BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI ĐỖ PHI HÙNG VỀ MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VỚI NHÂN TOEPLITZ - HANKEL LUÂN VĂN THAC sĩ TOÁN HOC ĐỖ PHI HÙNG VỀ MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VỚI NHÂN TOEPLITZ - HANKEL LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH TUÂN Đô Phi Hùng Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trịnh Tuân Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành cách tiếp cận vấn đề nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường bạn học viên cao học giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn này! Hà Nội, ngày 30 tháng năm 2016 Lồi cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trịnh Tuân Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa kết khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc từ tài liệu tham khảo Hà Nội, ngày 30 tháng năm 2016 DANH MỤC KÍ HIỆU F Phép biến đổi Fourier Fs Phép biến đổi Fourier sine F; Phép biến đổi Fourier sine ngược F Phép biến đổi Fourier cosine F- Phép biến đổi Fourier cosine ngược Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev K Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược l K ~ Phép biến đổi Laplace L Phép biến đổi Laplace ngược L~ Tích chập hai hàm / g { f * 9) Tích chập hai hàm / g với hàm họng Tích chập hai hàm / g phép biến đổi T Tích chập hai hàm / g với hàm họng phép biến đổi T Đa chập hàm /, g , h Đa chập hàm f , g , h với hàm họng * { f , , h Là tập Ị I Ẽ K : I > Ị ) Kf,9,h) M-I- Mục lục V Lòi mỏ đầu Lý chọn đề tài Phương hình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel có dạng tổng quát (X[7]): -Ị-30 f { x ) + j [ k ị [ x + y ) + k [ x - y ) \ f [ y ) d y - í p (x), X > (1) k i nhân Hankel, k nhân Toeplitz, L p hàm cho trước / hàm phải tìm Tuy nhiên để giải nghiệm phương trình (1) với nhân k i , k tổng quát toán mở tìm nghiệm xấp xỉ Trong năm gần có số kết nghiên cứu giải số lớp phương trình hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel cách chọn nhân k i , k cụ thể, sau dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập để giải đóng số lớp toán dạng [5,6,7,8,9] Với mong muốn tìm hiểu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập ứng dụng để giải lớp phương trình hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel Được hướng dẫn PGS.TS Trịnh Tuân chọn đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ là: “về lốp phương trình hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel” Luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Nêu tóm tắt kiến thức dùng để nghiên cứu cho chương sau Chương 2: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine (F c), Fourier sine [ F s ) , Laplace [ L ) để giải đóng lớp phương hình tích phân với nhân Toeplizt Hankel Các kết chương Định lý: Định lý 2.1, Định lý 2.2 Định lý 2.3 Chương 3: Dùng công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine [ F c ) , Fourier sine { F s ) Kontorovich - Lebedev [ K ) để giải đóng lớp hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel Các kết chương Định lý: Định lý 3.1, Định lý 3.2, Định lý 3.3 Định lý 3.4 Để tiện cho trình theo dõi, đưa vào phần đầu ký hiệu dùng để trình bày cho luận văn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tích chập tích chập suy rộng Nghiên cứu đa chập Dùng công cụ tích chập đa chập suy rộng nói để giải lớp phương trình hệ phương trình với nhân Toeplitz - Hankel Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tích chập đa chập Nghiên cứu phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel Giải lớp phương trình hệ phương trình nói công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng, đa chập Nghiên cứu giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập Phương pháp nghiên cứu Dùng kĩ thuật giải tích hàm Dùng kĩ thuật phương trình tích phân Dùng kĩ thuật tích chập suy rộng đa chập Đóng góp đề tài Luận văn trình bày cách có hệ thống số tích chập, tích chập suy rộng, đa chập liên quan đến phép biến đổi tích phân Fourier [ F ) , Kontorovich-Lebedev [ K ) , Laplace [ L ) Luận văn trình bày vài lớp phương trình hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel giải công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân nói Chương Các kiến thức dùng cho luận văn Trong chương trình bày tóm tắt số không gian hàm, phép biến đổi tích phân, tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine ( F c ) , Fourier sine ( F s ) , Laplace (L), Kontorovich-Lebedev [ K ) dùng để nghiên cứu cho chương sau luận văn Nội dung trình bày chương chủ yếu dựa vào tài liệu [4,5,7,8,9,10] 1.1Các phép biến đổi tích phân không gian hàm 1.1.1 Các không gian hàm • Li (M) tập hợp tất hàm / xác định đo Lebusgue (—x>, -fx>) cho L \ (M) không gian định chuẩn với chuẩn xác định L \ (M-I-) tập hợp tất hàm / xác định đo Lebusgue (0, -|-oo) cho -1-30 Để giải hệ phương trình tích phân (3.17) chọn lớp nhân k i , k , k s , k ị sau: k ị { x , u , v ) — g { \ x -hu — u|) + g { \ x — u -h u|) k { x , u , v ) — — [ g { \ x — u — u|) -h g [ x -hu -hu)) h ( x , u ) = f { \ x - u - 1|) - f ( \ x u -b 1|) k ị { x , u ) — l f { \ x -h u — 1|) — /(|íE -h u -h 1|) Để giải hệ phương hình tích phân (3.17) việc chọn nhân ToeplitzHankel Chúng sử dụng tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine (Fc) Fourier sine [ F s ) để giải.Các tích chập ( * ),(*=) xác định (1.12), (1.16), Fc Fs ' tích chập suy rộng (.*.), (*) xác định (1.26), (1.24) đa chập v { i p , i ị > , k ) xác định (1.33),và đẳng thức nhân tử hóa tương ứng tích chập, tích chập suy rộng đa chập xác định (1.13), (1.17), (1.27), (1.25) (1.34) Ngoài sử dụng Định lý Wiener-Levy để tồn hàm £ L(M+) Định lý sau tồn hên không gian L { K-I-) công thức nghiệm hệ phương trình tích phân (3.17) Định lý 3.3 ( X [ J ) G i ả s i p , iị>, £, h, k hàm biết thuộc L ị i R — \ị\2Fc ư) í lị) ) * £ (s) 7^ 0, Vs > Fs / ị-) nghiệm hệ (3.17) (/, g) £ L(M-I-) X L(M-|-) VÀ xác định bởi: CN "í f-x- U ) { x ) - { h ) { x ) + { h * l ) { x ) - AiLk ) \ { x ) - Ail * { i p , ị , k ) * l \ { x ) , x > (z*h) * l V I / V / Fc [x),x > ip ĩ \ * £ Trong hàm l £ L(R-I-) xác định Ai A2 Fc ựd){y) - Ì-ẰIẰ F C {y) (?ị*) ỉ f {y) Chứng minh Hệ phương trình (3.17) với nhân xác định (3.18) f { x ) + Ai J tp{u)tị>{v) g { \ x + u — u|) g { \ x — u + 2T u|) T Rị viết lại dạng sau - g{\x - u - v \ ) - g ( \ x + u F v \ ) dudv — h{x) f ( \ x - u - 1|) - f { \ x - u + 1|) + f { \ x + u - 1|) Sử dụng đa chập * ,) (1.33) tích chập ĩ J (1.24) vào hệ phương - f{x + U + 1|) du + g{x) — k{x), X > (3.19) trình (3.19) ta hệ phương hình dạng chập f ( x ) H- Ai ( ( * ( < p , ý , g ) ( x ) ) - h { x ) A2 * f ) { x ) ) + g { x ) = k { x ) , X > (3.20) Tác động phép biến đổi Fourier cosine (F c) vào hai vế hệ phương hình (3.20) ta [ F c f ) { y ) + Ai ự c * w ^ , g ) ) { y ) = [ F c h ) { y ) A2 F c { z } f ) (í/)] + [ F c g ) { y ) - { F c k ) { y ) , y > (3.21) Dùng đẳng thức nhân tử hóa (1.34) cho đa chập * (_.,.,.,) (1.25) cho tích chập ĩ vào hệ (3.21) ta ( F c f ) ( y ) + Ai{ F s í p ) { y ) ự s ị ) { y ) { F c g ) { y ) - ( F c h ) { y ) , y > A27ự s O ự c ĩ ) + F c g - ự c k ) { y ) Ai { F ( p ) l y ) { F i Ị j ) { y ) A- A2 { F a £ ) { y ) — 1—AIA2 F C {y) , ự) * lị) Ị *£ F / Ta có: [ ;/) rì AAi{ IA2FÍ B ( p ) ( y ) FC {Fch){y) {FBý){y) A/ - - AIA1J ÍFC (y) [ Cỡ ỉ l ị ) Ị *£ ) (y) LV ^ / ự c h ) { y ) A27ự s t i l y ) ự c k ) - ( F c k ) ( y ) - ^ l F c [ i ị h ) i ( y ) ựck){y) {y) (y), tồn - z ^ z - AiA2irc hàm: l t L(M+) thỏa mãn áp dụng Định lý Wiener-Levy cho hàm ĨỊ { Z ) CÓ dạng ĨỊ { Z ) — [ Ai A2.FC lị) \ Irì [ y ) CM (-■X9- 1AIA2FC % [ y ) Do ựcDíy) ựcf K») = u +■ - A.fUH^.AOJW} = {Fch)(y) + * l)(y) - XiFc[r(ip,^,k)\(y) Fc - XiFc[*{tp,^,k) * l\{y) Fc = h -\- - AlW< p , i l > , k ) ) - Ai(*(1= m+) Nên nghiệm phương trình / e L { J Ằ ị ) F, L(M-I-) đa chập * ) t Tương tự ta có ( F c g ) { y ) - (1 + ự c l ) { y ) ) [(F„kXy) - A2 F C (í ĩ h ) (»)J (F c k ) l v ) lv) + F J k l ) { y ) - X 2F C (Í Ĩ h) -X 2F C { y ) nghĩa i g ) { x ) - [ k ) { x ) + { k * l ) { x ) - X u * h ) 0x ) - X u * h ) * l (&) (h.k.n) Fc VI/ V Do theo giả thiết k ~ L{JẰ-ị-) tích chập ^ / Fc ■) t L(R+),(.Ỉ.) t Nên nghiệm hệ phương trinh g b L { R + ) Vậy nghiệm hệ phương trình (3.17) l f , g ) e L{R-ị-) X L{R- ị - ) Định lí chứng minh xong 3.4 Bài toán 3.4 Xét hệ phương trình tích phân có dạng ỵ r f { x ) + — [ k i [ x , u , v ) +- k { x , u , v ) \ i p i { u ) i ị ) i { y ) d u d v — h [ x ) x2 f 2TT JMị — [k^{x, u, V) T kị[x, u, v)\(p2{u)iỊj2{v)dudv + g [ x ) — k{x), X > 2TT JM2_ (3.22) Trong hệ hàm í p i , ' > i , í p , ' > , h , k l è L hàm cho trước thuộc L \ (M-I-), Ai, x số phức cho hước /, g ẩn hàm phải tìm Chú ý ẩn hàm /, g toán nằm nhân fci, k , fc3, k ị Để giải Hệ phương trình (3.22) chọn lớp nhân k i , k , k s , k ị sau: ki{x,u,v) — g{\x -ị- u — v\) + g{\x — u -ị- v\) k { x , u , v ) — — { q { \ x — u — u|) +- ofX + u + v ) ) v ^ (3.23) k^{x,u,v) — fl\x + u — v \ ) + fl\x — u + v\) k ị { x , u , v ) — — { f l \ x — u — u|) f i x -hu -hu)) Để giải hệ phương trình tích phân (3.22) việc chọn nhân ToeplitzHankel Chúng sử dụng tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine { F c ) , Fourier sine { F s ) để giải.Tích chập { * ) xác định (1.12), tích chập suy rộng ( * ) xác định (1.26) đa chập iị>, k ) xác định (1.33) đẳng thức nhân tử hóa tương ứng với tích chập, tích chập suy rộng đa chập xác định (1.13), (1.27) (1.34).Ngoài sử dụng Định lý WienerLevy để tồn hàm l ^ L1 (K-I-) Định lý sau tồn không gian L{K-I-) công thức nghiệm hệ phương trình tích phân (3.22) Định lý 3.4 ( X [ ] ) G i ả s t p i , I p i , í p , > , h , k l c c h m đ ã biết thuộc L{R-ị-) và: — A1A2FC 1^ 2) ) (E) 7^ 0, Vs > T h ì nghiệm hệ (3.22) là: (/, g) { f ) { x ) - [h){x) + ụ * h){x) - A] Fc [g){x) - [x)k + ụ * k){x) - x2 bởi: Trong l hàm thuộc Z/fR I) V À L(M+) X L(M-I-) V xác định À {x),x > *{2, h) + l xác định * 0{x),x > h) Fr Ai A (F c l){y) FC — A I A F C * ^1,^1, (2 ^ 2)) [ỳ) [y {2)) ) - 5 Chứng minh Hệ phương trình (3.22) với nhân xác định (3.23) viết f { x ) + Ai j (p{u)iỊ>{y) g [\x F u — v\) -\- g[\x 2T — u F V I) T M ị lại dạng sau Aí g { \ x - u - v I) - g { \ x u V I) dudv — h[x) /(!