Trang 1 Nguyễn Ngọc Giao Ngôn CÁC BÀI TOÁN HAY_CHUYÊN ĐỀ MÁY TÍNH CASIO Bài 1: Tìm 3 abcd bd= Giải: tính căn bậc 3 của 9876 =21(phần nguyên) tính căn bậc 3 của 1023=10 (phần nguyên) suy ra bd có thể bằng:10;11;12; 21. kiểm tra trên máy ta được 21^3=9261 Bài 2: Tìm n nhỏ nhất để 10 3 n + là số chính phương Giải: Cách 1 Gán 0 vào ô nhớ A Lập biểu thức A=A+1:căn bậc 2 của(10+3^A) nhấn = liên tục cho đến khi kết quả là số tự nhiên( kết quả n=24). Cách 2 quy trình bấm phím 0 SHIFT STO A (gán 0 cho A) ấn tiếp: A +1 SHIFT STO A Căn(10 + 3^A) = replay = replay = replay = đến khi nào thấy Căn(10 + 3^A) là một số nguyên thì dừng lại và đọc số A là bao nhiêu kết quả A = 22 vậy n = 22 Bài 3: Tính giá trị gần đúng ( chính xác đến 5 chu số thập phân ) biểu thức sau: 2 2 2 2 1 2 3 19 ( 3) ( 5) ( 7) . ( 39) 2 3 4 20 A = + + + + + + + + Giải: Dùng PP lặp đi. 0 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B A=A+1 : B=B+(A/(A+1)+Căn(2A+1))^2 ===== ĐS: 562,42093 Bài 4: Tính chính xác tổng : 1 x 1! + 2 x 2! + 3 x 3! + 4 x 4! + 5 x 5! + .+16 x 16! Giải: bạn tính trên máy từ 1x1! + 2x2!+ .+12x12! được kết quả là 6227020799 (1) tính tiếp trên máy 13x13! =8.09512704 x 10^10 ấn tiếp - 8.0951x10^10=270400 vậy 13x13!=80951270400 tương tự tính được 14x14!=1220496076800 (2) 15x15!=19615115520000 (3) Trang 2 Nguyễn Ngọc Giao Ngôn 16x16!=334764638208000 (4) lấy (1)(2)(3) và (4) cộng lại ta được kết quả là 355687428095999 Bài 5: Cho a và b là 2 số tự nhiên .Khi chia a 2 + b 2 cho a+b được thương là q và phần dư là r. Hãy tìm tất cả các cặp (a,b) sao cho q 2 + r = 2005 Giai Ta có a 2 + b 2 > 2 ( ) 2 a b+ Do đó: ( ) 2 a b q + ≥ Suy ra: r < a + b < 2q Số chính phương lớn nhất không vượt quá 2005 là 44 2 =1936 Ta có 2005=44 2 + 69=43 2 + 156 Nhưng 156 > 2*43, do đó ta có q=44, r=69. Từ đó suy ra a 2 + b 2 =44(a + b) + 69. Do vậy (a - 22) 2 +(b - 22) 2 =1037 Sau đó dùng phương pháp lặp tính được các cặp số (a,b) thỏa mãn đề bài: (36;51), (51;36), (41;48 ), (48;41). Bài 6: Tim so nho nhat co 10 chu so biet rang so do khi chia cho 5 du 3 va khi chia cho 619 du 237 Giai Cách 1 999999999 SHIFT STO A (gán 999999999 cho A) ghi vào máy A=A+1 : (A - 3) :5 : (A - 237) : 619 ===== . đến khi nào thấy (A - 3) :5 và (A - 237) : 619 có kết quả nguyên thì dừng lại kết quả là 1000000308 Cách 2 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có mười chữ số khi chia cho 619 dư 237 và chia 5 dư 3.