BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LƯU THỊ HOA TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LƯU THỊ HOA TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐỖ ĐỨC THUẬN Hà Nội - 2016 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa ví dụ thang thời gian 1.2 Tính khả vi, tính khả tích tính hồi quy 1.2.1 Tính khả vi 1.2.2 Tính khả tích 10 1.2.3 Tính hồi quy 13 1.3 Hàm mũ phương trình động lực tuyến tính thang thời gian 15 1.4 1.3.1 Hàm mũ thang thời gian 15 1.3.2 Phương trình động lực tuyến tính 17 Tính ổn định mũ phương trình động lực thường thang thời gian 18 1.4.1 Khái niệm ổn định mũ 19 1.4.2 Tính ổn định mũ phương trình động lực tuyến tính hệ số 21 Chương Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian 25 2.1 Khái niệm số đặc trưng 25 2.2 Tính ổn định nhiễu Lipschitz 30 2.3 Bán kính ổn định 33 i Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 ii Lời cảm ơn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy TS Đỗ Đức Thuận, người nhiệt tình hướng dẫn bảo suốt trình làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới ban giám hiệu thầy cô Khoa Toán Tin Đại học Sư phạm Hà Nội, gia đình, bạn bè tạo điều kiện, giúp đỡ để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2016 Học viên Lưu Thị Hoa Mở đầu Lịch sử toán Lý thuyết thang thời gian (time scale), lần trình bày Stefan Hilger luận án tiến sĩ ông vào năm 1988 (với hướng dẫn Bernd Aulbach) nhằm thống giải tích liên tục rời rạc Việc nghiên cứu lý thuyết thang thời gian dẫn đến số áp dụng quan trọng, chẳng hạn nghiên cứu mô hình mật độ côn trùng, hệ thần kinh, trình biến đổi nhiệt, học lượng tử mô hình bệnh dịch Lý chọn đề tài Việc phát triển lý thuyết "phương trình động lực" thang thời gian, dẫn đến kết tổng quát áp dụng cho thang thời gian hỗn hợp trường hợp liên tục rời rạc Ta lấy thang thời gian tập số thực, kết thu tương tự với kết phương trình vi phân thường Nếu lấy thang thời gian tập số nguyên, kết thu tương tự với kết phương trình sai phân Tuy nhiên, thang thời gian có cấu trúc phong phú nên kết thu tổng quát rộng kết tập số thực tập số nguyên Do vậy, đặc trưng thang thời gian thống mở rộng Trong năm gần đây, phương trình vi phân đại số quan tâm cách rộng rãi phương diện lý thuyết lẫn thực tế Nó xuất nhiều toán thực tế, chẳng hạn mạch điện, phản ứng hóa học, hệ thống giao thông, thiết kế robot, Cùng với lý thuyết phương trình vi phân đại số, có quan tâm khác đến phương trình sai phân đại số xuất chúng nhiều lĩnh vực thực tế, mô hình động lực Leontiev, mô hình tăng trưởng dân số Leslie, toán điều khiển tối ưu suy biến Ngoài ra, phương trình sai phân đại số xuất cách tự nhiên sử dụng kỹ thuật rời rạc hóa để giải phương trình vi phân đại số phần, Vấn đề quan tâm lớn nhà nghiên cứu Sử dụng khái niệm giải tích thang thời gian, phương trình vi phân sai phân đại số viết chung dạng phương trình