& + u - v \ ) + f { \ x 2T - u + v I) J ¥2{U)IỊJ2{ T - / (V\)x - u - v I) - f ( \ x F u + V I) -|- g { x ) — k { x ) , Sử dụng đa chập X > (3.24) (1.33) vào hệ phương hình tích phân (3.24) ta hệ phương trình dang chập f { x ) + Ai , ý i , g ) ) (x) - h { x ) x [*{y> 2ĩ ị , f ) ) { x ) + g{x) = k{x), X > (3.25) Tác động phép biến đổi Fourier cosine ( F c ) vào hai vế hệ phương hình (3.25) ta {Fcf){y) + Ằi[Fc{*{ (3.26) Áp dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.34) cho đa chập vào hệ (3.26) ta [ F c f ) { y ) + X1{Fsự?1){y){Fs'ilj1){y){Fcg){y) - ựch){y) X2{Fsíp2){y)ựsị2){y){FJ){y) + ựcg){y) - Ta thấy ựck){y) A1 Xi{Fsíp1){y){Fs'il>1){y) —1— XIX2FC X2{Fstp2)(y)ựsị2){y) *{^1,^1, [1= l Fn {y) ta *w2ìị2ì h) + *{^2,^2, h) * l — Fr ị k + ị l * k ) — Ao — Xọ *{^2,^2, h) + *{(P2,^2, h) * l Fn (tr) (h k n ) {y) , Fc { g ) { x ) = {k){x) + í l* k j {x) Theo giả thiết k b L{R+.), tích chập t L{R-ị-) đa chập * ) b L{R+) Nghiệm hệ phương trình g b L { R ^ ) , Vây nghiệm hệ (3.22) (/, g ) Định lý chứng minh xong b L(R+) X L(R-ị-) J Nhận xét: Như hệ phương trình tích phân nói giải nghiệm đũng nhờ công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập nghiên cứu trước Kết luận chương - Nghiên cứu phương pháp giải lớp hệ phương trình tích phân công cụ tích chập, tích chập đa chập Cho ta nghiệm toán xét thể Định lý: Định lý 3.1, Định lý 3.2, Định lý 3.3, Định lý 3.4 Kết Luận Luận văn trình bày chi tiết giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine [ F c ) , Fourier sine [ F s ) , , Kontorovich-Lebedev { K ) , Laplace { L ) Luận văn đạt được: Trình bày số tích chập, tích chập suy rộng đa chập phép biến đổi tích phân Fourier cosine (Fc), Fourier sine [ F s ) , Laplace ( L ) , Kontorovich-Lebedev [ K ] tồn chúng không gian hàm khác đẳng thức nhân tử hóa Trình bày lời giải đóng số phương trình tích phân với nhân Toplizt-Hankel công cụ tích chập, tích chập suy rộng đa chập Trình bày lời giải đóng số hệ phương trình Toplizt-Hankel công cụ tích chập, tích chập suy rộng, đa chập Vấn đề nghiên cứu tiếp theo: Từ phương trình hệ phương trình tích phân giới thiệu chương 2, chương tìm hiểu thêm toán có tính chất thực tiễn gắn với phương trình Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng việt [1] Đặng Đình Áng (2009), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử phương trình tích phân kì dị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (Tái bản) [4] Nguyễn Thanh Hồng (2012), Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier, Fourier cosine, Fourier sine ứng dụng, Luận văn Tiến sĩ Đại học quốc gia Hà Nội [B]Tài liệu tiếng Anh [5] Trinh Tuan (2007), On the generalized convolution with a weight function for the Fourier cosine and the inverse Kontorovich - Lebedev integral transformations, Nonlinear founctional Analysis and Applications Vol 12, No 2, pp 325 - 341 [6] Nguyen Xuan Thao (2014), Trinh Tuan, Le Xuan Huy, The generalized convolution with a weight function for Laplace transform, Nonlinear Founctional Analysis and Applications Vol 19, No 1, pp 61 - 77 [7] Trinh Tuan (2012), A novel polyconvolution for the Fourier since, Fourier cosine and the Kontorovich- Lebedev integral transforms and applications, Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp.38, pp.25- 42 [...]... Định lý 2.3 Chương 3 Hệ phương trình tích phân vói nhân Toeplitz - Hankel Trong chương này, chúng tôi xét một số lớp hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel Hệ này giải được bằng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập của các phép biến đổi tích phân Fourier cosine { F c ) , Fourier sine { F s ) , Kontorovich- Lebedev [ K ) đã được trình bày ở chương 1 để giải và Định lý Wiener-... , l t L i (K-I-) và tích chập L{R+) Nên nghiệm của phương trình: / e L 1 (M-H) Như vậy ta nhận được nghiệm của phương trình tích phân