BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN VỚI PHỦ ĐẾM ĐƯỢC THEO ĐIỂM MÃ SỐ: Đ2013-03-57-BS Chủ nhiệm đề tài: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 11/2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN VỚI PHỦ ĐẾM ĐƯỢC THEO ĐIỂM MÃ SỐ: Đ2013-03-57-BS Xác nhận quan chủ trì đề tài Chủ nhiệm đề tài TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 11/2014 DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH Thành viên tham gia nghiên cứu đề tài ThS Nguyễn Hoàng Thành Đơn vị phối hợp Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng ii ĐẶT VẤN ĐỀ Trong năm 60 kỷ trước, số tác giả phát đặc trưng mạng có tính chất phủ ảnh khơng gian mêtric qua ánh xạ thích hợp Đây phương pháp hiệu để phân loại lớp khơng gian phân loại tính chất phủ không gian mêtric suy rộng Năm 1973, E Michael K Nagami đưa toán mở: Nếu X s-ảnh thương khơng gian mêtric, có s-ảnh thương phủ-compắc khơng gian mêtric hay khơng? Bài tốn thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm đến chưa có lời giải Qua đó, nhà toán học giới đưa nhiều kết liên quan đến: (1) Đặc trưng ảnh khơng gian mêtric qua ánh xạ thích hợp; (2) Mối quan hệ phủ Lý thuyết không gian mêtric suy rộng; (3) Mối quan hệ ánh xạ có tính chất phủ; (4) Sự bảo tồn không gian, mạng qua ánh xạ Nhờ đó, tác giả thu nhiều kết tính khả mêtric khơng gian tơpơ Hơn nữa, tác giả đặt nhiều toán mở liên quan đến vấn đề Đặc biệt, năm gần mạng đếm theo điểm ánh xạ có tính chất phủ nhiều nhà nghiên cứu tôpô đại cương quan tâm như: J Nagata, G Gruenhage, Y Tanaka, C Liu, S Lin, Y Ge, X Ge , tác giả đưa nhiều kết góp phần to lớn cho lĩnh vực tôpô đại cương CHƯƠNG HỆ L-PONOMAREV VÀ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN MÊTRIC KHẢ LI ĐỊA PHƯƠNG Năm 1994, S Lin đưa khái niệm msss-ánh xạ (mssc-ánh xạ) để đặc trưng không gian với mạng σ -đếm địa phương (tương ứng, σ -hữu hạn địa phương) thông qua msss-ảnh (tương ứng, mssc-ảnh) khơng gian mêtric Sau đó, nhiều tác giả thu số đặc trưng msss-ảnh (tương ứng, mssc-ảnh) không gian mêtric (hoặc không gian nửa-mêtric) Hơn nữa, N V Velichko chứng minh không gian X s-ảnh giả-mở không gian mêtric khả li địa phương X không gian khả li địa phương s-ảnh giả-mở không gian mêtric Gần đây, N V Dung thu số đặc trưng msss-ảnh (msscảnh) không gian mêtric khả li địa phương lớp T1 -không gian quy 1.1 Một số câu hỏi 1.1.1 Câu hỏi Tìm tính chất Φ cho khơng gian X s-ảnh thương của khơng gian mêtric có tính chất Φ X khơng gian có tính chất Φ X s-ảnh thương không gian mêtric 1.1.2 Câu hỏi Hãy đặc trưng msss-ảnh thương-dãy (giả-phủ-dãy, phủ-compắc ) không gian mêtric khả li địa phương thông qua mạng σ -đếm địa phương? 1.1.3 Câu hỏi Tìm tính chất Φ cho không gian X msss-ảnh (mssc-ảnh ) khơng gian mêtric có tính chất Φ X khơng gian có tính chất Φ X msss-ảnh (tương ứng, mssc-ảnh ) không gian mêtric Trong chương này, đưa khái niệm hệ L-Ponomarev (f, M, X, Pn∗ ) mà suy rộng hệ Ponomarev (f, M, X, P) chứng minh số tính chất liên quan đến hệ Từ đó, chúng tơi thu đặc trưng msss-ảnh (mssc-ảnh) thương không gian mêtric khả li địa phương, đưa câu trả lời khẳng định cho Câu hỏi 1.1.2 Câu hỏi 1.1.3 1.2 Một số định nghĩa 1.2.1 Định nghĩa Giả sử P tập X {xn } dãy