BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN NGUYỆN NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE CẤP PHÂN SỐ VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TỚI HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC HÀ NỘI-2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN NGUYỆN NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE CẤP PHÂN SỐ VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TỚI HẠN Chuyên ngành: Toán Giải tích (PTVP&TP) Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Như Thắng HÀ NỘI-2016 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Như Thắng người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Tin, Đại học sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng 09 năm 2016 Học viên Nguyễn Văn Nguyện Mục lục Phần mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kết 1.1.1 Hội tụ yếu 1.1.2 Các định lý hội tụ tích phân 1.1.3 Phép tính vi phân phiếm hàm 1.1.4 Tính lồi tính nửa liên tục yếu 1.2 Phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn 10 1.2.1 Toán tử Laplace cấp phân số 10 1.2.2 Một số ước lượng số hạng phi tuyến 13 1.2.3 Một số định lý 14 Chương Nghiệm dương phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn 15 2.1 Một số bổ đề 15 2.2 Nghiệm cực tiểu N + 20 2.3 Nghiệm cực tiểu N − 28 Kết luận 42 Phần mở đầu Lý chọn đề tài Lũy thừa cấp phân số toán tử Laplace phần tử sinh trình khuếch tán ổn định Lévy xuất khuếch tán dị thường plasma, lan truyền lửa, phản ứng hóa học chất lỏng, biến động dân số quyền chọn kiểu Mỹ tài chính, xem [6] Gần đây, toán tử Laplace cấp phân số thu hút nhiều quan tâm giải tích phi tuyến, ví dụ [7] Caffarelli Silvestre [11] đưa cách xây dựng toán tử Laplace cấp phân số thông qua ánh xạ Dirichlet-Neumann Đây hướng tiếp cận sử dụng tài liệu gần để viết toán không địa phương cách địa phương điều cho phép sử dụng phương pháp biến phân cho toán Trong [10], Cabré định nghĩa toán tử bậc hai Laplace thông qua phân tích phổ toán tử Laplace Ω với điều kiện biên Dirichlet Với kỹ thuật địa phương cổ điển, tác giả thiết lập tồn nghiệm dương toán số hạng phi tuyến tới hạn, qui đưa L∞ -đánh giá kiểu Brezis-Kato cho nghiệm yếu Trong [17], tác giả sử dụng kỹ thuật Brezis-Nirenberg để xây dựng kết tương tự vấn đề [7], với toán tử Laplace cấp phân số thay cho toán tử Laplace Các vấn đề số mũ tới hạn toán tử Laplace nghiên cứu rộng rãi nhiều thập kỷ qua, xem ví dụ [12] tài liệu tham khảo Vì vậy, chọn đề nghiên cứu: Nghiệm dương phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn Cụ thể chứng minh tồn nghiệm dương toán  α  (−∆) u = λ f ( x ) |u|q−2 u + |u|2∗α −2 u, Ω ∂Ω u = 0,  Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích luận văn tìm hiểu, tổng hợp trình bày kết tồn nghiệm dương phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn Nhiệm vụ nghiên cứu trước hết tìm hiểu lí thuyết đa tạp Nehari kĩ thuật ánh xạ phân thớ, sau đó, chứng minh tồn hai nghiệm dương toán tham số λ đủ nhỏ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu lớp toán elliptic với số hạng phi tuyến tới hạn Phạm vi nghiên cứu tồn nghiệm dương toán Định hướng phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức học phương trình elliptic, giải tích hàm phi tuyến việc tham khảo