BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HÀ VĂN DŨNG XẤP XỈ TIỆM CẬN TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM YÊN NGỰA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HÀ VĂN DŨNG XẤP XỈ TIỆM CẬN TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM YÊN NGỰA Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tác giả chân thành cảm ơn TS Nguyễn Văn Hào tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Thạc sĩ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô giáo cán công nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội quan tâm giúp đỡ Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả Hà Văn Dũng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả Hà Văn Dũng Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức hàm biến phức 1.1.1 Số phức mặt phẳng phức 1.1.2 Các tập hợp mặt phẳng phức 1.1.3 Hàm chỉnh hình 11 1.1.4 Chuỗi lũy thừa 12 1.1.5 Tích phân phức 15 1.2 Khai triển tiệm cận 23 1.2.1 Một số khái niệm bậc 23 1.2.2 Dãy tiệm cận 26 1.2.3 Định nghĩa Poincaré khai triển tiệm cận 26 1.2.4 Chuỗi lũy thừa tiệm cận 28 1.2.5 Tính chất khai triển tiệm cận 35 1.3 Phương pháp tích phân phần Phương pháp điểm yên ngựa 39 52 2.1 Mô tả phương pháp 52 2.2 Giải thích mặt hình học 55 2.3 Một số ví dụ 56 Một số áp dụng phương pháp điểm yên ngựa 61 3.1 Số phân hoạch lớp tập hợp hữu hạn 61 3.2 Dáng điệu tiệm cận dn 63 3.3 Phương pháp 69 KẾT LUẬN 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khi giải nhiều vấn đề lĩnh vực Vật lý dẫn đến việc giải số phương trình Toán học, mà nghiệm biểu diễn dạng tích phân Có nhiều tích phân gắn với hàm toán học đặc biệt như: hàm Bessel, hàm siêu hình học, Ngoài ra, phải kể đến số công cụ quan trọng để giải toán phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng tuyến tính phép biến đổi tích phân Chẳng hạn nghiệm toán Cauchy phương trình Sch¨otdinger iΦt + Φxx = (0.1) cho công thức +∞ Φ(x, t) = 2π ˆ (k)eikx−ik2 t dk Φ (0.2) −∞ ˆ (k) biến đổi Fourier kiện đầu Φ(x, 0) Mặc dù, tích Φ phân cho ta nghiệm xác toán, mặt định lượng chúng không hẳn rõ ràng Để giải thích ý nghĩa khía cạnh Vật lý mặt Toán học nghiệm này, người ta thường phải nghiên cứu dáng điệu chúng biến x t lớn Thông thường, toán chuyển động sóng, trình giới hạn quan tâm đến t → ∞ x mà c = giữ cố định Như trường hợp phương trình (0.2) t người ta cần nghiên cứu phương trình +∞ ˆ (k)eitφ(k) dk; k → ∞ Φ Φ(x, t) = (0.3) −∞ φ(k) = kc − k Một phương pháp xử lý toán thuộc lĩnh vực này, phải kể đến lý thuyết xấp xỉ tiệm cận tích phân Từ mối quan tâm nghiên cứu lý thuyết Giải tích tiệm cận hình thành từ công trình nhà toán học L Euler Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cận xây dựng cách hệ thống T J Stieljes H Poincaré [5] Một hướng nghiên cứu gọi lý thuyết chuỗi tiệm cận Trong đó, người ta nghiên cứu chuỗi mà biểu diễn dãy hàm tiệm cận Trong lý thuyết xấp xỉ tiệm cận, mang