hội tụ đến x X Khi đó, (1) Dãy {xn } gọi từ lúc nằm P (eventually in P ), tồn m ∈ N cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ P (2) Dãy {xn } gọi thường xuyên gặp P (frequently in P ), tồn dãy {xnk } {xn } từ lúc nằm P (3) P gọi lân cận dãy x (sequential neighborhood of x), với dãy L hội tụ đến x X , L từ lúc nằm P (4) P gọi mở theo dãy (sequentially open), P lân cận dãy x với x ∈ P 1.2.2 Định nghĩa Giả sử P họ gồm tập X Khi đó, (1) P gọi họ đếm theo điểm (point-countable), (P)x đếm với x ∈ X (2) P gọi họ hữu hạn theo điểm (point-finite), (P)x hữu hạn với x ∈ X (3) P gọi họ đếm địa phương (locally countable), với x ∈ X , tồn lân cận V x cho (P)V đếm (4) P gọi họ hữu hạn địa phương (locally finite), với x ∈ X , tồn lân cận V x cho (P)V hữu hạn (5) P gọi họ sao-đếm (star-countable), (P)P đếm với P ∈ P (6) P gọi họ rời rạc (discrete), với x ∈ X , tồn lân cận V x cho (P)V có nhiều phần tử (7) Ta nói X xác định P (X is determined by P ), với F ⊂ X , F tập đóng (tương ứng, tập mở) X F ∩ P tập đóng (tương ứng, tập mở) P với P ∈ P 1.2.3 Định nghĩa Giả sử P phủ không gian X (P ) tính chất phủ Ta nói P phủ có tính chất σ -(P ) (σ -(P ) property), biểu diễn dạng P = {Pn : n ∈ N}, Pn phủ có tính chất (P ) Pn ⊂ Pn+1 với n ∈ N 1.2.4 Định nghĩa Giả sử P họ gồm tập X Khi đó, (1) P gọi mạng x (network at x) X , x ∈ P với P ∈ P với lân cận U x, tồn P ∈ P cho x ∈ P ⊂ U (2) P gọi mạng (network) X , (P)x mạng x với x ∈ X (3) P gọi k-mạng (k-network) X , với tập compắc K ⊂ U với U mở X , tồn họ hữu hạn Q ⊂ P cho K⊂ Q ⊂ U (4) P gọi cs∗ -mạng (cs∗ -network) X , với dãy L hội tụ đến x ∈ U với U mở X , tồn P ∈ P cho L thường xuyên gặp P ⊂ U (5) P gọi cs-mạng (cs-network) X , với dãy L hội tụ đến x ∈ U với U mở X , tồn P ∈ P cho L từ lúc nằm P ⊂ U (6) P gi l ph Lindelă of (tng ng, compact), nu mi phn t ca P l Lindelăof (tng ng, compắc) 1.2.5 Định nghĩa Cho không gian X Khi đó, (1) X gọi k-khơng gian (k-space), xác định phủ gồm tất tập compắc (2) X gọi không gian dãy (sequential), xác định phủ gồm tất tập compắc khả mêtric (3) X gọi không gian Fréchet-Urysohn, với F ⊂ X với x ∈ cl(F ), tồn dãy {xn } F hội tụ đến x 1.2.6 Định nghĩa Giả sử P = {Px : x ∈ X} phủ không gian X thỏa mãn tính chất sau với x ∈ X (a) Px mạng x (b) Nếu P1 , P2 ∈ Px , tồn P ∈ Px cho P ⊂ P1 ∩ P2 (1) P gọi sở yếu X , với G ⊂ X , G tập hợp mở X với x ∈ G, tồn P ∈ Px cho P ⊂ G (2) P gọi sn-mạng (tương ứng, so-mạng) X , phần tử Px lân cận dãy x với x ∈ X (tương ứng, mở theo dãy X ) 1.2.7 Định nghĩa Cho không gian X Khi đó, (1) X gọi khơng gian gf -đếm (gf -countable), có sở yếu {Px : x ∈ X} cho Px đếm với x ∈ X (2) X gọi khơng gian snf -đếm (snf -countable), có sn-mạng {Px : x ∈ X} cho Px đếm với x ∈ X (3) X gọi không gian gs-đếm (gs-countable), có sở yếu đếm (4) X gọi khơng gian sns-đếm (sns-countable), có sn-mạng đếm (5) X gọi không gian sos-đếm (sos-countable), có so-mạng đếm (6) X gọi không gian cosmic (cosmic space), khơng gian quy có mạng đếm (7) X gọi ℵ0 -không gian (ℵ0 -space), khơng gian quy có cs∗ -mạng đếm (8) X gọi H -ℵ0 -không gian (H -ℵ0 -space), X không gian với cs∗ -mạng đếm (9) X gọi ℵ-không gian (ℵ-space), khơng gian quy có k-mạng σ -hữu hạn địa phương (10) X gọi khơng