa mãn N ∂x2k u = f với h.k.n (t, x) ∈ Q ∂t u − k=1 Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 / 15 Chương Chương 2.2 Tính nghiệm Định nghĩa Nghiệm mạnh toán (3) hàm u thuộc không gian H01,2 (Q) thỏa mãn N ∂x2k u = f với h.k.n (t, x) ∈ Q ∂t u − k=1 Định lý 2.1 Nghiệm toán (3) Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 / 15 Chương Chương 2.3 Nghiệm toán miền xấp xỉ Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 / 15 Chương Chương 2.3 Nghiệm toán miền xấp xỉ Ở phần thay miền Q Qα = {(t, x1 ) ∈ R2 : 1 < t < T − ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)} × α α N−1 (0, bi ), i=1 với α > Do ϕ( α1 ) > ϕ(T − α1 ) > Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 / 15 Chương Chương 2.3 Nghiệm toán miền xấp xỉ Ở phần thay miền Q Qα = {(t, x1 ) ∈ R2 : 1 < t < T − ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)} × α α N−1 (0, bi ), i=1 với α > Do ϕ( α1 ) > ϕ(T − α1 ) > Định lý 2.2 Bài toán ∂t u − N k=1 ∂xk u = f Qα , u = ∂Qα \ΓT − , (4) α có nghiệm u ∈ Qα t = T − α Học viên: Trần Thị Hòa f ∈ H01,2 (Qα ) Trong đó, ΓT − phần biên L2 (Qα ) Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh α Hà Nội, 26-10-2016 / 15 Chương Chương 2.4 Sự tồn nghiệm Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 10 / 15 Chương Chương 2.4 Sự tồn nghiệm Kí hiệu un ∈ H 1,2 (Qn ) nghiệm toán (3) tương ứng với số hạng bên vế phải fn = f |Qn ∈ L2 (Qn ) N−1 Qn = Ωn × (0, bi ), i=1 Ωn = {(t, x1 ) ∈ R2 : Học viên: Trần Thị Hòa 1 < t < T − ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)} n n Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 10 / 15 Chương Chương 2.4 Sự tồn nghiệm Kí hiệu un ∈ H 1,2 (Qn ) nghiệm toán (3) tương ứng với số hạng bên vế phải fn = f |Qn ∈ L2 (Qn ) N−1 Qn = Ωn × (0, bi ), i=1 Ωn = {(t, x1 ) ∈ R2 : 1 < t < T − ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)} n n Mệnh đề 2.1 Tồn số K1 không phụ thuộc vào n cho un Học viên: Trần Thị Hòa H 1,2 (Qn ) ≤ K fn L2 (Qn ) ≤ K1 f Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh L2 (Q) Hà Nội, 26-10-2016 (5) 10 / 15 Chương Chương 2.4 Sự tồn nghiệm Định lý 2.3 Bài toán (3) có nghiệm u ∈ H01,2 (Q) thỏa mãn đánh giá u Học viên: Trần Thị Hòa H 1,2 (Q) ≤K f L2 (Q) Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 11 / 15 Chương Chương 2.4 Sự tồn nghiệm Định lý 2.3 Bài toán (3) có nghiệm u ∈ H01,2 (Q) thỏa mãn đánh giá u H 1,2 (Q) ≤K f L2 (Q) Chứng minh Chọn dãy miền Qn , n = 1, 2, tương tự Mục 2.3 cho Qn ⊆ Q Khi Qn → Q, n → ∞ Xét nghiệm un ∈ H 1,2 (Qn ) toán Cauchy-Dirichlet ∂t un − N k=1 ∂xk un = f Qn , un = ∂Qn \ΓT − , (6) n ΓT − phần biên Qn t = T − n1 n Giả sử un 0-mở rộng un đến Q, tức un (t, x) = Học viên: Trần Thị Hòa un (t, x) (t, x) ∈ Qn , (t, x) ∈ Q\Qn Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 12 / 15 Chương Chương 2.4 Sự tồn nghiệm Định lý 2.3 Bài toán (3) có nghiệm u ∈ H01,2 (Q) thỏa mãn đánh giá u H 1,2 (Q) ≤K f L2 (Q) Chứng minh.(tiếp) Mệnh đề 2.1 cho thấy tồn số C cho un L2 (Q) + ∂t un L2 (Q) ∂ α un + L2 (Q) ≤C f L2 (Q) |α|≤2 Do vậy, ta cho dãy tăng thích hợp số nguyên nj , j = 1, 2, tồn hàm u(t, x), v (t, x) vα (α đa số |α| ≤ 2) L2 (Q) cho unj u L2 (Q), ∂t unj v L2 (Q), ∂ α unj vα L2 (Q), j → ∞ Ta u nghiệm mạnh cần tìm Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 13 / 15 Chương Chương Kết luận Luận văn xét toán Cauchy-Dirichlet phương trình parabolic miền không quy Kết nhận là: • Chứng minh tính nghiệm toán, thể Định lý 2.1 • Vận dụng phương pháp xấp xỉ miền chứng minh tồn nghiệm toán, thể Định lý 2.3 Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 14 / 15 Chương Chương EM XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN! Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 15 / 15 [...]