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☛ Stab(Lω ) = L Lω ω   ✏ ✂ ✟☎ ✎✍ ☎ ✁ ✂ ✏ ☎ ✌ ✂ ✟ ✍ ✟ ✌ ✂ ✂ ✏ ✟ ✂ ✖ ✗ ✞ ✖ ✞✟ ✕✍✏ ✂ ✟ ✠ ✌ ✆ ✏ ✜ ✎✍✝ ✖❴✆✆❴ ✝❴✖✆✏❪✍ ✛ ✍ ❪✞✝ ☛✆✞☞✏❪✍✝ ☞ ❴✝ ❴✜ ❴❵ ✠❴✝ ☞ ✡ ✞✏✝✝✎✍✖❴✝ ❜✎✆✏❪✍✍ ❴✠✠❴✝✛ ❪ ✧ ✠❴ ✝ ❜ ☛✝✞✠✆✎✆✝ ❴✜✏✝✆✎✍✆✝ ✍ ❴ ✍ ❪ ✞✝ ✕ ❴❜❵❴ ✆✆ ❴ ✍✆ ✕ ✎✝✕ ☞ ❴ ✆ ❜❪ω✞✔✕❫❴❜ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✖ ❪ ☞ ❴ ✒ ✆❵✍☛✆✦✌☛✍☛❪ ☞ ❴❜✎✠✏✝✎✍✆ ✖ ❴ ✝ ❴ ✜ ❴❵ ✕ ✠ ❴ ✝✛ ✍ ❪ ✞✝ ❪❛ ✆ ❴ ✍ ❪ ✍✝ ✞✍ ❴ ✦ ❴ ✞ ❜ ✏✝✆✏✤✞ ❴ ✚ ✖ ❴ ✍ ✡❴ ✝✆ ✕ ✎✝ ✞✍ ❴ ❪ ✞ ❜ ❜ ☛✝ ❪ ✞☞ ❜❴ ✠❴ ❜❪❛ ✠✘ ❵❴ ✛ ❵ ✎✏✝ ☞✎✍✝ ✆ ❪ ✞✝ ✠❴ ✝ ✖✎✝ ❪ ✧ ❪ ✍ ✎ ✝✞ ✕ ❜❪ ☞✞✏❜❴ ☞ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆✕ ❴ ✞ ❜ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝✛ ✖ ❴ ✆✆ ❴✕ ❵ ☛✆✦ ❪ ☞ ❴ ✕ ❴❜❵❴ ✆ ☞ ❴ ✠ ❴ ✝ ❜❴ ✆ ❜❪ ✞ ❫❴❜ ✒ ✗ ✡✏☞☛ ❴ ☞ ❴ ✠✡✦ ❴ ✞ ❜ ✏✝✆✏✤✞ ❴ ❴ ✝✆ ☞ ❴ ✆ ❜ ✎✍✝✠ ❪❜❵❴❜ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ L ✕ ❪ ✞ ❜ ❪❛ ✆ ❴ ✍✏ ❜ ✞✍ ✎✞✆ ❜❴ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ L ✎✟✎✍✆ ☞ ❴ ✝ ✕ ❜❪ ✕ ❜ ✏☛✆☛✝ ✕ ❜❪ ✖✦ ❴ ✝ ☞ ❴ ✖ ❴ ✠✠ ❴ ✝ ☞ ❴ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝✒ ✥✞✏✝✛ ❪ ✍ ✖ ❪ ✍✆✏✍✞ ❴ ✎❫❴ ✖ L ✛ ❴ ✆✖✒ ✗ ❴ ✕ ❜❪ ✖ ❴ ✝✝✞✝ ✝ ❴ ✕ ❪ ✞ ❜ ✝✞✏✆ ✟✞✝✤✞ ✡✙ ✖ ❴ ✤✞ ❴ ✠✡❪ ✍ ✆ ❜❪ ✞ ❫❴ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✒ ✝ ✍ ✝✡✏✍✆☛ ❜❴ ✝✝ ❴ ✙ ❝ ✆ ❜ ✎✍✝✠ ❪❜❵ ✎✆✏ ❪ ✍✝ ✝✞ ❜ ✠ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ✚ ✟✒ ✝✏❵ ✕ ✠✏✑ ❴❜ ✠❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ L ❝ ✒ ❴ 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✡✞✍ ❴ ✕✕✎ ❜ ✆✏✆✏ ❪ ✍ ☞ ✡✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❪ ✍✍☛✒ ✠✕ ω ✄ ✂✂ ✁ ✁ ✁ ✠ ✗✕✡ ✎ ✒✞✗✑✍ H, K ⊆ Σ+ ✌ H ⊆ Kω (H + K)ω = (H ∗ K)ω ✌ ✙ ✠ ✏ ✗✏✍✡✑✒✡✕✗✏ ✌ ✪ ❪❵❵❴ H ∗K ⊆ (H + K)+ ✛ ❪ ✍ ✎ (H ∗ K)ω ⊆ (H + K)ω ✒ ☛✖✏ ✕ ❜❪ ✔ ✤✞ ❴❵❴ ✍✆✛ ✝ ❪ ✏✆ w ∈ (H + K)ω ✛ ✏✠ ✟ ✎ ☞ ❴ ✞✜ ✖✎✝ ✚   ✝ ❪ ✏✆ w ∈ H ω ✎✠ ❪❜ ✝ w ∈ K ω ⊆ (H ∗ K)ω ✒   ✝ ❪ ✏✆ ✏✠ ❴ ✜✏✝✆ ❴ n ≥ ✆ ❴ ✠ ✤✞ ❴ w = uvw ❪ ✧ u ∈ H n ✛ v ∈ K ❴ ✆ w ∈ (H + K)ω ✛ ✎✠ ❪❜ ✝ ✒ ❴ ✠ ❪ ✍ ✠ ❴ ✠ ❴❵❵❴ ☞ ✡✏✆☛ ❜ ✎✆✏ ❪ ✍ ✏✍✑✍✏ ❴ ✛ w ∈ (H ∗ K)ω + K)ω ❪ ✍✖✛ ❪ ✍ ❪❛w✆✏∈❴ ✍✆H✚∗K(H ✒ (H + K)ω = (H ∗ K)ω ✗ ❴ ✖ ❪❜❪ ✠✠✎✏ ❜❴ ✝✞✏ ❫ ✎✍✆ ✍ ❪ ✞✝ ❴❜❵❴ ✆ ☞ ❴ ✖ ❪ ✍✝✆ ❜ ✞✏ ❜❴ ✞✍ ✍ ❪ ✞ ❫❴ ✎✞ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ❴ ✍ ❴ ✍ ✔ ✠ ❴❫ ✎✍✆ ✞✍ ☛✠☛ ❵❴ ✍✆ ☞✎✍✝ A(L) ✒ ✕ ✄ ☎ ✄ ✁ ✁ ✁ ✠ ✗✕✡ L ⊆ Σ+ ✎ ✔ ✗☛✑ ✡✗☛✡ u ∈ A(L) ✚ ✡ ✆★✆ ✞ ✞✆☎ ✢ ✔ ✔ ☎ ✄ ✜ ✦✆ ✆☛☛ ✞ ☞ ✢ ✔ ✠ G = u∗ (L \ u) ✌✍✡ ☛✏ ✎ ✠✏✠✑✒✡✌☛✑ ☞✌ Lω ✌ ✙ ✠ ✏ ✗✏✍✡✑✒✡✕✗✏ ✌ ✎✍✝ ✖ ❴ ✖✎✝ H = {u} ❴ ✆ K = L \ u ✒   ☎ ✒ ✪ ❪❵❵❴ (a, ba, ba, ) ❴ ✝✆ ✞✍ ❴ ✠✎✖✆ ❪❜ ✏✝✎✆✏ ❪ ✍ ✁ ✁ ❪ ✏✆ ☞ ❴ ✠✡ω ✔ ❵❪ ✆ (ab)ω ✛ ❪ ✍ L✎ =✚ a + ab + ba ✜ ✚☞ ★☛☞ ✢ ✢ ✄ ✄❴✠❪✍ ✠❴ ✖❪❜❪✠✠✎✏❜❴ ✑ ✒❝ ✒✟ ✛ ✜ A(L) = ab Lω ❴ ✝✆ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ✕ ✎ ❜ G = (ab) a + (ab) ba ✒ ✝ ✍ ✎ ✚ ∗ ∗ P rem(G) = a + (ab)∗ ba ✤✞✏ ❴ ✝✆ ✞✍ ω ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ✒ ❪ ✍✖ Lω ❴ ✝✆ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ✕ ✎ ❜ ✠✡ω ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ a + (ab)∗ ba ✒ ✝ ✍ ✝✎✏✆ ✕ ✎ ❜ ✎✏✠✠ ❴ ✞ ❜ ✝ ✤✞ ❴ Lω ✍ ❴ ✕ ❴ ✞✆ ✕ ✎✝ ✜ ✆ ❜❴ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ✕ ✎ ❜ ✞✍ ω ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ✑✍✏ ✁✡✞✌ ✄ ✒   ☎ ✒ ✪ ❪❵❵❴ (aba, baba, baba, ) ❴ ✝✆ ✞✍ ❴ ✁ ✁ ❪ ✏✆ L = ab + aba + baba ✠✎✖✆ ❪❜ ✏✝✎✆✏ ❪ ✍ ☞ ❴ ✠✡ω ✔ ❵❪ ✆ (ab)ω ✛ ❪ ✍ ✎ ✚ ✚☞ ★☛☞ ✢ ✌ ✄ ✄ ✑ ✟ ✓✏ A(L) = ab ❴ ✠❪ ✍ ✠❴ ✖ ❪❜❪ ✠✠✎✏❜❴ ✒❝ ✒ ✛ ✠❴ ✠✎✍✌✎✌ ❴ G = (ab)∗(aba + baba) ❴ ✝✆ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ Lω ✒ ✝✍ ✎ ✚ P rem(G) = aba + ababa + (ab)∗ baba ✤✞✏ ❴ ✝✆ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✖ ❪ ☞ ❴ ✍ ❪ ✍ ω ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ☞ ❴ Lω ✒ ✝ ✍ ✝✎✏✆ ✤✞ ❴ Lω ✍ ❴ ✕ ❴ ✞✆ ✕ ✎✝ ✜ ✆ ❜❴ ❴ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ✕ ✎ ❜ ✞✍ ω ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ✁✡✞✌ ✄ ✒ ❝✎ ✓✏   ✚☞ ☎ ★☛☞ ✢ ✁ ✁ ✄❪✏✆ ✂ L = a2 + a3 + b ✄❴✠❪✍ ✠❴ ✖❪❜❪✠✠✎✏❜❴ ✑ ✒❝ ✒✟ ✚ ✒ ✝✍ ✎ ✚ A(L) = a2 + a3 G1 = (a3 )∗ a2 + (a3 )∗ b G2 = (a2 )∗ a3 + (a2 )∗ b ✝ ❪ ✍✆ ☞ ❴ ✞✜ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ☞ ❴ Lω ✒ ✝ ✍ ✎ Stab(Lω ) = (a2 + a3 + b)+ ✛ ☞ ❪ ✍✖ ❪ ✍ ❪❛ ✆✏❴ ✍✆ ❝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ✚ G1 \ G1 Stab(Lω ) = a2 + a3 b + b G2 \ G2 Stab(Lω ) = a3 + a2 b + a4 b + b ✤✞✏ ✝ ❪ ✍✆ ☞ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ω ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ☞ ❴ Lω ✒ ✁ ✌ ✏ ✒✑ ☛✌ ✌ ✎✍✝ ✠✡❴ ✜ ❴❵ ✕ ✠ ❴ ✕ ❜ ☛✖☛☞ ❴ ✍✆✛ L ✎ ❝ ☛✠☛ ❵❴ ✍✆✝ a2 ❴ ✆ a3 ✎✟✎✍✆ ❵ ✜ ❵❴ ❜ ✎✖✏✍ ❴ ✕ ❜ ✏ ❵ ✏✆✏ ❫❴ ✛ ❪ ✍ ✆ ❜❪ ✞ ❫❴ ✎✞✝✝✏ ✠ ❴ ✝ ✠✎✍✌✎✌ ❴ ✝ ✚ ❴ ✆ G4 = a3 + (a2)∗b G3 = a2 + (a3 )∗ b ✤✞✏ ✝ ❪ ✍✆ ☞ ❴ ✞✜ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ☞ ❴ Lω ✒ ✝ ✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✠✏✝ ❴ ✖ ❴ ✆✆ ❴ ❜❴❵ ✎ ❜ ✤✞ ❴ ✕ ❪ ✞ ❜ ✠ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ✖ ❪ ✍✆ ❴ ✍✎✍✆ ✕ ✎ ❜ ✆✏ ❴ ✝ ✖ ❪❵❵ ✞✆✎✆✏ ❫❴ ✝ ✖ ❪❵❵❴ ☞✎✍✝ ✠✎ ✕ ❜❪ ✕ ❪ ✝✏✆✏ ❪ ✍ ✒❝ ✒ ✖✠✒ ✆✎ ❛ ✠ ❴ ✎✞ ✒ ✒ ✚ ✜ ✑ ✎✝ ✑✟  ✁✂ ✄ ✒ a2 a3 b a a = a3 a2 H I K HI = IH   ✡ ✄✆★✆ ✂ ✞✂ ✞✆☎ ✢ ✁✔ ✁✟ ✁ ✠ ✗✕✡ ✑ ✟✞ ✥✎ ❜ ✆✏✖✞✠✎ ❜ ✏✝✎✆✏ ❪ ✍ ✙ ✠✡❴ ✜ ❴❵ ✕ ✠ ❴ a2 + a3 + b H, I, K ⊆ Σ+ ✌ ✠✕ H ω ⊆ (I + K)ω ✌✡ HI = IH ✎ ✒✞✗✑✍ (H + I + K)ω = (I + H ∗ K)ω ✙ ✠ ✏ ✗✏✍✡✑✒✡✕✗✏ ✌ ✝ ✍ ✍ ❪ ✆ ❴ L = H + I + K ✒ ✝ ✍ ✎ G = H ∗ I + H ∗ K ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ Lω ❴ ✆ ✜ ❪✍✖✛ H + I = H ∗ HI = H ∗ IH ⊆ H ∗ IStab(Lω ) ⊆ GStab(Lω ) G \ GStab(Lω ) ⊆ (H ∗ I + H ∗ K) \ H + I = I + H ∗ K ⊆ G ✥✎ ❜ ✖ ❪ ✍✝☛✤✞ ❴ ✍✆✛ I + H ∗ K ❴ ✝✆ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ☞ ❴ Lω ✒ ✄ ☎ ✄ ✁ ✁ ✁ ✠ ✗✕✡ G ⊆ Σ+ ✌ ✠ ✟✕✞ ✌  ✕✍✡✌ ☛✏ ✏ ✗✡ u ✡✌✞ ☛✌ {ui , uj } ⊆ G ✎ ✒✞✗✑✍ ✦✆ ✆☛☛ ✞ ☞ ✢ ✔ ✔ ✚ G1 = uj + (ui )∗ (G \ {ui , uj }) G2 = ui + (uj )∗ (G \ {ui , uj }) ✍✗✏✡ ☞✌☛   ✎✠✏✠✑✒✡✌☛✑✍ ☞✌ Gω ✌ ❝✑ ✚☞ ☎ ★☛☞ ✢ ✁✛ ✁ ✄❪✏✆ ✄ ✑ ✒ ❴ ✠ ❪ ✍ ✠ ❴ ✖ ❪❜❪ ✠✠✎✏ ❜❴ ✒❝ ✒❝ ✚ ❴ ✆ G2 = a3 + (a2)∗b G1 = a2 + (a3 )∗ b ✝ ❪ ✍✆ ☞ ❴ ✞✜ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ☞ ❴ Lω ✒ ✆ ❪ ✍ ❪❛ ✆✏ ❴ ✍✆ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ω ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝ ✚   L = a2 + a3 + b ✆ P rem(G1 ) = a2 + a3 b + b P rem(G2 ) = a3 + a2 b + a4 b + b ☛ ☎   ✄☎ ✒ ☎✍✏ ✆ ✏ ✔ ✝ ✏ ✂ ✟☎✎✍ ☎✁ ✂ ✏   ✜ ✎✍✝ ✖ ❴ ✆✆ ❴ ✝ ❴ ✖✆✏ ❪ ✍ ✛ ✍ ❪ ✞✝ ❴ ✝✝✎✟ ❪ ✍✝ ☞ ✡✎ ✕✕ ✠✏✤✞ ❴❜ ✠✡✦ ❴ ✞ ❜ ✏✝✆✏✤✞ ❴ ✕ ❪ ✞ ❜ ☞ ❴ ✝ ω ✔✕ ✞✏✝✝✎✍✖ ❴ ✝ ❪ ❴ ✍ ✍ ✍✌ ❴ ✍☞ ❜ ☛ ❴ ✝ ✕ ✎ ❜ ✞✍ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝❴ ✜ ❴❵ ✕ ✠ ❴ ✝ ☞ ❴ ✠✎ ✝ ❴ ✖✆✏ ❪ ✍ ✑ ✒ ✟✞ ✒ ❭❪ ✆ ❜❴ ❛ ✞✆ ❴ ✝✆ ☞ ❴ ❵ ✏ ❴ ✞✜ ✖ ❴❜ ✍ ❴❜ ✠✎ ✠✏ ❵ ✏✆ ❴ ☞ ❴ ✖ ❴ ✆✆ ❴ ✦ ❴ ✞ ❜ ✏✝✆✏✤✞ ❴ ✒   ✚☞ ☎ ★☛☞ ✢ ✁✤ ✁ ✄ ❪ ✏✆ ✒ ✝✍ ✎ ✚ L = a + ab + bab ✄❴✠❪✍ ✠❴ ✖❪❜❪✠✠✎✏❜❴ ✑ ✒❝ ✒✟ ✚ A(L) = ab G = P rem((ab)∗ (a + bab)) ✂ = a + bab + aba + ab2 ab ✤✞✏ ❴ ✝✆ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✍ ❪ ✍ ✔ ✖ ❪ ☞ ❴ ☞ ❴ Lω ✒ ✎✏✝ ❪ ✍ ✍ ❴ ✕ ❴ ✞✆ ✕ ✎✝ ✖ ❪ ✍✆✏✍✞ ❴❜ ☞ ✡✎ ✕✕ ✠✏✤✞ ❴❜ ✠✡✦ ❴ ✞ ❜ ✏✝✆✏✤✞ ❴ ✕ ❪ ✞ ❜ G ✖✎ ❜ A(G) = ∅ ✛ ❛ ✏ ❴ ✍ ✤✞ ❴ ✠✡❪ ✍ ✍ ✡✎✏✆ ✕ ✎✝ ✆ ❜❪ ✞ ❫ ☛ ☞ ❴ ✖ ❪ ☞ ❴ ✒   ☎ ✒ ✝✍ ✎ ✁✂ ✁ ❪ ✏✆ L = a2 + a3 + ba + b ✚☞ ★☛☞ ✢ ✄ ✄❴✠❪✍ ✠❴ ✖❪❜❪✠✠✎✏❜❴ ✑ ✒❝ ✒✟ ✚ A(L) = a2 + a3 G1 = P rem(a2 + (a3 )∗ (ba + b)) = a2 + a3 ba + a3 b + ba + b ❴✆ G2 = P rem(a3 + (a2 )∗ (ba + b)) = a3 + a2 ba + a2 b + a4 ba + a4 b + ba + b ✝ ❪ ✍✆ ☞ ❴ ✞✜ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ☞ ❴ Lω ✛ ❵ ✎✏✝ ✖ ❴ ✍ ❴ ✝ ❪ ✍✆ ✕ ✎✝ ☞ ❴ ✝ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✝ ✖ ❪ ☞ ❴ ✝✒ ✝ ✍ ✖ ❪ ✍✆✏✔ ✍✞ ❴ ✚ A(G1 ) = a3 ba + a3 b A(G2 ) = a2 ba + a4 ba + a4 b ✝ ✍ ❴ ✝✝✎✏ ❴ ☞ ❴ ✖✦ ❴❜ ✖✦ ❴❜ ✞✍ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ G ✆ ❴ ✠ ✤✞ ❴ A(G) = ∅ ✛ ❵ ✎✠✦ ❴ ✞ ❜❴ ✞✝ ❴❵❴ ✍✆✛ ✏✠ ✏✆ ❜❴ ✒ ❪ ✍✖✛ ❪ ✍ ✕ ❪ ✞ ❜❜ ✎✏✆ ✎ ✕✕ ✠✏✤✞ ❴❜ ✏✍ ✔ ✍ ✡❴ ✜✏✝✆ ❴ ✕ ✎✝ ❫❪ ✏ ❜ ❴ ✜ ❴❵ ✕ ✠ ❴ ✝ ✒ ☞✎✍✝ ✖✦✎ ✕ ☞☛✑✍✏ ❵❴ ✍✆ ✍ ❪ ✆ ❜❴ ✦ ❴ ✞ ❜ ✏✝✆✏✤✞ ❴ ✝✞ ❜ ✖ ❴ ✆ ❴ ✜ ❴❵ ✕ ✠ ❴ ✒ ✍ ✖ ❪ ✍✝☛✤✞ ❴ ✍✖ ❴ ✛ ✝✡✏✠ ✍ ✡❴ ✜✏✝✆ ❴ ✕ ✎✝ ☞ ❴ ✌☛✍☛ ❜ ✎✆ ❴ ✞ ❜ ✖ ❪ ☞ ❴ ✛ ✆ ❪ ✞✆ ❴ ✝✆ ✕ ❪ ✝✝✏ ❛ ✠ ❴ ✚ ✒ ✝ ❪ ✏✆ ❪ ✍ ✝✡✎ 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