gian sn-khả mêtric (sn-metrizable), khơng gian quy có sn-mạng σ -hữu hạn địa phương (11) X gọi không gian g -khả mêtric (g -metrizable), khơng gian quy có sở yếu σ -hữu hạn địa phương 1.2.8 Định nghĩa Cho ánh xạ f : X −→ Y Khi đó, (1) f gọi s-ánh xạ (s-map), f −1 (y) tập khả li X với y ∈ Y (2) f gọi ánh xạ compắc (compact map), f −1 (y) tập compắc X với y ∈ Y (3) f gọi π -ánh xạ (π -map), X không gian mêtric với mêtric d với y ∈ Y , d f −1 (y), X − f −1 (U ) > với lân cận U y (4) f gọi ánh xạ thương (quotient), f −1 (U ) tập mở X , U mở Y (5) f gọi ánh xạ giả-mở (pseudo-open), với y ∈ Y với lân cận U f −1 (y) X , y ∈ Intf (U ) 1.2.9 Định nghĩa Cho ánh xạ f : X −→ Y Khi đó, (1) f gọi ánh xạ mở-yếu (weak-open), Y tồn cở sở yếu {By : y ∈ Y } với y ∈ Y , tồn x ∈ f −1 (y) thỏa mãn điều kiện: Với lân cận U x, tồn B ∈ By cho B ⊂ f (U ) (2) f gọi ánh xạ 1-phủ-dãy (1-sequence-covering), với y ∈ Y , tồn x ∈ f −1 (y) cho dãy hội tụ đến y Y ảnh dãy hội tụ đến x X (3) f gọi ánh xạ 2-phủ-dãy (2-sequence-covering), với y ∈ Y , xy ∈ f −1 (y) {yn } dãy hội tụ đến y Y , tồn dãy {xn } hội tụ đến xy X cho xn ∈ f −1 (yn ) 10 (2) Nếu (f, M, X, Pn∗ ) hệ L-Ponomarev, f s-ánh xạ 1.3.3 Bổ đề Nếu P cs-mạng có tính chất σ -(P ), P cf p-mạng 1.3.4 B Nu X cú cs -mng Lindelă of cú tính chất σ -(P ), X có cs- mạng Lindelăof cú tớnh cht -(P ) 1.3.5 B Giả sử f : M −→ X α(P )-ánh xạ M không gian mêtric khả li địa phng Khi ú, (1) X cú cs -mng Lindelăof vi tính chất σ -(P ), f ánh xạ thngdóy (2) X cú sn-mng Lindelăof vi tớnh cht -(P ), f ánh xạ 1-phủdãy (3) X cú so-mng Lindelăof vi tớnh cht -(P ), nu f ánh xạ 2-phủdãy 1.3.6 Bổ đề Giả sử P = {Pn : n N} l mng Lindelă of có tính chất σ -(P ) (f, M, X, Pn∗ ) hệ L-Ponomarev Khi đó, khẳng định sau (1) f α(P )-ánh xạ (2) M không gian khả li địa phương (3) f ánh xạ phủ-dãy phủ-compắc, P cs-mạng (4) f ánh xạ 1-phủ-dãy phủ-compắc, P sn-mạng (5) f ánh xạ 2-phủ-dãy phủ-compắc, P so-mạng 1.3.7 Định lí Đối với không gian X , khẳng định sau tương ng (1) X cú cs -mng Lindelăof vi tớnh cht -(P ); (2) X cú cf p-mng Lindelăof vi tính chất σ -(P ); 11 (3) X có cs-mạng Lindelăof vi tớnh cht -(P ); (4) X l α(P )-ảnh phủ-dãy phủ-compact không gian mêtric khả li địa phương; (5) X α(P )-ảnh thương-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (6) X α(P )-ảnh thương-dãy khơng gian mêtric, có so-phủ gồm H -ℵ0 -không gian 1.3.8 Nhận xét Sử dụng Định lí 1.3.7, trường hợp (P ) tính chất đếm địa phương, ta thu câu trả lời khẳng định cho Câu hỏi 1.1.2 Theo Định lí 1.3.7, ta có hệ sau 1.3.9 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X k-không gian vi cs -mng Lindelă of cú tớnh cht -(P ); (2) X l k-khụng gian vi cf p-mng Lindelă of có tính chất σ -(P ); (3) X k-khụng gian vi cs-mng Lindelă of cú tớnh cht -(P ); (4) X α(P )-ảnh thương, phủ-dãy phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (5) X α(P )-ảnh thương không gian mêtric khả li địa phương; (6) X H -ℵ0 -không gian địa phương α(P )-ảnh thương không gian mêtric 1.3.10 Nhận xét Nhờ Hệ 1.3.9, ta thu câu trả lời khẳng định cho Câu hỏi 1.1.3 1.3.11 Nhận xét Giả sử P mạng có tính chất σ -(P ) khơng gian quy X Khi đó, 12 (1) Nếu P cs∗ -mạng (cf p-mng; cs-mng ), thỡ P l Lindelă of phần