động lực ẩn thang thời gian Do vậy, cách tự nhiên, câu hỏi đặt là: Liệu kết biết phương trình vi phân đại số hay sai phân đại số mở rộng thống cho phương trình động lực ẩn hay không? Đây vấn đề mà luận văn nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng lý thuyết ổn định phương trình vi phân thường - Đánh giá nhiễu thông qua bất đẳng thức chuẩn ma trận - Sử dụng công cụ giải tích thang thời gian - Sử dụng hệ định lý Hahn - Banach để xây dựng nhiễu Cấu trúc luận văn Trong khuôn khổ luận văn, tập trung nghiên cứu tính ổn định vững phương trình động lực ẩn thang thời gian Nội dung luận văn tổng hợp nghiên cứu trình bày dựa báo [5] phần báo [4] Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn bao gồm chương: • Chương trình bày khái niệm thang thời gian số kết tính ổn định phương trình động lực thường thang thời gian • Chương nghiên cứu tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian Phần đầu chương xét tính ổn định phương trình động lực ẩn Phần sau dành để nói tính ổn định vững bán kính ổn định phương trình động lực ẩn tuyến tính với hệ số số Mặc dù thân cố gắng trình nghiên cứu hoàn thành luận văn, thời gian khả nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót chưa hoàn thiện Tôi xin tiếp thu ý kiến nhận xét trao đổi nhà toán học, độc giả người quan tâm đến vấn đề Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm thang thời gian; -đạo hàm -tích phân hàm xác định thang thời gian giới thiệu Bên cạnh đưa khái niệm hàm mũ suy rộng thang thời gian, tính chất hàm mũ thang thời gian liệt kê Nghiệm phương trình tuyến tính không thiết lập cách sử dụng công thức biến thiên số suy rộng Định lý tồn nghiệm trình bày hàm mũ ma trận thang thời gian giới thiệu Trong phần cuối chương đưa khái niệm ổn định mũ phương trình động lực thường thang thời gian Những định nghĩa định lý xem giới thiệu tổng quan thang thời gian, người đọc quan tâm chi tiết xem [3, 6, 7] 1.1 Định nghĩa ví dụ thang thời gian Định nghĩa 1.1.1 Thang thời gian tập hợp đóng tùy ý khác rỗng tập số thực R, ký hiệu T Ta giả sử xuyên suốt thang thời T có tôpô mà cảm sinh từ tôpô tập số thực R với tôpô tiêu chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Cho T thang thời gian, với t ∈ T, ta định nghĩa toán tử nhảy tiến (forward jump) toán tử nhảy lùi (backward jump) sau: Toán tử nhảy tiến: σ : T −→ T, σ(t) := inf {s ∈ T : s > t}, Toán từ nhảy lùi: ρ : T −→ T, ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} Ta quy ước: Nếu t = maxT σ(t) = t; t = minT ρ(t) = t Định nghĩa 1.1.3 Điểm t ∈ T gọi điểm cô lập phải (right-scattered) σ(t) > t, trù mật phải (right-dense) t < supT σ(t) = t, cô lập trái (left-scattered) ρ(t) < t, trù mật trái (left-dense) t > inf T ρ(t) = t Điểm vừa cô lập phải vừa cô lập trái gọi điểm cô lập (isolated), điểm vừa trù mật phải vừa trù mật trái gọi điểm trù mật (dense) Định nghĩa 1.1.4 Hàm số µ : T −→ R+ xác định µ(t) := σ(t)−t, t ∈ T gọi hàm hạt (graininess) thang thời gian T Ký hiệu (a, b)T = {t ∈ T : a < t < b} Để đơn giản, ngoại trừ trường hợp cần nhấn mạnh, từ trở ta viết (a, b); (a, b]; [a, b); [a, b] thay cho (a, b)T (a, b]T ; [a, b)T ; [a, b]T Nếu thang thời gian T có phần tử lớn M điểm cô lập trái ta đặt Tk = T\{M }; Tk = T trường hợp lại Chẳng hạn, [a, b]k = [a, b] b trù mật trái [a, b]k = [a, b) = [a, ρ(b)] b cô lập trái Định lý 1.1.5 Với t0 ∈ T Giả sử {S(t) : t ∈ [t0 , ∞)} họ khẳng định thỏa mãn: Khẳng định S(t0 ) đúng, Nếu t ∈ [t0 , ∞) điểm cô lập phải S(t) S(σ(t)) đúng, Nếu t ∈ [t0 , ∞) điểm trù mật phải S(t) tồn lân cận U t cho S(s) với s ∈ U ∩ (t, ∞), Mệnh đề 2.1.2 Phương trình (2.1) ổn định tồn hàm ϕ ∈ cho với t0 ∈ Tτ , nghiệm x(t; t0 , x0 ) (2.1) thỏa mãn: x(t; t0 , P x0 ) ≤ ϕ( P x0 ) (2.8) với t ≥ t0 , P x0 ∈ D(ϕ) Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử tồn hàm ϕ ∈ thỏa mãn > 0, ta lấy δ = δ( ) > cho ϕ(δ) < , tức (2.8), với ϕ−1 ( ) > δ Nếu x(t; t0 , x0 ) nghiệm tùy ý (2.1) P x0 < δ x(t; t0 , x0 ) ≤ ϕ( P x0 ) < ϕ(δ) < , với t ≥ t0 Điều kiện cần: Giả sử nghiệm tầm thường x ≡ (2.1) ổn định đều, tức > 0, ∃δ = δ( ) > cho với t0 ∈ Tτ bất đẳng thức P x0 < δ kéo theo x(t; t0 , , P x0 ) < , ∀t ≥ t0 Để đơn giản việc tính toán ta chọn δ( ) < Kí hiệu γ( ) = sup{δ( ) : δ( ) có tính chất trên} Rõ ràng δ( ) hàm nhận giá trị dương, tăng theo biến Ngoài ra, ta có δ( ) ≤ theo định nghĩa P x0 < δ( ) x(t; t0 , P x0 ) < , ∀t ≥ t0 1´ Đặt β( ) := γ(t)dt suy β∈ , < β( ) < γ( ) ≤ (2.9) (2.10) Gọi ϕ : [0, supβ) −→ R+ hàm ngược hàm β Rõ ràng ta có hàm ϕ thuộc Với t ≥ t0 , ta kí hiệu Nếu t = ϕ ∈ t = x(t; t0 , P x0 ) ta có x(t; t0 , x0 ) = t = ≤ ϕ( P x0 ), ∀t ≥ t0 28 (Chú ý rằng, từ x(s; t0 , P x0 ) = 0, s ≥ t0 kéo theo x(.; t0 , P x0 )) Xét trường hợp t > Nếu P x0 < β( t ), từ quan hệ (2.4) (2.5) ta có x(s; t0 , x0 ) < t , ∀s ≥ t0 Đặc biệt, x(t; t0 , x0 ) = t ≤ ϕ( P x0 ), ∀t ≥ t0 , miễn sup β > P x0 Bây giờ, ta ký hiệu σ(C, D) phổ cặp ma trận {C, D}, tức tập tất nghiệm phương trình det(λC − D) = Khi C = I , ta viết đơn giản σ(D) thay σ(I, D) Định lý 2.1.3 Phương trình động lực ẩn tuyến tính (2.1) ổn định mũ σ(A, B) ⊂ S , S miền ổn định mũ thang thời gian T Chứng minh Đặt x(t) = T y(t) x(t) Khi đó, ta có P x(t) = y(t) Từ (2.2) (2.3) ta −1 P A−1 B = T diag(B1 , 0m−r )T Từ (2.5) (2.6) phương trình (2.1) trở thành  y ∆ (t) = B1 y(t) z(t) ≡ (2.11) Suy phương trình (2.1) ổn định mũ phương trình tuyến tính y ∆ (t) = B1 y(t) Ta có σ(B1 ) ⊂ S , mặt khác λA − B = W diag(λIr − B1 , λU − Im−r )T −1 Suy det(λA − B) = ←→ det(λIr − B1 ) = Tức σ(A, B) = σ(B1 ), tính ổn định mũ phương trình (2.1) ta σ(A, B) ⊂ S Định lý chứng minh 29 2.2 Tính ổn định nhiễu Lipschitz Trong mục tính ổn định tiệm cận phương trình tuyến tính bảo toàn phần nhiễu phi tuyến Lipschitz đủ nhỏ Xét phương trình phi tuyến dạng Ax∆ = Bx + f (t, x), (2.12) A B ma trận thuộc Rm×m , f (t, 0) = 0, ∀t ∈ T f (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ Rm Bên cạnh ta xét phương trình ứng với phương trình (2.12) Ax∆ = Bx, (2.13) giả sử phương trình có số Ta thấy với t0 ∈ Tτ , x0 ∈ Rm phương trình (2.13) có nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu P (x(t0 ) − x0 ) = Vì hệ có số cặp ma trận {A, B} quy nên ta có khai triển A = W diag(Ir , 0)T −1 , B = W diag(B1 , Im−r )T −1 , (2.14) Ir ma trận đơn vị Rr×r , B1 ma trận thuộc Rm×m Ký hiệu Q = T diag(0r , Im−r )T −1 , P = Im − Q = T diag(Ir , 0m−r )T −1 (2.15) Khi đó, Q phép chiếu lên KerA dọc theo không gian S = {x ∈ Rm : Bx ∈ ImA} Đặt G = A − BQ G khả nghịch Nhân hai vế (2.12) với P G−1 ta (P x)∆ = M x + P G−1 f (t, x), M := P G−1 B = P G−1 BP 30 (2.16) Định lý 2.2.1 (xem [4]) Giả sử phương trình (2.1) giải địa phương Nếu tồn hai hàm a, b ∈ , a xác định [0, ∞) hàm V : Tτ × Rm −→ R+ thỏa mãn a) a( x ) ≤ V (t, P x) ≤ b( P x ), với x ∈ Ωt , t ∈ Tτ , b) V ∆ (t, P x) ≤ −c( P x ), với x ∈ Ωt , t ∈ Tτ , nghiệm tầm thường (2.12) ổn định tiệm cận Từ định nghĩa ổn định mũ sử dụng luận văn, ta thấy hàm hạt thang thời gian T bị chặn Gọi µ∗ = supt∈T µ(t) Ta ký hiệu tập  {λ : |λ + 1∗ | < µ U= {λ : Rλ < 0} µ∗ } µ∗ = 0, µ∗ = 0, giả sử σ(A, B) ⊂ U Do U ⊂ S nên phương trình (2.12) ổn định mũ Nếu µ∗ = 0, ta xác định ma trận ∞ ∗ (I + µ∗ M T )n P T F P (I + µ∗ M )n + QT F Q, H=µ (2.17) n=0 ma trận F giả sử đối xứng xác định dương Rõ ràng H đối xứng xác định dương Do σ(A, B) ⊂ U nên chuỗi hội tụ Ngoài ra, với k ≥ ta có (I + µ∗ M T )k+1 P T F P (I + µ∗ M )k+1 − (I + µ∗ M T )k P T F P (I + µ∗ M )k =(I + µ∗ M T )k+1 P T F P (I + µ∗ M )k+1 − (I + µ∗ M )k + (I + µ∗ M T )k+1 − (I + µ∗ M T )k P T F P (I + µ∗ M )k =(I + µ∗ M T )µ∗ (I + µ∗ M T )k P T F P (I + µ∗ M )k M + µ∗ M T (I + µ∗ M T )k P T F P (I + µ∗ M )k 31 Vì thế, (I + µ∗ M T )n+1 P T F P (I + µ∗ M )n+1 − P T F P n ∗ µ∗ (I + µ∗ M T )k P T F P (I + µ∗ M )k M T =(I + µ M ) k=0 n + µ∗ M T (I + µ∗ M T )k P T F P (I + µ∗ M )k k=0 Cho n → ∞ sử dụng lim (I + µ∗ M T )n P T F P (I + µ∗ M )n = 0, ta n→∞ −P T F P = (I +µ∗ M T )HM +M T H = HM +M T H +µ∗ M T HM (2.18) Trong trường hợp µ∗ = F đối xứng xác định dương, đặt ˆ ∞ H= exp(tM T )P T F P exp(tM )dt + QT F Q, (2.19) dễ dàng kiểm tra ma trận H thỏa mãn phương trình (2.19), H đối xứng xác định dương Định lý 2.2.2 Giả sử phương trình (2.13) có số Khi đó, σ(A, B) ⊂ U số Lipschitz L đủ nhỏ nghiệm tầm thường x ≡ phương trình (2.12) P-ổn định tiệm cận Chứng minh Gọi H ma trận đối xứng xác định dương thỏa mãn phương trình (2.18) Xét hàm Lyapunov xác định V (x) := xT Hx 32 Đạo hàm V dọc theo nghiệm (2.12) ∆ V(2.12) (P x) = ((P x)∆ )T H(P x)σ + (P x)T H(P x)∆ = (M x + P G−1 f (t, x))T H P x + µ(t)(M x + P G−1 f (t, x)) + (P x)T H(M x + P G−1 f (t, x)) (M x + P G−1 f (t, x))T HP x + µ(t)(M x + P G−1 f (t, x))T H (M x + P G−1 f (t, x)) + (P x)T H(M x + P G−1 f (t, x)) ≤ (M x + P G−1 f (t, x))T HP x + µ∗ (M x + P G−1 f (t, x))T H (M x + P G−1 f (t, x)) + (P x)T H(M x + P G−1 f (t, x)) = (P x)T (M T H + HM + µ∗ M T HM )P x + (P G−1 f (t, x))T H (P x+µ∗ M x+µ∗ P G−1 f (t, x))+(P x)T H(I +µ∗ M T )P G−1f (t, x) = −(P x)T P T F P P x + (P G−1 f (t, x))T H(P x + µ∗ M x+ µ∗ P G−1 f (t, x)) + (P x)T H(I + µ∗ M T )P G−1 f (t, x) = −(P x)T F P x + (P G−1 f (t, x))T H(P x + µ∗ M P x + µ∗ P G−1 f (t, x)) + (P x)T H(I + µ∗ M T )P G−1 f (t, x) Do điều kiện Lipschitz ta thấy Qx ≤ K P x K = ( QG−1 B + L QG−1 )/(1 − L QG−1 ) Vì thế, f (t, x) ≤ L(1 + K) P x Kết hợp bất đẳng thức đánh giá ta suy ra, L đủ nhỏ, tồn β > cho ∆ V(2.12) (P x) ≤ −β P x Theo Định lý 2.2.1, phương trình (2.12) P-ổn định tiệm cận 2.3 Bán kính ổn định Bây ta xét phương trình (2.1) với nhiễu có cấu trúc dạng Ax∆ = Bx, 33 (2.20) với [A, B] = [A, B] + DΣE, (2.21) D ∈ Km×l , E ∈ Kq×2m , nhiễu Σ ∈ Kl×q Ma trận DΣE gọi nhiễu có cấu trúc phương trình (2.1) Nếu đặt E = [E1 , E2 ] với E1 , E2 ∈ Kq×m (2.21) tương đương với A = A + DΣE1 , B = B + DΣE2 Dễ thấy rằng, nhiễu có dạng A A + DA ΣA EA , B B + DB ΣB EB , EA ∈ Cq1 ×m , EB ∈ Cq2 ×m , DA = DB ∈ Cm×l , viết lại dạng (2.21) với D = DA = DB , Σ = [ΣA , ΣB ], E = diag(EA , EB ) Ta lý hiệu tập ΞK = {Σ ∈ Kl×q : phương trình (2.20) không quy không ổn định mũ } Định nghĩa 2.3.1 Bán kính ổn định phương trình (2.1) nhiễu có cấu trúc có dạng (2.20) định nghĩa rK (A, B; D, E) = inf { Σ : Σ ∈ ΞK } Sử dụng ký hiệu Eλ = E λIm ký hiệu ∂S biên tập S , ta −Im có định lý sau Định lý 2.3.2 Bán kính ổn định phức phương trình (2.1) nhiễu có cấu trúc dạng (2.21) cho công thức rC (A, B; D, E) = sup Eλ (λA − B)−1 D −1 (2.22) λ∈∞∪∂S Chứng minh Đặt Σ ∈ Cl×q cho phương trình nhiễu (2.20) quy không quy không ổn định mũ Trong trường 34 hợp, ta chọn λ0 ∈ σ(A, B) ∩ (C\S) x = tương ứng đến λ0 , nghĩa (λA − B)x = Từ (2.20) ta λ0 A − B = [A, B] λ0 Im = ([A, B] + DΣE) −Im λ0 Im −Im = λ0 A − B + DΣEλ0 Do đó, (λ0 A − B)x = −DΣEλ0 x Từ suy ra, Eλ0 x = −Eλ0 (λ0 A − B)−1 DΣEλ0 x Do Eλ0 x = 0, Σ ≥ ( Eλ0 (λ0 A − B)−1 D )−1 ≥ sup Eλ (λA − B)−1 D −1 λ∈C\S Như vậy, rC (A, B; D, E) ≥ Ngược lại, cho −1 Eλ (λA − B) D sup −1 λ∈C\S > λ0 ∈ C\S thỏa mãn ( Eλ0 (λ0 A − B)−1 D )−1 ≤ sup Eλ (λA − B)−1 −1 + λ∈C\S Ta tìm vectơ u ∈ C1 thỏa mãn u = ( Eλ0 (λ0 A − B)−1 Du )−1 = Eλ0 (λ0 A − B)−1 D Cho y ∗ hàm tuyến tính xác định C1 cho y ∗ = y ∗ (Eλ0 (λ0 A − B)−1 Du) = Eλ0 (λA − B)−1 Du = Eλ0 (λ0 A − B)−1 D 35 Xét Σ = ( Eλ0 (λ0 A − B)−1 D )−1 u y ∗ , (2.23) x = (λ0 A − B)−1 Du Rõ ràng Σ ≤ ( Eλ0 (λ0 A − B)−1 D )−1 u y ∗ = ( Eλ0 (λ0 A − B)−1 D )−1 , ΣEλ0 (λ0 A − B)−1 Du −u = −u = Eλ0 (λ0 A − B)−1 D (2.24) Do u = 0, Σ ≥ ( Eλ0 (λ0 A − B)−1 D )−1 Kết hợp bất đẳng thức ta Σ = ( Eλ0 (λ0 A − B)−1 D )−1 Hơn nữa, từ (2.2) (2.3) (λ0 A − B + DΣEλ0 )x = 0, nghĩa là, λ0 ∈ σ(A, B), với [A, B] = [A, B] + DΣE, từ suy phương trình Ax∆ (t) = Bx(t) không quy hay không ổn định mũ Điều nghĩa Σ ∈ ΞC suy rC (A, B; D, E) ≤ Σ = ( Eλ0 (λ0 A − B)−1 D )−1 ≤ Eλ (λA − B)−1 D sup −1 + λ∈C\S Vì chọn tùy ý, rC (A, B; D, E) = sup λ∈C\S 36 Eλ (λA − B)−1 D −1 Chú ý hàm G(λ) = Eλ (λA − B)−1 D giải tích C\S Theo nguyên lý cực đại, G(.) đạt giá trị lớn biên ∂S S supλ∈C\S G(λ) = lim G(λ) λ→∞ Như vậy, ta rC (A, B; D, E) = sup Eλ (λA − B)−1 D −1 λ∈∞∪∂S ta điều phải chứng minh Hệ 2.3.3 Bán kính ổn định phức phương trình (2.1) nhiễu có cấu trúc dạng Ax∆ = (B + DB ΣEB )x, (2.25) cho rC (B; DB , EB ) = sup EB (λA − B)−1 DB −1 ; (2.26) λ∈∞∪∂S nhiễu cấu trúc dạng (A + DA ΣEA )x∆ = Bx, (2.27) cho rC (A; DA , EA ) = sup λEA (λA − B)−1 DA −1 (2.28) λ∈∞∪∂S Định lý 2.3.4 rC (B; DB , EB ) > đa thức p(λ) = EB Q(λA − B)−1 DB rC (A; DA , EA ) > đa thức q(λ) = λEA Q(λA − B)−1 DA Đặt E = [E1 , E2 ] Khi đó, rC (A, B; D, E) > đa thức s(λE1 − E2 )Q(λA − B)−1 D 37 Chứng minh Ta có EB (λA − B)−1 DB = EB P (λA − B)−1 DB + EB Q(λA − B)−1 DB Dễ dàng chứng minh lim EB (λA − B)−1 DB λ→∞ = lim EB T diag((λI − B1 )−1 , 0m−r )W −1 DB = λ→∞ Ngoài ra, U k = nên p(λ) = EB Q(λA − B)−1 DB = EB T diag(0r , (λU − Im−r )−1 )W −1 DB k−1 (λU )i )W −1 DB , = EB T diag(0r , − i=0 T, W U (2.14) Q = T diag(0r , Im−r )T −1 , P = Im − Q = T diag(Ir , 0m−r )T −1 Vì thế, lim EB (λA − B)−1 DB tồn ∞ p(λ) không λ→∞ Do ta nhận phần định lý Lập luận tương tự áp dụng để chứng minh cho phần Ta có điều phải chứng minh Hệ 2.3.5 Xét phương trình (2.1) có số Khi đó, rC (A, B; D, E) > rC (A; D, E1 ) > E = [E1 , E2 ] Ví dụ 2.3.6 Ta tính bán kính ổn định phương trình Ax∆ (t) = Bx(t) có cấu trúc nhiễu dạng [A, B] [A, B] = [A, B] + DΣE, 38 ∞ k=0 [2k, 2k T = + 1],     1 −2 −1        A= , B = 0 1 −1 −1  , 0 −1 −1  2     D= −1 −1 −1   3   1 −3    E = [E1 , E2 ] =  −1 0   1 −2 0 ∞ k=0 [2k, 2k + 1], S = {λ ∈ C : Reλ + ln|λ + 1| < 0} Nên ta có ind(A, B) = σ(A, B) = − Do đó, {A, B} ổn định mũ Khi λ ∈ ∂S , cách tính toán trực tiếp ta   λ + −1 −λ   −1  λ−1  (λA − B) = −λ − λ  3λ +  −λ − 1 λ + 3λ + 1, Do T =     λ λ    1  , Eλ = λE1 − E2 = λ −λ −1 , Q=  −2    9 −3 λ λ đó,   −12 −12 −12     Eλ (λA − B)−1 D = 0  3λ −  6 Đặt v ∞ chuẩn lớn C3 Ta có Eλ (λA − B)−1 D = 39 36 , |3λ + 1| ∞ chuẩn tạo sup Eλ (λA − B)−1 D v ∞ ∞ Suy = E0 (−B)−1 D ∞ = 36 λ∈∞∪∂S Từ ta rC (A, B; D, E) = 36 Hơn nữa, ta thấy [A, B]  A [A, B] = [A, B] + DΣE ⇐⇒ B A = A + DΣE1 B = B + DΣE2 , đa thức   3λ 3λ 3λ    = số q(λ) = λE1 Q(λA − B)−1 D =  λ λ λ   2λ 2λ 2λ p(λ) = E2 Q(λA − B)−1 D   3λ 3λ 3λ    =  λ + λ + λ +  = số 2λ − 2λ − 2λ − Do đó, rC (A; D, E1 ) = rC (B; D, E2 ) = 40 Kết luận Trong luận văn, đạt kết sau: 1) Trình bày khái niệm thang thời gian số kết tính ổn định phương trình động lực thường thang thời gian 2) Trình bày tính ổn định phương trình động lực ẩn tuyến tính với hệ số Nghiên cứu đặc trưng cho tính ổn định vững phương trình