tính trực giác cả, người ta thấy việc dùng phương pháp tích phân phần Tuy nhiên, từ hạn chế định phương pháp chuyển sang tích phân hàm biến phức, nhà toán học đưa số phương pháp khác Một điểm bật đó, ta kể đến phương pháp điểm yên ngựa việc xử lý tích phân dạng Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp chương trình bậc đào tạo Thạc sĩ khoa học Toán học Giải tích em chọn đề tài: Xấp xỉ tiệm cận tích phân phương pháp điểm yên ngựa Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày cách hệ thống kiến thức Giải tích tiệm cận - Giới thiệu phương pháp điểm yên ngựa số áp dụng lý thuyết xấp xỉ tiệm cận tích phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan lý thuyết xấp xỉ tiệm cận mục tiêu giới thiệu phương pháp điểm yên ngựa số ứng dụng việc xấp xỉ số tích phân xuất việc giải số toán thực tiễn Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu Đóng góp đề tài Hệ thống hóa kiến thức lý thuyết xấp xỉ tiệm cận trình bày phương pháp điểm yên ngựa lý thuyết số ứng dụng Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức hàm biến phức 1.1.1 Số phức mặt phẳng phức Số phức số có dạng z = x+iy, với x, y ∈ R i đơn vị ảo mà i2 = −1 Ta gọi x phần thực y phần ảo, ký hiệu tương ứng x = Rez, y = Imz Tập hợp số phức ký hiệu C đồng với mặt phẳng R2 phép tương ứng C → R2 z = x + iy → (x, y) Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox trục thực, Oy trục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thông thường phép toán tập hợp số thực với lưu ý i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) có nghĩa l phù hợp với đường lân cận điểm yên ngựa Nếu diễn tả đường phương trình z = eπi/8 x; ≤ x < ∞ hàm trở thành h(z) = h(e 3πi x) − e 3πi 2 x − x3 1 Hàm 2 x − x3 đạt cực đại x = x0 = 3− Đến đây, ta áp dụng tương tự với Reh(z) Trên đường l có Reh (z) < Reh (ζ) − x với x đủ lớn Dĩ nhiên, theo lệ thường ta chứng tỏ tích phân dọc theo πi trục thực từ đến ∞ tích phân từ đến e ∞ dọc theo l Để đánh giá phân bố điểm yên ngựa, ta tính h (ζ) = (1 + i) ζ − ζ = 3πi (1 + i) ζ = 3− e ; πi h (ζ) = −6ζ = −2 e Số hạng đầu phân bố t (2π) e −πi 16 − 12 t − 21 −πi 1 1 eth(ζ) = e 16 2− 3− π t− eth(ζ) Điều giống với dáng điệu tiệm cận f Do đó, ta có −πi 1 1 f (t) ∼ e 16 2− 3− π t− exp 3− e 3πi t ; t → ∞ Ví dụ Xét hàm ∞ ϕ(z, t)dz; ϕ(z, t) = eit(3z−z ) F (t) = −∞ 57 Trong trường hợp hàm ϕ có giá trị tuyệt giá trị thực ∞ z, ta chứng minh tích phân hội tụ Do tiến đến a a → ∞ (với t cố định) Nhưng không tích phân ∞ có số mũ nhỏ a cố định t → ∞ a Các điểm yên ngựa trường hợp z = −1 z = +1 Lấy z − x + iy, có Re it 3z − z = t 3y x2 − − y Giá trị âm với y dương nhỏ −1 < x < âm với y âm nhỏ x > x < −1 (dĩ nhiên giả sử t > 0) Do đó, x = −1 x = +1 giá trị tích phân nằm phía nửa mặt phẳng bên đoạn nằm phía nửa mặt phẳng Bây giờ, xây dựng đường ngang qua điểm yên ngựa từ phía Tây Bắc sang Đông Nam Tức từ − ε + iδ đến + ε − iδ, ε