tử P không gian cosmic, phần tử P ℵ0 -không gian (2) Nếu P l sn-mng, thỡ P l Lindelăof v ch phần tử P không gian cosmic, phần tử P không gian sns-đếm (3) Nếu P so-mạng, thỡ P l Lindelă of v ch mi phần tử P không gian cosmic, phần tử P không gian sos-đếm Sử dụng Định lí 1.3.7 Nhận xét 1.3.11, nhận lại kết N V Dung trường hợp X khơng gian quy 1.3.12 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X có cs-mạng σ -đếm địa phương gồm ℵ0 -khơng gian con; (2) X có cs-mạng σ -đếm địa phương gồm không gian cosmic; (3) X msss-ảnh phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương 1.3.13 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X có cs-mạng σ -hữu hạn địa phương gồm ℵ0 -khơng gian con; (2) X có cs-mạng σ -hữu hạn địa phương gồm không gian cosmic; (3) X mssc-ảnh phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương 1.3.14 Định lí Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X cú sn-mng Lindelăof vi tớnh cht -(P ); (2) X α(P )-ảnh 1-phủ-dãy phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; 13 (3) X α(P )-ảnh 1-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (4) X α(P )-ảnh 1-phủ-dãy không gian mêtric, có so-phủ gồm H -ℵ0 -khơng gian 1.3.15 Hệ Các khẳng định sau tương đương khơng gian X (1) X có s yu Lindelăof vi tớnh cht -(P ); (2) X α(P )-ảnh mở-yếu phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (3) X α(P )-ảnh mở-yếu không gian mêtric khả li địa phương; (4) X H -ℵ0 -không gian địa phương α(P )-ảnh mở-yếu khơng gian mêtric Nhờ Định lí 1.3.14 Nhận xét 1.3.11, thu kết N V Dung trường hợp X khơng gian quy 1.3.16 Hệ Các khẳng định sau tương đương khơng gian quy X (1) X có sn-mạng σ -đếm địa phương gồm không gian snsđếm được; (2) X có sn-mạng σ -đếm địa phương gồm không gian cosmic; (3) X msss-ảnh không gian mêtric khả li địa phương 1.3.17 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian quy X (1) X có sn-mạng σ -hữu hạn địa phương gồm không gian sns-đếm được; 14 (2) X có sn-mạng σ -hữu hạn địa phương gồm không gian cosmic; (3) X mssc-ảnh 1-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương 1.3.18 Nhận xét Nhờ Định lí 1.3.14, ta thêm tiền tố “phủ-compắc” sau tiền tố “1-phủ-dãy” Hệ 1.3.16(3) Hệ 1.3.17(3) 1.3.19 Định lí Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X cú so-mng Lindelăof vi tớnh cht -(P ); (2) X α(P )-ảnh 2-phủ-dãy phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (3) X α(P )-ảnh 2-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (4) X α(P )-ảnh 2-phủ-dãy không gian mêtric, có so-phủ gồm H -ℵ0 -khơng gian 1.3.20 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X cú c s Lindelăof vi tớnh cht -(P ); (2) X α(P )-ảnh mở phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (3) X α(P )-ảnh mở không gian mêtric khả li địa phương; (4) X H -ℵ0 -không gian địa phương α(P )-ảnh mở không gian mêtric Nhờ Định lí 1.3.19 Nhận xét 1.3.11, chúng tơi thu kết N V Dung trường hợp X khơng gian quy 1.3.21 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian X (1) X có so-mạng σ -đếm địa phương gồm không gian sosđếm được; 15 (2) X có so-mạng σ -đếm địa phương gồm không gian cosmic; (3) X msss-ảnh 2-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương 1.3.22 Hệ Các khẳng định sau tương đương không gian quy X (1) X có so-mạng σ -hữu hạn địa phương gồm không gian sos-đếm được; (2) X có so-mạng σ -hữu hạn địa phương gồm không gian cosmic; (3) X msss-ảnh 2-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương 1.3.23 Nhận xét Theo Định lí 1.3.19, ta thêm tiền tố “phủ-compắc” sau tiền tố “2-phủ-dãy” Hệ 1.3.21(3) Hệ 1.3.22(3) 1.4 Một số ví dụ 1.4.1 Ví dụ s-ảnh thương khơng gian mêtric khả li địa phương không không gian khả li địa phương (xem Ví dụ 9.8 [G Gruenhage, E Michael, Y Tanaka, Spaces determined by point-countable covers, Pacific J Math., 113 (1984), 303-332] Ví dụ 2.9.27 [S Lin, Generalized Metric Spaces and Mappings, Chinese Science Press, Beijing, 1995]) Do vậy, Câu hỏi 1.1.1 không trường hợp tính chất Φ ℵ0 khơng gian (hoặc khả li địa phương) 1.4.2 Ví dụ Tồn khơng gian X với k -mạng compắc σ -hữu hạn địa phương (do đó, theo Định lí 1.3.7 ta suy X cú cs-mng Lindelăof -hu hn a phng), nhng X khụng l khụng gian Lindelăof a phng (do ú, X khơng có mạng đếm địa phương) (xem Ví dụ 4.1(2) [Y Ykeda, Y Tanaka, Space having star-countable k-networks, Topology Proc., 18 (1993), 107-132]) Như vậy, 16 (1) Không gian X cú cs-mng Lindelăof vi tớnh cht -(P ) X có cs- mạng đếm địa phương (2) Trong Định lí 1.3.7(6), X khơng thể ℵ0 -khơng gian địa phương 1.4.3 Ví dụ Sω khơng gian Fréchet-Urysohn ℵ0 -khơng gian, khơng khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Do ú, nú cú cs-mng Lindelă of -hu hn a phương Mặt khác, Sω khơng khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nên khơng có sn-mạng (hoặc sở yếu) σ -đếm địa phng Nh vy, (1) Khụng gian X cú cs-mng Lindelăof σ -hữu hạn địa phương (do đó, σ -đếm a phng) X cú sn-mng Lindelă of -hu hn địa phương (hoặc σ -đếm địa phương) (2) k-không gian X vi cs-mng Lindelăof -hu hn a phng (do đó, σ -đếm địa phương) X có s yu Lindelă of -hu hn a phng (hoc σ -đếm địa phương) 1.4.4 Ví dụ Tồn khơng gian gs-đếm X , khơng khơng gian Fréchet-Urysohn (xem, Ví dụ 2.1 [F Siwiec, On defining a space by a weak base, Pacific J Math., 52 (1) (1974), 233-245]) Do đó, X có s yu Lindelăof -hu hn a phng Bi vỡ X không gian dãy, không không gian Fréchet-Urysohn nên X khơng có so-mạng (hoặc sở yếu) σ -đếm địa phương Như vậy, (1) Không gian X cú sn-mng Lindelăof -hu hn a phng (do ú, σ -đếm địa phương) X có so-mạng σ -hữu hạn địa phương (hoặc σ -đếm địa phương) (2) Khụng gian X cú c s yu Lindelăof -hu hạn địa phương (do đó, σ -đếm địa phương) σ -đếm địa phương) X có sở σ -hữu hạn địa phương (hoặc 17 1.4.5 Ví dụ Tồn khơng gian X có sn-mạng đếm địa phương X khơng ℵ-khơng gian (xem Ví dụ 2.19 [X Ge, Spaces with a locally countable sn-network, Lobachevskii J Math., 26 (2007), 33-49]) Do đó, X có sn-mạng Lindelăof -m c a phng Bi th, (1) Khụng gian X có sn-mạng đếm địa phương X có cs-mng Lindelăof -hu hn a phng (2) Khụng gian X cú sn-mng Lindelăof -m c a phng X cú sn-mng (hoc cs-mng) Lindelă of -hu hn a phng (3) Khụng gian X cú cs-mng Lindelăof -m c a phng X cú cs-mng Lindelă of -hu hạn địa phương 1.4.6 Ví dụ Sử dụng Ví dụ 3.1 [Y Ge, J S Gu, On π -images of separable metric spaces, Math Sci., 10 (2004), 65-71] ta thấy X khơng gian Hausdorff, khơng quy có sở đếm được, khơng π -ảnh