với nhân ToeplitzHankel (2.1), trong đó nhân Hankel k ị và nhân Toeplitz k 2 xác định bởi (2.2) và (2.3) Định lý được chứng minh xong -I Bây giờ chúng ta xét bài toán mà ẩn hàm / chứa trong dấu tích phân và nằm 2.2 Bài toán 2.2 Xét phương trình tích phân sau (2.10) 0... cùng với phép toán chập ( * ) trên xác định một đạị số Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine (Fc), Fourier sine {F s ), Laplace (L) Các tích chập này sẽ được sử dụng để giải phương trình và hệ phương hình tích phân với nhân Toeplitz- Hankel ở chương II và chương III của luận văn Ví dụ 1.1 (X.[9]) Cho / g £ L{R^) Tích chập đối với phép... đóng một lớp phương trình có dạng trên bằng cách chọn lớp nhân Toeplizt -Hankel k \, k 2 cụ thể và sử dụng các công cụ về tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine [ F c ) , Fourier sine [ F s ) , Laplace ( L ) và một số kỹ thuật của giải tích hàm chẳng hạn như Định lý Wiener- Levy cũng như việc chọn lớp không hàm cụ thể để giải các lớp phương trình. .. Các tích chập này sẽ được sử dụng để giải phương trình và hệ phương hình tích phân với nhân Toeplitz- Hankel ở chương II và chương III của luận văn Ví dụ 1.5 (X.[9j) Cho hai hàm số f , g £ Li(M+) Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine { F s ) ; Fourier cosine { F c ) của hai hàm / và g được xác định như sau f { u ) [ g { \ u — x \ ) — g { u + x ) \ d u ; X > 0 (1.22) Tích. .. phương trình tích phân (2.10) chúng tôi chọn lớp nhân Toeplizt- Hankel k \ , k 2 như sau: Để giải phương hình tích phân (2.10), ngoài việc chọn nhân Toeplitz- Hankel như trên Chúng tôi còn sử dụng tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine ( F c ) , Fourier sine ( F s ) , Laplace [ L ) để giải Các 72 tích chập suy rộng: jj được xác định ở:(1.22), (1.26), (1.28) và (1.30) và. .. phép biến đổi tích phân khác nhau Sau đây chúng tôi xin trình bày các ví dụ về đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine { F c ) , Fourier sine { F s ) , Kontorovich-Lebedev { K ) Các đa chập này sẽ được sử dụng để giải hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz- Hankel ở chương II, chương III của luận văn Ví dụ 1.10 (X.[9]) Cho các hàm f , g , h ^ Z/(K-ị-) thì đa chập đối với các phép... được chứng minh xong -I Nhận xét: như vậy các phương hình tích phân (2.1),(2.2), (2.3) ở hên đã giải được bằng công cụ tích chập, tích chập suy rộng và đa chập Nhờ đó đã cho ta biểu thức nghiệm và sự tồn tại nghiệm trong không gian L1 ( R _ ) L Ị R _ ) Kết luận chương 2 - Nghiên cứu phương pháp giải đóng một lớp phương trình tích phân với nhân Toeplizt- Hankel - Cho nghiệm đúng của các bài toán này... g-^coshíx-«- V - D ' thì đa chập (1.35) tồn tại trong không gian L^M-I-) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa F s g , h ỷ } l y ) - s m y l F J ) l y ) l F s g ) l y ) { K i y h ) l y ) , V y > 0 (1.37) Chương 2 Phương trình tích phân vói nhân Toeplitz- Hankel Như ở phần đặt vấn đề đã trình bày việc giải đóng phương trình tích phân với nhân Toeplizt -Hankel k i , k 2 f{x)+ j [kị [x + y) + k2[x -y)\f [y) dy = V?... thức (1.9) 1.2 Tích chập và tích chập suy rộng về lịch sử của tích chập, tích chập suy rộng và đa chập có nhiều tài liệu đã trình bày [5,6,7,8], vì vậy chúng tôi không trình bày ở đây Tuy nhiên, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm cũng như một số tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đã được các tác giả công bố trước đó Các kết quả này dùng để nghiên cứu cho các chương sau 1.2.1 Tích chập Định