δ số dương nhỏ Các số chọn cho điểm yên ngựa điểm cao đường Điểm yên ngựa −1 qua theo đường tương tự từ −1 − ε − iδ đến −1 + ε + iδ Cuối ta nối điểm −1 − ε − iδ −1 + ε + iδ theo đường thẳng; điểm − ε − iδ + ε − iδ đến −∞ +∞, tương ứng theo đường song song với trục thực Điều xác định đường biến đổi P Dễ dàng thấy tích phân dọc theo P hội tụ |ϕ (x − iδ)| = |ϕ (1 + ε − iδ)| exp −3δi x2 − (1 + ε)2 ≤ |ϕ (1 + ε − iδ)| exp (−6δt (x − − ε)) ; x > + ε đánh giá tương tự phần P tiến đến −∞ Do 58 có ∞−iδ |ϕ(1 + ε − iδ)| , 6δt ϕdz ≤ 1+ε−iδ |ϕ (1 + ε − iδ)| có số mũ nhỏ Re i 3z − z < điểm z = + ε − iδ Điều đó, suy dáng điệu tiệm cận tích phân dọc theo P có phân bố điểm yên ngựa −1 ∞ Chúng ta vấn đề có không P = Khi nghiên cứu vấn đề −∞ này, xét t số dương Theo định lý Cauchy, b số dương lớn, ta có ∞−iδ b − = −b P −b−iδ − − + −∞−iδ b−iδ −b b b−iδ −b−iδ đường lấy tích phân đường thẳng đứng nằm ngang Từ P ta suy tích phân thứ hai thứ hội tụ tích phân ba vế phải tiến đến b → ∞ Điều tương tự với tích phân thứ bốn thứ năm b δ exp −t 3u b2 − − u3 ≤ du b−iδ δ exp −3th(b2 − 1) du < C(δ, t) < C(δ, t) → 0; b → ∞ 3t(b2 − 1) b Điều đó, chứng tỏ tiến đến P b → ∞ Như vậy, −b ∞ chứng tỏ thiết lập hội tụ tích phân −∞ 59 ∞ = P −∞ Sự phân bố điểm yên ngựa tính toán dễ dàng số hạng bậc chúng Tại điểm z = −1 trục Tây Nam đến Đông Bắc Đặt h (z) = i 3z − z , có h (z)−6iz Do |h (−1)| = Điều cho ta số hạng phân bố điểm -1 πi −1 −1 (2π) e t e−2it Tương tự, ta tìm số hạng phân bố điểm yên ngựa z = số phức liên hợp biểu diễn Kết cuối nhận π F (t) = 3t −3 π cos(2t − ) + O t ; t → ∞ 60 Chương Một số áp dụng phương pháp điểm yên ngựa 3.1 Số phân hoạch lớp tập hợp hữu hạn Cho S tập hợp hữu hạn Ta gọi tập hợp tập khác rỗng S phân hoạch lớp S Hiển nhiên, tập hợp rời hợp tập hợp S Chẳng hạn, S bao gồm ba phần tử a, b, c có năm phân hoạch lớp (i) (a) (b) (c), (ii) (ab) (c), (iii) (ac) (b), (iv) (bc) (a), (v) (abc) Số phân hoạch lớp S phụ thuộc vào số lượng phần tử S Ta ký hiệu dn số lượng phân hoạch lớp tập hợp gồm 61 n phần tử Khi đó, đơn giản ta thấy d1 = 1, d2 = 2, d3 = 5, d4 = 15 Vấn đề đặt vấn đề xác định dáng điệu tiệm cận số phân hoạch lớp dn n → ∞ Trước hết, giới thiệu hệ thức truy toán vấn đề sau       n n n dn+1 =   d0 +   d1 + +   dn ; với n = 0, 1, 2, n (3.1.1) d0 = Để chứng minh hệ thức (3.1.1) ta giả sử tập S có phần tử a1 , , an , an+1 Xét phân hoạch lớp S giả sử tập chứa an+1 chứa thêm k phần tử (0 ≤ k ≤ n) Khi cố định số k,   n đương nhiên có   dn−k phân hoạch lớp kiểu Thêm nữa, với k k phần  tử đề cập trên, chọn từ tập hợp {a1 , , an } theo  n   cách với tập hợp lại n − k phần tử chứa dn−k phân hoạch k lớp (nếu k = n không lại phần tử trường hợp theo quy ước d0 = 1) Tiến hành tính tổng theo k, ta thu hệ thức (3.1.1) Bắt đầu từ hệ thức phép truy toán (3.1.1), ta tiếp tục trình theo phương pháp hàm sinh Đặt ∞ D(z) = n=0 dn z n n! Ta nhận D (z) = ez