Một áp dụng của biểu thức truy hồi trong giải toán

Thông tin tài liệu

Áp dụng biểu thức truy hồi

Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 M T ÁP D NG C A BI U TH C TRUY H I TRONG GI I TOÁN Biên so n: Trung Nguy n Trong vi t này, xin trình bày s l ph tv nh lí Viète ng trình b c hai, b c ba h th c truy h i, sau áp d ng vào gi i m t s toán quen thu c NH Lụ VIỆTE TRONG PH H TH C TRUY H I 1.1 nh lí Viète ph  N u ph NG TRỊNH B C HAI, B C BA VÀ ng trình b c hai ng trình b c hai ax2  bx  c   a   có hai nghi m x1 , x2 b  S x x     a  c  P  x x   a Ng c l i, n u hai s Q x1 , x2 th a x1  x2  S, x1.x2  P x1 , x2 nghi m c a ph ng trình x2  Sx  P   Cho ph ng trình b c hai ax2  bx  c   a   có hai nghi m x1 , x2 t Sn  x1n  x2n , n  * ta có aSn  bSn1  cSn  H th c (1) g i h th c truy h i N u x1.x2  , ta quy c S0  (1) v i m i n Th t v y, ta có Sn  x1n2  x2n2   x1n1  x2n1   x1  x2   x1 x2  x1n  x2n   b  c   x1n1  x2n1      x1n  x2n   a  a c b Sn1  Sn  a a Nhân hai v cho a chuy n v ta có (1) Trang: (1) Tr 1.2 ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho nh lí Viète ph  N u ph N m h c: 2015 ậ 2016 ng trình b c ba ng trình b c ba ax3  bx2  cx  d   a   có ba nghi m x1 , x2 , x3 b   x  x  x  a  c   x1 x2  x2 x3  x3 x1  a  d   x1 x2 x3   a   Cho ph ng trình b c ba ax3  bx2  cx  d   a   có ba nghi m x1 , x2 , x3 t Sn  x1n  x2n  x3n , n  * ta có aSn3  bSn  cSn1  dSn  (2) H th c (2) g i h th c truy h i N u x1.x2 x3  , ta quy c S0  (1) v i m i n NG D NG TRONG GI I TOÁN D ng TệNH GIÁ TR BI U TH C Ví d Cho x1 , x2 hai nghi m c a ph Không gi i ph ng trình x2  x   ng trình tính giá tr c a bi u th c A  1  7 x1 x2 Phân tích V i s h tr c a máy tính c m tay (ti p theo s vi t t t là: MTCT), vi c tính giá tr c a A đ n gi n Tuy nhiên, vi c tính toán cho khoa h c c ng nh cho l y th a cao h n toán s khó kh n h n nhi u Trang: Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 Trong d y h c, b n thân cho h c sinh tính đ n S4 đ n S5 không ph i em c ng th c hi n đ c b ng công c đ i s bình th ng (khai tri n l y th a) Vi c xây d ng h th c truy h i tính toán k t h p v i MTCT gi i quy t khéo léo nh t H ng d n t Sn  x1n  x2n , n  ta có Sn2  2Sn1  6Sn (3) Theo đ nh lý Viète ta có S0  2, S1  2, P  6 Theo (3) ta có S2  16, S3  44, S4  184, S5  632, S6  2368, S7  8528 (S d ng MTCT Casio 570VN Plus: 2=;2=;nh p 2Ans+6PreAns,=…) Khi A  S7 8528 533   P  67 17496 Ví d (Trích đ thi ch n H c sinh gi i L p 12, t nh Ti n Giang, n m h c 2014 – 2015, B ng A) Không gi i ph ng trình b c ba x3  3x   , tính t ng l y th a b c c a ba nghi m H ng d n Bài toán có nhi u h ng gi i Trong khuôn kh này, xin đ ngh hai cách gi i nh sau Cách S d ng h th c truy h i (2) t Sn  x1n  x2n  x3n , n  ta có Sn3  3Sn1  Sn Theo đ nh lí Viète ta có: S0  3; S1  0; S2   x1  x2  x2    x1x2  x2 x3  x3 x1   Trang: (4) Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho T ta tính đ N m h c: 2015 ậ 2016 c S3  3S1  S0  3; S4  3S2  S1  18; ; S8  186 Ho c phân tích : S8  3S6  S5  3(3S4  S3 )  (3S3  S2 )   28S2  27 S1  6S0  186 Cách Phơn tích l y th a Ta có x3  3x   