chịu nhiễu Lipschitz chịu nhiễu cấu trúc Đưa công thức ví dụ tính bán kính ổn định phương trình Ax∆ (t) = Bx(t) với cấu trúc nhiễu dạng [A, B] [A, B] = [A, B] + DΣE Những kết luận văn trình bày dựa báo [5] phần báo [4] Các kết giúp tác giả có hội tìm hiểu sâu phương trình động lực ẩn thang thời gian tính ổn định TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Cabada and D R Vivero (2006), Expression of the Lebesgue ∆integral on time scales as a usual Lebesgue integral; application to the caculus of ∆-antiderivatives, Math Comput Modelling, 43, pp 194–207 [2] C P¨otzsche, S Siegmund and F Wirth (2003), A spectral characterization of exponential stability for linear time-invariant systems on time scales, Discrete and Continuous Dynamical System, 9, no 5, pp 1123-1241 [3] M Bohner and A Peterson (2011), Dynamic equations on time scales: An introduction with applications, Birkhauser, Boston [4] N.H Du, N.C Liem, C.J Chyan and S.W Lin (2011), Lyapunov stability of quasilinear implicit dynamic equations on time scales, Journal of Inequalities and Applications, Art ID 979705, pp 1–27 [5] Nguyen Huu Du, Do Duc Thuan and Nguyen Chi Liem (2011), Stability Radius of Linear Implicit Dynamic Equations with Constant Coefficients on Time Scales, Systems Conrol Letters, 60, pp 596–603 [6] Nguyễn Chí Liêm (2012), Tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian, Luận án Tiến sĩ, Đại học khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN [7] S Hilger (1988), Ein Maβ kettenkalkul mit Anwendung auf Zentrumsmanningfaltigkeiten, Ph.D thesis, Universitat Wurzburg 42 [...]... của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian Chương này nghiên cứu tính ổn định của phương trình động lực ẩn tuyến tính với hệ số hằng Các đặc trưng cho tính ổn định vững của phương trình chịu nhiễu Lipschitz và chịu nhiễu cấu trúc được đưa ra Các kết quả được trình bày dựa trên bài báo [5] và một phần bài báo [4] 2.1 Khái niệm và một số đặc trưng Xét phương trình động lực ẩn trên thang thời gian. .. hóa được Từ Định lý 1.4.7 và Định lý 1.4.8 ta thấy rằng: Trên thang thời gian tổng quát, tập các giá trị riêng không đặc trưng cho tính ổn định mũ của phương trình, ngoại trừ tính ổn định mũ đều 22 2 Nếu phương trình vô hướng x∆ = λx là ổn định mũ đều thì hiển nhiên nó là ổn định mũ, điều ngược lại nói chung là không đúng trên các thang thời gian tùy ý Tuy nhiên, nếu xét trên các thang thời gian tuần... luận văn, khi nói đến chuẩn của vector trong Rm hiểu là ta đang xét chuẩn Euclid; và chuẩn của ma trận là chuẩn cảm sinh từ chuẩn vector 1.4.2 Tính ổn định mũ của phương trình động lực tuyến tính hệ số hằng Bây giờ ta xét điều kiện ổn định mũ của phương trình autonom tuyến tính trên thang thời gian T x∆ = Ax, (1.9) ở đây A ∈ Km×m (K = R hay K = C) Ta ký hiệu tập các giá trị riêng của ma trận A là σ(A)... thang thời gian T, ta