thương-dãy khơng gian mêtric Do đó, X khơng ℵ0 khơng gian Nhờ Định lí 1.3.19, X mssc-ảnh 2-phủ-dãy (và mở) không gian mêtric khả li địa phương (1) Tồn H -ℵ0 -không gian, khơng ℵ0 -khơng gian (2) Khơng gian X cú cs-mng (hoc sn-mng, hoc so-mng) Lindelăof -hu hạn địa phương X π , mssc-ảnh (hoặc msss-ảnh) thương- dãy không gian mêtric 18 CHƯƠNG ẢNH COMPẮC CỦA KHÔNG GIAN MÊTRIC KHẢ LI ĐỊA PHƯƠNG Trong chương này, chứng minh không gian X cú sn-mng Lindelăof -hu hn a phng ( -đếm địa phương) X mssc-ảnh (tương ứng, msss-ảnh) compắc phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương, X π , mssc-ảnh (tương ứng, msssảnh) thương-dãy không gian mêtric khả li địa phương, tiền tố “phủ-compắc” (hoặc “thương-dãy”) thay tiền tố “phủ-dãy” Từ đó, chúng tơi thu đặc trưng không gian với sở yếu đếm địa phương Các kết chương trình bày [2,3] Hơn nữa, không gian chương giả thiết thêm chúng không gian quy 19 2.1 Ảnh compắc thương-dãy khơng gian mêtric khả li địa phương 2.1.1 Bổ đề Giả sử f : M −→ X mssc-ánh xạ, M không gian mêtric khả li địa phương Khi ú, X cú cs-mng Lindelă of -hu hn a phương 2.1.2 Định nghĩa Giả sử {Pi } dãy gồm phủ khơng gian X Ta nói {Pi } mạng sao-điểm, {St(x, Pi ) : i ∈ N} mạng x với x ∈ X 2.1.3 Định lí Đối với không gian X , khẳng định sau tương đương (1) X không gian sn-khả mêtric X có so-phủ gồm ℵ0 -khơng gian con; (2) X cú sn-mng Lindelăof -hu hn a phng; (3) X mssc-ảnh compắc phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (4) X mssc-ảnh compắc giả-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (5) X mssc-ảnh compắc phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (6) X π , mssc-ảnh thương-dãy khơng gian mêtric khả li địa phương Theo Định lí 2.1.3, ta có 2.1.4 Hệ Đối với khơng gian X , khẳng định sau tương đương (1) X có sở yếu đếm địa phương; 20 (2) X ℵ0 -không gian địa phương khơng gian g -khả mêtric; (3) X có sở yu Lindelăof -hu hn a phng; (4) X l mssc-ảnh compắc thương, phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (5) X mssc-ảnh compắc thương, giả-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (6) X mssc-ảnh compắc thương, phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (7) X π mssc-ảnh thương không gian mêtric khả li địa phương Chứng minh tương tự Định lí 2.1.3 ta thu định lí sau 2.1.5 Định lí Đối với khơng gian X , khẳng định sau tương đương (1) X khơng gian có sn-mạng σ -đếm địa phương có so-phủ gồm ℵ0 -khơng gian con; (2) X cú sn-mng Lindelăof -m c a phng; (3) X msss-ảnh compắc phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (4) X msss-ảnh compắc giả-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (5) X msss-ảnh compắc phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (6) X π , msss-ảnh thương-dãy không gian mêtric khả li địa phương Nhờ Định lí 2.1.5, ta có 2.1.6 Hệ Đối với khơng gian X , khẳng định sau tương đương 21 (1) X ℵ0 -khơng gian địa phương có sở yếu σ -đếm địa phương; (2) X cú c s yu Lindelăof -m c a phng; (3) X msss-ảnh compắc thương, phủ-compắc không gian mêtric khả li địa phương; (4) X msss-ảnh compắc thương, giả-phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (5) X msss-ảnh compắc thương, phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương; (6) X