x4  x  3x  1  x8  x2  3x  1  x  x3  x2  x      x8  x 9  3x  1  x2  x   x3    x8  6 x3  28 x2  x  6  3x  1  28 x2  x  x8  28 x2  27 x  Do x18  x28  x38  28  x12  x22  x32   27  x1  x2  x3   18  28S2  27 S1  18  186 V i cách gi i th 2, n i dung bi u th c truy h i không th y rõ, nh ng l i ph ng pháp t r t t t cho h c sinh Ví d Không s d ng máy tính, tính giá tr c a bi u th c    B 2  2 Phân tích Trang:  Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho Bài toán tho t nhìn, h c sinh s gi i theo h N m h c: 2015 ậ 2016 ng khai tri n l y th a t th p đ n cao, th c hi n tính toán gi y        Tuy nhiên, n u đ ý l i, ta th y     4;    ta có th xây d ng ph ng trình b c hai đ gi i quy t b ng bi u th c truy h i (1) H ng d n     t   x1,   x2 x1  x2  4, x1.x2  Do đó, x1 , x2 nghi m c a ph t Sn  x1n  x2n , n  Ta tính đ ng trình x2  x   ta có Sn  4Sn1  Sn c S0  2; S1  4; ; S9  140452 Do B  S9  140452 D ng ÁP D NG TRONG CÁC BÀI TOÁN S  Ví d Ch ng minh r ng Sn   2 H C   3  2  , n n n , s nguyên Sn không chia h t cho v i m i n Phân tích V i gi thi t này, có th ki m tra d dàng m t vài giá tr đ u S0 , S1 , S2 , s nguyên không chia h t cho Do đó, ta th y có th s d ng ph ng pháp ch ng minh quy n p đ gi i quy t toán V i ph ng pháp quy n p, ta l i c n liên h gi a Sk Sk 1 (trong gi thi t quy n p) Do đó, n y sinh ý t ng xây d ng công th c truy h i cho Sn Trang: Tr H ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 ng d n t x1   2 , x2   2 x1  x2  6, x1 x2  đó x1 , x2 hai nghi m c a ph ng trình x2  x   Khi theo h th c (1) ta có Sn  6Sn1  Sn Ta ch ng minh Sn nguyên b ng quy n p D th y, S0  2; S1  nguyên Gi s Sk ; Sk 1 nguyên ta có Sk   6Sk 1  Sk nên Sk  nguyên, m i k  Ta ch ng minh Sn không chia h t cho v i m i n T ng t trên, ta c ng có Sn2  6Sn1  Sn  35Sn  5Sn1  Sn1 Suy Sn2   Sn1 mod5 Suy Sn   Sn3  Sn6   Sn9  mod5 Do đó, áp d ng ph ng pháp quy n p, ta có S1  6, S2  34, S3  198 không chia h t Sn  n  không chia h t cho Ví d Tìm s nguyên l n nh t không v  t   11 Phân tích Khi s d ng MTCT đ b m tr c ti p k t qu tràn hình, s d ng k thu t MTCT đ x lý tràn hình ta v n thu đ c k t qu Tuy nhiên, rõ ràng không th áp d ng n u toán không cho phép s d ng MTCT H ng d n t x1   6, x2   x1  x2  10, x1 x2  Ta có x1 , x2 nghi m c a x2  10 x   Trang: Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho t Sn  x1n  x2n Sn  10Sn1  Sn Ta tính đ N m h c: 2015 ậ 2016 c S0  2; S1  10, S2  98, , S9  912.670.090, S10  9.034.502.498, S11  10 S10  S9  89.432.354.890  Mà  x111    11 1 11 Suy 89.432.354.889  x11  89.432.354.890  x1  89.432.354.890 V y: S nguyên l n nh t không v  t   Ví d Tìm ch s t n c a s   3   2015 ph n nguyên c a x – s nguyên l n nh t không v  11 89.432.354.889  (Ký hi u x , x    t x) Phân tích ý r ng bi u th c liên h p  3  x2   1;0  Do  Sn  x1n  Sn  H ng d n t x1   3, x2   3 Suy x1  x2  10, x1 x2  2 Do x1 , x2 nghi m c a x2  10 x   t Sn  x1n  x2n Sn2  10Sn1  2Sn Ta có: S0  2; S1  10; S2  96; S3  940; Ta có: 1  x2  Suy  Sn  x1n  Sn  x2n  Sn  Do đó:  x1n   Sn B ng quy n p ta ch ng minh đ c Sn  0mod10 n u n l Suy S2015  0mod10 