Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜ NG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘ I ĐỖ VĂ N DŨNG ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM Lồi MỘT BIEN QUA BAT ĐANG THỨC HERMITE-HADAMARD Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PG S TS TẠ DU Y PH Ư ỢN G HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Sau thòi gian nghiên cứu với quan tâm thầy giáo cô giáo bạn học viên, luận văn đến hoàn thành Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Tạ Duy Phượng tận tình bảo, hướng dẫn thòi gian làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cảm ơn động viên giúp đỡ gia đình bạn bè dành cho trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Đỗ Văn Dũng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu, kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Đỗ Văn Dũng Muc luc Bất đẳng thức Jensen-Petrovic Các bất đẳng thức cho hàm số hình Bất đẳng thức cho hàm lồi Kết luận 46 Lời mở đầu Lí chọn đề tài Giải tích lồi đóng vị trí quan trọng toán học Giải tích lồi liên quan đến nhiều ngành toán học giải tích, giải tích hàm, giải tích số, hình học, toán kinh tế, tối ưu phi tuyến, Một kết kinh điển cho hàm lồi Bất đẳng thức Hermite-Hadamard (H-H Inequality), phát biểu Định lý Định lý Nếu f: K —> K hàm lồi đoạn [a; b] ta có a Trong [8], Fejer mở rộng bất đẳng thức (1) thành bất đẳng thức (2), mà sau gọi bất đẳng thức Fejer Định lý Nếu Ị: K —> K lồi đoạn [a; b] g: [a; b] —> K hàm không âm, khả tích đối xứng qua điểm X = b g(t)dt < Ị b )+ b J (2) g{t)dt f(t)g(t)dt < — a a a Khi g ( x ) = bất đẳng thức Fejer trở thành bất đẳng thức Hermite- Hadamard Sau nhiều tác giả mở rộng bất đẳng thức Hermite-Hadamard Fejer Xem, thí dụ, sách chuyên khảo [3], [4], [5], [6] báo khác Trong [5] phát biểu chứng minh Định lý Điều kiện cần đủ để hàm liên tục f: R —> R lồi [ia, ồ] Luận văn thạc sĩ x + h f ( x ) < — [ f{t)dt với moi a < X — h < X + h < b 2h J (3) x — h Có thể chứng minh rằng, bất đẳng thức (3) tương đương với bất đẳng thức thứ bất đẳng thức Hermite-Hadamard (1) cho hàm lồi liên tục chưa biết ngưòi chứng minh điều (xem [3], p.139) Nhận xét điều kiện cần đủ để hàm lồi qua bất đẳng thức HermiteHadamard không đòi hỏi tính khả vi, mà đòi hỏi tính liên tục hàm cho Rất nhiều kết khác (mở rộng Định lí 3) liên quan đến đặc trưng hàm lồi thông qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard mở rộng bất đẳng thức Mục đích Luận văn trình bày tổng quan Đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày chứng minh đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức dạng HermiteHadamard Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard ứng dụng để đặc trưng hàm lồi Phạm vi nghiên cứu : Các tài liệu, sách báo liên quan đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard Phương pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu, sách báo bất đẳng thức dạng Hermite- Hadamard đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard Tổng hợp, phân tích, hệ thống