BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN TUYÊN ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ ỔN ĐỊNH TRONG TỐI ƯU VÉCTƠ VỚI THỨ TỰ SUY RỘNG TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2016 Công trình hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Quang Huy Phản biện: Phản biện: Phản biện: Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp Trường chấm luận án tiến sĩ họp : vào hồi ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: • Thư viện Quốc gia Việt Nam • Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Mở đầu Tối ưu véctơ (Vector optimization) hay gọi Tối ưu đa mục tiêu (Multicriteria optimization) hình thành từ ý tưởng cân kinh tế, lý thuyết giá trị F Edgeworth (1881) V Pareto (1906) Từ năm 1950 trở lại đây, sau công trình điều kiện cần đủ cho tối ưu H W Kuhn A W Tucker năm 1951, giá trị cân tối ưu Pareto G Debreu năm 1954, lý thuyết tối ưu véctơ thực công nhận ngành toán học quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế Lúc đầu người ta nghiên cứu toán có liên quan tới ánh xạ đơn trị từ không gian Euclide sang không gian Euclide khác mà thứ tự sinh nón orthant dương Sau người ta mở rộng cho toán không gian có số chiều vô hạn với nón lồi Để mở rộng phạm vi áp dụng khái niệm nghiệm cổ điển toán quy hoạch toán học toán tối ưu véctơ, A Y Kruger B.S Mordukhovich (xem [48, Subsection 5.5.18] tài liệu trích dẫn trích dẫn đó) đề xuất khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng (hay nghiệm (f ; Θ)-tối ưu địa phương), f : X → Z ánh xạ đơn trị không gian Banach tập sinh thứ tự Θ tập chứa gốc Một điểm x¯ ∈ X gọi nghiệm (f ; Θ)-tối ưu địa phương tồn lân cận U x¯ dãy {zk } với zk → k → ∞ thỏa mãn: f (x) ∈ / f (¯ x) − Θ − zk với x ∈ U k ∈ N Nếu Θ nón lồi có phần tương đối khác rỗng, khái niệm nghiệm tối ưu bao phủ khái niệm nghiệm cổ điển tối ưu véctơ nghiệm Pareto, nghiệm Pareto tương đối (hay nghiệm tối ưu theo nghĩa Slater) (xem [48, 65]) Cần nhấn mạnh rằng, tập sinh thứ tự Θ không thiết tập lồi nón Điều đáp ứng đòi hỏi ngày tăng thực tế lý thuyết áp dụng tối ưu véctơ; đặc biệt mô hình kinh tế (xem [60]) Ngoài khía cạnh mở rộng phạm vi áp dụng khái niệm nghiệm, nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng công cụ hữu ích để nghiên cứu toán minimax (minimax problem) tập compact (xem [48, Example 5.54]) Việc xem nghiệm toán minimax nghiệm toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng giúp thuận lợi nghiên cứu điều kiện cần tối ưu cho toán (xem [48, Subsections 5.3.1, 5.5.19]) Với ý nghĩa kể trên, việc nghiên cứu tính chất định tính nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng toán tối ưu véctơ có ý nghĩa quan trọng Tuy nhiên, theo hiểu biết có vài nghiên cứu điều kiện cần cực trị (xem [9, 48] tài liệu trích dẫn đó) độ nhạy nghiệm (xem [32]) Luận án trình bày kết tồn nghiệm, tính chất tôpô tập nghiệm, điều kiện cực trị tính ổn định toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng Luận án bao gồm phần mở đầu, chương, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo Chương khảo sát khái niệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Mục 1.1 phân tích khái niệm nghiệm toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng Mục 1.2 trình bày số kết tồn nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Mục 1.3 khảo sát số tính chất tôpô (tính đóng tính liên thông) tập nghiệm toán tối ưu véctơ theo thứ tự suy rộng Chương nghiên cứu điều kiện tối ưu cho toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng Mục 2.1 nhắc lại số kiến thức sở giải tích biến phân Các kiến thức sở để đưa điều kiện tối ưu mục chương Trong Mục 2.2, cách tiếp cận không gian ảnh đạt số điều kiện cần, điều kiện đủ cho điểm hữu hiệu suy rộng Các kết điều kiện cần coi trường hợp đặc biệt kết [9, 48] Tuy nhiên kết điều kiện đủ Trong mục cuối chương này, trình bày số điều kiện đủ cho điểm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng giả thiết tính lồi Chương trình bày kết nghiên cứu tính ổn định toán tối ưu véctơ sử dụng khái niệm nghiệm Pareto tương đối Trong Mục 3.1, trình bày số tính chất tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Mục 3.2 trình bày kết hội tụ theo nghĩa Kuratowski-Painlevé tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Mục 3.3 trình bày kết hội tụ theo nghĩa Kuratowski-Painlevé tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Trong mục cuối thiết lập số điều kiện đủ cho tính nửa liên tục ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối Việc đánh số chương, mục, định lý, tóm tắt giữ nguyên luận án Chương Tính chất tôpô tập nghiệm tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng Mục đích chương trình bày số đặc trưng nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Chương viết sở báo [2, 3] 1.1 Một số tính chất Cho Z không gian Banach Với tập A ⊂ Z, sử dụng kí hiệu sau toàn luận án: int A, cl A, bd (A), Ac , aff (A), conv (A) cone (A) phần trong, bao đóng, biên, phần bù, bao aphin, bao lồi, bao nón A Z Bên cạnh đó, l(A) kí hiệu tập hợp A ∩ (−A) Định nghĩa 1.1 Cho A tập khác rỗng Z Θ ⊂ Z tập chứa 0Z Một điểm z¯ ∈ A gọi điểm hữu hiệu suy rộng (generalized efficient point) A tương ứng với Θ, tồn dãy {zk } ⊂ Z với zk → k → ∞ thỏa mãn A ∩ (¯ z − Θ − zk ) = ∅ ∀k ∈ N (1.1) Tập hợp tất điểm hữu hiệu suy rộng A tương ứng với Θ kí hiệu GMin (A | Θ) Định lý 1.1 Cho A tập khác rỗng Z Θ ⊂ Z chứa 0Z Khi GMin (A | Θ) = A ∩ bd (A + Θ) (1.2) Hơn nữa, GMin (A | Θ) đóng A đóng Z Tiếp theo, thiết lập số quan hệ điểm hữu hiệu suy rộng điểm tựa tập A Nhắc lại rằng, z¯ ∈ cl A gọi điểm tựa (supporting point) A tồn z ∗ ∈ Z ∗ \ {0} thỏa mãn z ∗ , z¯ = sup{ z ∗ , z | z ∈ A} Khi đó, z ∗ gọi hàm tựa (supporting functional) A z¯ Kí hiệu Θ∗ tập cực (polar set) Θ: Θ∗ = {z ∗ ∈ Z ∗ | z ∗ , θ ≤ ∀ θ ∈ Θ} Mệnh đề 1.1 Cho A tập khác rỗng không gian Banach Z Θ ⊂ Z chứa 0Z Nếu z¯ ∈ A điểm tựa A tương ứng với hàm tựa z ∗ ∈ Θ∗ , z¯ ∈ GMin (A | Θ) Do đó, ta có {A0 (z ∗ ) | z ∗ ∈ Θ∗ , z ∗ = 0} ⊂ GMin (A | Θ), A0 (z ∗ ) = {z0 ∈ A | z ∗ , z0 = sup z ∗ , z , z ∈ A} Mệnh đề 1.2 Cho A tập khác rỗng không gian Banach Z, Θ ⊂ Z chứa 0Z Giả sử rằng, A + Θ tập lồi có phần khác rỗng Khi đó, GMin (A | Θ) = {A0 (z ∗ ) | z ∗ ∈ Θ∗ , z ∗ = 0} Mệnh đề 1.3 Cho A tập khác rỗng Z Θ ⊂ Z tập chứa 0Z Nếu Θ ⊃ Θ, GMin (A | Θ) ⊂ GMin (A | Θ) (1.3) Mệnh đề 1.4 Cho A tập khác rỗng Z Θ ⊂ Z tập chứa 0Z thỏa mãn Θ + Θ = Θ Khi GMin (A | Θ) = A ∩ GMin (A + Θ | Θ) (1.4) Định nghĩa 1.2 Giả sử Θ nón lồi với riΘ = ∅ Một điểm z¯ ∈ A gọi điểm hữu hiệu Pareto tương đối/điểm hữu hiệu Slater (relative Pareto efficient point/Slater efficient point) A tương ứng với Θ, A ∩ (¯ z − ri Θ) = ∅ (1.5) Tập hợp tất điểm hữu hiệu tương đối A tương ứng với Θ kí hiệu RMin (A | Θ) Nếu Θ nón lồi Z, Θ sinh quan hệ thứ tự Z sau: z1 , z2 ∈ Z, z2 ≥ z1 z2 − z1 ∈ Θ Ta viết x > y x ≥ y y ≥ x, là, x ∈ y + Θ \ l(Θ) Một nón Θ gọi nhọn l(Θ) = {0Z } Định nghĩa 1.3 Cho Θ nón lồi Z, A ⊂ Z tập khác rỗng a) Một điểm z¯ ∈ A gọi điểm hữu hiệu Pareto yếu/điểm hữu hiệu yếu (weak Pareto efficient point/weak efficient point) A tương ứng với Θ, A ∩ (¯ z − int Θ) = ∅ int Θ = ∅ Tập hợp tất điểm hữu hiệu Pareto yếu A tương ứng với Θ kí hiệu WMin (A | Θ) b) Một điểm z¯ ∈ A gọi điểm hữu hiệu Pareto/điểm hữu hiệu (Pareto efficient point/efficient point) A tương ứng với Θ, (¯ z ≥ y, với y ∈ A ) ⇒ (y ≥ z¯) Tập hợp tất điểm hữu hiệu Pareto A tương ứng với Θ kí hiệu Min (A | Θ) Mệnh đề 1.5 Nếu Θ nón lồi phát biểu sau (i) Nếu int Θ = ∅, GMin (A | Θ) ⊂ WMin (A | Θ) (ii) Nếu int Θ = ∅, WMin (A | Θ) ⊂ RMin (A | Θ) (iii) Nếu ri Θ = ∅, RMin (A | Θ) ⊂ GMin (A | Θ) Vì vậy, Θ nón lồi với phần khác rỗng, WMin (A | Θ) = RMin (A | Θ) = GMin (A | Θ) (1.6) Mệnh đề 1.6 (xem [39, Proposition 2.3]) Một điểm z¯ ∈ Min (A | Θ) A ∩ (¯ z − Θ) ⊂ z¯ + l(Θ), là, y ∈ A thỏa mãn z¯ > y Đặc biệt, Θ nón nhọn, z¯ ∈ Min (A | Θ) A ∩ (¯ z − Θ) = {¯ z } Mệnh đề 1.7 Giả sử Θ ⊂ Z nón lồi thỏa mãn Θ \ l(Θ) khác rỗng A tập khác rỗng Z Nếu z¯ điểm hữu hiệu Pareto A tương ứng với Θ, z¯ điểm hữu hiệu suy rộng A tương ứng với Θ, Min (A | Θ) ⊂ GMin (A | Θ) 1.2 Sự tồn nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng 1.2.1 Sự tồn điểm hữu hiệu suy rộng (1.7) Giả sử Θ nón lồi Z Một lưới {xα | α ∈ I} Z gọi giảm (tương ứng với Θ) xα > xβ với α, β ∈ I, β > α Với x ∈ Z, đặt Ax := A ∩ (x − Θ) Tập Ax gọi lát cắt A x Định nghĩa 1.4 (xem [39, Definition 3.2, p 46]) Một tập A ⊂ Z gọi Θ-đầy đủ (Θ-complete) phủ có dạng {(xα − cl Θ)c | α ∈ I} với {xα } lưới giảm A Định nghĩa 1.5 Một nón lồi Θ Z gọi nón (correct cone) cl Θ + Θ \ l(Θ) ⊂ Θ, cl Θ + Θ \ l(Θ) ⊂ Θ \ l(Θ) Mệnh đề 1.8 (xem [39, Theorem 3.3]) Giả sử Θ nón lồi A tập khác rỗng Z Khi đó, Min (A | Θ) khác rỗng A có lát cắt Θ-đầy đủ Định lý 1.2 Giả sử Θ nón lồi thỏa mãn Θ \ l(Θ) khác rỗng A tập khác rỗng Z Nếu A có lát cắt Θ-đầy đủ, GMin (A | Θ) khác rỗng Định lý 1.3 Giả sử A tập khác rỗng Z Θ ⊂ Z tập chứa 0Z Nếu nón lồi đóng Θ := cl conv cone Θ thỏa mãn Θ \ l(Θ) = ∅, (1.8) A có lát cắt Θ-đầy đủ, GMin (A | Θ) = ∅ 1.2.2 Áp dụng cho toán tối ưu véctơ Giả sử X Z hai không gian Banach Θ ⊂ Z tập chứa gốc Cho F ánh xạ đa trị từ X tới Z Định nghĩa 1.6 (xem [39, 40]) Giả sử Ω tập dom F Θ ⊂ Z tập chứa 0Z (i) F gọi Θ-liên tục (upper Θ-continuous) x¯ ∈ Ω với lân cận V F (¯ x) Z, tồn lân cận U x¯ X cho F (x) ⊂ V + Θ ∀x ∈ U ∩ dom F Ta nói F Θ-liên tục trên tập Ω Θ-liên tục điểm thuộc Ω (ii) F gọi Θ-nửa liên tục (upper Θ-semicontinuous) x¯ ∈ Ω với lân cận V 0Z , tồn lân cận U x¯ X cho F (x) ⊂ V + F (¯ x) + Θ ∀x ∈ U ∩ dom F Nếu điều với x ∈ Ω, ta nói F Θ-nửa liên tục trên tập Ω (iii) F Θ-liên tục (lower Θ-continuous) x¯ với y ∈ F (¯ x) với lân cận V y Z, tồn lân cận U x¯ X cho F (x) ∩ (V + Θ) = ∅ với x ∈ U ∩ dom F Ta nói F Θ-liên tục tập Ω Θ-liên tục điểm thuộc Ω (iv) F gọi Θ-liên tục (Θ-continuous) x¯ Θ-liên tục Θ-liên tục điểm Định nghĩa 1.7 Cho F : X ⇒ Z ánh xạ đa trị không gian Banach, Θ ⊂ Z tập chứa gốc, tập ràng buộc Ω ⊂ X Ta nói cặp (¯ x, z¯) ∈ gph F nghiệm tối ưu địa phương theo thứ tự suy rộng (locally generalized optimal solution) F tương ứng với tập sinh thứ tự Θ Ω, z¯ ∈ GMin (F (Ω ∩ U ) | Θ), với U lân cận x¯ Mệnh đề 1.9 Giả sử Θ nón lồi với Θ \ l(Θ) khác rỗng, Ω ⊂ X tập compact khác rỗng F Θ-nửa liên tục trên Ω với F (x) + Θ đóng Θ-đầy đủ với x ∈ Ω Khi đó, GS (Ω, F ) khác rỗng Mệnh đề 1.10 Giả sử Ω ⊂ Z tập compact, F nửa liên tục trên tập Ω Θ ⊂ Z tập chứa gốc Nếu Θ := cl conv cone Θ thỏa mãn điều kiện (1.8), GS (Ω, F ) khác rỗng 1.3 Một số tính chất tôpô tập nghiệm 1.3.1 Tính đóng Giả sử X, Z hai không gian Banach Cho f : X → Z ánh xạ đơn trị, Ω tập khác rỗng X, Θ ⊂ Z tập chứa 0Z Xét toán tối ưu véctơ (VOP) f (x) với ràng buộc x ∈ Ω Định lý 1.4 Giả sử Θ tập Z chứa 0Z Nếu Ω đóng, f Θ-liên tục Ω điều kiện sau thỏa mãn Θ + Θ = Θ, (1.9) GS (Ω, f ) tập đóng Định lý 1.5 Giả sử Θ tập Z với 0Z ∈ Θ Nếu Ω tập đóng f liên tục A, GS (Ω, f ) đóng 1.3.2 Tính liên thông Cho A tập khác rỗng không gian Banach Z, B ⊂ A Trong mục này, giả sử Θ nón lồi Định nghĩa 1.8 (xem [39, Definition 4.1, p 54]) Ta nói tính chất trội (the domination property), kí hiệu (DP ), cho cặp (A, B) ⊂ Z × Z, A ⊂ B + Θ (1.10) Định nghĩa 1.9 (xem [11]) Ta nói tính chất bao hàm (the containment property), kí hiệu (CP ), cho (A, B) ⊂ Z × Z, với W ∈ N (0Z ), tồn V ∈ N (0Z ) cho [A \ (B + W )] + V ⊂ B + Θ (1.11) Mệnh đề 1.11 Cho A tập khác rỗng không gian Banach Z, Θ nón lồi với Θ \ l(Θ) = ∅ Nếu (CP ) cho (A, Min (A | Θ)), Min (A | Θ) ⊂ GMin (A | Θ) ⊂ cl Min (A | Θ) (1.12) Một tập A ⊂ Z tương ứng gọi Θ-lồi (Θ-convex), Θ-đóng (Θ-closed) tập A + Θ tương ứng lồi, đóng Đặt Θ+i = {z ∗ ∈ Z ∗ | z ∗ , θ > ∀ θ ∈ Θ \ {0}} Định lý 1.6 Cho A tập compact yếu, Θ-lồi không gian Banach Z Giả sử Θ nón nhọn thỏa mãn Θ+i = ∅ Nếu (CP ) cho (A, Min (A | Θ)), tập GMin (A | Θ) liên thông tương ứng với tôpô yếu σ(Z, Z ∗ ) Mệnh đề 1.12 (xem [38, Theorem 4.1]) Cho Rm không gian Euclide m-chiều Giả sử Θ nón lồi, đóng, nhọn A tập khác rỗng, Θ-đóng, Θ-lồi Rm Khi đó, tập Min (A | Θ) co rút Định lý 1.7 Giả sử Θ nón lồi, đóng, nhọn A tập lồi, khác rỗng, Θ-đóng Rm Nếu Min (A | Θ) khác rỗng, tập GMin (A | Θ) liên thông cung tập hợp N (¯ x, Ω) = Lim sup Nε (x, Ω) (2.3) x→¯ x ε↓0 Không gian Banach X gọi không gian Asplund hàm lồi liên tục ϕ : Ω → R xác định tập lồi mở Ω ⊂ X khả vi Fréchet tập điểm trù mật Ω; xem [47, Definition 2.17, p 196] Định nghĩa 2.2 Cho f : X → R hàm nhận giá trị tập số thực suy rộng, hữu hạn x¯ Với ε 0, đặt ∂ˆε f (¯ x) := f (x) − f (¯ x) − x∗ , x − x¯ x ∈ X | lim inf x→¯ x x − x¯ ∗ ∗ −ε (2.4) Các phần tử tập hợp vế phải công thức gọi ε-dưới gradient Fréchet f x¯, thân tập hợp gọi ε-dưới vi phân Fréchet ˆ (¯ f x¯ Tập hợp ∂f x) := ∂ˆ0 f (¯ x) gọi vi phân Fréchet f x¯ Định nghĩa 2.3 Tập hợp ∂f (¯ x) := Limsup ∂ˆε f (x) f x→ − x¯ (2.5) ε↓0 gọi vi phân Mordukhovich, hay vi phân qua giới hạn, f x¯ Tập hợp (2.6) ∂ ∞ f (¯ x) := Limsup λ∂ˆε f (x) f x→ − x¯ ε,λ↓0 gọi vi phân qua giới hạn suy biến f x¯ Định nghĩa 2.4 Tập Ω ⊂ X gọi compact pháp tuyến theo dãy (SNC) Ω ˆε (xk , Ω) có x¯ với dãy εk ↓ 0, xk − → x¯ x∗k ∈ N k ω∗ x∗k −→ k → =⇒ x∗k → k → , ta bỏ qua εk X không gian Asplund Ω đóng địa phương x¯ Định nghĩa 2.6 Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y gọi compact pháp tuyến theo dãy (SNC) (¯ x, y¯) ∈ gphF đồ thị có thuộc tính Ta nói 10 F compact pháp tuyến phần theo dãy (PSNC) (¯ x, y¯) với dãy ∗ ∗ ∗ ∗ (εk , xk , yk , xk , yk ) ∈ [0, ∞) × (gphF ) × X × Y thoả mãn ˆε ((xk , yk ); gphF ), εk ↓ 0, (xk , yk ) → (¯ x, y¯), (x∗ , −y ∗ ) ∈ N k ω ∗ x∗k −→ yk∗ → 0, k k ta có x∗k → k → ∞ Định nghĩa 2.8 Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y với domF = ∅ (i) Lấy (x, y) ∈ X × Y ε ≥ 0, tập ε-đối đạo hàm F (x, y) ánh xạ đa trị Dε∗ F (x, y) : Y ∗ ⇒ X ∗ xác định Dε∗ F (x, y)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −y ∗ ) ∈ Nε ((x, y); gphF ) (2.7) Ta gọi ánh xạ đa trị D∗ F := D0∗ đối đạo hàm Fréchet F (x, y) (ii) Đối đạo hàm Mordukhovich , hay đối đạo hàm qua giới hạn, F (¯ x, y¯) ∈ ∗ ∗ ∗ gphF ánh xạ đa trị DN F (¯ x, y¯) : Y ⇒ X xác định ∗ DN F (¯ x, y¯)(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((¯ x, y¯); gphF )} (2.8) ∗ (iii) Đối đạo hàm hỗn hợp F (¯ x, y¯) ∈ gphF ánh xạ đa trị DM F (¯ x, y¯) : ∗ ∗ Y ⇒ X xác định ∗ ˆ ε∗ F (x, y)(y ∗ ) DM F (¯ x, y¯)(y ∗ ) := Lim sup D (2.9) (x,y)→(¯ x,¯ y) ω∗ y∗ − →x∗ ε↓0 Định nghĩa 2.10 (xem [47, Definition 2.1]) Cho Ω1 , Ω2 tập khác rỗng không gian Banach Z z¯ ∈ Ω1 ∩ Ω2 Chúng ta nói z¯ điểm cực trị địa phương hệ {Ω1 , Ω2 } tồn lân cận U x¯ dãy {ak } thỏa mãn ak → k → ∞ Ω1 ∩ (Ω2 − ak ) ∩ U = ∅ ∀k ∈ N (2.10) Khi {Ω1 , Ω2 , z¯} gọi hệ cực trị Z Định lý 2.3 (Nguyên lý cực trị, xem [47, Theorem 2.20]) Nếu z¯ điểm cực trị tập đóng {Ω1 , Ω2 } không gian Asplund Z, thỏa mãn quan hệ sau: với > 0, tồn xi ∈ Z x∗i ∈ Z ∗ thỏa mãn ˆ (xi , Ωi ) với i = 1, 2, xi ∈ Ωi ∩ (¯ z + B), x∗i ∈ N x∗1 + x∗2 ≤ , − ≤ x∗1 + x∗2 ≤ + 11 2.2 Các điều kiện tối ưu cho điểm hữu hiệu suy rộng Định lý 2.4 (Điều kiện cần) Cho Z không gian Asplund, A ⊂ Z tập đóng khác rỗng Θ ⊂ Z tập đóng chứa gốc Giả sử rằng, A SNC z¯ Θ SNC Nếu z¯ ∈ GMin (A | Θ), tồn z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn = z ∗ ∈ N (¯ z ; A) ∩ N (0; Θ) (2.11) Hệ 2.1 Cho Z không gian Asplund ∅ = A ⊂ Z, 0Z ∈ Θ ⊂ Z, z¯ ∈ GMin (A | Θ) Giả sử A + Θ Θ tập đóng, A + Θ SNC z¯ Θ SNC 0Z , điều kiện sau Θ+Θ=Θ (2.12) nghiệm Khi đó, tồn z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn = z ∗ ∈ N (¯ z ; A + Θ) ∩ N (0; Θ) (2.13) Định lý 2.5 (Điều kiện cần đủ) Cho Z không gian Asplund, ∅ = A ⊂ Z, 0Z ∈ Θ ⊂ Z z¯ ∈ A Giả sử A + Θ tập đóng Z A + Θ SNC z¯, dim Z < ∞ Khi đó, z¯ ∈ GMin (A | Θ) tồn z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn = z ∗ ∈ N (¯ z ; A + Θ) ∩ N (0; Θ) (2.14) Định lý 2.6 (Điều kiện đủ giả thiết tính lồi) Cho Z không gian Banach, ∅ = A ⊂ Z, 0Z ∈ Θ ⊂ Z Giả sử A, Θ tập lồi int Θ = ∅ Nếu tồn z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn = z ∗ ∈ N (¯ z ; A) ∩ N (0, Θ), (2.15) z¯ ∈ GMin (A | Θ) 2.3 Các điều kiện tối ưu cho toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng Mục trình bày số điều kiện đủ tối ưu theo thứ tự suy rộng Như lý thuyết tối ưu véctơ cổ điển, ý tưởng xây dựng điều kiện đủ sử dụng tính lồi, tính lồi địa phương, tập hợp hàm véctơ theo thứ tự phận 12 2.3.1 Điều kiện cần cực trị Trước hết trình bày kết [48] điều kiện cần cực trị cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng với ràng buộc hình học Định lý 2.8 (Điều kiện cần, xem [48, Theorem 5.59, p 74]) Cho f : X → Z ánh xạ không gian Asplund, tập hợp Ω ⊂ X, Θ ⊂ Z cho x¯ ∈ Ω, 0Z ∈ Θ Giả sử x¯ điểm (f, Θ)-tối ưu địa phương tập ràng buộc Ω Khi đó, ta có khẳng định sau: (i) Giả sử tập hợp ε(f, Ω, Θ) := {(x, z) ∈ X × Z | z ∈ f (x) + Θ, x ∈ Ω} đóng địa phương (¯ x, z¯) với z¯ := f (¯ x), dim Z < ∞ Khi ấy, tồn z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn (0, z ∗ ) ∈ N ((¯ x, z¯); ε(f, Ω, Θ)), z ∗ = (2.16) ∗ Điều kéo theo z ∗ ∈ N (0; Θ); kéo theo ∈ DN fΩ (¯ x)(z ∗ ) hạn chế fΩ f Ω liên tục lân cận x¯, Ω đóng địa phương x¯, Θ đóng địa phương Thêm vào đó, fΩ Lipschitz địa phương x¯, (2.16) tương đương với ∈ ∂ z ∗ , fΩ (¯ x), z ∗ ∈ N (0; Θ) \ {0} (2.17) (ii) Giả sử fΩ liên tục lân cận x¯, Ω đóng địa phương x¯, Θ đóng địa phương 0, hai điều kiện sau thỏa mãn: (a) Θ SNC 0, (b) fΩ −1 PSNC (¯ z , x¯) Khi đó, tồn z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn ∗ = z ∗ ∈ N (0; Θ) ∩ ker DN fΩ (¯ x) (2.18) Điều kiện (2.18) tương đương với (2.17) (2.16), ánh xạ fΩ Lipschitz địa phương x¯ quy đối đạo hàm mạnh điểm 2.3.2 Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm toàn cục Định lý 2.9 Cho f : X → Z ánh xạ không gian Banach, cho Ω ⊂ X, cho tập hợp Θ ⊂ Z với 0Z ∈ Θ Giả sử Θ lồi, có phần khác rỗng, tập ε(f, Ω, Θ) := {(x, z) ∈ X × Z | z ∈ f (x) + Θ, x ∈ Ω} 13 lồi Khi đó, x¯ ∈ Ω tồn z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn (0, z ∗ ) ∈ N ((¯ x, z¯); ε(f, Ω, Θ)), z ∗ = 0, (2.19) với z¯ := f (¯ x), x¯ nghiệm (f, Θ)-tối ưu toàn cục Ω Định lý 2.10 Cho f : X → Z ánh xạ không gian Banach, Ω ⊂ X tập lồi, cho tập hợp Θ ⊂ Z với ∈ Θ Giả sử Θ nón lồi với intΘ = ∅, ánh xạ f Θ-lồi Ω, tức (1 − λ)f (x) + λf (x ) ∈ f (1 − λ)x + λx + Θ, ∀x, x ∈ Ω, ∀λ ∈ (0, 1) Khi đó, x¯ ∈ Ω tồn z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn điều kiện (0, z ∗ ) ∈ N ((¯ x, z¯); ε(f, Ω, Θ)), z ∗ = với z¯ := f (¯ x), x¯ nghiệm (f, Θ)-tối ưu toàn cục Ω 2.3.3 Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm địa phương Định lý 2.11 Cho f : X → Z ánh xạ không gian Banach, Ω ⊂ X, Θ ⊂ Z, ∈ Θ x¯ ∈ Ω Giả sử Θ tập lồi, có phần khác rỗng Nếu tồn δ ∈ (0, +∞] cho tập ε(f, Ωx¯,δ , Θ) := {(x, z) ∈ X × Z | z ∈ f (x) + Θ, x ∈ Ωx¯,δ }, với z¯ := f (¯ x) Ωx¯,δ := {x ∈ Ω | x− x¯ ≤ δ)}, lồi Khi đó, tồn z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn (0, z ∗ ) ∈ N ((¯ x, z¯); ε(f, Ω, Θ)), z ∗ = 0, (2.20) x¯ nghiệm (f, Θ)-tối ưu địa phương Ω Định nghĩa 2.12 Cho f : X → Z ánh xạ không gian Banach, Ω ⊂ X , Θ ⊂ Z cho 0Z ∈ Θ Giả sử Ω tập lồi địa phương x¯ Ta nói ánh xạ f Θ-lồi địa phương x¯ tồn lân cận lồi U x¯ thỏa mãn (1 − λ)f (x) + λf (x ) ∈ f (1 − λ)x + λx + Θ, ∀x, x ∈ U ∩ Ω, ∀λ ∈ (0, 1) Định lý 2.12 Cho f : X → Z ánh xạ không gian Banach, tập hợp Ω ⊂ X, Θ ⊂ Z cho 0Z ∈ Θ Giả sử Ω tập lồi địa phương x¯ ∈ Ω, Θ nón lồi với intΘ = ∅, ánh xạ f Θ-lồi địa phương x¯ Khi đó, tồn z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn (0, z ∗ ) ∈ N ((¯ x, z¯); ε(f, Ω, Θ)), z ∗ = với z¯ := f (¯ x), điểm x¯ nghiệm (f, Θ)-tối ưu địa phương Ω 14 Chương Tính ổn định nghiệm toán tối ưu véctơ Chương trình bày số kết tính ổn định toán tối ưu véctơ sử dụng khái niệm nghiệm Pareto tương đối trường hợp riêng nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Chương viết sở báo [4] 3.1 Về khái niệm điểm hữu hiệu Pareto tương đối Định nghĩa 3.1 (xem [2]) Cho Z không gian Banach, A ⊂ Z tập khác rỗng, C nón lồi Z Ta nói (i) z¯ điểm hữu hiệu Pareto tương đối (relative efficient point) A tương ứng với C A ∩ (¯ z − ri C) = ∅ ri C = ∅, (3.1) (ii) z¯ điểm hữu hiệu Pareto giả tương đối (pseudo/intrinsic relative efficient point) A tương ứng với C A ∩ (¯ z − pri C) = ∅ pri C = ∅, (3.2) (iii) z¯ điểm hữu hiệu Pareto tựa tương đối (quasi relative efficient point) A tương ứng với C A ∩ (¯ z − qri C) = ∅ qri C = ∅ (3.3) Định nghĩa 3.2 (xem [46]) Một tập lồi khác rỗng A ⊂ Z gọi tròn biên A không chứa đoạn thẳng Mệnh đề 3.1 Giả sử Z không gian Banach C nón lồi với ri C = ∅ ∈ / ri C Nếu A tập tròn, RMin (A | C) = Min (A | C) 15 (3.4) Cho A tập khác rỗng không gian Banach Z B ⊂ A Giả sử C ⊂ Z nón lồi Để cho ngắn gọn, ta viết Min A RMin A tương ứng thay cho Min (A | C) RMin (A | C) Khái niệm sau dạng yếu tính chất bao hàm cho cặp (A, B) Định nghĩa 3.3 Ta nói tính chất bao hàm tương đối (the relative containment property), kí hiệu (RCP ), cho cặp (A, B) ⊂ Z × Z với W ∈ N (0Z ) tồn V ∈ N (0Z ) cho [A \ (B + W )] + [V ∩ aff (C)] ⊂ B + C (3.5) Mệnh đề sau cho ta đặc trưng tính (RCP ) ri C = ∅ Mệnh đề 3.2 Nếu ri C = ∅, khẳng định sau tương đương (i) (RCP ) cho (A, B); (ii) Với W ∈ N (0Z ) tồn W0 ∈ N (0Z ) cho với y ∈ A \ (B + W ) tồn ηy ∈ B cy ∈ C thỏa mãn y = ηy + cy , (cy + W0 ) ∩ aff (C) ⊂ C Mệnh đề sau khẳng định (RCP ) thỏa mãn tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối trù mật tập điểm hữu hiệu Pareto Mệnh đề 3.3 Cho A tập khác rỗng Z C ⊂ Z nón lồi với ri C = ∅ Nếu (RCP ) cho (A, Min A), Min A ⊂ RMin A ⊂ cl Min A Bổ đề 3.1 Giả sử A tập đa diện Rm xác định A = {z ∈ Rm | , z ≤ bi , i = 1, 2, , N }, (3.6) với ∈ Rm bi ∈ R với i ∈ I =: {1, 2, , N } Cho C ⊂ Z nón lồi đóng nhọn Khi đó, RMin A khác rỗng Rec (A) ∩ (−ri C) = ∅, Rec (A) nón lùi xa A xác định Rec (A) = {z ∈ Rm | , z ≤ 0, i ∈ I} Định lý 3.1 Nếu A tập đa diện cho (3.6) C ⊂ Rm nón lồi đóng nhọn, RMin A đóng 16 3.2 Sự hội tụ tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Cho Z không gian Banach, {An } dãy tập Z A ⊂ Z tập khác rỗng Chúng ta nhắc lại số khái niệm hội tụ dãy tập hợp • Sự hội tụ theo nghĩa Kuratowski-Painlevé: Giới hạn giới hạn theo nghĩa Kuratowski-Painlevé dãy {An } định nghĩa tương ứng sau: Lim inf An := {z ∈ Z , | z = lim zn , zn ∈ An với n đủ lớn}, n→∞ Lim sup An := {z ∈ Z , | z = lim zk , zk ∈ Ank với {Ank } ⊂ {An } đó} n→∞ Nếu Lim sup An ⊂ A ⊂ Lim inf An , ta nói {An } hội tụ đến A theo nghĩa K → A Khi giới hạn xét theo tôpô Kuratowski-Painlevé kí hiệu An − yếu Z, ta kí hiệu giới hạn giới hạn tương ứng w−Lim inf An w − Lim sup An Nếu w − Lim sup An ⊂ A ⊂ Lim inf An , ta nói {An } M hội tụ đến A theo nghĩa Mosco kí hiệu An −→ A Cho x ∈ Z A, B tập khác rỗng Z Định nghĩa d(x, A) = inf d(x, a) (d(x, ∅) = ∞); a∈A e(A, B) = sup d(a, B) (e(∅, B) = 0, e(∅, ∅) = 0, e(A, ∅) = ∞); a∈A h(A, B) = max{e(A, B), e(B, A)}; eρ (A, B) = e(A ∩ Bρ , B) Bρ = B(0, ρ); hρ (A, B) = max{eρ (A, B), eρ (B, A)} • Sự hội tụ theo nghĩa Wijsman: Ta nói {An } tội tụ đến A theo nghĩa Wijsman lim d(An , x) = d(A, x) ∀x ∈ Z, n→∞ d(A, x) = inf d(a, x) a∈A • Sự hội tụ theo nghĩa Hausdorff: Ta nói dãy {An } ⊂ Z hội tụ đến A theo nghĩa Hausdorff lim h(An , A) = n→∞ 17 Điều kiện lim e(An , A) = gọi hội tụ theo nghĩa Hausdorff n→∞ lim e(A, An ) = gọi hội tụ theo nghĩa Hausdorff n→∞ • Sự hội tụ theo nghĩa Attouch-Wets: Ta nói dãy {An } ⊂ Z hội tụ đến A theo nghĩa Attouch-Wets lim hρ (An , A) = n→∞ với ρ > Chúng ta chia hội tụ thành hai phần: hội tụ hội tụ theo nghĩa Attouch-Wets tương ứng sau: lim eρ (An , A) = 0, n→∞ lim eρ (A, An ) = n→∞ Sonntag Zălinescu [58] hội tụ theo nghĩa AttouchWets tương đương với lim inf d(An , B) ≥ d(A, B), n→∞ với tập bị chặn B, d(A, B) := inf inf d(a, b) a∈A b∈B Bổ đề 3.2 Giả sử Z không gian Banach C ⊂ Z tập lồi có phần tương đối khác rỗng Khi đó, z ∈ ri C với y ∈ C, tồn µ > cho (1 − µ)y + µz ∈ C Cho {Cn } C nón lồi Z Để cho ngắn gọn, ta viết RMin A, RMin An , Min A, Min An , WMin A WMin An tương ứng thay cho RMin (A | C), RMin (An | Cn ), Min (A | C), Min (An | Cn ), WMin (A | C) WMin (An | Cn ) Định lý 3.2 Cho (Cn ) C nón lồi Z với phần tương đối khác rỗng Nếu K (i) An − → A, (ii) Lim sup Cnc ⊂ (ri C)c , Lim sup RMin An ⊂ RMin A 18 Định lý 3.3 Giả sử Cn C nón lồi Z với phần tương đối khác rỗng Nếu K (i) An − → A, (ii) Lim sup Cnc ⊂ (ri C)c , ∞ RMin An tập compact tương đối, (iii) tập bị chặn n=1 lim inf d(RMin An , B) ≥ d(RMin A, B), n→∞ (3.7) với tập bị chặn B Định lý 3.4 Giả sử Z không gian Banach phản xạ, (Cn ) C nón lồi, nhọn với phần tương đối khác rỗng Nếu (i) w − Lim sup An ⊂ A ⊂ w − Lim inf An , (ii) w − Lim sup(ri Cn )c ⊂ (ri C)c , lim inf d(RMin An , x) ≥ d(RMin A, x) n→∞ 3.3 ∀x ∈ Z (3.8) Sự hội tụ tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Giả sử Z không gian Banach, ∅ = A ⊂ Z C ⊂ Z nón lồi đóng với ∈ / ri C Đặt Θ := ri C ∪ {0} Định nghĩa 3.4 Ta nói tính chất trội tương đối (relative domination property), kí hiệu (RDP ), A A ⊂ RMin A + Θ Trong mục xét trường hợp Cn = C với n ∈ N, C nón lồi đóng với phần tương đối khác rỗng ∈ / ri C Định lý 3.5 Giả sử điều kiện sau nghiệm 19 K (i) An − → A, (ii) (RDP ) cho {An } với n đủ lớn, ∞ RMin An tập compact tương đối (iii) n=1 Khi đó, RMin A khác rỗng RMin A ⊂ Lim inf RMin An Định lý 3.6 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn K (i) An − → A; (ii) (RDP ) cho {An } với n đủ lớn; (iii) {an }, với an ∈ An , dãy có giới hạn en ∈ RMin An ∩ (an − Θ), {en } có dãy hội tụ; (iv) với ρ > 0, RMin A ∩ B(0, ρ) tập compact tương đối Khi đó, với ρ > ta có lim eρ (RMin A, RMin An ) = n→∞ 3.4 Tính nửa liên tục ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối Trong mục giả sử Z không gian Banach C ⊂ Z nón lồi có phần tương đối khác rỗng Định nghĩa 3.5 Cho ánh xạ đa trị F : P ⇒ Z, P không gian tôpô Đặt F(p) = Min (F (p) | C), R(p) = RMin (F (p) | C) gọi F : P ⇒ Z R : P ⇒ Z tương ứng ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối tương ứng với {F, P, Z, C} Định nghĩa 3.6 Cho F : P ⇒ Z ánh xạ đa trị p0 ∈ P (i) F gọi nửa liên tục (viết tắt usc) p0 với tập mở V chứa F (p0 ) tồn U0 ∈ N (p0 ) cho F (p) ⊂ V với p ∈ U0 20 (ii) F nửa liên tục (lsc) p0 ∈ dom F với tập mở V ⊂ Z thỏa mãn V ∩ F (p0 ) = ∅ tồn U0 ∈ N (p0 ) cho V ∩ F (p) = ∅ với p ∈ U0 (iii) F gọi nửa liên tục Hausdorff (H-usc) p0 với W ∈ N (0Z ) tồn U0 ∈ N (p0 ) cho F (p) ⊂ F (p0 ) + W với p ∈ U0 (iv) F nửa liên tục Hausdorff (H-lsc) p0 với W ∈ N (0Z ) tồn U0 ∈ N (p0 ) cho F (p0 ) ⊂ F (p) + W với p ∈ U0 Bây đưa dạng mạnh tính lsc H-usc ánh xạ đa trị sử dụng mục Định nghĩa 3.7 (i) F gọi nửa liên tục tương đối (relatively lower semicontinuous), viết tắt r-lsc, p0 ∈ dom F với z¯ ∈ F (p0 ) W ∈ N (0Z ) tồn U0 ∈ N (p0 ) cho [¯ z + (W ∩ aff (C))] ∩ F (p) = ∅ với p ∈ U0 (ii) F gọi nửa liên tục Hausdorff (relatively Hausdorff upper semicontinuous), viết tắt r-H-usc, p0 với W ∈ N (0Z ) tồn U0 ∈ N (p0 ) cho F (p) ⊂ F (p0 ) + [W ∩ aff (C)] với p ∈ U0 Cho F G hai ánh xạ đa trị từ P tới Z Định nghĩa sau dạng yếu khái niệm tính chất bao hàm (uniform containment property) ánh xạ đa trị trình bày [11] Định nghĩa 3.8 Ta nói tính chất (RCP ) cho cặp (F, G) quanh p0 với lân cận W ∈ N (0Z ) tồn V ∈ N (0Z ) U0 ∈ N (p0 ) cho [F (p) \ (G(p) + W )] + [V ∩ aff (C)] ⊂ G(p) + C ∀p ∈ U0 (3.9) Định lý 3.7 Giả sử ri C = ∅ (RCP ) cho cặp (F, R) quanh p0 Nếu F r-H-usc r-lsc p0 , R lsc p0 Định lý 3.8 Giả sử C nón lồi với ri C = ∅, ∈ / ri C (RCP ) cho cặp (F, F) quanh p0 Nếu F r-H-usc r-lsc p0 , F lsc p0 Hệ 3.6 (xem [11, Theorem 4]) Giả sử C nón lồi, nhọn với int C = ∅ (CP ) cho cặp (F, F) quanh p0 Nếu F H-usc lsc p0 , F lsc p0 21 Kết luận Các kết luận án bao gồm: Đưa phân tích chi tiết khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm tối ưu với thứ tự suy rộng Thiết lập điều kiện đủ cho tính đóng tính liên thông tập nghiệm toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng; điều kiện đủ cực trị cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng lớp toán tối ưu véctơ lồi Một số tính chất tôpô tính đóng, tính trù mật tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Thiết lập điều kiện đủ cho hội tụ hội tụ theo nghĩa Kuratowski-Painlevé tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối; cho tính nửa liên tục theo nghĩa Berge ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối 22 Lời cảm ơn Luận án hoàn thành Trường ĐHSP Hà Nội Tác giả xin chân thành cám ơn PGS TS Nguyễn Quang Huy tận tình hướng dẫn để có kết luận án Xin chân thành cám ơn GS TSKH Nguyễn Đông Yên, PGS TS Nguyễn Năng Tâm, PGS TS Khuất Văn Ninh, TS Trần Văn Bằng thành viên Xêmina Giải tích - Phòng Sau đại học Trường ĐHSP Hà Nội giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, cán công nhân viên Trường ĐHSP Hà Nội động viên giúp đỡ tác giả Xin cám ơn bạn nghiên cứu sinh, gia đình bạn bè khuyến khích giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu 23 CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Đà ĐƯỢC BÁO CÁO TẠI Xêmina Phòng Sau đại học (Trường ĐHSP Hà Nội 2) Xêmina Phòng Giải tích số Tính toán khoa học (Viện Toán học) Xêmina Nhóm nghiên cứu Lý thuyết tối ưu (Viện nghiên cứu cao cấp toán) The 8th Vietnam-Korea Workshop “Mathematical optimization theory and applications” (University of Dalat, 8-10/12/2011, Dalat, Vietnam) Hội thảo khoa học cán trẻ Viện Toán học - Trường ĐHSP Hà Nội (Trường ĐHSP Hà Nội 2, 25 -26/10/2014) Các hội thảo Tối ưu Tính toán khoa học lần thứ 12 (Ba Vì, 23-25/04/2014), lần thứ 13 (Ba Vì, 23-25/04/2015) CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Tuyen, N V., Yen, N D.: On the concept of generalized order optimality, Nonlinear Anal 75 (2012), 1592–1601 Tuyen, N V., Some characterizations of solution sets of vector optimization problems with generalized order, Acta Math Vietnam (accepted) Huy, N Q., Kim, D S., Tuyen, N V.: Existence theorems in vector optimization with generalized order, Vietnam J Math (submited) Tuyen, N V., Convergence of the relative Pareto efficient sets, Taiwanese J Math (submited) 24 [...]... điều kiện đủ tối ưu theo thứ tự suy rộng Như trong lý thuyết tối ưu véctơ cổ điển, ý tưởng xây dựng điều kiện đủ ở đây vẫn là sử dụng tính lồi, hoặc tính lồi địa phương, của tập hợp và của hàm véctơ theo thứ tự bộ phận 12 2.3.1 Điều kiện cần cực trị Trước hết chúng ta trình bày một kết quả cơ bản trong [48] về các điều kiện cần cực trị cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng với ràng buộc hình học Định. .. H-usc và lsc tại p0 , thì F là lsc tại p0 21 Kết luận Các kết quả chính của luận án này bao gồm: 1 Đưa ra các phân tích chi tiết về khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng 2 Thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm tối ưu với thứ tự suy rộng 3 Thiết lập các điều kiện đủ cho tính đóng và tính liên thông của tập nghiệm của bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng; các điều kiện đủ cực trị. ..Chương 2 Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng Trong chương này, chúng tôi sẽ thiết lập một số điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng Chương này được viết trên cơ sở các bài báo [1, 2] 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị Giả sử X là không gian Banach với chuẩn · Không gian đối ngẫu của X được kí hiệu bởi X ∗ Tôpô yếu∗ trong X ∗ được kí hiệu... khi và chỉ khi tồn tại z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn 0 = z ∗ ∈ N (¯ z ; A + Θ) ∩ N (0; Θ) (2.14) Định lý 2.6 (Điều kiện đủ dưới giả thiết về tính lồi) Cho Z là một không gian Banach, ∅ = A ⊂ Z, 0Z ∈ Θ ⊂ Z Giả sử rằng A, Θ là các tập lồi và int Θ = ∅ Nếu tồn tại z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn 0 = z ∗ ∈ N (¯ z ; A) ∩ N (0, Θ), (2.15) thì z¯ ∈ GMin (A | Θ) 2.3 Các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng. .. Asplund Z, thì nó thỏa mãn các quan hệ sau: với mỗi > 0, tồn tại xi ∈ Z và x∗i ∈ Z ∗ thỏa mãn ˆ (xi , Ωi ) với i = 1, 2, xi ∈ Ωi ∩ (¯ z + B), x∗i ∈ N x∗1 + x∗2 ≤ , và 1 − ≤ x∗1 + x∗2 ≤ 1 + 11 2.2 Các điều kiện tối ưu cho điểm hữu hiệu suy rộng Định lý 2.4 (Điều kiện cần) Cho Z là một không gian Asplund, A ⊂ Z là một tập con đóng khác rỗng và Θ ⊂ Z là một tập con đóng và chứa gốc Giả sử rằng, A là SNC tại... tại x¯ ∈ Ω, Θ là một nón lồi với intΘ = ∅, và ánh xạ f là Θ-lồi địa phương tại x¯ Khi đó, nếu tồn tại z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn (0, z ∗ ) ∈ N ((¯ x, z¯); ε(f, Ω, Θ)), z ∗ = 0 với z¯ := f (¯ x), thì điểm x¯ là nghiệm (f, Θ) -tối ưu địa phương trên Ω 14 Chương 3 Tính ổn định nghiệm của bài toán tối ưu véctơ Chương này trình bày một số kết quả về tính ổn định của bài toán tối ưu véctơ sử dụng khái niệm nghiệm... rỗng trong không gian Banach Z và z¯ ∈ Ω1 ∩ Ω2 Chúng ta nói rằng z¯ là một điểm cực trị địa phương của hệ {Ω1 , Ω2 } nếu tồn tại một lân cận U của x¯ và một dãy {ak } thỏa mãn ak → 0 khi k → ∞ và Ω1 ∩ (Ω2 − ak ) ∩ U = ∅ ∀k ∈ N (2.10) Khi đó {Ω1 , Ω2 , z¯} được gọi là một hệ cực trị trong Z Định lý 2.3 (Nguyên lý cực trị, xem [47, Theorem 2.20]) Nếu z¯ là một điểm cực trị của các tập đóng {Ω1 , Ω2 } trong. .. phương tại x¯, và Θ là đóng địa phương tại 0, và một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn: (a) Θ là SNC tại 0, (b) fΩ −1 là PSNC tại (¯ z , x¯) Khi đó, tồn tại z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn ∗ 0 = z ∗ ∈ N (0; Θ) ∩ ker DN fΩ (¯ x) (2.18) Điều kiện (2.18) này tương đương với (2.17) và (2.16), nếu như ánh xạ fΩ là Lipschitz địa phương tại x¯ và chính quy đối đạo hàm mạnh tại điểm này 2.3.2 Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm... của tập nghiệm của bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng; các điều kiện đủ cực trị cho nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng đối với lớp bài toán tối ưu véctơ lồi 4 Một số tính chất tôpô như tính đóng, tính trù mật của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối 5 Thiết lập các điều kiện đủ cho sự hội tụ trên và sự hội tụ dưới theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối; cho tính... Asplund và ∅ = A ⊂ Z, 0Z ∈ Θ ⊂ Z, z¯ ∈ GMin (A | Θ) Giả sử rằng A + Θ và Θ là các tập đóng, A + Θ là SNC tại z¯ hoặc Θ là SNC tại 0Z , và điều kiện sau Θ+Θ=Θ (2.12) nghiệm đúng Khi đó, tồn tại z ∗ ∈ Z ∗ thỏa mãn 0 = z ∗ ∈ N (¯ z ; A + Θ) ∩ N (0; Θ) (2.13) Định lý 2.5 (Điều kiện cần và đủ) Cho Z là một không gian Asplund, ∅ = A ⊂ Z, 0Z ∈ Θ ⊂ Z và z¯ ∈ A Giả sử rằng A + Θ là một tập đóng trong Z và hoặc