Trang: Tr  ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho V y:   3   2015 N m h c: 2015 ậ 2016    x2015   S  0mod10 , ngh a ch s t n 2015    Trang: Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 Ví d Tìm đa th c b c có h s nguyên nh n m  99 làm  nghi m H ng d n t x1  c a ph , x2  Suy x1  x2  m, x1.x2  Do x1 , x2 nghi m ng trình x2  mx   t Sn  x1n  x2n Sn2  mSn1  Sn Ta tính đ c S0  2; S1  m; S2  m2  2; S3  mS2  S1  m m2     m  m3  3m S9  m9  9m7  27m5  30m3  5m Ta l i có S9  x19  x29  97   36 Suy S9  m9  9m7  27m5  30m3  5m  97 36 Hay 36m9  324m7  972m5  1080m3  108m  97  Suy m nghi m c a ph ng trình h s nguyên 36 x9  324 x7  972 x5  1080 x3  108x  97  V y: P  x  36 x9  324 x7  972 x5  1080 x3  108x  97 đa th c c n tìm Trang: Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 D ng ÁP D NG VÀO DÃY S un  Ví d Cho dãy s xác đ nh nh sau u1  6, u2  40, un  6un1  2un , n  a) Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy s b) Ch ng minh u2k chia h t cho 2k1 v i m i k c) Ch ng minh r ng v i m i k * * u2 k 1 chia h t cho k không chia h t cho 2k1 Phân tích Vi c xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy s cho b i bi u th c truy h i n tính đ n gi n S d ng ph ng trình đ c tr ng công th c nghi m ta có k t qu H ng d n a) Xét ph ng trình đ c tr ng x2  x   có hai nghi m x1,2     n  n nên un  a  11  b  11 T u1  6; u2  40 suy a=b=1     n n V y un   11   11 b) V i m i k  * , ta có   3  11   20  11   20  11   10  11   10  11     u2 k   11 k 2k 2k k k k Trang: 10 k 11 Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho Suy u2k chia h t cho k    k Sk  10  11  10  11  N m h c: 2015 ậ 2016 k t thúc toán ta c n ch ng minh k chia h t cho Th t v y, 10  11, 10  11 hai nghi m c a x2  20 x   nên ta có Sk 2  20Sk 1  Sk V i S1  20; S2  398 s d ng ph ng pháp quy n p ta suy Sk chia h t cho v i m i k V y: u2 k 2k1 Chú ý r ng t đơy ta có kh ng đ nh u2k  2k1 A, A c) S d ng ph ng pháp quy n p toán h c D th y, k=1 u1  chia h t cho 21 nh ng không chia h t cho 211  Gi s kh ng đ nh v i k=m>1, ngh a u2m1  2m.B v i B nguyên không chia h t cho (B nguyên, l ) Ta s ch ng minh kh ng đ nh v i k=m+1 Th t v y, u2( m1)1  u2 m1  6u2 m  2u2 m1   2m1 A   2m.B  2m1  A  B Mà 6A B nguyên, l nên u2 m1 chia h t cho 2m1 mà không chia h t cho 2m V y có u c n ch ng minh Trang: 11 Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 Ví d (Trích đ thi ch n h c sinh gi i L p 12, t nh Ti n Giang, n m h c 2014 – 2015, B ng A)  Tìm lim un v i un    (kí hi u x  x   x ph n l c a x) n Phân tích Bài toán hay vi c áp d ng Viète h u nh không t ví d nêu ph n tr ng minh nh c Tuy nhiên đ ý l i bi u th c liên h p  g i ý ta s d ng đánh giá nh Ví d t có th tính đ c gi i h n c a dãy H ng d n t x1   , x2   x1 , x2 nghi m c a x2  x   t Sn  x1n  x2n Sn2  4Sn1  2Sn , n * Ta có S1  4, S2  12 s nguyên nên b ng quy n p ta ch ng minh đ Sn nguyên v i m i n  Ta có  x1      x1n    n  nên x2n  Sn  x1n  x2n  x2n  T suy Sn   x2n  Sn  x2n   Sn  (vì Sn nguyên) Do đó:  x2n   x2n   x2n   x2n   Sn  1   x2n  Sn     x1n   T lim x1n  lim   n   ta suy lim  