kiến thức đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard Dỗ Văn Dũng K18 Toán Giải Tích Luận văn thạc sĩ Dự kiến đóng góp luận văn Cố gắng xây dựng luận văn thành tổng quan tốt đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite-Hadamard Chương Một số đặc trưng hàm lồi 1.1Một số đặc trưng hình học hàm lồi Định nghĩa 1.1.1 Tập X c M" gọi lồi với A G [0; 1] X\ G X, x G X có X \ := \xi + (1 — \)x G X Nghĩa là, tập lồi X chứa đoạn thẳng nối hai điểm Các tập hợp đây: dom/ := {x G X \ f ( x ) K, X c M" tập lồi Định nghĩa 1.1.2 Hàm / : X —> R gọi lồi epi / tập lồi Định nghĩa 1.1.3 Hàm / gọi thường dom/ f ( x ) > —00 với X GX Nếu / vừa lồi vừa thường / gọi hàm lồi thường Ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.1 Nếu / lồi domf lồi Bổ đề 1.1.2 Nếu / lồi C ( f , ) l i v i m ọ i a G R Dỗ Văn Dũng K18 Toán Giải Tích Luận văn thạc sĩ Chứng minh Với x , y G C ( f , a ) ta có (x , a ), (y , a ) G epi/ Vì A G (0,1) (As + (1 — A) y , a ) = A(s, a ) + (1 — A) ( y , a ) G epi/, hay (As + (1 — A) y , a ) G epi/ Từ X x + (1 — A) y G C ( f , a ), nên C ( f , a ) tập lồi ■ Nhận xét 1.1.1 Điều ngược lại không đúng, tức C ( f , a ) cố thể lồi với a G M / không lồi Ví dụ 1.1.1 Xét hàm f = X s hàm lòi epi/ tập lồi, C ( f ¡a) = {æ : X s < a} = { x : X < *ựã} tập lồi vói a G R Mệnh đề 1.1.1 ( [2], trang 91) Cho f : X —> (—oo,+oo] Lúc đố f ỉồi f (AÆ + (1 — A)y) < X f ( x ) + (1 — A)/(y)j A G (0,1) (1.1) Hình 1: Minh họa bất đẳng thức (1.2) vôi X\ = Air + (1 — A)y Chứng minh Điều kiện cần chứng minh tương tự Bổ đề 1.1.2 đề ý ( x Ị f ( x ) ) ì (y , f ( y ) ) e epi/ vổi X , y e dom/ Để chứng minh điều kiện đủ ta lấy { x ) ß ) i (y, 7) Gepi/ G (0,1) Lúc / (Ax + (1 - X ) y ) < X f ( x ) + (1 - X ) f ( y ) < X ß + ( l - X ) j , hay A(æ, ß ) + (1 - A)(y, 7) = ( X x + (1 - A) y , X ß + (1 - A)7) € epi/ Vậy epi/ lồi hay / lồi theo Định nghĩa 1.1.2 Để mỏ rộng (1.2) ta gọi hàm / lồi chặt vói X j y Gdom/, X Ỷ G (0,1) ta có / ( X x + (1 - A)y) < Af ( x ) + (1 - A)/(y) y ■ A Mệnh đề 1.1.2 (Bất đẳng thức Jensen) C h o Ị : X — > (—oo,+oo] H m Ị ỉ i chì Dỗ Văn Dũng K18 Toán Giải Tích Luận văn thạc sĩ Dỗ Văn Dũng 10 K18 Toán Giải Tích Luận văn thạc sĩ a Đáng ngạc nhiên hơn, ta có bất đẳng thức sau cho hàm lồi /: Ò~a /ỉ ( x ) d x - ỉ(0 a ^ ] - — m - rb /f { x ) d x - (214) a Chứng minh Thật vậy, (2.14) viết dạng bhỉ b ỉ{x)dx a - (f(a) + m + (a + b)/2 b & V — í f { x ) d x + —'— Ị f { x ) d x — a J a (a + ỉ>)/2 — a J < \ (/(«) + /(^)) + ị (/(^) + /w) ■ 2.4 Một số đặc trưng hàm lồi khác Định lý 2.4.1 ([6 ], p 141) M ộ t h m s ố f € C [ a , b ] lồi với s < t [ữ, ồ] ta có Ị f{x)dx < M±Ẽă_ (2,15) s Rado đưa số kết Giả sử f ( x ) hàm liên tục dương (ữ, ồ) cho u , V € R Ta định nghĩa: Dỗ Văn Dũng 34 K18 Toán Giải Tích (\1 ?2\ h J x I{f,x,h,u) = < Ý A(f,x,h,v ) = < Luận văn thạc sĩ vớiu u= Ỷ0 , 1/u J V \ầJ f{x + trdt ) ( f \ ì exp Ị ^ J logf(x + t)dt Ị với \ -h V = / ' Q - h)v + f( x ) ì) ” v Ỷ 0; (2.16) + h v ự{x - h)f(x + h)ý Ký hiệu E tập tất cặp (u,v) cho