... ∂t unj v trong L2 (Q), ∂ α unj vα trong L2 (Q), khi j → ∞ Ta sẽ chỉ ra u là nghiệm mạnh cần tìm Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 13 / 15 Chương 1 Chương 2 Kết luận Luận văn xét bài toán Cauchy- Dirichlet đối với phương trình parabolic trong miền không chính quy Kết quả chính nhận được là: • Chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán, thể hiện trong Định... Chương 2 2.3 Nghiệm của bài toán trong miền xấp xỉ Ở phần này chúng ta thay miền Q bởi Qα = {(t, x1 ) ∈ R2 : 1 1 < t < T − ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)} × α α N−1 (0, bi ), i=1 với α > 0 Do đó ϕ( α1 ) > 0 và ϕ(T − α1 ) > 0 Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 9 / 15 Chương 1 Chương 2 2.3 Nghiệm của bài toán trong miền xấp xỉ Ở phần này chúng ta thay miền Q bởi Qα = {(t,... Chương 2 2.4 Sự tồn tại nghiệm Định lý 2.3 Bài toán (3) có nghiệm u ∈ H01,2 (Q) thỏa mãn đánh giá u 2 H 1,2 (Q) ≤K f 2 L2 (Q) Chứng minh Chọn một dãy miền Qn , n = 1, 2, tương tự như trong Mục 2.3 sao cho Qn ⊆ Q Khi đó Qn → Q, khi n → ∞ Xét nghiệm un ∈ H 1,2 (Qn ) của bài toán Cauchy- Dirichlet 2 ∂t un − N k=1 ∂xk un = f trong Qn , un = 0 trên ∂Qn \ΓT − 1 , (6) n trong đó ΓT − 1 là phần biên của Qn khi... Chương 2 2.2 Tính duy nhất nghiệm Định nghĩa Nghiệm mạnh của bài toán (3) là hàm u thuộc không gian H01,2 (Q) và thỏa mãn N ∂x2k u = f với h.k.n (t, x) ∈ Q ∂t u − k=1 Định lý 2.1 Nghiệm của bài toán (3) là duy nhất Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 8 / 15 Chương 1 Chương 2 2.3 Nghiệm của bài toán trong miền xấp xỉ Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn... (Qn ) là nghiệm của bài toán (3) tương ứng với số hạng bên vế phải fn = f |Qn ∈ L2 (Qn ) trong N−1 Qn = Ωn × (0, bi ), i=1 khi Ωn = {(t, x1 ) ∈ R2 : Học viên: Trần Thị Hòa 1 1 < t < T − ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)} n n Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 10 / 15 Chương 1 Chương 2 2.4 Sự tồn tại nghiệm Kí hiệu un ∈ H 1,2 (Qn ) là nghiệm của bài toán (3) tương ứng với số hạng bên vế phải... Q bởi Qα = {(t, x1 ) ∈ R2 : 1 1 < t < T − ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)} × α α N−1 (0, bi ), i=1 với α > 0 Do đó ϕ( α1 ) > 0 và ϕ(T − α1 ) > 0 Định lý 2.2 Bài toán 2 ∂t u − N k=1 ∂xk u = f trong Qα , u = 0 trên ∂Qα \ΓT − 1 , (4) α có một nghiệm duy nhất u ∈ Qα khi t = T − 1 α Học viên: Trần Thị Hòa và f ∈ H01,2 (Qα ) Trong đó, ΓT − 1 là phần biên của L2 (Qα ) Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh α Hà Nội,... phương trình parabolic trong miền không chính quy Kết quả chính nhận được là: • Chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán, thể hiện trong Định lý 2.1 • Vận dụng phương pháp xấp xỉ miền chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán, thể hiện trong Định lý 2.3 Học viên: Trần Thị Hòa Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội, 26-10-2016 14 / 15 Chương 1 Chương 2 EM XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN! Học viên: Trần... = f |Qn ∈ L2 (Qn ) trong N−1 Qn = Ωn × (0, bi ), i=1 khi Ωn = {(t, x1 ) ∈ R2 : 1 1 < t < T − ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)} n n Mệnh đề 2.1 Tồn tại một hằng số K1 không phụ thuộc vào n sao cho un Học viên: Trần Thị Hòa H 1,2 (Qn ) ≤ K 1 fn L2 (Qn ) ≤ K1 f Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Anh L2 (Q) Hà Nội, 26-10-2016 (5) 10 / 15 Chương 1 Chương 2 2.4 Sự tồn tại nghiệm Định lý 2.3 Bài toán (3) có nghiệm u... lý 2.3 Bài toán (3) có nghiệm u ∈ H01,2 (Q) thỏa mãn đánh giá u 2 H 1,2 (Q) ≤K f 2 L2 (Q) Chứng minh.(tiếp) Mệnh đề 2.1 cho thấy tồn tại một hằng số C sao cho un L2 (Q) + ∂t un L2 (Q) ∂ α un + L2 (Q) ≤C f L2 (Q) |α|≤2 Do vậy, nếu ta cho một dãy tăng thích hợp các số nguyên nj , j = 1, 2, thì tồn tại các hàm u(t, x), v (t, x) và vα (α là một đa chỉ số và |α| ≤ 2) trong L2 (Q) sao cho unj u trong L2