D(z) D(0) = ta suy D(z) = exp(ez − 1) Do dn hệ số khai triển sau n! 62 ∞ z exp(e − 1) = n=0 dn z n n! (3.1.2) Cũng có cách tính trực tiếp khác lớp phân hoạch, để dẫn đến công thức giống (3.1.2), cách sau Xét phân hoạch lớp tập hợp S có n phần tử Đó là, việc xét tất tập hợp tập hợp Ta ký hiệu sj số tập hợp tập hợp có j phần tử Như thế, đương nhiên sj ≥ 0; j = 1, 2, 3, n = s1 + 2s2 + 3s3 + Đến đây, cố định dãy s1 , s2 , thỏa mãn điều kiện trên, ta đòi hỏi số phân hoạch lớp tương ứng với dãy Dễ dàng thấy số lớp −1 n!{(1!)s1 (2!)s2 (3!)s3 s1 !s2 !s3 ! } dn hệ số z n khai triển chuỗi lũy n! thừa trình bày Điều đó, suy ∞ s1 z s1 s! =0 s ∞ =0 z2 2! s2 s2 ! s ∞ =0 z3 3! s3 s3 ! Ta viết khai triển dạng z2 z3 z2 exp (z) exp exp = exp z + + 2! 3! 2! = exp (ez − 1) 3.2 Dáng điệu tiệm cận dn Mục đích phần này, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ số công thức (3.1.2) việc biểu diễn chúng qua công thức Cauchy hệ số chuỗi lũy thừa 2πie dn = n! exp (ez )−n−1 dz, C 63 (3.2.1) đó, đường lấy tích phân C vây quanh gốc tọa độ vòng theo chiều dương Ta áp dụng phương pháp điểm yên ngựa cho dạng tích phân Các điểm yên ngựa nghiệm phương trình zez = n + Phương trình có nghiệm dương nghiệm Thực ra, nhận thấy với số nguyên k có điểm yên ngựa dải nằm ngang (2k − 1) π < Imz < (2k + 1) π; (k = 0, ±1, ±2, ) với n đủ lớn Với điểm yên ngựa dương, tức với nghiệm dương u phương trình zez = n + Trong trường hợp này, điều thuận lợi ta không cần xét đến điểm yên ngựa khác tìm đường qua u mà u điểm cao Trục qua điểm yên ngựa u trục thẳng đứng Dọc theo đường thẳng qua điểm u ta có |exp ez | ≤ exp eu Re(ez ) ≤ |ez | = eRez = eu thỏa mãn đường Điểm thứ hai nữa, thừa số z −n−1 đạt giá trị cực đại điểm u Như vậy, có đường thẳng đứng thỏa mãn yêu cầu đòi hỏi tích phân có giá trị tuyệt đối lớn điểm yên ngựa Tuy nhiên, đường thẳng đứng không bao quanh điểm tọa độ gốc Thế nhưng, ta lấy đoạn đủ lớn đường thẳng đứng bổ sung cách thêm vào nửa đường tròn trở thành chu tuyến đóng Như thế, bán kính R nửa đường tròn tiến đến vô tích phân (3.2.1) tiến tới (nếu n > 0) nhân tử z −n−1 O R−n−1 mà exp(ez ) bị chặn nửa mặt phẳng Re z ≤ u Do đó, tích phân u+i∞ (3.2.1) thay C u−i∞ 64 Như thế, tích phân trở thành exp (ez − (n + 1) log z) = exp(ez − ueu log z) Viết z = u + iy, ta nhận ∞ 2πedn = exp(eu −u.eu log u) n! exp ψ(y)dy, (3.2.2) −∞ ψ (y) = eu eiy − − u log + iyu−1 Bởi |exp ψ (y)| = exp Re ψ (y), nên ta cần xét đến Re ψ (y) = eu −1 + cos y − u log + y u−2 Chỉ cần y không lớn, số hạng không vượt trội Do đó, có giá trị lớn điểm y = có giá trị cực đại quanh y = ±2π Sự ảnh hưởng giá trị cực đại nhỏ nhân tử lớn eu Chúng ta chứng tỏ biểu thức (3.2.2) hạn chế chủ yếu khoảng −π < y < π y2 y2 Thật vậy, π < y < u ta có log(1 + ) > Do u u2 u exp ψ(y)dy < u exp −π eu 4u π Còn y > u, ta sử dụng + ∞ y2 2y > cách đặt y = ux ta có u2 u ∞ exp − eu u log (2x) dx exp ψ (y) dy ≤ u u Dễ dàng nhận thấy ∞ (2x)−p dx = O e −1 p Do 65 ; p > ∞ exp ψ(y)dy = O u exp − ueu ; u → ∞ u Từ suy ∞ π exp ψ(y)dy − −∞ −eu exp ψ(y)dy = O exp ; u → ∞ u −π (3.2.3) Đến đây, ta cần hướng ý đến khoảng (−π, π) mà điểm yên ngựa y = cho phân bố Bởi u ψ (y) = e y (iy)3 y (iy)3 + − − − , − + 2! 