I{f,x, h, ù) < A(f,x, h,v ) cố định với tất X h thỏa mãn a < X — h (u + 2)/3; (iii) - < u < V > (u log 2)/(log(l + u)); (iv) < u V > (u + 2)/3 (b) (u, V) thuộc E 3v — u — < Trong Định lý 2.4.1 thay từ "lồi" thành "lõm" bất đẳng thức "/ < A n (2.16) thành "/ > A n E, E thành E* E* Trong đó, E* tất cặp (u,v) cho I{f,x, h,u) > A(f,x, h,v) cố định với tất c ầ a < x — h < x (ữ, ồ) E* tập tất cặp (u,v) thỏa mãn + h < b v ầ tất hàm / lõm dương liên tục I{f,x, h,u) > A(f,x, h,v) Dỗ Văn Dũng 35 K18 Toán Giải Tích Luận văn thạc sĩ Cố định với tất X , h tất hàm / dương, liên tục (a, b) Định lý 2.4.3 (a) Cặp (11,V) G E* điều kiện sau thỏa mãn: (i) u < —2 V < —-—/ 11 +2 o (ii) — 2< u < — l v v < ; „ u log (Ui) — l < u < — - v v > -—7 —=— [ ' log , , „ 11 + (iv) — < u < V < ——; (v) < u V < -—7—^—7 + u)! it log log(l + ù) (b) Cặp (u, v) G E* 3v — u — < Định lý 2.4.4 (Rado, 1935, [5]), p 15 Giả sử f hàm dương liên tục (a,b) Khi ấy: Bất đẳng thức (2.16) tương đương với tính lồi f cặp (11, v) thỏa mãn điều kiện sau: (i) 3v — u — = ii) Hoác —2 < u < — hoăc < u < 00 ; '2 Bất đẳng thức ngược lại (2.16) tương đương với tính lồi f cặp (11, v) thỏa mãn điều kiện sau: (Ui) 3v — u — = (iv) Hoặc u < —2 -< u < (/-2 Định lý 2.4.5 (Vasic Lackovic, 1974, 1976; Lupa§ 1976, [6], p 143) Cho p,q số dương ữi < a < b < bị Khi bất đẳng thức < y < A-y pf{a ) + qf{b) p + q (2.17) (2.18) ——min {p,q} V R Dỗ Văn Dũng 36 K18 Toán Giải Tích Luận văn thạc sĩ Nhận xét 2.4.1 Nhận xét bất đẳng thức (2.17) coi cải biên định nghĩa bất đẳng thức cho hàm lồi Nhận xét 2.4.2 Với p = q = l v ầ y = ( b — ữ)/2 (2.18) bất đẳng thức HermiteHadamard Bây giò điều kiện trên, bất đẳng thức Hermite-Hadamard đưa đến dạng cải biên khác (2.18): A + y + Í f( A + y }} - A-y pf{a ) + qf{à) p + q (2.19) Đầu tiên, giả sử < y < [{b — ữ/)(p + ợ)]min {p, ợ}, xét hai trường hợp (0 < p < q < q < p), dễ dàng kiểm tra a < A — y < A + y < b, / xác định [A — y, A + y] Qua bất đẳng thức HermiteHadamard (2.1) với a, b thay cho A — y, A + y, ta nhận A + y Ị f{t)dt < ị [ f { A - y ) + f { A + y ) } (2 20 ) A-y < £3 - x xz - Xi Theo định nghĩa hàm lồi, với a < Đặt X \ = fl 13 = ồ, ta f(A- y) < f(A + x2 - fi x ì) + Xị Xi £3 - X /(zs)- < x < £3 < b ta có + b — a b — a y) ậ(A(g)) — e (Nếu a < A{g) < b / có đạo hàm hữu hạn [a, 0], ta thay (ii) p(A(g)) = ệ(A(g)).) Bây giò (i) có nghĩa p o g < ộ o A(p o g) = A(u • + V ■ g) = u + vA(g) = p{A{g)) = p{A{g)) > HM Q )) - eVì e tùy ý, suy điều cần chứng minh a Bổ đề 2.4.2 (Pecaric, Becsack, 1986 [6 ], p 98) Cho lồi I = [ra, M] ( —oo < m < M < oo); cho L thỏa mãn điều kiện Ll, L2 A hàm tuyến tính bảo toàn thứ tự L với A(l) = Khi vói g G L cho [...]