có SC (T) ⊂ {λ ∈ C : Rλ < 0} và SR (T) ⊂ (−∞, 0) Định lý 1.4.6 Cho λ ∈ C Phương trình vô hướng x∆ = λx là ổn định mũ khi và chỉ khi λ ∈ SC (T) hoặc λ ∈ SR (T) Do đó, tập được xác định bởi S(T) := SC (T) ∪ SR (T) gọi là miền ổn định mũ của thang thời gian T Đồng thời ta gọi tập S = S(T) := {λ ∈ C : phương trình x∆ = λx là ổn định mũ đều}, là miền ổn định mũ đều của thang thời gian. .. × Rm×m −→ Rm là rd-liên tục Nếu x(t), t ≥ t0 là nghiệm của phương trình động lực x∆ = A(t)x + f (t, x), x(t0 ) = x0 , thì ta có thể biểu diễn ˆ (1.5) t ΦA (t, σ(s))f (s, x(s))∆s, t ≥ t0 x(t) = ΦA (t, t0 )x0 + (1.6) t0 1.4 Tính ổn định mũ của phương trình động lực thường trên thang thời gian Ta xét phương trình động lực thường trên thang thời gian T x∆ = f (t, x) 18 (1.7) ở đây f : T × Rm −→ Rm là... B))(t), với mọi t ∈ Tk Định lý 1.2.21 (R(T, Rm×m ), ⊕) là một nhóm Từ định lý này ta thấy rằng, nếu A, B ∈ R(T, Km×m ) thì A ⊕ B ∈ R(T, Rm×m ) 1.3 1.3.1 Hàm mũ và phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian Hàm mũ trên thang thời gian Ta sẽ áp dụng phép biến đổi trụ, được định nghĩa ở phía dưới để định nghĩa hàm mũ suy rộng trên thang thời gian Định nghĩa 1.3.1 Với h > 0, ta định nghĩa tập các... Xét phương trình tuyến tính x∆ = −5 −4 2 23 1 x (1.10) xác định trên thang thời gian T Ta có các giá trị riêng của ma trận A là −1 và −3, nên A là chéo hóa được +) Nếu lấy T = R, thì σ(A) ⊂ S(R) nên phương trình (1.10) là ổn định mũ +) Nếu lấy T = 2Z và T = 21 Z, thì σ(A) S(2Z) và σ(A) ⊂ S( 21 Z) Do đó, phương trình (1.10) không ổn định mũ với T = 2Z nhưng ổn định mũ với T = 21 Z 24 Chương 2 Tính ổn định. .. tiệm cận =⇒ ổn định và ốn định mũ đều =⇒ ổn định tiệm cận đều =⇒ ổn định đều Hơn nữa, ổn định mũ đều kéo theo ổn định mũ, ổn định tiệm cận đều kéo theo ổn định tiệm cận và ổn định đều kéo theo ổn định Sau đây ta kí hiệu := {ϕ ∈ C([0, a); R+ ) : ϕ(0) = 0, ϕ là hàm tăng nghiêm ngặt; a > 0}; và D(ϕ) là miền xác định của ϕ 27 Mệnh đề 2.1.2 Phương trình (2.1) là ổn định đều nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm... g(t)g(σ(t)) Tính khả tích Về vấn đề xây dựng định nghĩa và các tính chất của tích phân Riemann; khái niệm độ đo Lebesgue và tích phân Lebesgue trên thang thời gian cũng như mối quan hệ giữa hai loại tích phân này được trình bày đầy đủ trong [3] Đồng thời những kết quả rất sâu sắc cho ta quan hệ giữa độ đo Lebesgue trên thang thời gian và độ đo Lebesgue trên R, giữa tích phân trên thang thời gian và tích... , miễn là sup β > P x0 Bây giờ, ta ký hiệu σ(C, D) là phổ của cặp ma trận {C, D}, tức là tập tất cả các nghiệm của phương trình det(λC − D) = 0 Khi C = I , ta viết đơn giản σ(D) thay vì σ(I, D) Định lý 2.1.3 Phương trình động lực ẩn tuyến tính (2.1) là ổn định mũ đều khi và chỉ khi σ(A, B) ⊂ S , ở đây S là miền ổn định mũ đều của thang thời gian T Chứng minh Đặt x(t) = T y(t) x(t) Khi đó, ta có P