tài liệu báo liên quan Để giải toán trên, sử dụng phương pháp biến phân nghiên cứu điểm tới hạn phiếm hàm I (u) = α (−∆) u dx − Ω λ q f ( x )|u|q dx − Ω 2∗α ∗ |u|2α dx Ω Để chứng minh tồn nghiệm toán cho, kết hợp hướng tiếp cận phân thớ đề xuất Drabek-Pohozaev kĩ thuật phân tích đa tạp Nehari CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu số kiến thức phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn số bổ đề Chương Nghiệm dương phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn Trong Chương 2, trình bày số bổ đề, định lý từ chứng minh tồn nghiệm dương phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kết giải tích hàm tính hội tụ yếu, định lý hội tụ tích phân, phép tính vi phân phiếm hàm, tính lồi tính nửa liên tục yếu, tính cưỡng định lý Định lý nhân tử Lagrange, Định lý qua núi (xem [5]) Cũng chương giới thiệu sơ lược toán tử Laplace cấp phân số phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn số ước lượng số hạng phi tuyến 1.1 Một số kết 1.1.1 Hội tụ yếu X không gian Banach thực ∗ ∗ Định nghĩa 1.1 Ta nói dãy {uk }∞ k=1 ⊂ X hội tụ yếu đến u ∈ X u , uk → u , u với phiếm hàm tuyến tính bị chặn u∗ ∈ X ∗ , ký hiệu uk Dễ dàng kiểm tra rằng: Nếu uk → u uk yếu bị chặn Từ đó, uk u u Và ta có dãy hội tụ u u ≤ lim inf uk k→∞ Định lý 1.2 (Compac yếu) Cho X không gian Banach phản xạ giả sử dãy {uk }∞ k =1 bị chặn Khi tồn dãy uk j ∞ j =1 ⊂ {uk }∞ k=1 u ∈ X cho uk j u Tức là, dãy bị chặn không gian Banach phản xạ tiền compac yếu Nói riêng, dãy bị chặn không gian Hilbert chứa dãy hội tụ 1.1.2 Các định lý hội tụ tích phân Định lý 1.3 (Bổ đề Fatou) Giả sử Ω tập đo (Lebesgue) R N {un } dãy hàm đo không âm Ω Khi lim inf un dx ≤ lim inf Ω n→∞ n→∞ un dx Ω Định lý 1.4 (Định lý hội tụ bị chặn) Giả sử Ω tập đo R N , {un } dãy L1 (Ω) thỏa mãn (i) un ( x ) → u( x ) h.k.n Ω n → ∞ (ii) tồn v ∈ L1 (Ω) cho, với k ≥ 1, |un ( x )| ≤ v( x ) h.k.n Ω Khi u ∈ L1 (Ω) un dx = lim n→∞ Ω udx Ω Định lý 1.5 Giả sử Ω tập mở R N , {un } ⊂ L p (Ω), ≤ p ≤ +∞ dãy hội tụ đến u L p (Ω) Khi tồn dãy {ukn } hàm v ∈ L p (Ω) thỏa mãn (i) ukn ( x ) → u( x ) h.k.n Ω n → ∞ (ii) với n ≥ 1, |ukn ( x )| ≤ v( x ) h.k.n Ω 1.1.3 Phép tính vi phân phiếm hàm Giả sử X không gian Banach, X ∗ không gian liên hợp X, U tập mở X, F : U → R phiếm hàm Định nghĩa 1.6 Ta nói hàm phiếm hàm F khả vi (Fréchet) điểm u ∈ X tồn L ∈ X ∗ cho | F ( u + v ) − F ( u ) − L ( u ), v | =0 v →0 lim v với v ∈ X Phiếm hàm L gọi đạo hàm (Fréchet) F u, kí hiệu F (u) hay DF (u) Nếu F khả vi (Fréchet) điểm u ∈ X ta nói F khả vi (Fréchet) U Ánh xạ F : U → X ∗ , u → F (u) gọi đạo hàm F Nếu ánh xạ liên tục U ta nói F thuộc lớp C1 U viết F ∈ C1 (U, R) Định nghĩa 1.7 Giả sử H không gian Hilbert với tích vô hướng (., ), U ⊂ H tập mở I : U → R phiếm hàm khả vi u ∈ U Vì I (u) phiếm hàm tuyến tính liên tục H nên theo định lý biểu diễn Riesz, tồn phần tử w ∈ H cho I (u), v = (w, v) , ∀v ∈ H Kí hiệu phần tử w ∇ I (u) gọi gradient I u Như vậy, ta có I (u), v = (∇ I (u), v) , ∀v ∈ H Định nghĩa 1.8 Ta nói phiếm hàm F khả vi Gâteaux điểm u ∈ X tồn L ∈ X ∗ cho F (u + tv) − F (u) d F (u + tv)|t=0 = lim = L ( u ), v t →0 dt t với v ∈ X Phiếm hàm L gọi đạo hàm Gâteaux F u, kí hiệu FG (u) Nhận xét: Nếu F khả vi Fréchet u F khả vi Gâteaux điểm F (u) = FG (u) Mệnh đề 1.9 Nếu phiếm hàm F khả vi Gâteaux U đạo hàm FG liên tục U F ∈ C1 (U, R) 1.1.4 Tính lồi tính nửa liên tục yếu Định nghĩa 1.10 Giả sử I : X → R phiếm hàm không gian Banach X, u ∈ X gọi điểm cực tiểu toàn cục I I (u) = inf I (v) v∈ X u gọi điểm tới hạn I I khả vi u I (u) = Nếu u điểm tới hạn I c = I (u) gọi giá trị tới hạn I Nhận xét: Nếu I khả vi X điểm cực tiểu toàn cục I điểm tới hạn Định nghĩa 1.11 Phiếm hàm I : X → R không gian vecto X gọi lồi với u, v ∈ X với số thực t ∈ [0,1] có bất đẳng thức sau I (tu + (1 − t)v) ≤ tI (u) + (1 − t) I (v) Phiếm hàm I gọi lồi nghiêm ngặt bất đẳng thức I (tu + (1 − t)v) < tI (u) + (1 − t) I (v) với u, v ∈ X, u = v, số thực t ∈ (0,1) Ta nói I lõm (lõm nghiêm ngặt) − I lồi (lồi nghiêm ngặt) Định nghĩa 1.12 Phiếm hàm I : X → R gọi nửa liên tục yếu (theo dãy) I (u) ≤ lim inf I (un ) n→∞ với dãy {un } X hội tụ yếu đến u ∈ X Mệnh đề 1.13 Nếu I : X → R phiếm hàm lồi liên tục không gian Banach X I nửa liên tục yếu Định nghĩa 1.14 Phiếm hàm I : X → R xác định không gian Banach X gọi cưỡng nếu, với dãy {un } X, un → +∞ ⇒ I (un ) → +∞ Mệnh đề 1.15 Nếu X không gian Banach phản xạ I : X → R phiếm hàm lồi, liên tục cưỡng I đạt cực tiểu toàn cục Mệnh đề 1.16 Nếu phiếm hàm I : X → R lồi nghiêm ngặt I có nhiều điểm cực tiểu toàn cục |w1 + tηwε | 2∗α 2∗α Ω×{0} 2∗ ∗ |w1 | dx + t2α = Ω×{0} Ω×{0} ∗ +2∗α t2α −1 |ηwε | 2∗α −2 |ηwε | α dx + 2∗α t Ω×{0} w1 ηwε dx + o ε N −α | w1 | 2∗α −2 w1 ηwε dx Ω×{0} (2.33) f ( x ) |w1 + tηwε |q − |w1 |q + qt|w1 |q−1 ηwε dx ∑ ×{0} f + (x) =q  tηw ε   ∑ ×{0} |w1 + τ |q−1 + |w1 |q−1 τ dτ   (2.34) dx  ≥ Thay (2.12),(2.32),(2.33),(2.34) vào (2.30) sử dụng η ∈ C0∞ (C∑ ) ta thu J (w1 + tηwε ) λ = J ( w1 ) − q Ω×{0} + t2 ηwε α (C ) H0,L Ω λ = J ( w1 ) − q t2 ηwε + 2 ∗ |w1 |2α −1 ηwε dx f ( x ) |w1 + tηwε |q − |w1 |q dx + t w1 , ηwε − t − Ω×{0} ∗ t 2α 2∗α 2∗α ∗ |ηwε | dx − t2α −1 Ω×{0} |ηwε | 2∗α −1 w1 dx + o ε N −α Ω×{0} f ( x ) |w1 + tηwε |q − |w1 |q + qt|w1 |q−1 ηwε dx ∑ ×{0} α (C H0,L Ω ∗ t 2α − ∗ 2α ) t2 ≤ J ( w1 ) + ηwε 2 ∗ ∗ ∗ |ηwε |2α −1 w1 dx + o ε |ηwε |2α dx − t2α −1 Ω×{0} α (C H0,L Ω Ω×{0} ∗ t 2α − ∗ 2α ) N −α 2∗α ∗ ∗ |ηwε |2α −1 w1 dx + o ε |ηwε | dx − t2α −1 Ω×{0} Ω×{0} Từ  ∗ |ηwε |2α −1 dx = Ω×{0} Ω×{0} N −α ηε    ε2 + | x | ε = RN = N −α 30 +∞ N −α   N −α  N +α ε N + α + | z |2 N −α Cε ≤ Cε  N +α N +α (1 + r ) N +α ε N dz dx N −α Khi ta có ηwε = wε α (C ) H0,L Ω α (C ) H0,L Ω + O ε N −α N 2∗α ε |ηwε | dx = Ω×{0} RN ε2 + |x| dx + O ε N Như ∗ t2 J (w1 + tηwε ) ≤ J (w1 ) + wε Đặt: h(t) = t2 wε α (C ) H0,L Ω − α (C H0,L Ω ∗ |wε |2α dx + O ε N − Cε N −α +o ε Ω×{0} (2.35) ∗ t 2α 2∗α t 2α − ∗ 2α ) 2∗α |wε | dx, với t > Ω×{0} Từ h(t) → −∞ t → ∞, sup h(t) đạt tε > với h (tε ) = Điều suy t ≥0 = wε 2∗ −2 α (C ) H0,L Ω ∗ |wε |2α dx − tε α Ω×{0} Vì h(t) ≤ h(tε ) = 1 − ∗ 2α 2∗α 2∗α −2 wε α (C ) H0,L Ω −  ∗  |wε |2α dx    2∗α −2 (2.36) Ω×{0} Mặt khác, từ wε điểm cực tiểu vết bất đẳng thức (1.3), ta có  2∗  wε α (C ) H0,L Ω 2α 2∗α  |wε | dx   = k α S(α, N ) (2.37) Ω×{0} Do đó, từ (2.35), (2.36), (2.37), ta có N N −α N −4 α J (w1 + tηwε ) ≤ J (w1 ) + (k α S(α, N )) α + O(ε N ) − Cε + o (ε ) 2N N α < mJ + (k α S(α, N )) α , 2N với ε > đủ nhỏ Mệnh đề 2.12 Nếu dãy cực hóa {wn } J N − thỏa mãn m J ≤ J (wn ) < m J + Khi {wn } , thỏa mãn điều kiện (PS) N − 31 N α (k α S) α 2N N −α Chứng minh Bởi (2.29) {wn } ∈ N − , ta dễ dàng {w n } bị chặn α (C ) H0,L Ω Ta lấy dãy {wn }, ta kí hiệu {wn } w2 thỏa mãn n → ∞: α wn (C ), H0,L Ω w2 wn (·, 0) → w2 (·, 0) L p (Ω) với < p < 2∗α , (2.38) wn (·, 0) → w2 (·, 0) h.k.n Ω Từ {wn } ⊂ N − dãy cực tiểu hóa, theo định lí nhân tử Lagrange ta có J (wn ) → n → ∞ Vì vậy, theo (2.38) ta có α (C ) J (w2 ), ϕ = 0, ∀ ϕ ∈ H0,L Ω α (C ) toán (1.2) J (w ) ≥ m Khi w2 nghiệm H0,L J Ω f ( x )|w2 |q dx → 0, n → ∞ Đầu tiên, ta cần w2 ≡ Nếu không, theo (2.38) ta có Ω×{0} Do đó, từ J (wn ) → 0, ta có ∗ |wn |2α dx + o (1) y1−α |∇wn |2 dxdy = kα (2.39) Ω×{0} CΩ J (wn ) = kα y1−α |∇wn |2 dxdy − CΩ α = 2N λ q f ( x )|wn |q dx − Ω×{0} 2∗α ∗ |wn |2α dx Ω×{0} N α (k α S(α, N )) α |wn | dx < m J + 2N 2∗α Ω×{0} N α < (k α S(α, N )) α 2N Vì ta có (do m J < 0) ∗ N ∗ N |wn |2α dx < (k α S(α, N )) α (2.40) Ω×{0} Mặt khác, từ (2.39) (1.3), ta có |wn |2α dx ≥ (k α S(α, N )) α Ω×{0} Đến mâu thuẫn với (2.40) Do w2 ≡ J (w2 ) ≥ m J α ˆ n = wn − w2 với w ˆn Ta viết w ∗ ˆ n |2α dx = |w Ω×{0} Ω×{0} (C ) H0,L Ω ∗ ∗ |wn − w2 |2α dx = ∗ |wn |2α dx − Ω×{0} 32 |w2 |2α dx + o (1) Ω×{0} Do đó, n đủ lớn, ta kết luận mJ + N α (k α S(α, N )) α 2N ˆ n) > J ( w2 + w kα = J ( w2 ) + kα ≥ mJ + ˆ n |2 dxdy − y1−α |∇w CΩ CΩ ˆ n |2 dxdy − ∗ y1−α |∇w 2α 2∗α ∗ ˆ n |2α dx + o (1) |w Ω×{0} ∗ ˆ n |2α dx + o (1) |w Ω×{0} Điều có nghĩa kα ˆ n |2 dxdy − y1−α |∇w CΩ 2∗α ∗ ˆ n |2α dx < |w Ω×{0} N α (k α S(α, N )) α + o (1) 2N (2.41) Từ J (wn ) → n → ∞,{wn } bị chặn w2 nghiệm toán (1.2), theo + o (1 ) = J (wn ), wn |wˆ n |2α dx + o (1) Ω×{0} ∗ |wˆ n |2α dx + o (1) CΩ y1−α |∇wˆ n |2 dxdy − = kα ∗ ˆ n |2 dxdy − y1−α |∇w = J ( w2 ) + k α Ω×{0} CΩ Ta có ∗ ˆ n |2 dxdy = y1−α |∇w kα ˆ n |2α dx + o (1) |w ( n → ∞ ) (2.42) Ω×{0} CΩ ˆ n } dãy hội Ta yêu cầu (2.41)và (2.42) giữ đồng thời {w ˆn tụ mạnh tới 0, không w ˆn w α (C ) H0,L Ω α (C ) H0,L Ω bị chặn từ 0, điều có nghĩa > c > Từ (2.42) (1.3) có N ∗ ˆ n |2α dx ≥ (k α S(α, N )) α + o (1) |w (2.43) Ω×{0} Bởi (2.41), (2.42) (2.43), với n đủ lớn, ta có N α (k α S(α, N )) α 2N ≤ α 2N kα = ∗ ˆ n |2α dx + o (1) |w Ω×{0} ˆ n |2 dxdy − y1−α |∇w CΩ N α < (k α S(α, N )) α 2N 33 2∗α ∗ ˆ n |2α dx + o (1) |w Ω×{0} điều mâu thuẫn.Vì wn → w2 α (C ) H0,L Ω w2 ∈ N − Tiếp theo, ta thiết lập tồn điểm cực tiểu địa phương J N − Mệnh đề 2.13 Với λ ∈ (0, λ∗ ), hàm J có cực tiểu w2 ∈ N − thỏa mãn J (w2 ) = m− < m J + N α (k α S(α, N )) α 2N α Chứng minh Với w ∈ H0,L (CΩ ), Bổ đề 1.28 ta tìm thấy t− (w) > thỏa mãn t− (w)w ∈ N − Đặt         w > w W1 = w : w = t−   w α     H0,L (CΩ )             w −   < w W2 = w : t  α   w α (C )    H  0,L Ω  H (C ) Khi N − chia α (C )\N − = W ∪ W thành phần W1 W2 H0,L Ω      w Với w ∈ N + , tồn t−   w α (C ) H0,L Ω thỏa mãn   t+    w w α (C ) H0,L Ω w w α (C ) H0,L Ω   t−     Mà t+    w w α (C ) H0,L Ω (C ) H0,L Ω   >0     w  < tmax < t−    w α (C ) H0,L Ω  w   w α  ;  ∈ N +; (C ) H0,L Ω  w w α (C ) H0,L Ω  w   w α ∈ N − (C ) H0,L Ω    Từ w ∈ N + , ta có t+     w  > 0, t+    w α    t+   , α (C )  H0,L Ω   Ω 0,L α (C ) H0,L Ω     w w α (C ) H0,L Ω    w α = (C ) H0,L Ω     w  < t−    w α (C ) H0,L Ω     w , ta t−    w α 34 (C ) H0,L Ω  > w  α (C ) H0,L Ω N + ⊂ W1 Đặc biệt, w1 ∈ W1 điểm cực tiểu J N + Bây ta yêu cầu tồn l0 > 0thỏa mãn w1 + l0 ηwε∈ W2 Đầu tiên ta  w1 + lηwε tìm số c > thỏa mãn < t−   w1 + lηwε α (C ) H0,L Ω Nếu không có dãy {ln } thỏa mãn    w1 + ln ηwε ln → ∞ t−   w1 + ln ηwε α (C ) H0,L Ω ˜n = Đặt w w1 + ln ηwε w1 + ln ηwε α   < c với l >    → ∞ n → ∞  ˜ n )w ˜ n ∈ N − Khi ta Bởi Bổ đề 1.28 ta t− (w (C ) H0,L Ω có ∗ ˜ n |2α dx = |w Ω×{0} ∗ w1 + ln ηwε |w1 + ln ηwε |2α dx 2∗α α (C ) Ω×{0} H0,L Ω = w1 ln 2∗α + ηwε α (C ) Ω×{0} H0,L Ω → ηwε w1 + ηwε ln 2∗α dx ∗ |ηwε |2α dx > (khi n → ∞) , 2∗α α (C ) Ω×{0} H0,L Ω ˜ n )w ˜ n) J ( t − (w ˜ n) = t − (w 2 λ ˜ n) − t − (w q q q ˜ n dx f ( x )w Ω×{0} → −∞ (khi n → ∞) Đến mâu thuẫn với J bị chặn N − 35 ˜ n )] [ t − (w − 2∗α 2∗α ∗ ˜ n |2α dx |w Ω×{0} c − w1 Cho l0 = α H (CΩ ) 0,L ηwε α H (CΩ ) 0,L w1 + l0 ηwε α (C ) H0,L Ω + Khi = w1 + l02 ηwε ≥ w1 + c2 − w1 α (C ) H0,L Ω α (C ) H0,L Ω α (C ) H0,L Ω α (C ) H0,L Ω ≥ c2    _  > t  + 2l0 w1 , ηwε + 2l0 w1 , ηwε  2 w1 + l0 ηwε w1 + l0 ηwε α (C ) H0,L Ω    Điều có nghĩa w1 + l0 ηwε ∈ W2 Bây ta đặt β = inf max J (γ(s)) γ∈Γ s∈[0;1] Γ = γ∈C α (C ) [0; 1] , H0,L Ω : γ ( ) = w1 γ(1) = w1 + l0 ηwε Xác định đường γ(s) = w1 + sl0 ηwε với s ∈ [0, 1] ta có γ(0) ∈ W1 , γ(1) ∈ W2 tồn s0 ∈ (0; 1) thỏa mãn γ(s0 ) ∈ N − ta có β > m− Vì Bổ đề 2.11 ta có m− ≤ β < m J + N α (k α S(α, N )) α 2N Tương tự chứng minh Mệnh đề 2.7, ta chứng minh biến phân Ekeland dãy {wn } ∈ N − thỏa mãn J ( wn ) → m − Từ m− < m J + J (wn ) → n → ∞ N α (k α S(α, N )) α , Mệnh đề 2.12 Bổ đề 2.10, tồn dãy 2N α (C ), w ∈ N − J (w ) = m {wn } w2 thỏa mãn wn → w2 ∈ H0.L − 2 Ω Từ J (w2 ) = J (|w2 |) |w2 | ∈ N − , ta có w2 ≥ Theo Nguyên lí cực đại (Định lý 1.25) w2 > α (C ) H0.L Ω ta suy u2 ( x ) = w2 (., 0) ∈ α (C ) H0.L Ω nghiệm toán (1.1) Chứng minh Định lý 1.29 Theo Định lý 2.8 Mệnh đề 2.13, toán (1.2) có hai nghiệm dương w1 ∈ N + w2 ∈ N − Từ N + ∩ N − = ∅ điều chứng tỏ toán (1.1) có hai 36 nghiệm dương u1 ( x ) = w1 ( x, 0) u2 ( x ) = w2 ( x, 0) Định lí chứng minh Bây ta chứng minh Định lý 1.30 Với µ > ta định nghĩa Jµ (w) = kα y1−α |∇w|2 dxdy − CΩ ∗ µ 2∗α |w|2α dx, α Oµ = (C ) : w = J (w), w = w ∈ H0.L Ω µ Chúng ta có bổ đề sau Bổ đề 2.14 Với w ∈ N − , tồn t(w) > thỏa mãn t(w)w ∈ Oµ 1−λ f L∞ 2∗α −q 2∗α −2 2∗α − q S0 ( − q ) ≤t 2∗α −2 (w) ≤ + λ f 2∗α − q S0 ( − q ) L∞ 2∗α −q 2∗α −2 (2.44) S0 = k α S(α, N ) Chứng minh Với w ∈ N − , ta có |w|2α dx = (2.45) Ω×{0} Ω×{0} CΩ ∗ f ( x )|w|q dx − y1−α |∇w|2 dxdy − λ kα ∗ y1−α |∇w|2 dxdy < (2∗α − q) < (2 − q ) k α |w|2α dx (2.46) Ω×{0} CΩ Do đó, từ (2.46), hàm J1 (tw) = t ∗ kα y CΩ 1− α t 2α |∇w| dxdy − ∗ 2α ∗ |w|2α dx Ω×{0} t ban đầu tăng cuối giảm với thay đổi điểm t(w) thỏa mãn điều kiện t(w)w ∈ Oµ Vì ∗ y1−α |∇w|2 dxdy = t2α (w) t2 (w) k α Ω×{0} CΩ 37 ∗ |w|2α dx (2.47) Khi từ (2.45), (2.47) bất đẳng thức Holder ta có y1−α |∇w|2 dxdy kα 1−λ f L∞ |w| −(2∗α −q) ∗ L2α CΩ ∗ ≤ t 2α −2 ( w ) = ∗ |w|2α dx Ω×{0} q f ( x )|w| dx λ = 1+ (2.48) Ω×{0} ∗ |w|2α dx Ω×{0} ≤ 1+λ f L∞ |w| −(2∗α −q) ∗ L2α Mặt khác, (1.3) (2.46), ta có ∗ |w|2α dx > Ω×{0} 2−q kα 2∗α − q y1−α |∇w|2 dxdy CΩ  2∗  2−q  ≥ ∗ k α S (α, N )  2α − q 2α 2∗α  |w| dx  Ω×{0} điều có nghĩa w ∗ L2α > (2 − q) k α S (α, N ) 2∗α − q 2∗α −2 (2.49) Vì từ (2.48) (2.49), ta có (2.44) Đến chứng minh xong bổ đề Chú ý 2.15 Từ (2.44) ta dễ dàng suy t(w) → λ → Chứng minh Định lý 1.30 Giả sử {λn } dãy số dương thỏa mãn λ → n → +∞ Bây ta đặt (1) wn (2) = w1,n ∈ N + wn = w2,n ∈ N − nghiệm dương toán (1.2) tương ứng với λ = λn Chúng ta có hai kết sau (i) Bởi Chú ý 2.9, với w1,n ∈ N + , ta kết luận w1,n n → ∞ α (C ) H0,L Ω →0 (ii) Bởi Bổ đề 2.14 Chú ý 2.15, với w2,n ∈ N − , tồn giá trị t(w2,n ) > thỏa mãn t(w2,n )w2,n ∈ Oµ t(w2,n ) → n → ∞ 38 Trong trường hợp (ii) Với w2,n ∈ N − , đặt f (t) = Jµ (tw2,n ) = t2 kα ∗ y1−α |∇w2,n |2 dxdy − t2α CΩ µ 2∗α ∗ |w2,n |2α dx Ω×{0} Từ f (t) → −∞ n → ∞, sup f (t) đạt t˜ > với f (t˜) = 0, t ≥0     với t˜ =   w2,n α (C ) H0,L Ω 2∗α µ Ω×{0} |w2,n | dx ∗  |w2,n |2α dx  = ∗  f (t˜) = t˜  w2,n α (C ) H0,L Ω − t˜2α −2 µ Ω×{0}  2∗1−2 α     Khi t˜w2,n ∈ Oµ sup Jµ (tw2,n ) = Jµ (t˜w2,n ) = t ≥0 w2,n α   2N  µ α (C ) H0,L Ω 2∗α Ω×{0} |w2,n | dx  N 2−α    Mặt khác, theo bất đẳng thức Holder bất đẳng thức Young, với µ ∈ (0, 1), ta có q f ( x )|t˜w2,n | dx ≤ f     2∗ |t˜w2,n | α dx  L∞  Ω×{0} Ω×{0} ≤ f L∞ ( k α S ( α, N )) 2−q ≤ f L w2,n −q ∞ ( k α S ( α, N ) µ ) −q − q 2− q = µ −q t˜q q 2∗α f L q α (C ) H0,L Ω 2− q −q ∞ ( k α S ( α, N )) Khi ta có 39 2  q + µ ˜tq w2,n 2 2− q q q α (C ) H0,L Ω q + µ t˜q w2,n 2  α (C ) H0,L Ω J (t¯w2,n ) = t¯w2,n 2 α (C ) H0,L Ω − λ q 2∗α f ( x )|t¯w2,n |q dx − Ω×{0} −q − λµ λ (2 − q ) 2− q ≥ t¯w2,n α − µ 2q (C ) H0,L Ω ∗ − ∗ |t¯w2,n | α dx 2α Ω×{0}   = (1 − λµ)  21 t¯w2,n −q λ (2 − q ) 2− q − µ 2q f L α (C ) H0,L Ω − f L Ω×{0} −q ( k S ( α, N )) ∞ α 2− q  1−λµ 2∗α ∗  |t¯w2,n |2α dx  Ω×{0} − q 2− q ∞ ( k α S ( α, N )) −q λ (2 − q ) 2− q µ = (1 − λµ) J (t¯w2,n ) − 2q 2− q = ∗ |t¯w2,n |2α dx −q N − α +2 λ (2− q ) (1 − λµ) J1 (t¯w2,n ) − 2q µ 2−q f L f −q ∞ ( k α S ( α, N )) L −q ( k S ( α, N )) ∞ α 2− q 2− q (2.50) N α Vì thế, tương ứng với λ = λn , từ (2.50), Chú ý 2.15 J (w2,n ) < m J + 2N (k α S(α, N )) α , ta có J1 (t¯w2,n ) ≤ 1 − λµ < 1 − λµ N − α +2   J (t¯w2,n ) + N − α +2 mJ + −q + λ n (2 − q ) 2− q µ 2q f −q λ n (2 − q ) 2− q µ 2q f L −q ( k S ( α, N )) ∞ α N α (k α S(α, N )) α 2N  L∞ ( k α S ( α, N )) −q 2− q  Từ m J → 0, t¯ → n → ∞, ta dễ dàng thấy lim sup J1 (w2,n ) ≤ n→∞ N α (k α S(α, N )) 2N Điều cho ta thấy lim sup J1 (w2,n ) = n→∞ N α (k α S(α, N )) 2N Ta kết luận dãy {w2,n } dãy cực tiểu hóa J1 Oµ Khi ∗ y1−α |∇w2,n |2 dxdy − kα CΩ |w2,n |2α dx → n → ∞ Ω×{0} 40 2− q   N α (k α S(α, N )) α n → ∞ 2N N α Điều có nghĩa {w2,n } dãy ( PS)c J1 c = (k α S(α, N )) α Rõ ràng 2N α J1 (w2,n ) → (C ) thỏa mãn {w2,n } bị chặn, tồn dãy {w2,n } w0 ∈ H0,L Ω α w2,n w0 (C ) H0,L Ω Từ Ω bị chặn, ta có w0 = Hơn nữa, tồn hai dãy { xn } ∈ Ω { Rn } ⊂ R+ thỏa mãn Rn → ∞ n → ∞ N −α u (R trΩ w2,n − Rn n (x − xn )) α (C ) H0,L Ω Vậy Định lý 1.30 chứng minh hoàn toàn 41 →0 n → ∞ Kết luận Trong luận văn đạt kết sau: Tổng hợp, trình bày số kết bổ trợ thường dùng Giải tích hàm Giải tích biến phân Tìm hiểu, hệ thống, giới thiệu đầy đủ cách tiếp cận gần toán tử Laplace cấp phân số sử dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn, đồng thời trình bày số ước lượng bổ trợ để đánh giá số hạng phi tuyến Chứng minh chi tiết tồn hai nghiệm dương phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn phương pháp phân tích đa tạp Nehari ánh xạ phân thớ Kết luận văn Định lý 1.29 Định lý 1.30 Tuy nhiên thời gian thực lực hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi có sai sót Tác giả mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình đạo hàm riêng, tập I, NXB Đại học sư phạm 2006 [2] Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình đạo hàm riêng, tập II, NXB Đại học sư phạm 2006 [3] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập I, NXB Giáo dục 2001 [4] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập II, NXB Giáo dục 2001 [5] Hoàng Tuỵ, Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2001 Tiếng Anh: [6] Applebaum D, Lévy process-from probability to finance and quantum groups, Notices Amer Math Soc 51 (2004) 1336–1347 [7] Barrios B, Colorado E, de pablo A and Sánchez U,On some critical problems for the fractional Laplacian operator, J Differential Equation 252 (2012)6133–6126 [8] Brándle B, Colorado E, de pablo A and Sánchez U, A concave-convex elliptic problem involving the fractional Laplacian, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A 143 (2013) 39–71 43 [9] Brezis H, Nirengerg L, Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents, Comm Pure Appl Math 36 (1983) 437–477 [10] Cabré X, Solá-Morales J, Layer solutions in a half-space for boundary reactions, Comm Pure Appl Math 58(2005)1678–1732 [11] Caffarelli L, Silvestre L, An extension problem related to the fractional Lapolacian, Comm Partial Differential Equations 32(2007)1245–1260 [12] Palatucci G, Pisante A, Improved Sobolev embeddings, profile decomposition, and concentration-compactness for fractional Sobolev spaces, Calc Var DOI 10.1007/s00526-013-0656-y [13] Shang X, Zhang J, Yang Y, Positive solutions of nonhomogeneous fractional Laplacian problem with critical exponent, Comm Pure Appl Anal 13 (2)(2014)567–584 [14] Silvestre L, Regularity of the obstacle problem for a fractional power of the Laplace operator, Comm Pure Appl Math 60 (2007)67–112 [15] Tarantello C, On nonhomogeneous elliptic involving critical Sobolev exponent, Ann Inst H Poincare Anal Non Lineaire, 9(1992)281–304 [16] Wu T F, On semilinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents and signchanging weight function, Comm, Pure Appl Anal (2008) 383–405 [17] Zhang J, Liu X, The Nehari manifold for a semilinear elliptic problem with the nonlinear boundary condition, J Math Anal Appl 400 (2013) 100–119 44 [...]... c và ∇ I (u) = 0 1.2 Phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn Trong luận văn này, tôi nghiên cứu về phương trình Laplace cấp phân số có độ tăng trưởng tới hạn như sau  α  (−∆) 2 u = λ f ( x ) |u|q−2 u + |u|2∗α −2 u, trong Ω (1.1) trên ∂Ω u = 0,  α trong đó Ω ⊂ R N , N ≥ 2, là một miền bị chặn với biên trơn, 0 < α < 2, (−∆) 2 là toán tử Laplace cấp phân số, 2∗α := 2N N −α ,... nghiệm dương u0 ∈ H02 (Ω) của bài toán tới hạn α ∗ (−∆) 2 u = |u|2s −2 u trong R N thỏa mãn Rn → +∞ khi n → +∞ và (2) N −α 2 u un ( x ) − Rn 0 ( Rn ( x − xn )) α H 2 (Ω) 0 14 → 0 khi n → +∞ Chương 2 Nghiệm dương của phương trình Laplace cấp phân số với số hạng phi tuyến tới hạn 2.1 Một số bổ đề Trước khi đi tìm nghiệm của bài toán (1.1), chúng ta xét một số bổ đề qua trọng Tương tự chúng ta xét nghiệm. .. số ước lượng đối với số hạng phi tuyến Trong bài toán (1.1) số hạng phi tuyến có độ tăng trưởng dưới tới hạn hoặc tới hạn Mục này chúng ta đưa ra một số kết quả ước lượng cho số hạng phi tuyến Bổ đề 1.26 Với mỗi 1 ≤ r ≤ 2N N −α α 2 (C ), ta có và với mỗi w ∈ H0,L Ω 2  r  |w|r dx  ≤ C.k α   Ω×{0} y1−α |∇w|2 dxdy CΩ Ở đây hằng số C phụ thuộc vào r, α, N, |Ω| α N +1 Bổ đề 1.27 Với mọi w ∈ H 2 R+... Ω×{0} 1.2.3 Một số định lý chính Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) được khẳng định trong các định lý sau: Định lý 1.29 Tồn tại λ∗ > 0 thỏa mãn với λ ∈ (0; λ∗ ), bài toán (1.1) có ít nhất hai nghiệm dương Định lý 1.30 Giả sử rằng có một dãy số {λn } thỏa mãn λn > 0 và λn → 0 khi n → ∞ ( j) Khi đó tồn tại một dãy con của dãy {λn } và hai dãy un ( x ) , (j = 1; 2) của nghiệm dương của bài toán (1.1)... u(−∆) 4 ϕdx = λ |u|2α −2 uϕdx Ω Kết hợp với bài toán (1.1) chúng ta xét phi m hàm năng lượng I (u) = 1 2 α 2 (−∆) 4 u dx − Ω λ q f ( x )|u|q dx − Ω 1 2∗α ∗ |u|2α dx Ω α Phi m hàm này cũng thuộc H02 (Ω) hơn nữa điểm tới hạn của nó chính là nghiệm yếu của bài toán (1.1) α Định nghĩa 1.22 Một mở rộng α-điều hòa của hàm u ∈ H02 (Ω) là nghiệm w = Eα (u) trong trụ CΩ của bài toán    div y1−α ∇w    ... đối (ii) Với = u α = α − H 2 (Ω) H02 (Ω) α ngẫu của H02 (Ω) α 2 (C ), tồn tại một mỗi w ∈ H0,L Ω trΩ w với mỗi r ∈ 2; với r ∈ 2; 2N N −α 2N N −α Eα (u) , α 2 (C ) H0,L Ω α với H − 2 (Ω) là không gian hằng số C độc lập với w thỏa mãn Lr ( Ω ) ≤C w cố định Hơn nữa, α 2 H0,L α 2 (C ) H0,L Ω (CΩ ) nhúng compact trong Lr (Ω) Chúng ta thay đổi bài toán phi địa phương (1.1) thành bài toán địa phương sau... Ω×{0} với mọi w ∈ α 2 H0,L (CΩ ) Rõ ràng điểm tới hạn của J trong điểm tới hạn của I trong α H02 α 2 H0,L (CΩ ) tương ứng với (Ω) Định lý 1.25 (Nguyên lý cực đại) (xem trong [14]) Cho Ω ⊂⊂ R N là một tập mở, u là α ¯ thỏa mãn (−∆) 2 u ≥ 0 trong Ω và u ≤ 0 trong R N \Ω một hàm nửa liên tục dưới trên Ω Khi đó u ≤ 0 trong R N Hơn nữa, nếu u( x ) = 0 tại một điểm trong Ω thì u ≡ 0 trong R N 1.2.2 Một số. .. 0 trong CΩ w = 0 trên ∂ L CΩ w = u trên Ω × {0} α Định nghĩa 1.23 Với mỗi hàm chính quy u ( x ), toán tử Laplace cấp phân số (−∆) 2 của u được định nghĩa bởi α (−∆) 2 u ( x ) = −k α lim+ y1−α y →0 δw ( x, y) , ∀ x ∈ Ω, y ∈ (0, +∞) δy ở đây w = Eα (u) và k α là hằng số tiêu chuẩn 11 Định nghĩa α 2 H0,L (CΩ ) là bao đóng của C0∞ (Ω) với chuẩn w α 2 (C ) H0,L Ω = kα CΩ y 1− α 1 2 2 |∇w| dxdy α 2 Khi... = 0 trong Ω 1.2.1 Toán tử Laplace cấp phân số N +1 Kí hiệu nửa không gian bởi R+ = z = ( x, y) = ( x1 , x2 , xn , y) ∈ R N +1 |y > 0 , N +1 nửa trụ đứng trong miền bị chặn biên trơn Ω ⊂ R N là CΩ = Ω × (0, ∞) ⊂ R+ và phần biên của nó được ký hiệu bởi ∂ L CΩ = ∂Ω × [0, ∞) Giả sử ϕ j là cơ sở trực chuẩn của không gian L2 (Ω) gồm các hàm riêng của bài toán biên Dirichlet đối với toán tử −∆ trong miền... (C ) được gọi là nghiệm của bài toán (1.2) nếu với mọi Định nghĩa 1.24 Hàm w ∈ H0,L Ω α 2 (C ) đều thỏa mãn ϕ ∈ H0,L Ω Ω×{0} CΩ ∗ f (w) |w|q−2 wϕdx + y1−α ∇w, ∇ ϕ dxdy = λ kα |w|2α −2 wϕdx Ω×{0} α Nếu w thỏa mãn (1.2), khi đó vết u = trΩ w = w ( x, 0) ∈ H02 (Ω) là nghiệm của bài toán (1.1) Ngược lại vẫn đúng Do đó dẫn đến sự tương đương của hai bài toán Phi m hàm năng lượng kết hợp với bài toán (1.2)