... hàm lồi qua toán tử Steklov 2.3 1 Đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức Steklov Chương 1 đã trình bày tương đối chi tiết các đặc trưng của hàm lồi qua đạo hàm bậc nhất và bậc hai Chương 1 cũng đã trình bày một số đặc trưng của hàm lồi không khả vi Chương 2 sẽ trình bày một số đặc trưng của hàm lồi qua bất đẳng thức dạng Hermite -Hadamard, dựa trên toán tử Steklov Đặc trưng này không đòi hỏi / là hàm khả... hàm lồi các đặc trưng này chủ yếu đã được biết đến trong giải tích lồi Tuy nhiên, để bức tranh về đặc trưng của hàm lồi qua bất đẳng thức Hermite- Hadamard trình bày trong Chương 2 hài hòa và cân đối hơn, chúng tôi đã trình bày các đặc trưng này trong Chương 1 Chương 2 Đặc trưng hàm lồi qua bất đẳng thức HermiteHadamard 2.1 Bất đẳng thức Hermite -Hadamard Định lý 2.1.1 Nếu Ị : K —> K là hàm lồi trên đoạn... minh m 2.2 ứng dụng của bất đẳng thức Hermite -Hadamard trong chứng minh bất đẳng thức Có thể sử dụng bất đẳng thức Hermite -Hadamard trong chứng minh bất đẳng thức như trong các ví dụ sau đây chỉ ra Như vậy, bất đẳng thức Hermite -Hadamard có thể được coi là một chuyên đề bổ sung cho chương trình ôn tập và chuẩn bị thi Olympic sinh viên Ví dụ 2 2 1 (Hermite, 1883, xem [5], p 138) Xét hàm số f ( x ) = —-—,... - Xị Vậy là hàm Luận/ văn thạc lồi trên I x2 - Xị sĩ Hệ quả 1.2.1 Hàm khả vi f ( t ) trên tập mở (a,b) là hàm lồi nếu đạo hàm của nó là một hàm không giảm trên (a,b) Hàm f(t) khả vi hai lần trên tập mở (a, h) hàm lồi nếu và chỉ nếu đạo hàm cấp hai của nó không âm trên toàn khoảng (a,b) _d 7 { x i , , dx dxj x2) , Định lý 1 2.1 Hàm khả vi trên tập lồi mở X c M", / : X —> K là hàm lồi của nó xác định... [a , b ] Khi đó hàm f G c ự ) là lồi khi và chỉ khi với mọi H G [0, (ồ — a/2)] và X sao cho [ x — h, X + h\ G I và với mọi h G (0, H ) bất đẳng thức SH(f,x)>Sh(f,x) (2.13) cố định Nhận xét 2.3.3 Định lý 2.3.4 liên quan tới bất đẳng thức đầu tiên trong (2.1) Chú ý rằng bất đẳng thức thứ nhất mạnh hơn bất đẳng thức thứ hai trong (2.1), ta có: Dỗ Văn Dũng 33 K18 Toán Giải Tích Luận văn thạc sĩ a Đáng... 1.1.2 Thật ra lịch sử của hàm lồi bắt đầu từ rất sớm, trước khi có các kết quả trên tập lồi Năm 1889, Holder khẳng định một hàm biến số thực f ( x ) có đạo hàm cấp hai không âm thì thỏa mãn Bất đẳng thức Jensen Đến năm 1893, Stolz chứng minh nếu / liên tục trên đoạn [ữ, ồ] và thỏa mãn Dỗ Văn Dũng 11 K18 Toán Giải Tích Luận văn thạc sĩ < (gọi là hàm lồi trung điểm) thì / có các đạo hàm £d trái, phải tại... vi, ta có một số đặc trưng cơ bản dưới đây BỔ đề 1.2.1 Giả sử hàm f xác định trên một tập lồi mở X C R n Nếu f là hàm lồi trên X và khả vi tại So, thì với X G X, ta có f(x) - f(x0) > f'{x0)(x - Xo) Dỗ Văn Dũng 13 (1.2) K18 Toán Giải Tích Luận văn thạc sĩ Ngược lại, nếu f là một hàm khả vi trên X và thỏa mãn (1.2) với mọi X, X Q G X thì f là hàm lồi trên X Chứng minh Nếu / là hàm lồi thì với mọi t... ) Năm 1905, Jensen cũng chứng minh được bất đẳng thức Jensen với các hệ số hữu tỉ, cho hàm lồi trung điểm Từ đây hàm lồi bắt đầu được chú ý và ngày càng nhiều những bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi được thiết lập, có những ứng dụng thiết thực trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như giải tích, toán ứng dụng, lí thuyết xác suất (xem [2], trang 92) Một hàm / : X —* K, trong đó R = K u {±oo},... đó hàm