π msss-ảnh thương không gian mêtric khả li địa phương 2.2 Một số ví dụ 2.2.1 Ví dụ Giả sử Cn dãy hội tụ chứa điểm giới hạn pn với n ∈ N, Cm ∩ Cn = ∅ m = n Giả sử Q = {qn : n ∈ N} tập tất số hữu tỷ R Đặt M= {Cn : n ∈ N} ⊕ R giả sử X không gian thương thu từ M cách đồng pn Cn với qn R Khi đó, theo chứng minh Ví dụ 3.1 [Y Ge, S Lin, g -metrizable spaces and the images of semi-metric spaces, Czech Math J., 57 (132) (2007), 1141-1149], X có sở yếu đếm X không π -ảnh thương phủ-dãy không gian mêtric Do ú, (1) Khụng gian X vi sn-mng Lindelăof -hữu hạn địa phương (σ -đếm địa phương) X π , mssc-ảnh (tương ứng, msss-ảnh) phủ- dãy không gian mêtric khả li địa phương 22 (2) Khụng gian X vi c s yu Lindelăof -hu hạn địa phương (σ -đếm địa phương) X π , mssc-ảnh (tương ứng, msss-ảnh) thương phủ-dãy không gian mêtric khả li địa phương 2.2.2 Ví dụ Sử dụng Ví dụ 3.1 [Y Ge, J S Gu, On π -images of separable metric spaces, Math Sci., 10 (2004), 65-71], ta thấy X không gian Hausdorff, khơng quy X có sở đếm được, khơng π -ảnh thương-dãy khơng gian mêtric Điều chứng tỏ tính chất quy X khơng thể bỏ Định lí 2.1.3, Hệ 2.1.4 Định lí 2.1.5 Hệ 2.1.6 2.2.3 Ví dụ Sω khơng gian Fréchet-Urysohn ℵ0 -khơng gian, khơng khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Do đó, Sω có cs-mng Lindelăof -hu hn a phng Nh nh lớ 2.1 [N V Dung, On sequence-covering mssc-images of locally separable metric spaces, Publications de L’institut Mathématique, Nouvelle série, 87 (101) (2010), 143-153] ta suy X mssc-ảnh khơng gian mêtric khả li địa phương Hơn nữa, Sω không không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nên khơng có sn-mạng đếm theo điểm Bởi vậy, (1) Không gian X với cs-mạng Lindelăof -hu hn a phng ( m c a phương) X π , mssc-ảnh (tương ứng, msss-ảnh) thương-dãy không gian mêtric khả li địa phương (2) X mssc-ảnh (msss-ảnh) thương phủ-dãy không gian mêtric khả li a phng X cú sn-mng Lindelă of -hu hạn địa phương (tương ứng, σ -đếm địa phương) 2.2.4 Ví dụ Sử dụng Ví dụ 2.7 [Z Li, On π -s-images of metric spaces, Int J Math Sci., (2005), 1101-1107], ta thấy X ảnh compắc thương, phủ-compắc không gian mêtric compắc địa phương, khơng có cs-mạng đếm theo điểm Do đó, ảnh compắc thương phủ- 23 compắc khơng gian mờtric kh li a phng X cú sn-mng Lindelă of σ -hữu hạn địa phương (σ -đếm địa phương) 2.2.5 Ví dụ Tồn khơng gian X có sn-mạng đếm địa phương mà X không ℵ0 -không gian (xem Ví dụ 2.19 [X Ge, Spaces with a locally countable sn-network, Lobachevskii J Math., 26 (2007), 33-49]) Do ú, X cú sn-mng Lindelăof -m c a phương Như vậy, (1) Không gian với sn-mạng đếm a phng X cú sn-mng Lindelăof -hu hn a phng (2) Khụng gian vi sn-mng Lindelăof -m c a phng sn-mng Lindelă of -hu hn a phng X có 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI [1] T V An and L Q Tuyen, L-Ponomarev’s system and images of locally separable metric spaces , Publ Inst Math 93(107) (2013), 133-144 [2] L Q Tuyen, Spaces with -locally finite Lindelă of sn-networks, Publ Inst Math., 93(107) (2013), 145-152 [3] L Q Tuyen, Spaces with -locally countable Lindelăof sn-networks, Novi Sad J Math., 43 (2013), 201-209 [4] L Q Tuyen, Notes on pseudo-sequence-covering maps, Novi Sad J Math., (2014) to appear