(trên máy 500MS) Lấy 1000000000:619=1615508(phần nguyên) gán 1615507 vào ô nhớ A,gán A+1 vào ô nhớ A,Lập biểu thức [(A. 619+237)-3] :5,ấn dấu =,=,= cho máy chạy đến khi cho kết quả là số nguyên(1615509) Bài 7: Tính tổng của dãy số sau: 2 2 2 2 1 2 3 . 1000+ + + + Giài: áp dụng HĐT (a + b)^3 = a^3 + 3a^2.b + 3a.b^2 + b^3 ta có 2^3 = 1^3 + 3.1^2 + 3.1 + 1 3^3 = 2^3 + 3.2^2 + 3.2 + 1 (n+1)^3=n^3 + 3n^2 + 3n + 1 cộng từng vế ta có Trang 3 Nguyễn Ngọc Giao Ngôn 2^3 + 3^3 + . + (n+1)^3= 1^3 + 2^3 + 3^3 + . + 3(1^2 + 2^2 + . + n^2) + 3(1+2+ .+n) +n rút gọn đc. (n+1)^3 - 1^3 + 3(1^2 + 2^2 + . + n^2) + 3(1+2+ .+n) +n suy ra 3(1^2 + 2^2 + . + n^2) = (n+1)^3 - 3n(n+1)/2 - (n+1) = 1/2.n(n+1)(2n+1) suy ra 1^2 + 2^2 + . + n^2 = 1/6xnx(n+1)x(2n+1) áp dụng vào bài toán ta có: 1^2 + 2^2 + . + 1000^2 = 1/6x1000x(1000+1)x(2x1000+1)=333833500 Bài 8: Tìm tổng các ước lẻ của số 804257792 Cách 1 : Ghi vào màn hình : Ấn 0 SHIFT STO A A = A +1 :804257792 ÷ 2^A ấn bằng đến khi A = 20 máy hiện thương là 767 thì dừng ( cách này cho ta đếm và kiểm tra được số A ).Suy ra số 804257792 phân tích được 2^20 x 767. Do vậy 767 là một ước lẻ của 804257792. Tiếp tục tìm ước lẻ của 767 bằng cách dùng PP lặp. Ghi vào màn hình : Ấn 0 SHIFT STO A A = A +1 : 767 ÷ (2A+1) ấn = lần lượt , ta tìm thêm được 2 ước lẻ là 59 ; 13 (Vì 59 x 13 = 767 nên không còn ước lẻ nào khác lớn hơn 1 ) Suy ra số 804257792 có 4 ước số lẻ là : 767; 59; 13; 1 Tổng các ước lẻ là : 767 + 59 + 13 +1 = 840. Cách 2 : Ghi vào màn hình : Ấn 0 SHIFT STO A A = A +1 : 804257792 ÷ (2A+1) ấn = lần lượt , ta thấy với A= 6 suy ra ước lẻ là ( 2 × 6 +1 ) = 13 A= 29 suy ra ước lẻ là ( 2 × 29 +1 ) = 59 Và dễ thấy ước lẻ tiếp theo chính là 13 × 59 = 767 Tiếp tục ấn 804257792 ÷ 767 = 1048576 Ta loại ước chẵn bằng cách chia cho 2 như cách 1. Suy ra 1048576 = 2^20 Kết luận ước lẻ của 804257792 là : 767 ; 59 ; 13 ; 1 Tổng các ước lẻ là : 767 + 59 + 13 +1 = 840. Cách 3 : Phân tích 804257792 = 8x108 +4257792=2^3 x2^8x5^8 +4257792=2^11 (5^8 +2079)=2^11 x392704 Tìm ước lẻ của 392704 .Ta phân tích 392704 thành 390000 + 2704 392704 chia hết cho 13 (vì dễ thấy 390000 chia hết cho 13 và dùng máy thấy 2704 chia hết cho 13). Suy ra ước lẻ thứ nhất là 13 392704:13=30208.Dùng pp lặp như trên để tìm ra thêm ước lẻ của 30208 là 59. Hoặc tính tay và kết hợp với máy tính để thử ta phân tích lần lượt : 30208=3x10^4+208 Trang 4 Nguyễn Ngọc Giao Ngôn =2^4(3x5^4+13)=2^4x1888=>1888=2^3+1880=2^3x236=>236 =200+36 =2^2x(2x5^2+9)=2^2x59 Suy ra tìm được ước lẻ tiếp theo là 59. Kết luận ước lẻ của 804257792 là : 767 ; 59 ; 13 ; 1. Tổng các ước lẻ là : 767 + 59 + 13 +1 = 840. ĐS : 840 Cách 4 : Ghi vào màn hình : Ấn 804257792 = Dùng phím Ans để loại các ước chẵn như sau Ans ÷ 2 ấn = cho đến khi loại hết ước chẵn ta được 767 thì dừng. Do vậy 767 là một ước lẻ của 804257792. Tiếp tục tìm ước lẻ của 767 bằng cách dùng PP lặp. Ghi vào màn hình : Ấn 767 SHIFT STO A A÷(A÷Ans +2) ấn = lần lượt, ta tìm thêm được 2 ước lẻ là 59 ; 13 (Vì 59 x 13 = 767 nên không còn ước lẻ nào khác lớn hơn 1) Suy ra số 804257792 có 4 ước số lẻ là : 767; 59; 13; 1 Tổng các ước lẻ là : 767 + 59 + 13 +1 = 840. Bài 9: Tim so abc sao cho 1000 a b c abc + + = Vì 1<a,b,c<9 Nên 3<a+b+c<27 Tìm các ước của 1000 trong đoạn [3; 27] được 4, 5, 8, 10, 20, 25 Loại trường hợp a+b+c=20; 25 vì 1000/20 và 1000/25 chỉ có hai chữ số. Thử các trường hợp còn lại được số duy nhất thỏa mãn đề bài 125 (1000/125=8=1+2+5) Bài 10: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) biết x,y có 2 chữ so^2 và thỏa mãm phương trình: x 3 -y 2 =x.y Giải: x 3 -y 2 =x.y suy ra y 2 + xy - x 3 =0 áp dụng công thức giải phương trình bậc hai ta có delta = x 2 + 4.x 3 suy ra 2 3 4 2 x x x y − ± + = (vì x nguyên dương) dùng phương pháp lặp ấn 9 SHIFT STO X (vì x có hai chữ số) X=X+1: (-X+ căn(x^2 + 4.x^3))/2: (-X - căn(x^2 + 4.x^3))/2 === ta được (x;y)=(12;36);(20;80) Trang 5 Nguyễn Ngọc Giao Ngôn Bài 11: Tính tổng: M= 1 3 + 2 3 +3 3 +4 3 + +2005 3 +2006 3 . áp dụng hằng đẳng thức (n + 1)^4= n^4 +4.n^3 + 6.n^2 + 4.n + 1 ta có 1^4 = (0 + 1)^4 = 0^4 + 4.0^3 + 6.0^2 + 4.0 + 1 2^4 = (1 + 1)^4 = 1^4 + 4.1^3 + 6.1^2 + 4.1 + 1 3^4 = (2 + 1)^4 = 2^4 + 4.2^3 + 6.2^2 + 4.2 + 1 2006^4 = (2005 + 1)^4 = 2005^4 + 4.2005^3 + 6.2005^2 + 4.2005 + 1 cộng từng vế rồi rút gọn ta đc. 2006^4 = 4(1^3 + 2^3 + .+ 2005^3) + 6(1^2 + 2^2 + +2005^2) + 4(1 + 2 + +2005) +2006(1) Tính tương tự như cách trên ta đc. 1^2 + 2^2 + +2005^2 = 1/6.2005(2005 + 1)(2.2005 + 1) = 2688727055 dễ dáng tính được 1 + 2 + +2005 = 1/2.2005.2006=2011015 từ (1) suy ra 1^3 + 2^3 + .+ 2005^3 = (2006^4 - 6.2688727055 - 4.2011015 -2006)/4 tính trên máy (2006^4 - 6.2688727055 - 4.2011015 -2006)/4=4.04418133.10^12 ghi vào 1^3 + 2^3 + .+ 2005^3=4.04418133.10^12 ấn tiếp -4.0441.10^12=81330280 vậy kết quả là : 4044181330280 Bài 12: Tính kết quả đúng của tích P=13032006.1302207 Giải: Nhập 13032006 x 1302207=1.697036944x${10}^{13}$ Lấy (13032006 x 1302207)-1697036x${10}^{7}$ =9437272 Như vậy kết quả của 13032006 x 1302207=16970369437242 Bài 13: Tìm số abcd có bốn chữ số biết rằng số 2155abcd9 là một số chính phương Giải : Đặt ${A}^{2}$ = 2155abcd9 Vì 2155abcd9 là một số chính phương nên ta lấy căn bậc hai của số nhỏ nhất 215500009 và số lớn nhất 215599999 để xác định khoảng của A $\in$ ${N}^{*}$ Dùng máy tính ta có A$\in$ [14680,14683] Do số 2155abcd9 có số tận cùng là 9 suy ra chỉ có A = 14683 thỏa Hay ${14683}^{2}$ = 215590489 ĐS : 9048 Bài 14: Tim a,b biết f(x)=x^3+ax^2+bx-5,g(x)=x^2+2ax-b;f(3)=g(2);f(2)=g(3). f(3)=27+9a+3b-5;g(2)=4+4a-b;f(3)=g(2) tương đương 5a+4b=-18 f(2)=8+4a+2b-5; g(30=9+6a-b; f(2)=g(3)tương đương 2a-3b=-6 giải hệ phương trình:5a+4b=-18 2a-3b=-6 ta được:a=-78/23;b=-6/23. Trang 6 Nguyễn Ngọc Giao Ngôn Bài 15: CMR 1*1! + 2*2! + . + n*n! = (n+1)! – 1 Giải: 1*1!+2*2!+ .+n*n!=(2-1)*1!+ .+(n-1)*n! =2!+3!+ .+(n+1)!-(1!+2!+ .+n!) =(n+1)!-1 Bài 16: Tính 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9+ + + + + + + Giải: 0 SHIFT STO A 9 SHIFT STO X A=CĂN BẬC X của (X+A) : X=X-1 ====== ĐS : 1,911639216 Bài 17: Tìm n để 2.2 2 + 3.2 3 + 4.2 4 + 5.2 5 +. . .+n.2 n = 2 n+5 Giải: Ấn 2 SHIFT STO X 0 SHIFT STO A A = X x 2 ^ X + A : A - 2 ^ (X+5) : X=X+1 ======= Đến khi A - 2 ^ (X + 5) = 0 --> KQ : n=17 Bài 18:Số nào lớn hơn :1^n+2^n+3^n+ .+9^n và 10^n khi n=2005 Giải: 0<a<1 thì a^m > a^n (m<n) (1^n+2^n+3^n+ .+9^n)/10^n= (1/10)^n + (2/10)^n + + (9/10)^n vì 0 < 1/10 <1; 0 < 2/10 <1; ;0 < 9/10 <1 nên (1/10)^n + (2/10)^n + + (9/10)^n < (1/10)^6 + (2/10)^6 + + (9/10)^6 <1 (với n > 6) suy ra (1^n+2^n+3^n+ .+9^n)/10^n < 1 (với n > 6) suy ra 1^n+2^n+3^n+ .+9^n < 10 ^n (với n > 6) mà n=2005 > 6 nên 1^2005+2^2005+3^2005+ .+9^2005 < 10 ^2005 Bài 19: P(x)=x^4 + a.x^3 + b.x^2 + c.x + d Biết P(1)=1988; P(2)=10031; P(3)=46062; P(4)118075 Tính P(2005) Giải: Cách 1: Đây là phương pháp nội suy newton theo chương trình THCS: Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n điểm C1, C2, ,Cn Ta có thể biểu diễn đa thức dưới dạng P(x)= b1 + b2(x-C1) + b3(x-C1)(x-C2) + +bn(x-C1)(x-C2) (x-Cn) Lần lượt thay các giá trị C1, C2, ,Cn vào đa thức để tìm b1;b2; ;bn phương pháp này thường dùng để xác định đa thức Cách 2: Trang 7 Nguyễn Ngọc Giao Ngôn Dùng nội suy Newton: Đặt P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+A(x-1)(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-2)+C(x-1)+D P(1)=1988 suy ra D=1988 P(2)=10031 suy ra C=10031-D=8043 P(3)=46062 suy ra B=(46062-2C-D)/2=13994 P(4)=118075 suy ra A=(118075-6B-3C-D)/6=3997/3 Vậy P(2005)=2004*2003*2002*2001 tận cùng là 00024 +(3997/3)*2004*2003*2002 tận cùng là 79976 +13994*2004*2003 tận