3! 2u 3u2 nên theo phương pháp Laplace ta thấy π exp ψ (y) dy = 2πe−u + O u−1 (3.2.4) −π Để nhận khai triển tiệm cận, hàm ψ phụ thuộc u điều phức tạp Để đơn giản hơn, đưa vào biến tích phân ω mà exp ψ (y) biến đổi thành exp −ω f (u) , mà f (u) phụ thuộc vào u Tiếp theo, ta giải trường hợp y biến phức Nếu |y| nhỏ ta xác định ω eiy − − u log + iyu−1 = − ω + u−1 chọn nghiệm ω thỏa mãn dω = +1 y = Khi ω dy viết sau ω = y + y P y, u−1 , (3.2.5) P y, u−1 chuỗi lũy thừa theo biến y u−1 , hội tụ 66 y u−1 đủ nhỏ Từ đó, ta nhận y = y(ω) = 2πi η + η P (η, u−1 ) − ω −1 η d η + η P (η, u−1 ) dη, dη C C chu tuyến bao quanh điểm gốc tọa độ theo chiều dương Do đó, y chuỗi lũy thừa theo ω u−1 Ta cần tính đạo hàm dω = + ωγ1 (u−1 ) + ω γ2 (u−1 ) + dy γ1 , γ2 , chuỗi lũy thừa xét theo u−1 , hội tụ với giá trị lớn u Một điều không chắn khẳng định tích phân (3.2.4) biến đổi thành công theo cách chúng c ta tìm số dương c cho trở thành Trên mặt −c phẳng ω, đường tích phân trở thành đường cong qua điểm yên ngựa ω = Những sai số việc chặn tích phân điểm c −c điều không đáng lo ngại chúng loại exp(−Aeu ) A số dương Cuối ta nhận ∞ − 12 (2π) U exp ψ(y)dy ≈ + a1 y2 (u)U −1 + a2 y4 (u)U −2 + ; −∞ u → ∞ U = eu + u−1 , ak = (2k)!(k!)−1 2−k Sử dụng số hạng, ta có biểu điễn 1 dn = n!e−1 (2π)− (1 + u−1 )− × + O(e−u ) exp eu − ueu log u − u Ở u liên quan đến n theo công thức sau 67 (3.2.6) ueu = n + 1; với u > Dáng điệu tiệm cận u n → ∞ liên quan đến nghiệm phương trình xex = t Trước hết, ta có u = log t − log log t + (log log t) (log t)−1 Q (σ, τ ) Q (σ, τ ) chuỗi lũy thừa kép ta rút gọn dạng log log t ; t = n + log t Tuy nhiên, ta tính xấp xỉ u cách lấy số hữu hạn số σ = (log t)−1 , τ = hạng Q(σ, τ ) sai số nêu mục (3.2.6) tăng lên đáng kể, đồng thời độ xác (3.2.6) Tính xấp xỉ u log t − log log t ta thấy eu − ueu log u − u = t u−1 − log u + O (log t) log log t 1 log log t = t − log log t + + + log t log t log t +O t log log t (log t)2 Tại t n + 1, dễ dàng nhận thay n + = n n ta tạo sai số nhỏ nhiều so với sai số trước Hơn nữa, dùng đánh giá mang tính phác thảo với n! qua công thức sau log n! = n log n − n + O (log n) tìm log dn log log n = log n − log log n − + + n log n log n log log n log log n + ; n → ∞ (3.2.7) +O log n (log n)2 Điều cho thấy ta thuận lợi việc thay thay số 68 hạng O chuỗi tiệm cận với số hạng có dạng (log log n)k (log n)−m 3.3 Phương pháp Nói cách ngắn gọn phương pháp này, đưa cách tiếp cận hoàn toàn khác biệt dáng điệu tiệm cận dãy dn trình bày mục 3.2 Trước ∞ ekx x hết, từ công thức (3.1.2), ta khai triển hàm exp e dạng k! k=0 số hạng sử dụng việc khai triển