Trang: 12    limx   n n c Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 H TH NG BÀI T P RỆN LUY N Bài Cho x1 , x2 hai nghi m c a x2   m2  1 x   Ch ng minh Sn  x1n  x2n , n  s nguyên Tìm s d khia chia S2015 cho Bài Cho ph ng trình x3  ax2  bx   0, a , b  Ch ng minh a  5, b  c p s h u t nh t làm cho ph có ba nghi m m t nghi m  ng trình Tìm s d chia x12015  x22015  x32015 cho 4, v i x1 , x2 , x3 ba nghi m c a ph ng trình n Bài Cho dãy s un  n 3   3  v i un      2     Ch ng minh r ng u n s t nhiên Tìm giá tr c a n đ u n s ph ng  Bài Tìm hai ch s t n c a ph n nguyên c a s Bài Tìm hai ch s bên trái bên ph i d u ph y c a s  Bài Cho dãy s có un     n  29  21   3 2002  2002 n   Ch ng minh r ng u n nguyên không chia h t cho 13 v i m i n Bài Cho x1 , x2 hai nghi m c a ph ng trình x2  ax    a   Ch ng minh x15  x25 nguyên Tìm giá tr nh nh t c a a đ x15  x25 chia h t cho 25 Bài Tìm đa th c b c 6, h s nguyên nh n m   256  làm nghi m  n Bài Ch ng minh r ng ph n th p phân c a  26 , n  ch s gi ng Trang: 13 * b t đ u b ng n Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 TÀI LI U THAM KH O Võ i Mau, Toán nâng cao Tr n V n K , Phân lo i ph i s 10, Nhà xu t b n Tr , 1996 ng pháp gi i toán b n Tr , 1999 T p chí Toán h c Tu i tr , 2004 thi h c sinh gi i t nh Trang: 14 i s 10, Nhà xu t [...]... 11  N m h c: 2015 ậ 2016 k t thúc bài toán ta c n ch ng minh k chia h t cho 2 Th t v y, 10  3 11, 10  3 11 là hai nghi m c a x2  20 x  1  0 nên ta có Sk 2  20Sk 1  Sk V i S1  20; S2  398 s d ng ph ng pháp quy n p ta suy ra Sk chia h t cho 2 v i m i k V y: u2 k 2k1 Chú ý r ng t đơy ta có kh ng đ nh u2k  2k1 A, A c) S d ng ph ng pháp quy n p toán h c D th y, k=1 thì u1  6 chia h t...  26 , n  ch s gi ng nhau Trang: 13 * b t đ u b ng n Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 TÀI LI U THAM KH O 1 Võ i Mau, Toán nâng cao 2 Tr n V n K , Phân lo i và ph i s 10, Nhà xu t b n Tr , 1996 ng pháp gi i toán b n Tr , 1999 3 T p chí Toán h c và Tu i tr , 2004 4 thi h c sinh gi i các t nh Trang: 14 i s 10, Nhà xu t ... Giang, n m h c 2014 – 2015, B ng A)  Tìm lim un v i un  2  2  (kí hi u x  x   x là ph n l c a x) n Phân tích Bài toán này khá hay và vi c áp d ng Viète h u nh không t các ví d đã nêu ph n tr ng minh nh c Tuy nhiên đ ý l i bi u th c liên h p 2  2 g i ý ta s d ng đánh giá nh trong Ví d 6 và t đó có th tính đ c gi i h n c a dãy H ng d n t x1  2  2 , x2  2  2 thì x1 , x2 là nghi m c a x2  4... minh Sn  x1n  x2n , n  là s nguyên 2 Tìm s d khia chia S2015 cho 5 Bài 2 Cho ph ng trình x3  ax2  bx  1  0, a , b  1 Ch ng minh a  5, b  3 là c p s h u t duy nh t làm cho ph trên có ba nghi m trong đó m t nghi m là 2  5 ng trình 2 Tìm s d khi chia x12015  x22015  x32015 cho 4, v i x1 , x2 , x3 là ba nghi m c a ph ng trình n Bài 3 Cho dãy s un  n 3 5   3 5  v i un      2 2

Ngày đăng: 29/10/2016, 13:24

Xem thêm: Một áp dụng của biểu thức truy hồi trong giải toán, Một áp dụng của biểu thức truy hồi trong giải toán

Một áp dụng của biểu thức truy hồi trong giải toán

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan