Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số I ĐẶT VẤN ĐỀ: Lí chọn đề tài: Tốn học ngày giữ vai trị quan trọng cách mạng khoa học kỹ thuật Nó ngày thu hút quan tâm nhiều người việc học tốn trường phổ thơng kích thích ham muốn học sinh lứa tuổi Tốn học giúp cho học sinh dần hình thành phát triển linh hoạt, sáng tạo tư trừu tượng Học toán giúp người nâng cao trình độ tính tốn, giúp khả tư logic, sáng tạo ngày nâng cao phát triển Khi học toán qua hoạt động giải tập giúp học sinh nâng cao dần khả suy luận, đào sâu, tìm hiểu trình bày vấn đề cách logic Là giáo viên dạy toán lớp nhận thấy đa phần học sinh lớp từ việc tiếp thu kiến thức lý thuyết, định nghĩa, tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số để vận dụng kiến thức học vào việc giải tập lúng túng nhiều Từ việc tìm hướng giải đến việc thực bước giải, kể tương đối bình thường đến tốn khó Hơn thân nhận thấy kiến thức tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số quan trọng không lớp mà cịn gặp tốn tìm độ dài đoạn thẳng, tìm cạnh tam giác tốn tam giác đồng dạng lớp 8-9… Chính sau học xong kiến thức tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số nhau, tơi trực tiếp khảo sát học sinh hai lớp 7A3, 7A4 trực tiếp giảng dạy kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số thấy kết sau: Lớp Số HS khảo sát Số học sinh giải SL % Số HS biết hướng không giải SL % 7A3 34 11,8 26,5 7A4 33 9,1 21,2 Số HS giải SL % 61,7 21 69,7 23 Đây kết mà không suy nghĩ, trăn trở băn khoăn nên tơi sâu vào nghiên cứu đề tài nhằm tìm số phương pháp giải để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số vào việc thực hành giải tập GV: Nguyễn Thế Vinh Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số Mục đích nghiên cứu đề tài a) Kiến thức - Học sinh hiểu làm số dạng toán tỷ lệ thức dãy tỷ số như: Tìm số hạng chưa biết, chứng minh liên quan đến tỷ số nhau, toán chia tỷ lệ, tránh sai lầm thường gặp giải toán liên quan đến dãy tỷ số b) Kỹ năng: - Học sinh có kỹ tìm số hạng chưa biết, giải toán chia tỉ lệ, giải toán tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch c) Thái độ: Học sinh có khả tư duy, thành lập tốn mới, tính cẩn thận tính tốn Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 7A3, 7A4 trường THCS Bùi Thị Xuân, Phú Giáo, Bình Dương Phạm vi nghiên cứu: Đề tài bao gồm dạng toán liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số chương trình tốn học lớp THCS Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu từ tài liệu sách tham khảo có liên quan - Thông qua tiết dạy trực tiếp lớp - Thông qua dự rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp - Hệ thống lý thuyết tiết dạy, chủ đề tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số , chốt lại vấn đề cần lưu ý, đưa ví dụ chọn lọc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp - Triển khai nội dung đề tài, kiểm tra đối chiếu kết học tập học sinh từ đầu năm học đến cuối học kì I Cơ sở lý luận: Dạy Tốn, học tốn q trình tư liên tục, việc nghiên cứu tìm tịi, đúc kết kinh nghiệm người dạy Tốn học Tốn khơng thể thiếu Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt điều trăn trở nhiều giáo viên Việc truyền thụ kiến thức trở nên hấp dẫn học sinh giáo viên hiểu ý đồ sách giáo khoa, GV: Nguyễn Thế Vinh Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số giúp học sinh nắm kiến thức cách hệ thống, dẫn đắt học sinh từ điều biết đến điều chưa biết Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức giúp học sinh say mê học Toán, phát huy khả tư sáng tạo Chính suy nghĩ trên, thân tơi tìm tịi, sưu tập hệ thống kiến thức, giúp học sinh có kinh nhgiệm giải toán tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số cách nhẹ nhàng, đơn giản Cơ sở thực tiễn: Thông qua việc giải toán phát triển tư độc lập, sáng tạo học sinh, rèn ý chí vượt qua khó khăn Đứng trước tốn, học sinh phải có vốn kiến thức bản, vững mặt lý thuyết Có thủ pháp thuộc dạng tốn đó, từ tìm cho đường giải tốn nhanh Để học sinh có điều trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn theo chuyên đề dạng toán cách bản, sâu rộng, giúp học sinh : - Nhìn nhận từ tốn cụ thể thấy toán khái quát - Từ phương pháp giải khái quát thấy cách giải tốn cụ thể - Nhìn thấy liên quan toán với - Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết vào giải toán Với lao động nghiêm túc tơi xin trình bày phần nhỏ kinh nghiệm soạn nhằm giúp học sinh rèn kỹ giải dạng toán vận dụng tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số đại số II NỘI DUNG Lí thuyết: Yêu cầu học sinh cần nhớ: * Về tỉ lệ thức: - Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số GV: Nguyễn Thế Vinh a c = a : b = c : d (b ≠ 0; d ≠ 0) b d Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số (a, b, c, d số hạng tỉ lệ thức, a d số hạng hay ngoại tỉ, b c số hạng hay trung tỉ ) - Các tính chất tỉ lệ thức: + Nếu a c = ⇔ ad = bc b d ( Tích ngoại tỉ tích trung tỉ) + Nếu ad = bc a, b, c, d ≠ ta có tỉ lệ thức sau: a c a b d c d b = ; = ; = ; = b d c d b a c a ( Hoán vị trung tỉ, ngoại tỉ, trung tỉ ngoại tỉ ta tỉ lệ thức mới) * Về tính chất dãy tỉ số nhau: - Từ dãy tỉ số * * a c e a c = = = Theo tính chất dãy tỉ số ta có: b d f b d a c a+c a−c = = = b d b+d b−d a c e a+c+e a+c−e = = = = = b d f b+d + f b+d − f Phương pháp giải tập: Dạng 1: Dạng áp dụng trực tiếp tính chất dãy tỉ số để giải Dạng tập trung chủ yếu vào đối tượng học sinh trung bình, yếu để em củng cố khắc sâu kiến thức tính chất dãy tỉ số VD1: Tìm x,y biết: a) x y = x + y = 21 ; b) x y = x − y = Cách giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: a)  x = 3.2 = x y x + y 21 = = = =3⇒  2+5  y = 3.5 = 15 b)  x = −2.2 = −4 x y x− y = = = = −2 ⇒  2−5 −3  y = −2.5 = −10 GV: Nguyễn Thế Vinh Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số VD2: Tìm x,y,z biết: a) x y z = = x + y + z = 18 ; b) x y z = = x − y − z = 15 Cách giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được:  x = 2 = x y z x + y + z 18  = = ⇒  y = = a) = = = 2+3+  z = =   x = −3.2 = −6 x y z x − y − z 15  = = −3 ⇒  y = −3.3 = −9 b) = = = 2−3−4 −5  z = −3.4 = −12  Dạng 2: Dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số sau lập các tỉ số các tỉ số cho để sử dụng kiện toán VD1: Tìm x, y biết: a) x y = x + y = 38 ; b) x y = x − y = 10 Ở học sinh băn khoăn khơng biết làm để áp dụng tính chất dãy tỉ số Gợi ý: Vì cho điều kiện câu a) x + y = 38 muốn sử dụng kiện từ dãy tỉ số x y = ta phải biến đổi cho xuất tỉ số tỉ số cho số hạng có dạng x y Cách giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: a)  x = 2 = x y x y x + y 38 = = = = = =2⇒ 10 10 + 19  y = = b)  x = −2.2 = −4 x y x y x − y 10 = = = = = = −2 ⇒  4−9 −5  y = −2.3 = −6 VD2: Tìm x, y,z biết: GV: Nguyễn Thế Vinh Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số a) x y z = = x + y + z = −93 ; b) x y z = = − x + y − z = 34 Tương tự phải biến đổi cho xuất tỉ số với tỉ số cho để áp dụng tính chất dãy tỉ số Cách giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được:  x = −3.3 = x y z y z x + y + z − 93  = = = = −3 ⇒  y = −3.4 = 12 a) = = = 20 + + 20 31  z = −3.5 = 15   x = −2.3 = −6 x y z x z − x + y − 3z 34  = = = = −2 ⇒  y = −2.4 = −8 b) = = = 15 − + − 15 − 17  z = −2.5 = −10  Chú ý: Khi ta đặt dấu “-” số hạng tỉ số ta phải đặt dấu “-” số hạng tỉ số Từ ta đến cách giải dạng tổng quát: Tìm x, y, z biết x y z = = mx + ny + pz = d a b c Với a, b, c, d số cho trước m ≠ ±1; n ≠ ±1; p ≠ ±1 Phương pháp giải sau: Từ x y z mx ny pz = = ⇒ = = a b c ma nb pc Áp dụng tính chất dãy tỉ số cho dãy tỉ số mx ny pz = = ta ma nb pc mx ny pz mx + ny + pz d = = = = ma nb pc ma + nb + pc ma + nb + pc Dạng 3: Từ kiện cho rút dãy tỉ số để áp dụng tính chất dãy tỉ số giải VD1: Tìm x, y, z biết: = ; = GV: Nguyễn Thế Vinh 2x + 3y – z = 186 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số Chắc chắn chúng phải sử dụng tính chất dãy tỉ số lại chưa có, làm xuất dãy tỉ số Gợi ý: Vì hai tỉ lệ thức có y, nên ta biến đổi hai tỉ lệ thức cho chúng có tỉ số chứa y cách chia hai vế hai tỉ lệ thức cho số để hai tỉ lệ thức thu có tỉ số chứa y tức mẫu tỉ số chứa y BCNN mẫu số ban đầu chứa y Cụ thể: Biến đổi để tỉ số chứa y có mẫu BCNN(4; 5) Cách giải: Ta biến đổi: Do đó: = ⇒ = = ⇒ = = = = = = = =3 Hay: +) = ⇒ x = 3.15 = 45 +) = ⇒ y = 3.20 = 60 +) = ⇒ z = 3.28 = 84 Vậy: x = 45 ; y = 60 ; z = 84 VD2: Tìm x, y,z biết: a) x y y z = ; = x + y + z = −92 ; b) x y y z = ; = − x + y − z = −47 Ta thấy VD2 tương tự với VD1 Ta thực tương tự: Cách giải a) Từ x y x y  = ⇒ = x y z 12  = ⇒ = y z y z 12 15 = ⇒ =  12 15  Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được:  x = −8 x y z x + y + z − 92  = = = = = −1 ⇒  y = −12 12 15 + 24 + 60 92  z = −15  GV: Nguyễn Thế Vinh Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số b) Từ x y x y  = ⇒ =  x y z  ⇒ = = y z y z 15 = ⇒ =   15  Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x = x y z − x + y − 3z − 47  = = = = = 1⇒ y = 6 15 − + − 45 − 47  z = 15  VD3: Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c a – b + c = 35 Đã có dãy tỉ số chưa? Làm để có dãy tỉ số nhau? Gợi ý: Ta nên chia 2a, 3b, 4c cho BCNN (2,3,4) =12 Cách giải Có: 2a = 3b = 4c ⇔ = = = = = Khi đó: = = = = = Hay: +) = ⇒ a = 7.6 = 42 +) = ⇒ b = 7.4 = 28 +) = ⇒ c = 7.3 = 21 Vậy: a = 42 ; b = 28 ; c = 21 VD4: Tìm x, y, z biết: a) 2x 3y 4z = = x + y + z = 220 ; b) x y 3z = = − x + y − z = 216 Ở dãy tỉ số cho có dạng khơng thuận tiện cho việc áp dụng tính chất dãy tỉ số Vậy làm để sử dụng dãy tỉ số cho cho phù hợp Gợi ý: Ta nên ta chia tỉ số cho BCNN hệ số tử số Cụ thể Câu a) ta chia tỉ số cho BCNN(2;3;4)=12 Câu b) ta chia tỉ số cho BCNN(2;5;3)=30 Cách giải: a) Từ 2x 3y 4z x y z = = ⇒ = = 18 16 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: GV: Nguyễn Thế Vinh Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số  x = 2.18 = 36 x y z x + y + z 220  = = = = = ⇒  y = 2.16 = 32 18 16 15 18 + 32 + 60 110  z = 2.15 = 30  b) Từ x y 3z x y z = = ⇒ = = 45 24 50 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được:  x = −45 x y z − x + y − 3z 216  = = = = = −1 ⇒  y = −24 45 24 50 − 90 + 24 − 150 − 216  z = −50  VD5: Tìm x, y biết: a) x = y x + y = 51 ; b) a.x = b y (a ≠ 0, b ≠ 0, b ≠ a) x − y = b − a Cách giải: a) Từ x = y ⇒ x y = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được:  x = 21 x y x + y 51 = = = =3⇒  7 + 10 17  y = 15 b) Từ a.x = b y ⇒ x y = b a Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x = b x y x− y b−a = = = =1⇒  b a b−a b−a y = a VD6 : Tìm x,y,z biết a x − y −6 z −8 = = x +y +z =27 b x −1 y − z − = = ( 1) x + y – z = 50 Giải: a Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x − y −6 z −8 = = GV: Nguyễn Thế Vinh Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số = x − + y − + z − x + y + z − 18 27 − 18 = = =1 2+3+ 9 x−4 =1⇒ x = y −6 =1⇒ y = z −8 = ⇒ z = 12 ⇒ Vậy x = 6; y= 9; z = 12 b Gặp này, em không tránh khỏi băn khoăn: Tạo 2x, 3y cách đây? Vì x cịn vướng -1, y vướng -2 z vướng -3 Cứ bình tĩnh làm bước xem Ta biến đổi (1) sau : ( x − 1) ( y − ) z − 2.( x − 1) 3.( y − 2) z − = = = = hay 2.2 3.3 4 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : ( x − 1) ( y − ) z − x − + y − − z + ( x + y − z ) + −2 − + 50 − = = = = = =5 4+9−4 9 Do đó: x −1 = ⇒ x = 11 y−2 = ⇒ y = 17 z −3 = ⇒ z = 23 VD Tìm x1, x2, x3, …, x9 biết rằng: = = =…= x1 + x2 + x3 + … + x9 = 90 Nhìn khó nhiều số chưa biết tính Khơng vấn đề gì, dựa vào tính chất cuả dãy tỉ số ta làm dễ dàng Theo tính chất dãy tỉ số ta có: = = =…= = GV: Nguyễn Thế Vinh 10 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 28 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 29 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 30 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 31 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 32 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 33 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 34 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 35 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 36 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 37 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 38 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 39 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 40 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 41 Đề tài: Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải số toán đại số GV: Nguyễn Thế Vinh 42