hàm e kx thành chuỗi lũy thừa Như vậy, ta thu chuỗi kép hội tụ tuyệt đối mà bậc tổng thay đổi Từ (3.1.2) cho ta ∞ −1 dn = e k=0 kn k! Trong tổng này, số kmax số hạng cực đại nằm gần với eu mà kn u u lại nghiệm phương trình ue = n + Như xấp xỉ k! (2π)− k − exp ((n + 1) log k − k log k + k) hàm (n + 1) log x − x log x + x đạt cực đại x = eu Bởi đạo hàm bậc hai hàm − (n + 1) x−2 − x−1 , nên suy khoảng |k − kmax | < n có phân bố chủ yếu tổng Trong khoảng này, tổng thay tích phân Điều thực phần 69 KẾT LUẬN Luận văn cấu trúc chương với số nội dung sau Chương Được dành cho việc trình bày số kiến thức giải tích phức lý thuyết tiệm cận phục vụ cho việc tiếp cận phương pháp điểm yên ngựa Chương Tác giả trình bày cách hệ thống vấn đề phương pháp điểm yên ngựa Chương Đây phần luận văn, tác giả trình bày hiểu biết việc ứng dụng phương pháp điểm yên ngựa qua vấn đề sau + Nghiên cứu số phân hoạch lớp tập hợp hữu hạn + Xác định dáng điệu tiệm cận số phân hoạch lớp tập hợp hữu hạn + Tìm hiểu phương pháp phương pháp điểm yên ngựa 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N G De Bruijn (1958), Asymptotic methods in analysis, NorthHolland Publishing Co – Amsterdam Noordhoff Ltd – Groningen [2] E T Copson (1965), Asymptotic expansions, Cambridge [3] R B Dingle (1973), Asymptotic expansions their derivation and interpretation, Academic Press London And New York [4] L D Persio (2006), Asymptotic Expansions of Integrals: Statistical Mechanics and Quantum Theory, Rom Bonn [5] H Poincaré (1886), Asymptotic Expansions, Acta Math 8, 295-344 [6] B Riemann (1892), Gtesammelte Mathematische Werke, 2e Aufl., Leipzig, pp 424-430; P Debye, Math Ann 67 (1909), pp 535-558 71 [...]... triển tiệm cận tương ứng với ∞ a n dãy này, có nghĩa là f (z) ∼ φ(z) Điều đó kéo theo n n=0 z Trường hợp đơn giản nhất của dãy khai triển tiệm cận là f (z) ∼ φ(z) ∞ n=0 an zn chuỗi sau cùng được coi là một khai triển tiệm cận tương ứng với dãy 1 1 Một khai triển tiệm cận tương ứng với dãy được gọi là n z zn một chuỗi lũy thừa tiệm cận Các phép toán với chuỗi lũy thừa tiệm cận Các chuỗi lũy thừa tiệm cận. .. tụ Biểu thức của khai triển tiệm cận phụ thuộc vào cách chọn dãy tiệm cận Chẳng hạn, khi z → ∞ thì ∞ ∞ 1 1 1 z+1 − và − z − 1 n=1 z n z − 1 n=1 z 2n Trong các ví dụ này các khai triển tiệm cận là các chuỗi hội tụ Hơn nữa, hai hàm có thể có cùng khai triển tiệm cận Ví dụ nếu 1 1 1 − π + δ ≤ phz ≤ π − δ; 0 < δ < π 2 2 2 hai hàm 1 1 , + e−z z+1 z+1 có cùng khai triển tiệm cận ∞ n=1 (−1) n−1 zn khi z... tồn tại hằng số dương A sao cho f (z) ≤ A; với mọi z ∈ R φ(z) Tiệm cận bị chặn Chúng ta nói hàm f (z) là tiệm cận bị chặn (hoặc “bậc O lớn”) đối với hàm φ(z) khi z → z0 và viết là f (z) = O (φ(z)) khi z → z0 nếu tồn tại một hằng số A và một lân cận U của z0 sao cho |f (z)| ≤ A |φ(z)| ; ∀z ∈ U ∩ R Tiệm cận nhỏ Hàm f (z) được gọi là tiệm cận nhỏ (hoặc “bậc o nhỏ”) đối với