cùng là 83928 +8043*2004 tận cùng là 18172 +1988 tận cùng là 01988 Từ đó P(2005)=26843028284088 Bài 20: Tìm thương của phép chia 654321123456789 cho 1456 Giải: 654321123456789=6543211234*10^5+56789=(4493963*1456+1106)*10^5+39*1456+5 =4493963*1456*10^5+75961*1456+784+39*1456+5 =(4493963*10^5+75961+39)*456+789 Suy ra thương = 4493963*10^5+75961+39 = 449396376000 Bài 21: Tim số thập phân thứ 2007 của phep chia 2007 cho 2008 Giải: 2007/2008=0.999501992 (ghi vào giấy, bỏ số 2 ở cuối vì có thể máy đã làm tròn) 2007 - 2008*99950199E-8 |SHIFT| |STO| A A/2008=2.03187251*10^-9 (ghi tiếp vào chu kỳ(=20318725), bỏ chữ số cuối) A-2008*20318725E-16 |SHIFT| |STO| A A/2008=9.960159363*10^-8 (ghi tiếp vào chu kỳ, bỏ chữ số cuối) A-2008*996015936E-26 |SHIFT| |STO| A . làm tương tự ta có kq 2007/2008=0.999(50199203187250996015936254980079681274900398406374) (50 số ở chu kỳ) 2007-3=/50=2004-50*40=4 vậy số thập phân thứ 2007 của 2007/2008 là 9 Bài 22: Tính 2007 8 Giải: (a+b)^8=a^8 +8.a^7.b +28.a^6.b^2 +56.a^5.b^3 +70.a^4.b^4 +56.a^3.b^5 +28.a^2.b^6 +8.a.b^7 +b^8 Tách 2007= 2000+7 rồi áp dụng HĐT 2007^8=263256425352662725870452801. Trang 8 Nguyễn Ngọc Giao Ngôn Bài 23 : Tìm n thuộc N tìm n sao cho n 2 +10n+1964 là một số chính phương Giải : n^2 + 10n +1964 là số chính phương => n^2 + 10n +1964=m^2 (m thuộc N) => n^2 + 10n + 25 + 1939 =m^2 => (n + 5)^2 + 1939 = m^2 => (m - n - 5)(m + n + 5)= 1939=277x7 vì n,m thuộc N => m - n - 5 < m + n + 5 => m - n - 5=7 và m + n + 5=277 => m - n=12 m + n=272 Giải HPT trình này trên máy được m=142; n=130 vậy n=130 thử lại 130^2+ 10.130 + 1964=142^2 Bài 24 : Cho dãy số với Tính Giải: pt sai phân là gì ? Suy ra _________________________ Dùng tổng cấp số nhân thì Bài 15: Cho u 1 =1; u 2 =1; u n =u n-1 +u n-2 ( day phibonaxi ) tìm UCLN của U 2025 và U 1980 . Bài 16: Tính f(x).f(1-x) biêt f(cotx)= sin2x + cos2x với x thuộc (0; pi) và sinx=0.5787 Bài 17: Cho f(x - 2) = 2x^2 - 5x + 3 a) Tìm f(x) b) Giải phương trình f(x) = 0 Bài 18: Cho các số a1, a2, a3, ., a2006. Biết rằng: ak = (3k^2 + 3k + 1)/(k ^ 2 + k)^3, với mọi = 1, 2, 3, ., 2006. Tính tổng: S = a1 + a2 + a3 + . + a2006. Bài 19: Giải phương trình x^4 + 16x + 8 = 0. . Nguyễn Ngọc Giao Ngôn CÁC BÀI TOÁN HAY_ CHUYÊN ĐỀ MÁY TÍNH CASIO Bài 1: Tìm 3 abcd bd= Giải: tính căn bậc 3 của 9876 =21(phần nguyên) tính căn bậc 3 của 1023=10. 2 =1037 Sau đó dùng phương pháp lặp tính được các cặp số (a,b) thỏa mãn đề bài: (36;51), (51;36), (41;48 ), (48;41). Bài 6: Tim so nho nhat co 10 chu so