hàm φ(z) khi z → z0 và viết... lân cận U của z0 sao cho |f (z)| ≤ ε |φ(z)| ; ∀z ∈ U ∩ R 24 Cũng đơn giản hơn, nếu φ(z) không triệt tiêu trong lân cận của z0 có thể trừ ra tại điểm này, thì f (z) = o (φ(z)) nghĩa là f (z) = 0 z→z0 φ(z) lim Tương đương tiệm cận Ta nói f (z) là tiệm cận tương đương với φ(z) khi z → z0 , nếu f (z) ∼ φ(z); khi z → z0 Điều đó có nghĩa là, nếu φ(z) khác không trong một lân cận của z0 có thể trừ ra tại điểm. .. triển tiệm cận của hàm 26 f (z) theo nghĩa Poincaré, tương ứng với dãy tiệm cận {φn (z)} nếu với mọi m m f (z) − an φn (z) = o (φm (z)) ; khi z → z0 n=0 Từ đó ta nhận được m−1 f (z) − an φn (z) = am φm (z) + o (φm (z)) n=0 tổng riêng m−1 an φn (z) n=0 là một xấp xỉ của hàm f (z) với sai số O (φm ) khi z → z0 , bậc của sai số này có cùng độ lớn với số hạng đầu tiên của phần dư Nếu khai triển tiệm cận. .. D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} Cho tập Ω ⊂ C, điểm z0 ∈ Ω được gọi là điểm trong của Ω nếu tồn tại r > 0 sao cho Dr (z0 ) ⊂ Ω Phần trong của Ω ký hiệu là intΩ gồm tất cả các điểm trong của Ω Tập Ω là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là mở Điểm z ∈ C được gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy các điểm zn ∈ C sao cho zn = z và lim zn =... triển tiệm cận ∞ n=1 (−1) n−1 zn khi z → ∞ trong miền đã cho 1.2.4 Chuỗi lũy thừa tiệm cận Khái niệm về chuỗi lũy thừa tiệm cận Nếu điểm giới hạn z0 là hữu hạn, ta có thể dùng phép đổi biến thành điểm giới hạn vô cùng bởi 1 z∗ = Chúng ta sẽ giả thiết rằng điều này luôn đúng và chỉ xét z − z0 28 những khai triển tiệm cận khi z → ∞ trong góc α < phz < β Hoặc trong trường hợp f (z) là một hàm số biến... được gọi là một dãy tiệm cận khi z → z0 nếu có một lân cận của z0 sao cho trong lân cận này không một hàm nào triệt tiêu (có thể trừ ra tại z0 và với mọi n) φn+1 = o(φn ); khi z → z0 Chẳng hạn, nếu z0 hữu hạn,{(z − z0 )n } là một dãy tiệm cận khi z → z0 , còn (z)−n là một dãy tiệm cận khi z → ∞ 1.2.3 Định nghĩa của Poincaré về khai triển tiệm cận Một chuỗi có dạng ∞ an φn (z) = a0 φ0 (z) + a1 φ1 (z)... triển tiệm cận theo nghĩa này ta viết ∞ f (z) ∼ an φn (z) n=0 Tổng riêng của một chuỗi có dạng này thường được gọi là một xấp xỉ tiệm cận của hàm f (z) Số hạng đầu tiên được gọi là số hạng trội và chúng f (z) ta thường viết f (z) ∼ a0 φ0 (z), nghĩa là tiến tới a0 khi z → z0 φ0 (z) Định nghĩa trên áp dụng cho một hàm số biến số phức, nhưng có thể dễ dàng định nghĩa cho một hàm với biến số thực Nếu điểm. .. ,x0 có thể là điểm trong hoặc điểm biên và một lân cận của x0 là một khoảng mở |x − x0 | < δ Nhưng nếu x0 là điểm vô cùng, chúng ta phải phân biệt giữa x → +∞, trong 27 trường hợp này R có thể coi là một khoảng vô hạn x > a và x → −∞, trong trường hợp này R có thể coi là x < b Có một số trường hợp khi R là một tập riêng biệt, chẳng hạn nó có thể là điều kiện cần để tìm một khai triển tiệm cận của tổng